Este documento trata sobre derivadas. Explica la tasa de variación de una función, la derivada de una función en un punto, la función derivada, y las reglas de derivación. También incluye ejemplos de calcular derivadas aplicando la definición y resolviendo problemas que involucran derivar funciones y encontrar pendientes de rectas tangentes.

1. DERIVADAS
1. TASA DE VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN.
1.1 Tasa de variación media.
1.2 Tasa de variación instantánea.
2. DERIVADA DE UN FUNCIÓN EN UN PUNTO.
Aplicando la definición calcular la derivada de ( ) 1+= xxf en 3=x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 4
1
24
1
lim
24
lim
24
44
lim
24
2424
lim
0
024
lim
44
lim
1313
lim
33
lim)3´(
0000
0000
=
++
=
++⋅
=
++⋅
−+
=
++⋅
++⋅−+
=
==
−+
=
−+
=
+−++
=
−+
=
→→→→
→→→→
hhh
h
hh
h
hh
hh
h
h
h
h
h
h
h
fhf
f
hhhh
hhhh
3. FUNCIÓN DERIVADA.
Aplicando la definición calcular la función derivada de ( )
1
1
+
=
x
xf
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )200
000
1
1
11
1
lim
11
lim
11
11
lim1
1
1
1
limlim)´(
+
−
=
+⋅++
−
=
+⋅++⋅
−
=
=
+⋅++
−−−+
=+
−
++=
−+
=
→→
→→→
xxhxxhxh
h
h
xhx
hxx
h
xhx
h
xfhxf
xf
hh
hhh
4. REGLAS DE DERIVACIÓN
5. TABLA DE DERIVADAS.
1. Dada la ( )
1
1
+
=
x
xf
a) Calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la recta xy −=
( )
( ) ( )
( )



−=⇒=+
=
⇒=+⋅⇒
⇒=+⇒++=⇒+=⇒+−=−⇒−=
+
−
=
202
0
02
0212111111
1
1
)´( 2222
2
xx
x
xx
xxxxxx
x
xf
b) Calcular la recta tangente a ( )
1
1
+
=
x
xf en 2−=x
( )2
1
1
)´(
+
−
=
x
xf
1

2. ( )
1
12
1
)2´( 2
−=
+−
−
=−= fm
( ) ( ) tangenterectalaayfunciónlaapertenece1,2puntoEl1
12
1
2 −−⇒−=
+−
=−f
( )
( ) 3211
1,2
1
−=⇒+−−=− →+=
−−
−=
nnnmxy m
3−−= xy
Derivar y simplificar:
xy 4cos=
xy 4sen4´ −=
xy 4
cos=
( ) xxxxy sencos4sencos4´ 33
⋅−=−⋅=
4
cos xy =
( ) 4334
sen44sen´ xxxxy −=⋅−=
( )2
23 +
= x
ey
( )
( ) ( ) ( )22
2323
2363232´ ++
⋅+⋅=⋅+⋅⋅= xx
exxey
( )
[ ]223 +
= x
ey
[ ] ( )2322232323
6632´ ++++
⋅=⋅=⋅⋅⋅= xxxx
eeeey
( ) 32 2
23 −
⋅−= x
xy
( ) ( )[ ]32ln12222ln2322´ 23323 222
−+⋅⋅=⋅⋅⋅−+⋅= −−−
xxxxxy xxx
2
32
x
x
y
−
=
( ) ( ) ( )
( )
32
3
322
32
322
3222322
32
1
2
1232232
2
1
´
24
2
4
2
4
2
2
4
2
2
1
2
−⋅
+−
=
−⋅
+−⋅
=
=
−⋅
+−⋅⋅
=
−−
⋅
−
⋅=
−−
⋅




 −
⋅=
−
xx
x
xx
xx
xx
xxxx
x
xxx
x
xx
xxx
x
x
y
2
51
3
ln
x
x
y
+
=
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) =
+⋅
−
=
+⋅
+⋅−+⋅
=
+
+
−+⋅
=
+
+
⋅−+⋅
= 2
2
22
222
2
22
22
2
22
2
51
51
513
5110513
51
3
51
10513
51
3
51
103513
´
xx
x
xx
xxx
x
x
x
xx
x
x
x
xxx
y
2

3. Dada la función ( )
x
c
baxxf ++= calcular a, b y c sabiendo que pasa por el punto ( )0,3− y que
en el punto ( )4,3 tiene pendiente horizontal.
( ) ( )
( )
( )
( )


=
=
⇒
=−⇒−
03´
43
horizontalpendientetiene4,3puntoelEn
030,3puntoelporPasa
f
f
f
( ) 2
´
x
c
axf −=
( ) ( ) 0
3
1
30
3
303 =−+−⇒=
−
++−⇒=− cba
c
baf
( ) 4
3
1
34
3
343 =++⇒=++⋅⇒= cba
c
baf
( ) 0
9
1
0
3
03´ 2
=−⇒=−⇒= ca
c
af
39
3
1
02609
3
1
230
3
1
3
9
9
1
0
9
1
242
0
3
1
3
0
9
1
4
3
1
3
0
3
1
3
3
1
9
2
21
= →=
=⇒=+−⇒=−+− →=−+−







=⇒=⇒=−
=⇒=
=−+−
 →









=−
=++
=−+−
=
=
=
+
cca
aaaacba
cacaca
bb
cba
ca
cba
cba
a
ac
b
ecec
( )
x
x
xf
3
2
3
++=
3