El documento describe el desarrollo en serie de Taylor del polinomio x4 − 5x3 − x2 − 3x + 4 centrado en x = 4. Se calculan las derivadas necesarias del polinomio hasta el cuarto orden, ya que las derivadas superiores son cero. El polinomio resultante en potencias de x-4 se expresa como p(x) = -88 + 5(x - 4) + 35(x - 4)² + 11(x - 4)³ + (x - 4)⁴.

1. DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR
FdeT
Enunciado: Expresa el polinomio 𝑥4
− 5𝑥3
− 𝑥2
− 3𝑥 + 4 en potencias de x-4.

2. DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR
FdeT
Enunciado: Expresa el polinomio 𝑥4
− 5𝑥3
− 𝑥2
− 3𝑥 + 4 en potencias de x-4.
Utilizaremos el desarrollo en serie de Taylor centrado en el punto 𝑥 = 4, para expresar este polinomio en
potencias de x-4.
Como el polinomio tiene grado 4, tenemos que llegar hasta grado 4, ya que la derivada de orden superior a 4 es
cero.
Denotaremos por 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 5𝑥3 − 𝑥2 − 3𝑥 + 4

3. DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR
FdeT
Enunciado: Expresa el polinomio 𝑥4
− 5𝑥3
− 𝑥2
− 3𝑥 + 4 en potencias de x-4.
Utilizaremos el desarrollo en serie de Taylor centrado en el punto 𝑥 = 4, para expresar este polinomio en
potencias de x-4.
Como el polinomio tiene grado 4, tenemos que llegar hasta grado 4, ya que la derivada de orden superior a 4 es
cero.
Denotaremos por 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 5𝑥3 − 𝑥2 − 3𝑥 + 4
El desarrollo de Taylor viene determinado por:
𝑝 𝑥 = 𝑓 4 +
𝑓´ 4
1!
𝑥 − 4 +
𝑓´´(4)
2!
(𝑥 − 4)2
+
𝑓´´´(4)
3!
(𝑥 − 4)3
+
𝑓 𝐼𝑉) 4
4!
(𝑥 − 4)4

4. DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR
FdeT
Calculamos las derivadas sucesivas de la función:
𝑓 𝑥 = 𝑥4
− 5𝑥3
− 𝑥2
− 3𝑥 + 4 𝑓 4 = −88
𝑓´ 𝑥 = 4𝑥3 − 15𝑥2 − 2𝑥 − 3 𝑓´ 4 = 5
𝑓´´ 𝑥 = 12𝑥2 − 30𝑥 − 2 𝑓´´ 4 = 70
𝑓´´´ 𝑥 = 24𝑥 − 30 𝑓´´´ 4 = 66
𝑓 𝐼𝑉) 𝑥 = 24 𝑓 𝐼𝑉) 4 = 24

5. DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR
FdeT
Por lo tanto tenemos que:
𝑝 𝑥 = 𝑓 4 +
𝑓´ 4
1!
𝑥 − 4 +
𝑓´´(4)
2!
(𝑥 − 4)2+
𝑓´´´(4)
3!
(𝑥 − 4)3+
𝑓 𝐼𝑉) 4
4!
(𝑥 − 4)4
𝑝 𝑥 = −88 +
5
1
𝑥 − 4 +
70
2
(𝑥 − 4)2+
66
6
(𝑥 − 4)3+
24
24
(𝑥 − 4)4
En consecuencia tenemos que
𝑝 𝑥 = −88 + 5 𝑥 − 4 + 35(𝑥 − 4)2
+11(𝑥 − 4)3
+(𝑥 − 4)4
FIN