Optimizacion de funcion
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El documento trata sobre la optimización de funciones. Explica cómo encontrar los valores máximos y mínimos de funciones reales de variable real mediante el uso de derivadas. Proporciona ejemplos resueltos de cómo maximizar ingresos e ingresos totales y minimizar costos promedios. También cubre conceptos como valores críticos, el teorema del valor extremo y el criterio de la segunda derivada.
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- 1. Optimización de funciones Dirección de Formación Básica
- 2. Optimización de funciones Habilidades a desarrollar Al terminar el presente tema, Usted estará en la capacidad de: 1) Resolver problemas de optimización de funciones reales de variable real haciendo uso de la derivada.
- 3. Optimización de funciones Ejemplo. La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es 푝 = 80 − 푞 4 , 0 ≤ 푞 ≤ 80 donde 푞 es el número de unidades y 푝 es el precio por unidad. ¿Para qué valor de 푞 se tendrá un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo? Resolución Sea 퐼 el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar. Como Ingreso = (precio)(cantidad) se tiene 퐼 = 푝푞 = 80 − 푞 4 ∙ 푞 퐼(푞) = −푞2 4 + 20푞 donde 0 ≤ 푞 ≤ 80. Se establece 퐼′ 푞 = 0 퐼′ 푞 = − 1 2 푞 + 20 = 0 − 1 2 푞 = −20 푞 = 40 0 40 80 Signo de 퐼′ 푞 Comportamiento de 퐼 푞 + − La cantidad que permite el máximo ingreso es 푞 = 40. El máximo ingreso es 퐼 40 = 400
- 4. Optimización de funciones Ejemplo. La función de costo total de un fabricante está dada por 퐶 = 퐶 푞 = 푞2 4 + 3푞 + 400, donde 퐶 es el costo total de producir 푞 unidades. ¿Para qué nivel de producción será el costo promedio por unidad un mínimo? ¿Cuál es ese mínimo? Resolución La cantidad a minimizar es el Costo promedio 퐶푃. La función de Costo promedio es 퐶푃 = 퐶(푞) 푞 se tiene 퐶푃 = 푞2 4 + 3푞 + 400 푞 퐶푃 푞 = 푞 4 + 3 + 400 푞 Vamos a obtener los valores críticos, se resuelve 퐶푃′ = 0 퐶푃′ 푞 = 1 4 − 400 푞2 = 0 1 4 = 400 푞2 푞 = 40 0 40 +∞ Signo de 퐶푃′ 푞 Comportamiento de 퐶푃 푞 − + La cantidad que permite minimizar el costo promedio es 푞 = 40. El costo promedio mínimo es 퐶푃 40 = 23
- 5. Optimización de funciones Extremos absolutos en un intervalo cerrado. Si una función 푓 es continua en un intervalo cerrado [푎; 푏], puede demostrarse que entre todos los valores de 푓(푥) de la función de 푥 en [푎; 푏], debe haber un valor máximo (absoluto) y un valor mínimo (absoluto). Esos dos valores se llaman valores extremos de 푓 en ese intervalo. Esta importante propiedad de las funciones continuas se llama teorema del valor extremo.
- 6. Optimización de funciones Teorema del valor extremo. Si una función es continua en un intervalo cerrado [푎; 푏], entonces la función tiene tanto un valor máximo como un valor mínimo en ese intervalo. Máximo absoluto 푎 푥1 푥2 푏 푥 푦 Máximo absoluto 푎 푥1 푏 푥 푦 Mínimo absoluto Mínimo absoluto
- 7. Optimización de funciones Procedimiento para encontrar los extremos absolutos de una función 풇 que es continua en [풂; 풃]. Paso 1. Encontrar los valores críticos de 푓. Osea, los valores de 푥 tal que 푓′ 푥 = 0. Paso 2. Seleccione los valores críticos que pertenecen al intervalo [푎; 푏] Paso 3. Evaluar 푓(푥) en los puntos extremos 푎 y 푏, y en los valores críticos sobre ]푎; 푏[. Paso 4. El valor máximo de 푓 es el mayor de los valores encontrados en el paso 3. El valor mínimo de 푓 es el menor de los valores encontrados en el paso 3.
