El documento plantea un problema sobre un sistema de numeración desconocido, donde se tienen dos números 302 y 402, cuyo producto es 75583 en base 9. Mediante la conversión a base 10 y la resolución de una ecuación bicuadrada, se determina que la base de numeración desconocida es 8. Se llega a esta conclusión tras descartar soluciones negativas en el proceso.

1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
FdeT
Enunciado:
En un sistema de numeración cuya base se desconoce, dos números se escriben 302 y 402. El producto de
ambos números es 75583 en el sistema de numeración de base 9. Halla la base de numeración desconocida.

2. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
FdeT
Enunciado:
En un sistema de numeración cuya base se desconoce, dos números se escriben 302 y 402. El producto de
ambos números es 75583 en el sistema de numeración de base 9. Halla la base de numeración desconocida.
En primer lugar vamos a denotar por n al sistema de numeración en el que están escritos los dos primeros
números
Entonces tenemos que:
302 𝑛) 402 𝑛) = 755839)

3. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
FdeT
Expresamos todos los números que aparecen en el sistema de numeración de base 10.
Para ello recordamos que un número 𝑁 = 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑛) = 𝑓 + 𝑒𝑛1
+ 𝑑𝑛2
+ 𝑐𝑛3
+ 𝑏𝑛4
+ 𝑎𝑛5
en base 10.
Por lo tanto si expresamos los números de la multiplicación anterior en base 10 tenemos:
2 + 3𝑛2
2 + 4𝑛2
= 3 + 8 9 1
+ 5 9 2
+ 5 9 3
+ 7 9 4
De donde obtenemos:
4 + 8𝑛2
+ 6𝑛2
+ 12𝑛4
= 50052

4. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
FdeT
Simplificando tenemos:
12𝑛4
+ 14𝑛2
− 50048 = 0 6𝑛4
+ 7𝑛2
− 25024
Resolviendo la ecuación bicuadrada tenemos:
𝑛2
=
−7 ± 49 + 600576
12
=
−7 ± 775
12
La única solución posible para 𝑛2
es 64, ya que la otra solución que hemos obtenido es negativa.
De aquí obtenemos que 𝑛 = ± 64 = ±8
Como n es un sistema de numeración, n no puede ser negativo. Por tanto 𝑛 = 8
Simplificando tenemos:
12𝑛4
+ 14𝑛2
− 50048 = 0 6𝑛4
+ 7𝑛2
− 25024
Resolviendo la ecuación bicuadrada tenemos:
𝑛2
=
−7 ± 49 + 600576
12
=
−7 ± 775
12
La única solución posible para 𝑛2
es 64, ya que la otra solución que hemos obtenido es negativa.
De aquí obtenemos que 𝑛 = ± 64 = ±8
Como n es un sistema de numeración, n no puede ser negativo. Por tanto 𝑛 = 8
−7 + 775
12
= 64
−7 − 775
12
=
−782
12