Este video tutorial resuelve dos problemas relacionados con matrices. En el primer problema, se determinan las matrices M y N que satisfacen dos ecuaciones matriciales dadas. En el segundo problema, se calcula el determinante de una matriz M cuyas columnas están relacionadas con las de otra matriz G dada.

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PROBLEMA RESUELTO: matrices
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Resolver un sistema de ecuaciones matricial.
• Calcular un determinante utilizando las propiedades de los determinantes.

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PROBLEMA RESUELTO: matrices
ENUNCIADO
Considera las matrices siguientes:
𝐴 =
1 −4
−2 −1
𝐵 =
1 2
−1 0
𝐷 =
4 2
−2 −3
Se pide:
a) Determina las matrices M y N tales que
𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 = 𝐷
𝐴𝑀 = 𝑁
b) Se considera una matriz G de orden 3 cuyas columnas se representan por 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 y su
determinante vale 2. Considere ahora la matriz M cuyas columnas son
𝐶3, 𝐶3 + 𝐶2, 3𝐶1 Calcula el determinante de M.

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a) Determina las matrices M y N tales que
𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 = 𝐷
𝐴𝑀 = 𝑁
Si sustituimos el valor de AM en la primera ecuación tenemos:
𝑁 + 𝐵𝑁 = 𝐷
De donde sacando factor común por la derecha N, se llega a:
𝐼 + 𝐵 𝑁 = 𝐷
Si existe la inversa de la matriz 𝐼 + 𝐵 se tiene que 𝑁 = 𝐼 + 𝐵 −1 𝐷
Ten cuidado en la forma en que
sacas factor común, ya que el
producto de matrices no es
conmutativo.
Ten cuidado al despejar la matriz N,
si (B-I) multiplica a N por la izquierda
la inversa también debe estar
multiplicando por la izquierda

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Calculamos 𝐵 − 𝐼 −1
𝐼 + 𝐵 =
1 0
0 1
+
1 2
−1 0
=
2 2
−1 1
Calculamos a continuación su inversa, para ello recordamos que una matriz tiene inversa si su determinante es no
nulo, y en tal caso su inversa viene determinada por:
(𝐼 + 𝐵)−1
=
1
𝐼 + 𝐵
𝐴𝑑𝑗(𝐼 + 𝐵) 𝑡
𝐼 + 𝐵 =
2 2
−1 1
= 4 ≠ 0 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐼 + 𝐵

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Calculamos la matriz adjunta:
𝐴𝑑𝑗 𝐼 + 𝐵 =
1 1
−2 2
Y en consecuencia:
(𝐼 + 𝐵)−1=
1
𝐼 + 𝐵
𝐴𝑑𝑗(𝐼 + 𝐵) 𝑡 =
1
4
1 1
−2 2
𝑡
=
1
4
1 −2
1 2
Por lo tanto tenemos que:
𝑁 = 𝐼 + 𝐵 −1 𝐷 =
1
4
1 −2
1 2
4 2
−2 −3
=
1
4
8 8
0 −4
=
2 2
0 −1

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En consecuencia podemos calcular la matriz M, para ello basta con considerar:
𝐴𝑀 = 𝑁
Por lo tanto 𝑀 = 𝐴−1
𝑁
Calculamos el determinante de A para estudiar si tiene inversa:
𝐴 =
1 −4
−2 −1
= −9 ≠ 0
Por tanto existe la inversa de A y viene dada por:
𝐴−1
=
1
𝐴
𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝑡
=
1
−9
−1 2
4 1
𝑡
=
1
9
1 −4
−2 −1

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Por lo tanto tenemos que:
𝑀 = 𝐴−1
𝑁 =
1
9
1 −4
−2 −1
2 2
0 −1
=
1
9
2 6
−4 −3
Así tenemos que la solución viene dada por:
𝑀 =
1
9
2 6
−4 −3
𝑁 =
2 2
0 −1

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b) Se considera una matriz G de orden 3 cuyas columnas se representan por 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 y su determinante vale 2.
Considere ahora la matriz M cuyas columnas son 𝐶3, 𝐶3 + 𝐶2, 3𝐶1 Calcula el determinante de M.
Para resolver este apartado vamos a utilizar las propiedades de los determinantes.
La matriz G viene representada por 𝐺 = 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 , donde 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 representan las columnas de G. Según lo
indicado en el enunciado el determinante de G vale 2, por lo tanto:
𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 = 2
Construimos la matriz M, definida como se indica en el enunciado, esto es:
𝑀 = 𝐶3, 𝐶3 + 𝐶2, 3𝐶1

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Calculamos a continuación el determinante de M.
𝑀 = 𝐶3, 𝐶3 + 𝐶2, 3𝐶1 = 𝐶3, 𝐶3, 3𝐶1 + 𝐶3, 𝐶2, 3𝐶1 =
= 𝐶3, 𝐶2, 3𝐶1 = 3 𝐶3, 𝐶2, 𝐶1 = −3 𝐶2, 𝐶3, 𝐶1 = 3 𝐶2, 𝐶1, 𝐶3 = −3 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 = −3 𝐺 = −3 2 = −6
Donde hemos utilizado que al permutar dos columnas se cambia el signo del determinante.
De esta forma tenemos que:
𝐺 = −6
FIN
Este determinante es cero
porque tiene dos columnas
iguales
0