- 8. Optimización de funciones Ejemplo. Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa específico de servicio de salud, entonces al cabo de 푡 años, 푛 miles de personas ancianas recibirán beneficios directos, donde 푛 = 푡3 3 − 6푡2 + 32푡, 0 ≤ 푡 ≤ 12 ¿Para qué valor de 푡 el número de beneficiados es máximo? Resolución Se establece 푑푛 푑푡 = 0, se tiene 푑푛 푑푡 = 푡2 − 12푡 + 32 = 0 푡 − 4 푡 − 8 = 0 푡 = 4 ó 푡 = 8 Como el dominio de 푛 es el intervalo cerrado [0; 12], el valor máximo absoluto de 푛 debe ocurrir en 푡 = 0, 4, 8 ó 12 푛 0 = 03 3 − 6(02) + 32 0 = 0 푛 4 = 43 3 − 6 42 + 32 4 = 160 3 푛 8 = 83 3 − 6 82 + 32 8 = 128 3 푛 12 = 123 3 − 6 122 + 32 12 = 96 Así, se tiene un máximo absoluto en 푡 = 12.
- 9. Optimización de funciones Recordemos que una herramienta que permite clasificar los puntos críticos es el criterio de la segunda derivada. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA. Sea 푓 una función tal que 푓′ 푐 = 0 y con una segunda derivada definida en 푐. • Si 푓′′ 푐 < 0 entonces 푓(푐) es un máximo relativo de 푓. • Si 푓′′ 푐 > 0 entonces 푓(푐) es un mínimo relativo de 푓. Observaciones: 1) El criterio no es concluyente en el caso que 푓′ 푐 = 0 y 푓′′ 푐 = 0. Se deberá usar el criterio de la primera derivada. 2) El criterio no puede usarse en el caso que la segunda derivada no exista en 푐. 3) Una de las bondades de este criterio es que permite clasificar los puntos críticos con sólo evaluar la función segunda derivada en los números críticos, a diferencia del criterio de la primera derivada que se debía evaluar la primera derivada a la izquierda y derecha del punto crítico y entre los puntos críticos vecinos.
- 10. Optimización de funciones Ejemplo El costo total de producir 푞 unidades de un artículo está dada por 퐶 푞 = 1000 + 300푞 + 1 푞2. Si la ecuación de demanda está dada por 푝 = 200 − 0,1푞, calcule las unidades que 20 deberá de producir a fin de obtener la máxima utilidad. Resolución Primero se debe de conseguir la función utilidad 푈 = 퐼 − 퐶. Derivamos 푈′ 푞 = − 3 10 푞 + 100 Se usa el criterio de la segunda derivada para clasificar el posible extremo 푈′′(푞) = − 3 10 Como 푈′′ es siempre negativa, así lo es en el número crítico. En este caso, como 퐼 = 푝푞 se tendrá 퐼 = 200 − 0,1푞 푞 Con ello, la utilidad es 푈 = 퐼 − 퐶 Se plantea 푈′ = 0 para conseguir los puntos críticos Por tanto en 푞 = 1000 3 se alcanza un máximo relativo y por existir un único, éste es absoluto.. 퐼 = 200푞 − 0,1푞2 푈(푞) = − 3 20 푞2 + 100푞 − 1000 − 3 10 푞 + 100 = 0 푞 = 1 000 3
- 11. Optimización de funciones Ejemplo El costo total de producir 푞 unidades de un artículo está dada por 퐶 푞 = 5000 + 4푞 + 1 2 푞2. Calcule las unidades que deberá de producir a fin de obtener el mínimo costo promedio por unidad. Resolución Primero debemos obtener el costo promedio. Este se calcula dividiendo el costo total entre 푞. Despejando 푞 − 5000 푞2 = − 1 2 10000 = 푞2 Eliminamos la solución negativa pues carece de sentido. 퐶 ′′(푞) = 10 000 푞3 Al evaluar tenemos 퐶 ′′ 100 = 10 000 10 3 > 0 Entonces en 푞 = 100 se alcanza un mínimo relativo. 퐶 푞 = 퐶(푞) 푞 = 5000 푞 + 4 + 1 2 푞 Ahora se calcula la derivada de 퐶 퐶 ′(푞) = − 5000 푞2 + 1 2 Planteamos 퐶 ′ 푞 = 0 para encontrar los valores críticos − 5000 푞2 + 1 2 = 0 ±100 = 푞 Usaremos el criterio de la segunda derivada Se concluye que cuando se producen 100 unidades tendremos el costo promedio mínimo.
- 12. Derivadas de ecuaciones paramétricas Bibliografía • [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson. • [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación.
Notas del editor
- Tema: Optimización de funciones. Dirección de Formación Básica
- Habilidades a desarrollar Al terminar el presente tema, Usted estará en la capacidad de: Resolver problemas de optimización de funciones reales de variable real haciendo uso de la derivada.
