1. 1:69) Demostrar P&~Q 1:70) Demostrar ~ (~S&~T)= (S∨T)
Premisas: Premisas:
1) P→(Q→ R) (H) 1) P→(Q∨) ( H)
2) ~(P→ R) (H) 2) (P→Q)→S (H)
Solución: 3) (P→R)→S (H)
Ley negación Condicional en 1 Solución:
[P→ (Q→ R)]=~P& (Q→ R) (3) Ley negación Condicional en 1
Simplificación en 3 [P→ (Q∨) ]= ~P& (Q∨ R ) (4)
~P&(Q→ R) Ley negación Condicional en 2
(Q→R) [(P→Q) →S]= ~ (P→Q) & S (5)
Ley negación condicional en 4 Simplificación en 5
(Q→R)=~Q&R (5) ~(P→Q)& S
Simplificación en 5 ~ (P→Q) (6)
~Q&R Ley negación Condicional en 7
~Q (6) ~ (P→Q)=P&~Q (8)
Ley negación Condicional en 2 Simplificación en 8
~ (P→ R)=P&~R (7) P~&Q
Simplificación en 7 ~Q (9)
P&~R Simplificación en 4
P (8) ~P&(Q∨ R)
Adjunción 8 y 6 (Q∨ R ) (10)
P Conmutatividad en 10
~Q (Q∨ R ) = (R∨Q ) (11)
P&Q MTT en 11 y 9
L.q.q.d (R∨ Q )
~Q
2:2.1) Simbolización R (12)
Simplificación en 4
P: Los maracucho son Alegres.
~P&(Q∨ R)
Q: Maracaibo es una Ciudad Alegre.
R: Es una Ciudad Feliz. ~P (13)
Adición en 13
Premisas: Demostrar R ~P
1) (P→Q) MPP en 1 y 3 MPP en 2 y 4 ~P∨R (14)
Ley Condicional Disyunción
2) (Q→ R) (P→Q) (Q→ R)
( ~P∨R)= (P→R) (15)
3) P P Q
MPP en 3 y 15
R Q (4) R (5) L.q.q.d
(P→R)→S
2:2.2) Simbolización ( P→R)
S (16)
P: Un Ángulo de un Triangulo es mayor que noventa Adición en 16
grados. S
Q: La Suma de los Otros ángulos es mayor que noventa (S ∨ Τ) (17)
grados. Ley de Morgan en 17
Premisas: Demostrar ~P (S ∨ Τ) = ~ (~S&~T) (18)
1) P→Q) MTT 1 y 2 L.q.q.d
2)~Q (P→Q) 1:67) Demostrar (Q∨P) → [R→~
~P ~Q ~P (3) L.q.q.d
(~S∨~T)]
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2. Premisas: Premisas:
1) (P∨Q) → [R→ (S&T] (H) 1) P (H)
Solución: 2) (Q∨R) (H)
Ley negación Condicional en 1 Solución:
{(P∨Q) → [R→ (S&T]} =~ (P∨Q) & [R→ (S&T)] 2 Adjunción 1 y 2
Simplificacion en 2 P
~ (P∨ Q) & [R→ (S&T)] (Q∨ R)
~ (P∨Q) (3) P & (Q∨R) (3)
R→ (S&T) (4) Distributividad en 3
Ley de Morgan en 3 [P & (Q∨R)]= (P&Q) ∨ (P&R)
~ (P∨Q) = (~ P&~Q) (5) L.q.q.d
Conmutatividad en 5
(~ P&~Q)= (~Q&~ P) (6) 2:2.2) Simbolización de la Variables
Ley de Morgan en 6 proposicionales.
(~Q&~ P)= ~ (Q∨ P) (7) P: Un Ángulo de un Triangulo es mayor que
Ley de Transposición en 4 noventa grados.
R→ (S&T) = ~(S&T) → ~R (8) Q: La Suma de los Otros ángulos es mayor que
Ley negación Condicional en 8 noventa grados.
[~(S&T) → ~R]= [~ (~(S&T)) &~ R] (9) Premisas: Demostrar ~P
Simplificacion en 9 1) (P→Q) MTT 1 y 2
[~ (~(S&T)) &~ R] 2)~Q (P→Q)
~ (~(S&T)) (10) ~P ~Q
~R (11) ~P (3) L.q.q.d
Ley de Morgan en 10
~ (~(S&T))= ~ (~S∨~T) (12) 2:2.4) Simbolización de la Variables
Adjunción 11 y 12 proposicionales.
