Este documento contiene numerosos ejercicios sobre derivadas parciales y ecuaciones en derivadas parciales. Incluye preguntas sobre cómo calcular derivadas parciales de primer y segundo orden, verificar si funciones son soluciones de ecuaciones como la ecuación de conducción de calor y la ecuación de Laplace, y determinar si ciertas derivadas parciales son positivas o negativas en puntos particulares. También contiene ejercicios sobre derivadas parciales implícitas y derivadas mixtas de tercer orden.

1. SECCIÓN 14.3 DERIVADAS PARCIALES 913
70. ;
71. Si , obtenga .
[Sugerencia: ¿cuál orden de derivación es más fácil?]
72. Si , encuentre .
[Sugerencia: utilice un diferente orden de derivación para
cada término.]
73. Con la tabla de valores de estime los valores de ,
y .
74. Se muestran las curvas de nivel para una función f. Determine
si las siguientes derivadas parciales son positivas o negativas
en el punto P.
a) b) c)
d) e)
75. Compruebe que la función es una solución
de la ecuación de la conducción de calor .
76. Determine si cada una de las funciones siguientes es una
solución de la ecuación de Laplace .
a) b)
c) d)
e) u ෇ sen x cos hy ϩ cos x sen hy
f)
77. Verifique que la función es una
solución de la ecuación tridimensional de Laplace
.
78. Demuestre que cada una de las funciones siguientes es una
solución de la ecuación de onda .
a) b)
c)
d)
79. Si y son funciones de una sola variable derivables dos
veces, demuestre que la función
es una solución de la ecuación de onda del ejercicio 78.
$"z&
t"&z
$ ͑", &͒ $"͑3, 2͒
$"͑3, 2.2͒ $" &͑3, 2͒
12.5
18.1
20.0
10.2
17.5
22.4
9.3
15.9
26.1
x
y
2.5
3.0
3.5
1.8 2.0 2.2
$" $& $""
$"& $&&
10 8 6 4 2
y
x
P
!* ෇ ␣2
!""
!"" ϩ !&& ෇ 0
! ෇ "2
ϩ &2
! ෇ "2
Ϫ &2
! ෇ "3
ϩ 3"&2
! ෇ ln s"2
ϩ &2
t͑", &, z͒ ෇ s1 ϩ "z ϩ s1 Ϫ "&
! ෇ 'Ϫ"
cos & Ϫ 'Ϫ&
cos "
! ෇ 1͞s"2 ϩ &2 ϩ z2
!"" ϩ !&& ϩ !zz ෇ 0
f x, y, z xy2
z3
arcsen(xsz )
!* * ෇ (2
!""
! ෇ *͑͞(2
*2
Ϫ "2
͒
u e
2
k2
t
sen kx
u sen kx sen akt
Ѩ6
!
Ѩ" Ѩ&2
Ѩz3
! ෇ "(
&)
z0
! ෇ ͑" Ϫ (*͒6
ϩ ͑" ϩ (*͒6
u sen x at ln x at
t$
!͑", *͒ ෇ $ ͑" ϩ (*͒ ϩ t͑" Ϫ (*͒
42. ;
43. ;
44.
45-46 Use la definición de las derivadas parciales como límites
para determinar y .
45. 46.
47-50 Mediante derivación implícita determine y .
47. 48.
49. 50.
51-52 Calcule y .
51. a) b)
52. a) b)
c)
53-58 Determine las segundas derivadas parciales.
53. 54.
55. 56.
57. 58.
59-62 Compruebe que la conclusión del teorema de Clairaut se
cumple, es decir, .
59. 60.
61. 62.
63-70 Encuentre la derivada parcial indicada.
63. ; ,
64.
65. ;
66.
67.
68. ;
69. ; ,
$" ͑2, 3͒$ ͑", &͒ ෇ arctan͑&͞"͒
$& ͑2, 1, Ϫ1͒$ ͑", &, z͒ ෇
&
" ϩ & ϩ z
4 $&͑", &͒$"͑", &͒
$ ͑", &͒ ෇
"
" ϩ &2
$ ͑", &͒ ෇ "&2
Ϫ "3
&
Ѩz͞Ѩ&Ѩz͞Ѩ"
"2
Ϫ &2
ϩ z2
Ϫ 2z ෇ 4"2
ϩ 2&2
ϩ 3z2
෇ 1
&z ϩ " ln & ෇ z2
'z
෇ "&z
Ѩz͞Ѩ&Ѩz͞Ѩ"
z ෇ $ ͑" ϩ &͒z ෇ $ ͑"͒ ϩ t͑&͒
z ෇ $ ͑"&͒z ෇ $ ͑"͒t͑&͒
z ෇ $ ͑"͞&͒
$ ͑", &͒ ෇ "3
&5
ϩ 2"4
&
v ෇
"&
" Ϫ &
w ෇ s!2
ϩ v2
v ෇ '"'&
z ෇ arctan
" ϩ &
1 Ϫ "&
!" & ෇ !&"
! ෇ "4
&3
Ϫ &4
! ෇ ln͑" ϩ 2&͒! ෇ cos͑"2
&͒
$"&"$"""$ ͑", &͒ ෇ "4
&2
Ϫ "3
&
$"&z$ ͑", &, z͒ ෇ '"&z2
Ѩ3
z
Ѩ! Ѩv Ѩw
z ෇ !sv Ϫ w
; fz 0, 0, 4f x, y, z ssen2
x sen2
y sen2
z
f x, y sen2
mx ny
u exy
sen y
; fyxyf x, y sen 2x 5y
;t r, s, t er
sen st trst
;
3
u
r2u er
sen
Ѩ3
w
Ѩ"2
Ѩ&
Ѩ3
w
Ѩz Ѩ& Ѩ"
w ෇
"
& ϩ 2z