Este documento explica el método de las potencias para calcular el valor propio dominante de una matriz cuadrada. El método implica multiplicar repetidamente la matriz por un vector inicial para que los componentes del vector resultante se aproximen al vector propio asociado con el valor propio dominante cuando k tiende a infinito. Se ilustra el método con un ejemplo para calcular el valor propio dominante de una matriz dada.

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PROBLEMA RESUELTO: MÉTODO DE LAS POTENCIAS
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Calcular el valor propio dominante de una matriz A.
• El desarrollo teórico del método de las potencias.
• Calcular usando el método de las potencias el valor propio propio dominante de una
matriz A.

2. MÉTODO DE LAS POTENCIAS
Dada una matriz cuadrada A, de la cual necesitamos calcular el valor propio dominante, es decir el valor propio
de mayor módulo.
Para ello utilizaremos el método conocido como el método de las potencias.
Sea A una matriz cuadrada de orden n y la cual tiene n vectores propios linealmente independientes (es decir, A
es diagonalizable) y un valor propio estrictamente dominante, es decir, si sus valores propios son
λ 1, λ 2, … , λ 𝑛
Entonces ocurre que:
λ 1 > λ 2 ≥ λ 3 ≥ ⋯ ≥ λ 𝑛
No hay pérdida de generalidad en suponerlos ordenados, de forma que el de mayor módulo se corresponde con
λ 1.
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Notaremos por 𝑣𝑖 al vector propio asociado a cada valor propio λ 𝑖 para 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
Entonces por la hipótesis de la que hemos partido tenemos que: 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 son linealmente independientes.
Esto significa que cualquier vector v del espacio vectorial ℝ 𝑛
se puede expresar como combinación lineal de los
vectores 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 .
Es decir existirán valores reales 𝑎𝑖 ∈ ℝ, tales que:
𝑣 =
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 𝑣𝑖
Por lo tanto tenemos que:
𝐴𝑣 =
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 𝐴𝑣𝑖 =
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖λ𝑖 𝑣𝑖

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Es decir tenemos:
𝐴𝑣 = 𝑎1λ1 𝑣1 + 𝑎2λ2 𝑣2 + ⋯ + 𝑎 𝑛λ 𝑛 𝑣 𝑛
Si multiplicamos esta expresión de nuevo por A, tenemos:
𝐴2 𝑣 = 𝑎1λ1 𝐴𝑣1 + 𝑎2λ2 𝐴𝑣2 + ⋯ + 𝑎 𝑛λ 𝑛 𝐴𝑣 𝑛
En consecuencia tendríamos:
𝐴2 𝑣 = 𝑎1λ1
2
𝑣1 + 𝑎2λ2
2
𝑣2 + ⋯ + 𝑎 𝑛λ 𝑛
2
𝑣 𝑛
Si continuamos multiplicando por A, de forma sucesiva tenemos:
𝐴 𝑘 𝑣 = 𝑎1λ1
𝑘
𝑣1 + 𝑎2λ2
𝑘
𝑣2 + ⋯ + 𝑎 𝑛λ 𝑛
𝑘
𝑣 𝑛

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Como tenemos que el valor propio λ1 es el de mayor módulo, si sacamos factor común λ1
𝑘
en la expresión
anterior tenemos:
𝐴 𝑘
𝑣 = λ1
𝑘
𝑎1 𝑣1 + 𝑎2
λ2
λ1
𝑘
𝑣2 + ⋯ + 𝑎 𝑛
λ2
λ1
𝑘
𝑣 𝑛
Si tomamos límites cuando 𝑘 → ∞, y tenemos en cuenta que al ser λ1 el valor propio dominante entonces
lim
𝑘→∞
λ𝑖
λ1
𝑘
= 0 𝑖 = 2,3, … , 𝑛
Entonces en consecuencia se tiene que:
lim
𝑘→∞
𝑎1 𝑣1 + 𝑎2
λ2
λ1
𝑘
𝑣2 + ⋯ + 𝑎 𝑛
λ2
λ1
𝑘
𝑣 𝑛 = 𝑎1 𝑣1