~R P: La Cuidad de valencia es una ciudad del centro de
~ (~S∨ ~T) Venezuela.
~ R&~ (~S∨~T) (13) Q: La Cuidad de valencia es una ciudad del centro de
Ley negación Condicional en 13 España.
[~ R& ~ (~S∨~T)] = [R→ (~S∨~T)] (14) R: Sus Habitantes se llaman valencianos.
Adjunción 7 y 14 S: Sus Habitantes se llaman Maracuchos.
~ (Q∨ P) Premisas:
[R→ (~S∨ ~T)] 1) (P∨Q) (H) Demostrar ~S
~ (Q∨ P) & [R→ (~S∨~T)] (15) 2) (P∨Q) →R (H) MPP en 2 y 1
Ley negación Condicional en 15 3) R→~S ( H) (P∨Q) →R
{~ (Q∨ P) & [R→ (~S∨~T)]}= (Q∨P) → [R→~ (~S∨~T)] ~S (P∨ Q)
L.q.q.d R (4)
MPP en 3 y 4
R→~S
R
~S L.q.q.d
1:68) Demostrar (P&Q) ∨ (P&R) 1:61) Demostrar (P∨Q) → T
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3. Premisas: Premisas:
1) ~ (S∨Τ) →~P (H) 1) (P→Q)
2) ~ S (H) Solución:
3) Q → ~R (H) Ley Condicional Disyunción en 1
4) ~ T→ R (H) (P→Q)= ~P∨Q
Solución: L.q.q.d
Ley negación Condicional en 3
(Q → ~R)= ~ Q&~R (5) 3:2.1) Simbolización de las variables
Simplificacion en 5 proposicionales.
~Q&~R P: Caracas es la capital de Venezuela.
~R (6) Q: Sus Habitantes son venezolanos.
Ley de Transposición en 4 Premisas: Demostrar Q
(~ T→ R)= (~R→ T) (7)
MPP 7 y 6 1) (P→Q) (H) MPP en 1 y 2
~R→ T 2) P (H) P→Q
~R Q P
T (8) Q (3) L.q.q.d
Adición en 2
~S 3:2.3) Simbolización de las variables
~ S∨~T (9) proposicionales.
Ley de Morgan en 9
(~ S∨~T)= ~ (S∨T) (10) P: Habito en la capital de los estados unidos.
MPP 1 y 10 Q: Vivo en Caracas.
~ (S∨T) →~P Premisas: Demostrar ~P
~ (S∨ T) 1) (P→~Q) (H) MTT 1 y 2
~P (11) 2) P (H) (P→~Q)
Simplificacion en 5 ~P P
~Q&~R ~Q (3) L.q.q.d
~Q (12)
Adjunción 11 y 12
~P
~Q
~P&~Q (13)
Ley de Morgan en 13
(~P&~Q)= ~ (P∨Q) (14)
Adjunción 14 y 8
~ (P∨Q)
T
[~ (P∨Q) &T] (15)
Ley negación Condicional en 15
[~ (P∨Q) &T]= (P∨Q) → T
L.q.q.d
1:52) Demostrar S
1:62) Demostrar ~P∨Q Premisas:
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4. 1) (P∨ Q) (H) 1) (P∨ Q) (H)
2) P→ (R→ S) (H) 2) ~P∨ R (H)
3) R& (Q→ S) (H) 3) (R→ S) (H)
Solución: 4) ~Q∨ R (H)
Simplificacion en 3 Solución:
R& (Q→ S) Ley Condicional Disyunción en 2
(Q→ S) (4) (~P∨ R) = (P→R) (5)
Ley Negación Condicional en 4 Ley Negación Condicional en 5
(Q→ S)= ~Q& S (5) (P→R) = (~P&R) (6)
Simplificacion en 5 Simplificacion en 6
~Q& S (~P&R)
~Q (6) ~P (7)
MTP en 1 y 6 MTP en 1 y 6
(P∨ Q) (P∨ Q)
~Q ~P
P (7) Q (8)
MPP en 2 y 7 Ley Condicional Disyunción en 4
P→ (R→ S) (~Q∨ R)= (Q→R) (9)
P MPP en 9 y 8
(R→ S) (8) Q→R
Simplificacion en 3 Q
R& (Q→ S) R (10)
R (9) MPP en 3 y 10
MPP en 8 y 9 (R→ S)
(R→ S) R
R S (11)
S (10) L.q.q.d Adición 11
S
4:1.1) Simbolización de las Variables proposicionales. (S∨Τ) (12)
P: El Hielo se derrite. Conmutatividad (12)
Q: Se transformará en agua. (S∨Τ) = (Τ ∨ S) (13) L.q.q.d
R: Los Ríos se desbordan.
