Introducción al cálculo deductivo para Filosofía de 1º de Bachillerato. Teoría desde cero. Reglas básicas y algunas derivadas. Incluye ejercicios.

1. CÁLCULO
DEDUCTIVO
Lógica proposicional

2. ¿Qué es el cálculo deductivo?
• Procedimiento u operación lógica que consiste
en extraer un enunciado (conclusión) a partir
de otro/s (premisa/s) aplicando una serie de
reglas de inferencia válidas.
• Este procedimiento es llamado derivación,
deducción o demostración
• Un argumento es lógicamente válido si la
conclusión se deriva de las premisas; si no se
puede, es que el razonamiento es incorrecto.
Ej. ⊢ ¬r
1. p ∧ (q ∨ ¬r) premisa
2. p → ¬q premisa
3. p EC 1
4. ¬q MP 2,3
5. q∨¬r EC 1
6. ¬r SD 4,5

3. ¿Qué es el cálculo deductivo?
• Consta de:
• Símbolos (variables, conectivas, paréntesis…). Son los utilizados para
formalizar
• Fórmulas: expresiones bien formadas en las que se combinan los símbolos
anteriores y constituyen los enunciados. Ej. “p”, “¬(q∨p) ⟶ r”, “⋀q¬r”
• Reglas de inferencia: fórmulas que permiten la transformación de unos
enunciados en otros. Su aplicación genera cadenas deductivas formalmente
válidas a través de las cuales alcanzaremos la conclusión buscada

4. Reglas de inferencia
• Todas las reglas de inferencia son tautologías: por eso garantizan que la conclusión
se sigue necesariamente de las premisas (=validez formal)
• Las reglas de inferencia y las leyes lógicas son lo mismo: sólo cambia el modo en
que se formulan y/o representan
Ley del modus tollens
[(p → q) ∧ ¬q] → ¬p
Regla Modus tollens
A → B
¬B
---------------
¬A

5. Reglas de inferencia
v REGLAS BÁSICAS
• Son 10: 2 por cada constante lógica
¬ ∧ ∨ ⟶ ⟷*
• Por cada constante hay una regla de
introducción y otra de eliminación
• Todas las deducciones pueden
resolverse haciendo uso únicamente
de reglas básicas
v REGLAS DERIVADAS
• Reglas construidas a partir de las básicas
• Permiten reducir el número de pasos
en las derivaciones (“atajos”)
• No son realmente necesarias para
deducir conclusiones, pero sí muy útiles

6. Reglas de inferencia
• Cada línea en una derivación es una
transformación de una proposición
previa a través de la aplicación de una
regla (por eso hay que indicar el nº)
• Reglas de introducción: transforman
una fórmula en otra más compleja
añadiendo una conectiva
• Reglas de eliminación: simplifican una
fórmula previa al eliminar la conectiva
Ej. ⊢ t ∨ p
1. ¬¬ (r ∧ t) premisa
2. r ∧ t DN 1
3. t EC 2
4. t ∨ p ID 3
Abreviatura de la
regla aplicada

7. REGLAS BÁSICAS
¬ ∧ ∨ ⟶ ⟷

8. Reglas básicas: negador
• Introducción de la ¬ (IN) o
Reducción al absurdo (Abs)
A
·
·
B ∧ ¬B
-----------
¬A
• Eliminación de la ¬ (EN) o
Doble negación (DN)
¬¬A
-------------
A
*Aplicable en ambas direcciones

9. Reglas básicas: conjunción
• Introducción de la ∧ (IC)
A
B
----------
A ∧ B
*El orden no importa
• Eliminación de la ∧ (EC)
A ∧ B
----------
A
A ∧ B
----------
B

10. Reglas básicas: disyunción
• Introducción de la ∨ (ID)
*El orden no importa
• Eliminación de la ∨ (ED) o
Prueba por casos (Cas)
A
----------
A ∨ B
B
----------
A ∨ B
A ∨ B
A
·
C
B
·
C
----------------
C

11. Reglas básicas: implicación
• Introducción de la → (II) o
Teorema de la deducción (TD)
A
·
·
B
-----------
A → B
• Eliminación de la → (EI) o
Modus Ponens (MP)
A → B
A
-------------
B

