El documento describe el método de Lagrange para encontrar máximos y mínimos de funciones sujetas a restricciones. Se presenta un ejemplo de encontrar las dimensiones de un cilindro con volumen máximo sujeto a un área de superficie fija. Se resuelve usando el método de Lagrange para igualar la función de volumen y la restricción del área, resultando en un radio de 2 y una altura de 4. Adicionalmente, se define la matriz jacobiana y las condiciones de Kuhn-Tucker para problemas de optimización con restricciones.

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Realizado Por:
Corina Marcano
C.I: 24.438.142
Profesor: Ing. Diógenes Rodríguez
05/06/14

2. Método utilizado en la optimización para encontrar los máximos y
mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones su creador
fue Joseph Louis Lagrange nombrado el método en honor a el.
Este método introduce una nueva variable escalar desconocida, el
multiplicador de Lagrange, para cada restricción y forma una combinación
lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes.

3. Ejemplo:
Determine las dimensiones de un cilindro circular recto con
volumen máximo si el área de su superficie es de 24π (unidades de
longitud cuadradas).
Solución:
Del enunciado se saca que la función que se quiere maximizar,
en este caso, es la función volumen del cilindro circular recto. La
expresión de volumen para un cilindro circular recto es:
V(h,r) = πhr²
h: es la altura del cilindro
r: es el radio del cilindro

4. La restricción o la condición que debe cumplir la caja es que la
superficie de la caja será igual a 24π (unidades de longitud
cuadradas), escribimos la expresión de la superficie del envase
cilindro circular recto considerando el fondo del recipiente y su
“tapa”.
S(h,r)= 2 πr² + 2 πhr = 24 π
Observe que las expresiones del volumen y de la superficie
están dadas respecto a las mismas dos variables: h y r.

5. Determinamos los gradientes.
a) primero de la función a maximizar, la función volumen
Vh = πr²
Vr = 2 πhr
   hrrV rh  2,2
, 
b) luego el gradiente de la restricción
Sh =2πr
Sr = 4πr + 2 πh
   hrrS rh  24,2, 
La ecuación de Lagrange se escribe:
 hrr  2,2
=  hrr  24,2 
Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación
de cada componente:
πr² = λ 2πr …ec nº 1
2 πhr = λ (4πr + 2 πh) …ec nº 2, además de
2 πr² + 2 πhr = 24 π …ec nº 3

6. Despejando λ de las ecuaciones nº 1 y nº 2, se tiene:
22
2
r
r
r




  hr
hr
hr
hr




222
2



Al igualar ambas se obtiene:
hr
hrr


22
  hrhrr 22 
  hhr 22 
rh 2 , se sustituye en la ecuación nº 3 y se obtiene:
2 πr² + 2 π2rr = 24 π
2 πr² + 4πr² = 24 π
6 πr² = 24 π
r² = 4
r = ± 2, pero solo se considera el valor positivo ya que r
representa una distancia, así que el valor del radio r es 2, la
altura h=4.
Finalmente se concluye que las dimensiones que producen el
volumen máximo de un cilindro circular recto para una superficie de
24 π son: h = 4 ; r = 2

7. Es una matriz formada por las derivadas parciales de primer
orden de una función. Esta función está determinada por m funciones
reales: y1(x1,..., xn),..., ym(x1,..., xn). Las derivadas parciales de estas
(si existen) pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz
Jacobiana de F:
Esta matriz se denota por
o

8. Ejemplo:

9. En programación matemática, las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (también conocidas
como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para que la
solución de un problema de programación matemática séa óptima. Es una generalización del
método de los Multiplicadores de Lagrange.
Donde f (x) es la función objetivo a minimizar, gi (x) son las restricciones de desigualdad y
hj (x) son las restricciones de igualdad, con m y l el número de restricciones de desigualdad e
igualdad, respetivamente.
Problema general de optimización:

10. Hemos
L (x 1, x 2) = - (x 1 - 4) 2 - (x 2 - 4) 2 - λ 1 (x 1 + x 2 - 4) - λ 2 (x 1 + 3
x 2 - 9) .
Las condiciones de Kuhn-Tucker son
2 (x 1 - 4) - λ 1 - λ 2
=
0
-2 (X 2 - 4) - λ 1 - 2 3λ
=
0
x 1 + x 2 ≤ 4, λ 1 ≥ 0 y λ 1 (x 1 + x 2 - 4)
=
0
x 1 + 3 x 2 ≤ 9, λ 2 ≥ 0, y λ 2 (x 1 + 3 x 2 - 9)
=
0.

11. El procedimiento es similar al utilizado para las funciones de una sola variable.
Se dice que una función z=f(x,y) tiene un máximo relativo en x=a y y=b, si para todos
los puntos (x,y) “suficientemente cercanos” a (a,b): f(a,b) >= f(x,y)