Premisas: Demostrar (P→ R) 4:1.2) Simbolización de las Variables
1) (P→Q) (H) Silogismo Hipotético en 1 y 2 proposicionales.
2) (Q→R) ( H) (P→Q) P: Mérida es una Ciudad Fría.
(P→ R) (Q→R) Q: Sus Habitantes se Visten con ropa de lana.
(P→ R) (3) R: Tendrán Frío.
L.q.q.d Premisas: Demostrar (P→ R)
1) (P→Q) (H) Silogismo Hipotético en 1 y 2
2) (Q→R) ( H) (P→Q)
(P→ R) (Q→R)
(P→ R) (3)
L.q.q.d
1:53) Demostrar (T∨ S) 1:58) Demostrar S
Premisas: Premisas:
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5. 1) (M∨ N) (H) 1) (P∨ Q) (H)
2) M (P∨Q) (H) 2) R→~Q (H)
3) ~Q&R ( H) 3) (R∨T) (H)
4) (P→T) (H)
4) P S (H)
Solución:
5) N (~R∨ S) (H) Ley Condicional Disyunción en 3
Solución: (R∨T) = (~R→T) (5)
Leyes De Bicondicionalidad en 2,4 y 5 Ley Negación Condicional en 5
[M ↔ (P∨Q)]= [M→ (P∨Q)] & [(P∨Q) → M] (6) (~R→T)= (R&T) (6)
(P↔ S)= (P→ S) & (S→P) (7) Simplificacion en 6
[N↔ (~R∨ S)]= [N→ (~R∨ S)] & [(~R∨ S) → N] (8) (R&T)
R (7)
Simplificacion en 8
MPP en 2 y 7
[N→ (~R∨ S)] & [(~R∨ S) → N] R→~Q
[N→ (~R∨ S)] (9) R
Ley Negación Condicional en 9 ~Q (8)
[N→ (~R∨ S)]= ~N& (~R∨ S) (10) MTP 1 y 8
Simplificacion en 10 (P∨ Q)
~Q
~N& (~R∨ S)
P (9)
~N (11) MPP en 4 y 9
MTP en 1 y 11 P→T
(M∨ N) P
~N T (10) L.q.q.d
M (12)
Simplificacion en 6 3:2.3) Simbolización de las Variables proposicionales.
P: Llueve.
[M→ (P∨ Q)] & [(P∨ Q) → M]
Q: Hace Frio.
[M→ (P∨Q)] (13) R: Iremos al cine.
MPP en 13 y 12 Premisas: Demostrar ~R
M→ (P∨Q) 1) (P&Q) →~R (H) MPP en 1 y 2
M 2) (P&Q) (H) (P&Q) →~R
(P∨Q) (14) ~R (P&Q)
Simplificacion en 3 ~R (3) L.q.q.d
~Q&R
~Q (15) 3:2.4) Simbolización de las Variables proposicionales.
P: Estudio.
MTP en 14 y 15
Q: Apruebo los exámenes.
(P∨Q) R: Me graduaré de Médico.
~Q S: Podré salvar muchas vidas humanas.
P (16) Premisas: MPP en 2 y 5
Simplificacion en 7 1) (P→Q) (H) Q→R
2) Q→R (H) Q
(P→ S) & (S→P) 3) R→S (H) R (6)
P→ S (17) 4)P ( H) MPP en 3 y 6
MPP en 17 y 16 S R→S
P→ S Demostrar S R
MPP en 1 y 4 S (7) L.q.q.d
P (P→Q)
S (18) P
L.q.q.d Q (5)
1:59) Demostrar T 1:50) Demostrar (S∨Τ)
Premisas:
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6. Premisas: Premisas:
1) (P∨Q) (H) 1) (P→ R) (H)
2) ~Q&R (H) 2) ~R∨ S (H)
3) (P &R ) → S (H) 3) (P↔Q) (H)
Solución: 4) Q (H)
Simplificacion en 2 Solución:
~Q&R Leyes de Bicondicionalidad en 3
~Q (4) (P↔ Q) = (P→Q) & (Q→ P) (5)
R (5) Simplificacion en 5
MTT en 1 y 4 (P→Q) & (Q→ P)
(P∨ Q) (Q→ P) (6)
~Q MPP en 6 y 4
P (6) (Q→ P)
Adjunción en 6 y 5
Q
P
P (7)
R
MPP en 1 y 7
(P&R ) (7)
(P→ R)
P
MPP en 3 y 7
R (8)
(P &R ) → S Ley Condicional disyunción en 2
(P&R ) (~R∨ S) = (R→S) (9)
S (8) MPP en 9 y 8
Adición en 8 (R→S)
S R
(S∨Τ) (9) S (10) L.q.q.d
L.q.q.d
4:1.4) Simbolización de las Variables
4:1.3) Simbolización de las Variables proposicionales. proposicionales.
