Este video tutorial muestra cómo resolver una integral doble en una región determinada cambiando las variables a coordenadas polares. Se calcula la integral de la función f(x,y)=cos(x2+y2) sobre la bola unitaria mediante el cambio a coordenadas polares, obteniendo como resultado final πsen(1).

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: integral varias variables
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Calcular una integral doble en un recinto determinado.
- Realizar un cambio de variable a coordenadas polares.

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PROBLEMA RESUELTO: integral varias variables
ENUNCIADO:
Se considera la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = cos(𝑥2 + 𝑦2) y el conjunto
𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
; 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 1}
Calcular 𝐴
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑(𝑥, 𝑦)

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PROBLEMA RESUELTO: integral varias variables
En primer lugar observamos que el conjunto en el cual tenemos que realizar la integral es la bola de centro el origen de
coordenadas y radio 1.
Para realizar esta integral realizaremos un cambio de coordenadas, vamos a utilizar las coordenadas polares.
Recordamos el teorema que nos permite cambiar de coordenadas:
Teorema:
Sea A un conjunto de ℝ 𝑛
. Una función 𝜑: B → ℝ 𝑛
se llama un cambio de coordenadas en A si verifica:
• 𝜑 tiene derivadas parciales continuas en el interior de B
• 𝜑 es inyectiva en B
• 𝜑 𝐵 = 𝐴
• La matriz Jacobiana de 𝜑, tiene determinante no nulo en cualquier punto de B. ( 𝐽 𝜑(𝑥) ≠ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐵)
La matriz Jacobiana es la que se obtiene de las derivadas parciales de 𝜑.
Es decir si 𝜑 = 𝜑(𝑥 𝑢, 𝑣 , 𝑦(𝑢, 𝑣)), entonces 𝐽 𝜑(𝑢, 𝑣) =
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣

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En este caso se tiene
𝐴
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑 𝑥, 𝑦 =
𝐵
𝑓 ⃘ 𝜑 𝑢, 𝑣 𝐽 𝜑 𝑢, 𝑣 𝑑(𝑢, 𝑣)
El cambio a coordenadas polares, es el cambio que asocia a cada punto P(x,y) del plano, el valor
𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃
Donde 𝜌 representa la distancia del punto P al origen de coordenadas, por tanto 𝜌 = 𝑥2 + 𝑦2 > 0, y 𝜃 es el ángulo
medido en radianes, que forma la semirrecta OP con el semieje positivo de la X, es decir 𝜃 ∈ 0,2𝜋 .
Por tanto el jacobiano de este cambio viene dado por:
𝐽 𝜑 𝜌, 𝜃 =
𝜕𝑥
𝜕𝜌
𝜕𝑥
𝜕𝜃
𝜕𝑦
𝜕𝜌
𝜕𝑥
𝜕𝜃
=
𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃

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Su determinante viene dado por:
𝐽 𝜑 𝜌, 𝜃 =
𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃
= 𝜌𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 𝜌𝑠𝑒𝑛2
𝜃 = 𝜌 > 0
Por lo tanto tenemos que el determinante del jacobiano es positivo.
A continuación vamos a realizar la integral del enunciado.
El conjunto de definición es:
𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
; 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 1}
Si hacemos el cambio a coordenadas polares
𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃
, tenemos que
𝑥2
+ 𝑦2
≤ 1 𝜌2
≤ 1 0 < 𝜌 ≤ 1

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Como no tenemos ninguna condición sobre el ángulo 𝜃, entonces 𝜃 ∈ [∈ 0,2𝜋)
Por tanto la integral nos queda:
𝐴
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑(𝑥, 𝑦) =
0
2𝜋
0
1
cos 𝜌2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝜌2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝐽 𝜑(𝜌, 𝜃) 𝑑𝜌𝑑𝜃 =
0
2𝜋
0
1
cos 𝜌2 𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃
A continuación realizamos la integral.
0
2𝜋
0
1
cos 𝜌2
𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃 =
0
2𝜋
1
2
𝑠𝑒𝑛(𝜌2
)
1
0
𝑑𝜃 =
0
2𝜋
1
2
𝑠𝑒𝑛 1 −
1
2
𝑠𝑒𝑛(0) 𝑑𝜃 =
0
2𝜋
1
2
𝑠𝑒𝑛 1 𝑑𝜃
=
1
2
𝑠𝑒𝑛(1)𝜃
2𝜋
0
= 2𝜋
1
2
𝑠𝑒𝑛 1 = 𝜋𝑠𝑒𝑛(1)
Así 𝐴
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝜋𝑠𝑒𝑛(1)