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En consecuencia para valores “grandes” de k se tiene que:
𝐴 𝑘 𝑣 ≈ λ1
𝑘
𝑎1 𝑣1
Es decir la sucesión:
𝐴 𝑘 𝑣 𝑘∈ℕ es una sucesión de valores que cumple que la sucesión
λ1
−𝑘
𝐴 𝑘
𝑣 𝑘∈ℕ
converge a 𝑎1 𝑣1
Por lo tanto tenemos que:
lim
𝑘→∞
𝐴 𝑘+1
𝑣 1
𝐴 𝑘 𝑣 1
= λ1
Indica que nos quedamos sólo con
la primera coordenada del vector

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Ejemplo:
Vamos a calcular el valor propio dominante de la matriz:
𝐴 =
1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
Como en principio no sabemos cuales son los vectores característicos, ya que es precisamente lo que necesitamos
calcular, vamos a comenzar con un vector cualquiera, por ejemplo, comenzaremos con el vector
𝑣 =
1
0
0

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Calculamos a continuación las iteraciones 𝐴 𝑘
𝑣
• 𝐴𝑣 =
1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
1
0
0
=
1
1
4
• 𝐴2
𝑣 = 𝐴𝐴𝑣 =
1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
1
1
4
=
−1
5
20
A continuación podemos calcular la primera aproximación del vector propio dominante, si recordamos la
expresión viene dada por el cociente
𝐴 𝑘+1 𝑣 1
𝐴 𝑘 𝑣 1
En nuestro caso la primera aproximación que denotaremos por λ1(1), es λ1(1) =
−1
1
= −1

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Continuamos realizando iteraciones:
• 𝐴3 𝑣 =
1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
−1
5
20
=
−11
19
76
λ1(2) =
−11
−1
= 11
• 𝐴4 𝑣 =
1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
−11
19
76
=
−49
65
260
λ1(3) =
−49
−11
= 4,45
• 𝐴5 𝑣 =
1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
−49
65
260
=
−179
211
844
λ1(4) =
−179
−49
= 3,65
• 𝐴6 𝑣 =
1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
−179
211
844
=
−601
665
2660
λ1(5) =
−601
−179
= 3,35

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• 𝐴7 𝑣 =
1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
−601
665
2660
=
−1931
2059
8236
λ1(6) =
−1931
−601
= 3,21
• 𝐴8 𝑣 =
1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
−1931
2059
8236
=
−6049
6305
25220
λ1(7) =
−6049
−1931
= 3,13
• 𝐴9
𝑣 =
1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
−6049
6305
25220
=
−18659
19171
76684
λ1(8) =
−18659
−6049
= 3,08
• 𝐴10 𝑣 =
1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
−18659
19171
76684
=
−57001
58025
232100
λ1(9) =
−57001
−18659
= 3,05

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• 𝐴11
𝑣 =
1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
−57001
58025
232100
=
−173051
175099
700396
λ1(10) =
−173051
−57001
= 3,03
Por tanto nos da una aproximación del valor propio de 3,03. Si continuamos haciendo iteraciones obtendremos
una aproximación más exacta del valor propio dominante de esta matriz.
En este ejemplo si resolvemos el polinomio característico se tiene que los valores propios son
λ1 = 3, λ2 = 2, λ3 = 1
Por lo tanto el valor propio dominante es λ1 = 3.
Obsérvese que en general el producto 𝐴 𝑘
𝑣 produce un vector cuyas coordenadas son valores muy grandes (o
muy pequeños) por lo que se recomienda normalizar los productos 𝐴 𝑘
𝑣 dividiendo cada elemento del vector
resultante por la coordenada de dicho vector que tenga mayor valor absoluto.
FIN