12. Reglas básicas: coimplicador
• Introducción de la ↔ (ICo)
A → B
B → A
----------
A ↔ B
*El orden no importa
• Eliminación de la ↔ (ECo)
A ↔ B
----------
A → B
A ↔ B
----------
B → A

13. Ejercicio • Demuestre ⊢ ¬r ∧ s
1. t ∧ s premisa
2. p ∧ ¬r premisa
Reglas básicas de la conjunción
3. s EC 1
4. ¬r EC 2
5. ¬r ∧ s IC 3,4

14. Ejercicio
• Derive ⊢ r ∨ s
1. t ↔ s premisa
2. ¬¬t ∧ q premisaReglas básicas de la conjunción y
coimplicación, doble negación,
modus ponens, introducción de la
disyunción
3. t → s ECo 1
4. ¬¬t EC 2
5. t DN 4
6. s MP 3,5
7. r ∨ s ID 6

15. Métodos de resolución
• Demostración directa Aplicación de reglas sin supuestos
• Reducción al absurdo
• Afirmación del antecedente
• Eliminación de la disyunción
Exigen introducir suposiciones

16. Los supuestos o premisas auxiliares
• En ocasiones, para obtener la conclusión hay
que recurrir a suposiciones = introducción
de premisas que no vienen dadas.
• Los supuestos son siempre provisionales: hay
que cerrarlos antes de afirmar la conclusión.
• Se reflejan con una llave a la izquierda que
ocupa toda la cadena deductiva desde el
supuesto inicial hasta su cierre.
• Dentro del supuesto se pueden aplicar todas
las reglas que necesitemos.
Ej: Reducción al absurdo
⊢ ¬p
1. p → q premisa
2. ¬ q premisa
3. p supuesto
4. q MP 1, 3
5. q ∧ ¬q IC 2, 5
6. ¬p Abs. 3-5

17. Aclaraciones sobre los supuestos
• Los supuestos no se pueden cerrar arbitrariamente: hay que aplicar una regla
que lo permita (reducción al absurdo, introducción de la implicación, etc.)
• Dentro de un supuesto se pueden abrir otros supuestos secundarios
• Las proposiciones que haya dentro de un supuesto no se pueden utilizar
luego si el supuesto ha sido cerrado (puesto que se derivan de él y no sólo de
las premisas iniciales)

18. Reducción al absurdo
• Se supone lo contrario que hay que
demostrar …
• … hasta llegar a una contradicción
• Entonces podremos negar nuestro
supuesto porque es absurdo =
afirmar la conclusión
• Regla Introducción del ¬
à Método infalible y muy útil
• Demuestre ⊢ ¬(r → s)
1. r∧¬s premisa
3. r EC 1
4. s MP 2, 3
5. ¬s EC 1
7. ¬(r → s) Abs. 2, 6
2. r → s supuesto
6. s∧¬s IC 4, 5
La contradicción
siempre es una ∧
que afirma algo y
su contrario

19. Ejercicio
• Derive ⊢ ¬r
1. p → (q ∨ ¬q) premisa
2. p → ¬p premisa
3. r → q premisa
4. p premisa
Demuestre la conclusión por
Reducción al absurdo
6. ¬p MP 2,4
8. ¬r Abs. 5-7
7. p ∧ ¬p IC 4,6
5. r supuesto

20. Afirmación del antecedente
• Funciona bien cuando lo que hay
que demostrar es una implicación
• Se supone el antecedente…
• …hasta llegar al consecuente
• Entonces se cierra el supuesto y se
afirma la implicación buscada
• Regla Introducción de la →
• Demuestre ⊢ p → s
1. p → q premisa
2. q → t premisa
3. t → s premisa
5. q MP 1, 4
7. s MP 3, 7
4. p supuesto
6. t MP 2, 5
8. p → s II 4-7

21. Eliminación de la disyunción
• Para deshacer una disyunción es
necesario abrir un supuesto por cada
proposición que la compone…
• Hasta llegar a la misma fórmula en
cada uno de los supuestos
• Entonces se afirma dicha fórmula,
que puede ser una de las que compone
la disyunción o cualquier otra.
• Regla Eliminación de la ∨
• Demuestre ⊢ r ∨ s
1. p ∨ q premisa
2. p → r premisa
3. q → s premisa
5. r MP 2,4
4. p supuesto
6. r ∨ s ID 5
8. s MP 2,3
9. r ∨ s ID 8
10. r ∨ s ED 4-6, 7-9
7. q supuesto

