Este video tutorial enseña cómo encontrar puntos críticos de una función usando el método de Newton-Raphson. Explica cómo aplicar el método para encontrar una aproximación de cuatro cifras decimales de la raíz de la ecuación cosx - xsenx = 0, partiendo del valor inicial x0 = 1 y realizando tres iteraciones. El resultado obtenido es una aproximación de 0.86033377 para el punto crítico de la función f(x) = xcosx.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: Newton-Raphson
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Hallar los puntos críticos de una función.
• Aplicar el método de Newton-Raphson para resolver una ecuación.

2. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: Newton Raphson
ENUNCIADO
Hallar un punto crítico de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 aplicando el método de Newton Raphson
partiendo del valor inicial 𝑥0 = 1 y obteniendo cuatro cifras decimales exactas.

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PROBLEMA RESUELTO: Newton Raphson
En primer lugar calculamos la derivada de la función
𝑓´ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
A continuación para hallar los puntos críticos debemos igualar a cero la expresión anterior. Es decir debemos
hallar una solución de la ecuación:
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0
Antes de aplicar ningún método numérico debemos asegurarnos que la ecuación tiene solución, para ello
hacemos uso del Teorema de Bolzano
Buscaremos dos valores a y b de tal forma que 𝑓´(𝑥) tenga distinto signo en ellos. Para no equivocarnos con la
notación, denotaremos por 𝑔 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

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𝑔 0 = 1 > 0
𝑔 1 = 𝑐𝑜𝑠1 − 𝑠𝑒𝑛1 < 0 − 0.3 < 0
∃𝑐 ∈ 0,1 ; 𝑔 𝑐 = 0
En consecuencia tenemos que hay una solución a la ecuación g 𝑥 = 0 en el intervalo (0,1)
Aplicamos por lo tanto el método de Newton Raphson a la función g 𝑥 partiendo del valor inicial 𝑥0 = 1.
Si no recuerdas el método de Newton Raphson puedes recordarlo pulsando en el enlace de la derecha
Recordamos que el método nos da la sucesión de aproximaciones a la raíz definida como sigue:
𝑥0 (𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙)
𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛−1 −
𝑔 𝑥 𝑛−1
𝑔´ 𝑥 𝑛−1
∀𝑛 ≥ 1
Tª Bolzano

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PROBLEMA RESUELTO: Newton Raphson
Antes de calcular las iteraciones del método, necesitamos saber la expresión de 𝑔´(𝑥)
𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑔´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
A continuación realizamos las iteraciones del método.
𝑥0 = 1
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑔 𝑥0
𝑔´ 𝑥0
= 1 −
−0.301168678
−2.223244275
= 0.864536397
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑔 𝑥1
𝑔´ 𝑥1
= 0.864536397 −
−0.008741618
−2.067521873
= 0.86030833
𝑥3 = 𝑥2 −
𝑔 𝑥2
𝑔´ 𝑥2
= 0.860308315 −
0.0000524680
−2.0623988
=0.86033377

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PROBLEMA RESUELTO: Newton Raphson
Observemos que en las dos últimas aproximaciones coinciden 4 decimales, por lo que la última aproximación nos
da el resultado con 4 dígitos exactos.
Por lo tanto una aproximación con 4 decimales exactos del punto crítico de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 es
0.86033377
Si resolvemos la ecuación con un programa informático nos da la aproximación:
0.860333589019380 …
Lo que nos indica que la aproximación que hemos obtenido aplicando el método de Newton Raphson con
3 iteraciones nos da 6 decimales exactos.
FIN