- Ejemplo. La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es 𝑝= 80−𝑞 4 , 0≤𝑞≤80 donde 𝑞 es el número de unidades y 𝑝 es el precio por unidad. ¿Para qué valor de 𝑞 se tendrá un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo? Resolución Sea 𝐼 el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar. Como Ingreso=(precio)(cantidad) se tiene 𝐼=𝑝𝑞= 80−𝑞 4 ∙𝑞 𝐼(𝑞)= − 𝑞 2 4 +20𝑞 donde 0≤𝑞≤80. Se establece 𝐼 ′ 𝑞 =0 𝐼 ′ 𝑞 =− 1 2 𝑞+20=0 − 1 2 𝑞=−20 𝑞=40 En el intervalo ]0; 40[ se observa que el signo de I’(q) es positivo, por tanto, I(q) es creciente. En el intervalo ]40; 80[ se observa que el signo de I’(q) es negativo, por tanto, I(q) es decreciente. Como la función I(q) sube a la izquierda de q = 40, pero baja inmediatamente a la derecha de este, entonces en q = 40 se alcanza un máximo relativo. La cantidad que permite el máximo ingreso es 𝑞=40. El máximo ingreso es 𝐼 40 =400
- Ejemplo. La función de costo total de un fabricante está dada por 𝐶=𝐶 𝑞 = 𝑞 2 4 +3𝑞+400, donde 𝐶 es el costo total de producir 𝑞 unidades. ¿Para qué nivel de producción será el costo promedio por unidad un mínimo? ¿Cuál es ese mínimo? Resolución La cantidad a minimizar es el Costo promedio 𝐶𝑃. La función de Costo promedio es 𝐶𝑃= 𝐶(𝑞) 𝑞 se tiene 𝐶𝑃= 𝑞 2 4 +3𝑞+400 𝑞 𝐶𝑃 𝑞 = 𝑞 4 +3+ 400 𝑞 Vamos a obtener los valores críticos 𝐶𝑃′=0 𝐶𝑃′ 𝑞 = 1 4 − 400 𝑞 2 =0 1 4 = 400 𝑞 2 𝑞=40 En el intervalo ]0; 40[ se observa que el signo de I’(q) es negativo, por tanto, I(q) es decreciente. En el intervalo ]40; + infinito[ se observa que el signo de I’(q) es positivo, por tanto, I(q) es creciente. Como la función CP(q) decrece a la izquierda de q = 40, pero crece inmediatamente a la derecha de este, entonces en q = 40 se alcanza un mínimo relativo. La cantidad que permite el mínimo costo promedio es 𝑞=40. El mínimo costo promedio es 𝐶𝑃 40 =23
- Extremos absolutos en un intervalo cerrado. Si una función 𝑓 es continua en un intervalo cerrado [𝑎;𝑏], puede demostrarse que entre todos los valores de 𝑓(𝑥) de la función de 𝑥 en [𝑎;𝑏], debe haber un valor máximo (absoluto) y un valor mínimo (absoluto). Esos dos valores se llaman valores extremos de 𝑓 en ese intervalo. Esta importante propiedad de las funciones continuas se llama teorema del valor extremo.
- Teorema del valor extremo. Si una función es continua en un intervalo cerrado [𝑎;𝑏], entonces la función tiene tanto un valor máximo como un valor mínimo en ese intervalo. De la figura de la izquierda se observa que el valor mínimo y el valor máximo de la función, se hallan para valores que se encuentran en el interior del intervalo cerrado [a; b]. Observe que el Mínimo absoluto es f(x_1) donde x_1 es un valor interior del intervalo cerrado [a; b] Observe que el Máximo absoluto es f(x_2) donde x_2 es un valor interior del intervalo cerrado [a; b] De la figura de la derecha se observa que el valor mínimo se encuentra para el extremo “a” del intervalo cerrado [a; b], en tanto, el máximo se encuentra para valor interior del intervalo cerrado [a; b]. Observe que el Mínimo absoluto es f(a) donde a es el extremo izquierdo del intervalo cerrado [a; b] Observe que el Máximo absoluto es f(x_1) donde x_1 es un valor interior del intervalo cerrado [a; b]
- Procedimiento para encontrar los extremos absolutos de una función 𝒇 que es continua en [𝒂;𝒃]. Paso 1. Encontrar los valores críticos de 𝑓. Osea, los valores de 𝑥 tal que 𝑓 ′ 𝑥 =0. Paso 2. Seleccione los valores críticos que pertenecen al intervalo [𝑎;𝑏] Paso 3. Evaluar 𝑓(𝑥) en los puntos extremos 𝑎 y 𝑏, y en los valores críticos sobre ]𝑎;𝑏[. Paso 4. El valor máximo de 𝑓 es el mayor de los valores encontrados en el paso 3. El valor mínimo de 𝑓 es el menor de los valores encontrados en el paso 3.