P: Barquisimeto es la Ciudad de los Crepúsculos. P: Barcelona de Venezuela.
Q: Es una Ciudad maravillosa. Q: Barcelona de España.
R: Es una Ciudad bella. R: Son de Nombre Homónimos
Premisas: S: Tienen Cierta relación entre sí.
1) (P→Q) (H) Premisas:
2) Q→R ( H) 1) (P&Q) → R (H)
(P→R) 2) Q→R (H)
Demostrar (P→R) (P&Q) → S
Silogismo Hipotético en 1 y 2 Demostrar (P&Q) → S
(P→Q) Silogismo Hipotético en 1 y 2
Q→R
(P&Q) → R
(P→R) L.q.q.d Q→R
(P&Q) → S L.q.q.d
1:51) Demostrar S
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7. 1:48) Demostrar (~P∨Q) ∨ (~Q∨ P) 1:49) Demostrar (S&P)
1) (P→Q) ∨ (Q → P) (H) Premisas:
Solución: 1) (P&Q) (H)
Ley de Morgan en 1 2) ~ Q∨R (H)
[(P→Q) ∨ (Q → P)] = (P→Q) & (Q→P) (2) 3) (R→S) (H)
Simplificacion en 2 Solución:
(P→Q) & (Q → P) Simplificacion en 1
(P→Q) (3) (P&Q)
(P→Q) (4) P (4)
Ley Condicional disyunción en 3 y 4 Ley Condicional disyunción en 2
(P→Q) = (~P∨Q) (5) (~Q∨R) = (Q→R) (5)
(Q→P) = (~Q∨ P) (6) Ley Negación Condicional en 5
Adición en 5 (Q→R) = (~Q&R) (6)
(~P∨ Q) Simplificacion en 6
(~P∨Q) ∨ (~Q∨ P) (7) L.q.q.d (~Q&R)
R (7)
4:1.4) Simbolización de las Variables proposicionales. MPP en 3 y 7
P: Barcelona de Venezuela. (R→S)
Q: Barcelona de España. R
R: Son de Nombre Homónimos S (8)
S: Tienen Cierta relación entre sí. Adjunción en 8 y 4
Premisas: S
1) (P&Q) → R (H) P
2) Q→R (H) (S&P) (9) L.q.q.d
(P&Q) → S
4:1.5) Simbolización de las Variables
Demostrar (P&Q) → S
proposicionales.
Silogismo Hipotético en 1 y 2 P: Soy Ciclista
(P&Q) → R Q: Soy Futbolista.
Q→R R: Soy un Atleta.
(P&Q) → S L.q.q.d S: Tengo Buena Salud Física.
Premisas:
1) (P∨Q) → R (H)
2) R → S ( H)
(P∨Q) → S
Demostrar (P∨Q) → S
Silogismo Hipotético en 1 y 2
(P∨Q) → R
R→S
(P∨Q) → S L.q.q.d
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8. 1:62) Demostrar (~P∨Q)
Premisas: 2:2.7) Simbolización de las Variables proposicionales.
1) (P→Q) (H) P: El Arrendatario se Comporta Correctamente.
Solución: Q: El Inquilino es Responsable de las Reparaciones.
Ley condicional Disyunción en 2 R: El Arrendatario se Beneficia.
