El vídeo tutorial aborda la aplicación del teorema fundamental del cálculo para derivar y aproximar la función f(x) = ∫(0, x) t² cos(t²) dt. Se calcula la derivada de f(x), el desarrollo en serie de Taylor de orden 3 centrado en x=0, y se evalúa el límite de f(x)/x cuando x tiende a 0, obteniendo que este límite es 0.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: TFC
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Aplicar el Teorema fundamental del Cálculo.
• Calcular las derivadas sucesivas de una función.
• Calcular el polinomio de Taylor para aproximar una función.

2. ENUNCIADO
Sea la función F: ℝ → ℝ definida por
𝐹 𝑥 =
0
𝑥
𝑡2cos(𝑡2)𝑑𝑡
a) Calcula razonadamente la derivada de F(x).
b) Calcula el desarrollo en serie de Taylor de orden 3 de la función F(x) centrado en x=0.
c) Calcula
lim
𝑥→0
𝐹 𝑥
𝑥
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3. a) Calcula razonadamente la derivada de F.
Para calcular la derivada de F, basta con observar que la función
𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑐𝑜𝑠 𝑥2
Es una función continua en los números reales, por lo que aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo se tiene
que la función
𝐹 𝑥 =
0
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
Es una función derivable, y además su derivada vale:
𝐹´ 𝑥 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑐𝑜𝑠 𝑥2 ∀𝑥 ∈ ℝ
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4. b) Calcula el desarrollo en serie de Taylor de orden 3 de la función F(x) centrado en x=0.
Recordemos que el desarrollo en serie de Taylor de la función F(x) viene determinado por:
𝑝 𝑥 = 𝐹 0 +
𝐹´ 0
1!
𝑥 − 0 +
𝐹´´(0)
2!
(𝑥 − 0)2+
𝐹´´´(0)
3!
(𝑥 − 0)3
Calculamos las derivadas sucesivas de la función F(x)
𝐹 𝑥 =
0
𝑥
𝑡2cos(𝑡2)𝑑𝑡 𝐹 0 =
0
0
𝑡2cos(𝑡2)𝑑𝑡 = 0
𝐹´ 𝑥 = 𝑥2
𝑐𝑜𝑠 𝑥2
F´ 0 = 0
𝐹´´ 𝑥 = 2𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥2 − 4𝑥2 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 𝐹´´ 0 = 0
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5. 𝐹´´´ 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑥2
− 4𝑥2
𝑠𝑒𝑛 𝑥2
− 6𝑥2
𝑠𝑒𝑛 𝑥2
− 4𝑥4
cos 𝑥2
𝐹´´´ 0 = 2
Por lo tanto tenemos que el polinomio de Taylor de orden 3, de la función F(x) centrado en x=0 , viene
determinado por:
𝑝 𝑥 = 𝐹 0 +
𝐹´ 0
1!
𝑥 − 0 +
𝐹´´(0)
2!
(𝑥 − 0)2+
𝐹´´´(0)
3!
(𝑥 − 0)3
𝑝 𝑥 = 0 +
0
1
𝑥 +
0
2
𝑥2 +
2
6
𝑥3 =
1
3
𝑥3
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6. c) Calcula lim
𝑥→0
𝐹 𝑥
𝑥
Observemos que por el Teorema Fundamental del Cálculo, se tiene que la función F(x) es derivable en todo su
dominio y que además
𝐹´ 𝑥 = 𝑥2
𝑐𝑜𝑠 𝑥2
∀𝑥 ∈ ℝ
Si recordamos la definición de derivada tenemos que la derivada de F(x) en el punto x=0, viene dada por:
𝐹´ 0 = lim
𝑥→0
𝐹 𝑥 − 𝐹(0)
𝑥 − 0
= lim
𝑥→0
𝐹(𝑥)
𝑥
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Ya que 𝐹 0 = 0

7. Como:
𝐹´ 0 = 0
Tenemos que:
lim
𝑥→0
𝐹(𝑥)
𝑥
= 𝐹´ 0 = 0
FIN
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