El video tutorial aborda la resolución de una integral racional con un denominador de raíces reales simples. Se explica la división del numerador por el denominador, seguido de la descomposición en fracciones simples para facilitar la integración. Finalmente, se presentan los resultados de las integrales calculadas, mostrando el proceso completo y sus resultados.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: INTEGRAL
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Calcular una integral racional cuyo denominador tiene raíces reales simples.

2. ENUNCIADO
Calcula la integral:
2𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 − 1
𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑑𝑥
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PROBLEMA RESUELTO: INTEGRAL

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En primer lugar observamos que el grado del numerador es mayor que el del denominador, por lo que tenemos
que realizar la división.
A continuación usaremos la propiedad de las divisiones
2𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 − 1 = (𝑥2−𝑥 − 2)(2𝑥 − 1) + (𝑥 − 3)
De donde ahora dividiendo por 𝑥2 − 𝑥 − 2 tenemos
2𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 − 1 𝑥2 − 𝑥 − 2
−2𝑥3
+ 2𝑥2
+ 4𝑥 2𝑥 − 1
−𝑥2 + 2𝑥 − 1
𝑥2
− 𝑥 − 2
𝑥 − 3

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2𝑥3
− 3𝑥2
− 2𝑥 − 1
𝑥2 − 𝑥 − 2
=
(𝑥2
−𝑥 − 2)(2𝑥 − 1)
𝑥2 − 𝑥 − 2
+
𝑥 − 3
𝑥2 − 𝑥 − 2
De donde simplificando tenemos:
2𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 − 1
𝑥2 − 𝑥 − 2
= 2x − 1 +
𝑥 − 3
𝑥2 − 𝑥 − 2
Ahora tomando integrales llegamos a:
2𝑥3
− 3𝑥2
− 2𝑥 − 1
𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑑𝑥 = 2𝑥 − 1 𝑑𝑥 +
𝑥 − 3
𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑑𝑥

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PROBLEMA RESUELTO: INTEGRAL
Hemos descompuesto la integral inicial en dos integrales que vamos a realizar por separado:
La primera de ellas es inmediata:
2𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 𝑥2
− 𝑥
Vamos a realizar a continuación la segunda integral.
𝑥 − 3
𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑑𝑥
Para realizar esta integral vamos a descomponer factorialmente el denominador.
𝑥2
− 𝑥 − 2 = 𝑥 + 1 𝑥 − 2

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PROBLEMA RESUELTO: INTEGRAL
Por tanto tenemos que el denominador tiene dos raíces reales simples. Realizamos la descomposición en
factores simples:
𝑥 − 3
𝑥2 − 𝑥 − 2
=
𝐴
𝑥 + 1
+
𝐵
𝑥 − 2
Ahora realizamos la operación de la derecha e igualamos las fracciones resultantes:
𝑥 − 3
𝑥2 − 𝑥 − 2
=
𝐴 𝑥 − 2 + 𝐵(𝑥 + 1)
(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador sus numeradores son iguales, por lo tanto tenemos que:
𝑥 − 3 = 𝐴 𝑥 − 2 + 𝐵 𝑥 + 1

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Damos valores a la expresión anterior para calcular el valor de A y de B. (Los valores que se pueden dar para
obtener A y B de forma más sencilla son las raíces del polinomio, es decir x=2, x=-1)
𝑥 − 3 = 𝐴 𝑥 − 2 + 𝐵 𝑥 + 1
Para x=2
−1 = 3𝐵 𝐵 =
−1
3
Para 𝑥 = −1
−4 = −3𝐴 𝐴 =
4
3

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Por lo tanto tenemos que:
𝑥 − 3
𝑥2 − 𝑥 − 2
=
4
3
𝑥 + 1
+
−1
3
𝑥 − 2
Por lo tanto al tomar integrales nos queda:
𝑥 − 3
𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑑𝑥 =
4
3
𝑥 + 1
𝑑𝑥 +
−1
3
𝑥 − 2
𝑑𝑥 =
4
3
𝐿 𝑥 + 1 −
1
3
𝐿 𝑥 − 2 + 𝐾
Por tanto:
2𝑥3−3𝑥2−2𝑥−1
𝑥2−𝑥−2
𝑑𝑥 = 2𝑥 − 1 𝑑𝑥 +
𝑥−3
𝑥2−𝑥−2
𝑑𝑥 = 𝑥2 − 𝑥+
4
3
𝐿 𝑥 + 1 −
1
3
𝐿 𝑥 − 2 + 𝐾
FIN