(P→Q) = (~P∨Q) (2) L.q.q.d Premisas:
1) P→Q (H)
2) Q →R ( H)
1:63) Demostrar R → (P→ Q)
3) ~R (H)
Premisas:
~P
1) P→ (R→Q) (H)
Solución: Demostrar ~P
MTT en 2 y 3
Ley Negación Condicional en 1
Q →R
[P→ (R→ Q)] = ~P& (R→ Q) (2)
~R
Simplificacion en 2
~Q (4)
~P & (R→ Q) MTT en 1 y 4
~P (3) P→Q
(R→ Q) (4) ~Q
Ley Negación Condicional en 4
~P (5)
(R→ Q) = (~R&Q) (5)
L.q.q.d
Simplificacion en 5
(~R&Q)
~R (6)
Q (7)
Adición en 3
~P
(~P∨ Q) (8)
Ley Condicional en 8
(~P∨ Q) = (P→Q) (9)
Adición en 6
~R
~R ∨ (P→Q) (10)
Ley Condicional Disyunción en 10
[~R ∨ (P→Q)] = [R → (P→ Q)] (11)
L.q.q.d
1:64) Demostrar ~ (P&~Q)
Premisas:
1) (P→Q) (H)
Solución:
Ley Condicional Conjunción en 1
(P→Q) = ~ (P&~Q) (2)
L.q.q.d
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9. 1:54) Demostrar (P&R) 1:55) Demostrar P→ (R→(S&Q))
Premisas: Premisas:
1) [P↔Q] (H) 1) (~P∨Q) (H)
2) [Q↔R] (H) 2) (T→~R)  (H)
3) P (H) 3) (~T→S) (H)
Solución: Solución:
Leyes de Bicondicionalidad en 1 y 2 Ley Condicional Disyunción en 1
[P↔Q]= (P→ Q) & (Q→ P) (4) (~P∨Q) = (P→Q) (4)
[Q↔R]= (Q→R) &(R → Q) (5) Ley Negación Condicional en 4
Simplificacion en 4 y 5
(P→Q) = (~P&Q) (5)
(P→ Q) & (Q→ P)
Ley Negación Condicional en 2
(P→ Q) (6)
(T→~R) = (~T&~R) (6)
(Q→R) &(R → Q)
Ley Negación Condicional en 3
(Q→R) (7)
MPP en 6 y 3 (~T →S) = (T&S) (7)
Simplificacion en 5, 6,7
(P→ Q)
P (~P&Q)
Q (8) ~P (8)
MPP en 7 y 8 Q (9)
(Q→R) (~T&~R)
Q ~R (10)
R (9) (T&S)
Adición en 3 y 9 S (11)
P Adjunción 11 y 9
R S
(P&R) (10) L.q.q.d Q
(S&Q) (12)
1:57) Demostrar P∨( R∨ S) Adjunción 10 y 12
1) (P∨Q) ∨ (R∨ S) (H) ~R
Ley de Morgan en 1 (S&Q)
[(P∨Q) ∨ (R∨ S)]= [(P∨Q) & (R∨ S)] (2) ~R&(S&Q) (13)
Simplificacion en 2 Ley Negación Condicional en 13
(P∨Q) & (R∨ S) [~R&(S&Q)]= R→(S&Q) (14)
(P∨Q) (3) Adjunción 8 y 14
( R∨ S) (4) ~P
Ley Condicional Disyunción en 3 R→(S&Q)
(P∨Q) = (~P→Q) (5)
~P& [R→(S&Q)] (15)
Ley Negación Condicional en 5
Ley Negación Condicional en 15
(~P→Q) = (P&Q) (6)
Simplificacion en 6 {~P& [R→(S&Q)]}= P→ (R→(S&Q)) (16)
(P&Q)
P (7) L.q.q.d
Adición en 7
P
P∨( R∨ S) (8) L.q.q.d
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10. 1:56) Demostrar (~R∨W) Ley Negación Condicional en 19
Premisas: (~W∨~R)=(W&~R) (20)
1) (R↔~Q) (H) L.q.q.d
2) Q∨(S&T) (H)
3) (R→~T) (H)
Solución:
Leyes de Bicondicionalidad en 1
(R↔~Q)=(R→~Q) & (~Q→R) (4)
Simplificación en 4
(R→~Q) & (~Q→R)
(R→~Q) (5)
(~Q→R) (6)
Ley Negación Condicional en 5
(R→~Q)= (~R&~Q) (7)
Simplificación en 7
(~R&~Q)
~R (8)
Silogismo Hipotético en 6 y 3
(~Q→R)
(R→~T)
(~Q→~T) (9)
Ley Negación Condicional en 9
(~Q→~T)= (Q&~T) (10)
Simplificación en 10
(Q&~T)
~T (11)
Adición en 11
~T
(~T∨~S) (12)
Ley de Morgan en 12
(~T∨~S)= ~(T&S) (13)
MTP en 2 y 13
Q∨(S&T)
~(T&S)
Q (14)
Adición en 14
Q
(Q∨~W) (15)
Ley condicional disyunción en 15
(Q∨~W)= (~Q→~W) (16)
Ley Negación Condicional en 16
(~Q→~W)= (Q&~W) (17)
Simplificación en 17
(Q&~W)
~W (18)
Adición en 18
~W
(~W∨~R) (19)
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