Este video tutorial muestra cómo calcular la integral x lnx2 dx utilizando el método de integración por partes. Se eligen u = lnx2 y dv = x dx. Luego se integra por partes la subexpresión x lnxdx obtenida. Tras varios pasos de integración por partes, la solución final es x lnx2 dx = 2/3 x3 lnx2 - 4/3 lnx - 8/9 + K.

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PROBLEMA RESUELTO: INTEGRAL
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Calcular una integral utilizando el método de integración por partes

2. ENUNCIADO
Calcula la integral:
𝑥 𝑙𝑛𝑥 2 𝑑𝑥
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PROBLEMA RESUELTO: INTEGRAL

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PROBLEMA RESUELTO: INTEGRAL
Para realizar esta integral procederemos por el método de integración por partes:
𝑥 𝑙𝑛𝑥 2
𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 2
𝑑𝑢 =
2𝑙𝑛𝑥
𝑥
𝑑𝑥
𝑣 =
2
3
𝑥 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥
=
2
3
𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥 2
−
2
3
𝑥 𝑥 ·
2𝑙𝑛𝑥
𝑥
𝑑𝑥
Obsérvese que:
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥
1
2 𝑑𝑥 =
𝑥
3
2
3
2
=
2
3
𝑥 𝑥 + 𝐾
Por lo tanto tenemos que:
𝑥 𝑙𝑛𝑥 2 𝑑𝑥 =
2
3
𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥 2 −
4
3
𝑥 · 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥

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PROBLEMA RESUELTO: INTEGRAL
Vamos a realizar la integral que nos acaba de aparecer por separado utilizando de nuevo el método de integración
por partes:
𝑥 · 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑣 =
2
3
𝑥 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥
=
2
3
𝑥 𝑥 · 𝑙𝑛𝑥 −
2
3
𝑥 𝑥 ·
1
𝑥
𝑑𝑥
Por lo tanto nos queda:
𝑥 · 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 =
2
3
𝑥 𝑥 · 𝑙𝑛𝑥 −
2
3
𝑥𝑑𝑥 =
2
3
𝑥 𝑥 · 𝑙𝑛𝑥 −
2
3
·
2
3
𝑥 𝑥 + 𝐾

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PROBLEMA RESUELTO: INTEGRAL
En consecuencia tenemos que:
𝑥 · 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 =
2
3
𝑥 𝑥 · 𝑙𝑛𝑥 −
4
9
𝑥 𝑥 + 𝐾
Y por lo tanto:
𝑥 𝑙𝑛𝑥 2 𝑑𝑥 =
2
3
𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥 2 −
4
3
𝑥 · 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 =
2
3
𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥 2 −
4
3
2
3
𝑥 𝑥 · 𝑙𝑛𝑥 −
4
9
𝑥 𝑥 + 𝐾
Haciendo operaciones llegamos a:
𝑥 𝑙𝑛𝑥 2 𝑑𝑥 =
2
3
𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥 2 −
8
9
𝑥 𝑥 · 𝑙𝑛𝑥 −
16
27
𝑥 𝑥 + 𝑘
Sacando factor común tenemos:
𝑥 𝑙𝑛𝑥 2 𝑑𝑥 =
2
3
𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥 2 −
4
3
𝑙𝑛𝑥 −
8
9
+ 𝐾
FIN