22. REGLAS DERIVADAS

23. Reglas derivadas
• Modus Tollens (MT)
A → B
¬B
-------------
¬A
*Ojo! La negación es desde el consecuente
hacia el antecedente, no al revés à falacia
• Transitividad (Trans)
A → B
B → C
-----------
A → C

24. Reglas derivadas
• Silogismo disyuntivo (SD) • Dilema constructivo (DC)
A ∨ B
¬A
----------
B
A ∨ B
¬B
----------
A
A ∨ B
A → C
B → D
----------
C ∨ D

25. Ejercicio
• Derive ⊢ t
1. p ∨ q premisa
2. r → ¬p premisa
3. s → r premisa
4. ¬t → s premisa
5. ¬r ∨ ¬q premisa
Demuestre la conclusión por
Eliminación de la disyunción y
aplique Silogismo disyuntivo
7. ¬r MT 2,6
9. t MT 4,8
8. ¬s MT 3,7
6. p supuesto
11. ¬r SD 5,10
12. ¬s MT 3,11
13. t MT 4,12
14. t ED 6-9, 10-13
10. q supuesto

26. Reglas derivadas
• De Morgan (DMorg) • Interdefinición del → (Interdef)
¬(A ∨ B)
=======
¬A ∧ ¬B
¬(A ∧ B)
=======
¬A ∨ ¬B
A → B
======
¬A ∨ B
¬(A → B)
======
A ∧ ¬B

27. Ejercicio
• De Morgan
1. ¬(p ∨ q)
2. ¬(¬p ∧ ¬r)
3. q ∧ ¬r
4. ¬(¬p ∨ s)
5. ¬(r→s) ∨ ¬q
• Interdefinición
1. r → ¬p (∨)
2. p ∨ q
3. s ∧ r
4. ¬(¬t → s) (∧)
5. ¬r ∨ (q ∧ s)
Practica De Morgan e
Interdefinición del implicador
transformando las siguientes
expresiones
p ∨ r [¬¬p ∨ ¬¬r]
p ∧ ¬s [¬¬p ∧ ¬s]
¬(¬q ∨ r) [¬(¬q ∨ ¬¬r)]
¬p ∧ ¬q
¬((r→s) ∧ q) [¬(¬¬(r→s) ∧ ¬¬q]
¬r ∨ ¬p
¬p → q
¬(s → ¬r)
¬t ∧ ¬s
r → (q ∧ s)

28. Reglas derivadas
• Carga de premisas (CPr) • Ex contradictione quodlibet (ECQ)
A
------------
B → A
A ∧ ¬A
--------------
B

29. Ejercicio • Derive ⊢ B
1. A ∧ ¬A premisa
Demuestre la regla derivada
Ex contradictione quodlibet 3. A ∨ B ID 2
5. B SD 3,4
4. ¬A EC 1
2. A EC 1

30. FALACIAS FORMALES

31. Falacias formales
• Afirmación del consecuente
*Falacia del Modus Ponens
• Negación del antecedente
*Falacia del Modus Tollens
A → B
B
------------
A
A → B
A
-------------
B
A → B
¬A
------------
¬B
A → B
¬B
-------------
¬A

32. CONCLUSIONES FINALES:
- Para comprobar si un razonamiento es válido (tautológico) puedes o bien
realizar su tabla de verdad o bien tratar de derivar la conclusión de las premisas con
cálculo deductivo à Si no logras llegar a la conclusión, es que no se deduce = no es
un razonamiento válido
- Hay que tener mucho cuidado con los paréntesis y negadores y fijarse muy bien en
los enunciados que quedan dentro y fuera de un supuesto
- Para interiorizar bien las reglas hay que practicar y revisar errores.
- La lógica es una ciencia formal que emplea como criterio de verdad la
coherencia: no mundo humano

33. El ser ES
y el no ser
NO ES
Cuando uno sigue dos
cadenas lógicas diferentes
se acaba llegando a algún
punto de intersección que
se aproxima mucho a la
verdad.
Sherlock Holmes