Este documento introduce el concepto de derivadas, su historia y aplicaciones. Explica cómo las derivadas permiten resolver problemas de variación y movimiento. Luego define la tasa de variación media e instantánea de una función en un intervalo. Finalmente, cubre cómo calcular la derivada de funciones simples y las reglas básicas de derivación y su interpretación geométrica como pendiente de la tangente.

1. DERIVADAS 4to DE SECUNDARIA

2. INTRODUCCION El cálculo de las derivadas está unido a dos grandes matemáticos: Newton y Leibniz. Ambos resolvieron los dos problemas origen del Cálculo Infinitesimal: el problema del movimiento no uniforme y el problema de encontrar la tangente a una curva en un punto de la misma.

3. INTRODUCCION Gracias al cálculo de derivadas es posible resolver problemas en los que intervengan dos magnitudes y queramos determinar el valor de una de ellas para que la otra alcance un valor máximo o mínimo.

4. VARIACION DE UNA FUNCION EN UN INTERVALO Consideremos una función y=f(x) . Si la variable independiente x pasa de un valor a a un valor b , entonces la variable dependiente y pasa de un valor f(a) a un valor f(b) . La diferencia b-a se llama incremento de x .

5. VARIACION DE UNA FUNCION EN UN INTERVALO La diferencia f(b)-f(a) recibe el nombre de incremento de y, o también tasa de variación de la función en el intervalo [a,b]. Tasa de variación en [a,b] = f(b)-f(a)

6. TASA DE VARIACION MEDIA Para comparar el comportamiento de una función en dos o más intervalos, es mejor calcular el crecimiento medio en cada uno de ellos (o crecimiento por unidad). Este crecimiento medio recibe el nombre de tasa de variación media (T.V.M.) de la función f en el intervalo [a,b] , y se obtiene como el cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo:

7. TASA DE VARIACION INSTANTANEA Si tenemos en cuenta que b es mayor que a , el intervalo [a,b] se puede expresar como [a,a+h] , siendo h un número real positivo, que representa la amplitud del intervalo. De este modo, la T.V.M. se expresaría según la fórmula:

8. DERIVADA DE UNA FUNCION La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

9. CALCULO DE LA DERIVADA EN UN PUNTO Para funciones sencillas es fácil calcular la derivada en un punto aplicando directamente la definición:

10. REGLA DE LOS CUATRO PASOS

11. FUNCION DERIVADA se llama función derivada de f(x) a una función que asocia a cada abscisa x la derivada de f en dicho punto. Se representa por f´(x) , y se calcula:

12. REGLAS BASICAS DE DERIVACION la derivada de una función constante f(x)=k es f ´(x)=0. la derivada de la función identidad f(x)=x es f ´(x)=1. la derivada de la función f(x)=x2 es f ´(x)=2x.

13. REGLAS BASICAS DE DERIVACION la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función: [k f(x)]´=k f ´(x) la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones: [f(x)+g(x)]´=f ´(x)+g ´(x)

14. ECUACION DE LA RECTA TANGENTE al interpretar geométricamente la derivada de una función en un punto, obteníamos el siguiente resultado: . La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto

15. Aplicando la ecuación punto-pendiente de la recta (y-y0=m*(x-x0)) se obtiene que: ) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto x=a es: y-f(a)=f ´(a)*(x-a)

16. FIN DE LA PRESENTACION