Este video tutorial enseña cómo resolver un problema de optimización para encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima con una diagonal de 8 metros. Se obtiene una ecuación que relaciona las variables del problema usando el teorema de Pitágoras, se define la función objetivo a optimizar, y se calculan los extremos de la función para determinar que las dimensiones óptimas son 4.2 metros por 4.2 metros.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: optimización
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Obtener la ecuación que liga las incógnitas en un problema de optimización.
- Calcular la función que debemos de optimizar.
- Estudiar los extremos relativos de la función.
- A partir de los extremos relativos de la función, determinar el valor óptimo que
resuelve el problema.

2. ENUNCIADO:
De todos los rectángulos cuya diagonal mide 8 metros. ¿Cuáles son las dimensiones del que
tiene área máxima?
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PROBLEMA RESUELTO: OPTIMIZACIÓN

3. De todos los rectángulos cuya diagonal mide 8 metros. ¿Cuáles son las dimensiones del que
tiene área máxima?
Por el Teorema de Pitágoras tenemos que:
𝑥2 + 𝑦2 = 82
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y
x
8
Llamamos x e y a los lados del rectángulo.

4. Como nos dicen que el área debe ser máxima tenemos que
𝑥𝑦 = 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
Despejamos la variable y de la ecuación anterior y la sustituimos en la expresión que debemos optimizar. Llamaremos f(x) a
la expresión resultante.
𝑦 = 64 − 𝑥2
Por lo tanto
𝑓 𝑥 = 𝑥 64 − 𝑥2
Tenemos que buscar el máximo de la función anterior, por lo tanto derivamos la función y calculamos los puntos críticos.
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5. 𝑓´ 𝑥 = 64 − 𝑥2 + 𝑥
−2𝑥
2 64 − 𝑥2
Simplificando:
𝑓´ 𝑥 = 64 − 𝑥2 +
𝑥2
64 − 𝑥2
=
64 − 𝑥2
2
− 𝑥2
64 − 𝑥2
=
64 − 𝑥2 − 𝑥2
64 − 𝑥2
=
64 − 2𝑥2
64 − 𝑥2
Igualamos a cero para obtener los puntos críticos:
64 − 2𝑥2
64 − 𝑥2
= 0 64 − 2𝑥2
= 0 𝑥 = ± 32 = ±4 2
A continuación debemos estudiar si los puntos obtenidos son extremos relativos de la función. Podemos estudiar los
cambios de signo de la derivada o el signo de la segunda derivada en los puntos obtenidos.
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6. Vamos a estudiar los cambios de signo en la primera derivada. Observemos que el dominio de definición de la función es el
intervalo −8,8
Por lo tanto tenemos que:
• 𝑓 𝑥 es monótona decreciente en −8, −4 2 y en 4 2, 8
• 𝑓 𝑥 es monótona creciente en −4 2, 4 2
• 𝑓 𝑥 tiene un mínimo relativo en 𝑥 = −4 2 y vale −4 2, 𝑓 −4 2 = −4 2, 4 32
• 𝑓 𝑥 tiene un máximo relativo en 𝑥 = 4 2 y vale 4 2, 𝑓 4 2 = 4 2, 4 32
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−4 2 4 2 8−8
Signo f´(x)
𝑓´ −6 < 0 𝑓´ 0 > 0 𝑓´ 6 < 0
- -+
Nótese que 4 2 ≈ 5,65

7. Por tanto el rectángulo de área máxima cuya diagonal mide 8 metros es el que tiene por dimensiones:
𝑥 = 4 2𝑚 𝑦 = 4 2𝑚
FIN
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4 2
4 2
8