- Ejemplo. Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa específico de servicio de salud, entonces al cabo de 𝑡 años, 𝑛 miles de personas ancianas recibirán beneficios directos, donde 𝑛= 𝑡 3 3 −6 𝑡 2 +32𝑡, 0≤𝑡≤12 ¿Para qué valor de 𝑡 el número de beneficiados es máximo? Resolución Se establece 𝑑𝑛 𝑑𝑡 =0, se tiene 𝑑𝑛 𝑑𝑡 = 𝑡 2 −12𝑡+32=0 𝑡−4 𝑡−8 =0 𝑡=4 ó 𝑡=8 Como el dominio de 𝑛 es el intervalo cerrado [0; 12], el valor máximo absoluto de 𝑛 debe ocurrir en 𝑡=0, 4, 8 ó 12 𝑛 0 = 0 3 3 −6( 0 2 )+32 0 =0 𝑛 4 = 4 3 3 −6 4 2 +32 4 = 160 3 𝑛 8 = 8 3 3 −6 8 2 +32 8 = 128 3 12 = 12 3 3 −6 12 2 +32 12 =96 Así, se tiene un máximo absoluto en 𝑡=12.
- Recordemos que una herramienta que permite clasificar los puntos críticos es el criterio de la segunda derivada. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA. Sea 𝑓 una función tal que 𝑓 ′ 𝑐 =0 y con una segunda derivada definida en 𝑐. Si 𝑓 ′′ 𝑐 <0 entonces 𝑓(𝑐) es un máximo relativo de 𝑓. Si 𝑓 ′′ 𝑐 >0 entonces 𝑓(𝑐) es un mínimo relativo de 𝑓. Observaciones: El criterio no es concluyente en el caso que 𝑓 ′ 𝑐 =0 y 𝑓 ′′ 𝑐 =0. Se deberá usar el criterio de la primera derivada. El criterio no puede usarse en el caso que la segunda derivada no exista en 𝑐. Una de las bondades de este criterio es que permite clasificar los puntos críticos con sólo evaluar la función segunda derivada en los números críticos, a diferencia del criterio de la primera derivada que se debía evaluar la primera derivada a la izquierda y derecha del punto crítico y entre los puntos críticos vecinos.
- Ejemplo El costo total de producir 𝑞 unidades de un artículo está dada por 𝐶 𝑞 =1000+300𝑞+ 1 20 𝑞 2 . Si la ecuación de demanda está dada por 𝑝=200−0,1𝑞, calcule las unidades que deberá de producir a fin de obtener la máxima utilidad. Resolución Primero se debe de conseguir la función utilidad 𝑈=𝐼−𝐶. En este caso, como 𝐼=𝑝𝑞 se tendrá 𝐼= 200−0,1𝑞 𝑞 𝐼=200𝑞−0,1 𝑞 2 Con ello, la utilidad es 𝑈=𝐼−𝐶 𝑈(𝑞)=− 3 20 𝑞 2 +100𝑞−1000 Derivamos 𝑈 ′ 𝑞 =− 3 10 𝑞+100 Se plantea 𝑈 ′ =0 para conseguir los puntos críticos − 3 10 𝑞+100=0 𝑞= 1 000 3 Se usa el criterio de la segunda derivada para clasificar el posible extremo 𝑈 ′′ (𝑞)=− 3 10 Como 𝑈′′ es siempre negativa, así lo es en el número crítico. Por tanto en 𝑞= 1000 3 se alcanza un máximo relativo y por existir un único, éste es absoluto..
- Ejemplo El costo total de producir 𝑞 unidades de un artículo está dada por 𝐶 𝑞 =5000+4𝑞+ 1 2 𝑞 2 . Calcule las unidades que deberá de producir a fin de obtener el mínimo costo promedio por unidad. Resolución Primero debemos obtener el costo promedio. Este se calcula dividiendo el costo total entre 𝑞. 𝐶 𝑞 = 𝐶(𝑞) 𝑞 = 5000 𝑞 +4+ 1 2 𝑞 Ahora se calcula la derivada de 𝐶 𝐶 ′ (𝑞)=− 5000 𝑞 2 + 1 2 Planteamos 𝐶 ′ 𝑞 =0 para encontrar los valores críticos 5000 𝑞 2 + 1 2 =0 Despejando 𝑞 − 5000 𝑞 2 =− 1 2 10000= 𝑞 2 ±100=𝑞 Eliminamos la solución negativa pues carece de sentido. Usaremos el criterio de la segunda derivada 𝐶 ′′(𝑞)= 10 000 𝑞 3 Al evaluar tenemos 𝐶 ′′ 100 = 10 000 10 3 >0 Entonces en 𝑞=100 se alcanza un mínimo relativo. Se concluye que cuando se producen 100 unidades tendremos el costo promedio mínimo.
- Bibliografía [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson. [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación.