Este documento discute la importancia de los sistemas de representación y expresión en las matemáticas. Argumenta que la comprensión matemática requiere distinguir los objetos matemáticos de sus representaciones y que la coordinación entre diferentes sistemas de representación es esencial para el pensamiento matemático. También propone que los sistemas matemáticos de signos deben estudiarse globalmente en lugar de enfocarse solo en los signos individuales.

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Parte cuatro: De los registros de
representación, comprensión y aprendizaje
en matemáticas
Una característica importante de la actividad matemática es el uso de diversos sistemas
de expresión y representación, además del lenguaje natural: variados sistemas de
escritura para los números, escrituras algebraicas para expresar relaciones y
operaciones, figuras geométricas, gráficos cartesianos, redes, diagramas, esquemas, etc.
Un autor que se ha interesado particularmente por este uso variado de los sistemas de
representación semiótica es Duval (1995), quién se pregunta: "¿Es esencial esta
utilización de varios sistemas semióticos de representación y expresión, o al contrario no
es más que un medio cómodo pero secundario para el ejercicio y para el desarrollo de las
actividades cognitivas fundamentales?" (p. 3) Considera que esta pregunta sobrepasa el
dominio de las matemáticas y de su aprendizaje y apunta hacia la naturaleza misma del
funcionamiento cognitivo del pensamiento humano.
Duval da una respuesta afirmativa a esta cuestión aportando los siguientes argumentos:
1) No puede haber comprensión en matemáticas si no se distingue un objeto de su
representación. No se deben confundir nunca los objetos matemáticos (números,
funciones, rectas, etc.) con sus representaciones (escrituras decimales o fraccionarias,
los símbolos, los gráficos, los trazados de figuras, etc.), pues un mismo objeto
matemático puede darse a través de representaciones muy diferentes.
2) Existen representaciones mentales, conjunto de imágenes, conceptos, nociones, ideas,
creencias, concepciones que un individuo puede tener sobre un objeto, sobre una
situación y sobre aquello que les está asociado. "Permiten una mirada del objeto en
ausencia total de significante perceptible". Las representaciones mentales están
ligadas a la interiorización de representaciones externas, de la misma manera que las
imágenes mentales lo están a una interiorización de los preceptos.
3) Las representaciones semióticas son un medio del cual dispone un individuo para
exteriorizar sus representaciones mentales, es decir, para hacerlas visibles o
accesibles a los demás. Además de sus funciones de comunicación, las
representaciones semióticas son necesarias para el desarrollo de la propia actividad
matemática. La posibilidad de efectuar tratamientos (operaciones, cálculos) sobre los
objetos matemáticos depende directamente del sistema de representación semiótico
utilizado. El progreso de los conocimientos matemáticos se acompaña siempre de la
creación y del desarrollo de sistemas semióticos nuevos y específicos que más o
menos coexisten con el de la lengua natural.

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4) Diferentes representaciones no pueden oponerse como dominios totalmente diferentes
e independientes. La pluralidad de sistemas semióticos permite una diversificación tal
de las representaciones de un mismo objeto, que aumenta las capacidades cognitivas
de los sujetos y por tanto de sus representaciones mentales. Esta interdependencia
entre las representaciones internas y externas la expresa Duval afirmando que "no hay
noesis sin semiosis; es la semiosis la que determina las condiciones de posibilidad y
de ejercicio de la noesis" (p. 5). La aprehensión conceptual no es posible sin el recurso
a una pluralidad al menos potencial de sistemas semióticos, y por tanto su
coordinación por parte del sujeto.
5) La coordinación entre las representaciones que provienen de sistemas semióticos
diferentes no es espontánea; la conversión de unos sistemas a otros requiere un
aprendizaje específico. El problema esencial de la semiosis es el de la diversidad de
sistemas de representación y los fenómenos de no-congruencia que resultan por la
conversión de las representaciones. La coordinación entre registros no es una
consecuencia de la aprehensión conceptual (noesis) sino que, al contrario, el logro de
dicha coordinación es una condición esencial de la noesis.
6) Las actividades cognitivas inherentes a la semiosis son tres: formación de
representaciones en un registro semiótico particular, para "expresar" una
representación mental, o para "evocar" un objeto real; el tratamiento o transformación
de una representación dentro del mismo registro; conversión, cuando la transformación
de la representación de un objeto, de una situación o de una información produce una
representación en un registro distinto al de la representación inicial.
Esta otra propuesta presentada por Luis Puig, nos dice: Es habitual que una descripción
del lenguaje en que están escritos los textos matemáticos distinga dos subconjuntos
de signos en él: uno formado por signos que se ven como propios de las matemáticas y
suelen calificarse de “artificiales”, y otro formado por los signos de alguna lengua
vernácula. Así lo hace, por ejemplo, Javier de Lorenzo, que atribuye al lenguaje
usual “una muy clara misión: ser el vehículo o instrumento práctico que permite indicar
cómo han de manejarse los elementos del lenguaje artificial”. Esa separación en dos
subconjuntos se torna radical cuando se concibe que las verdaderas matemáticas "son"
las escritas en un lenguaje totalmente formalizado y el lenguaje usual aparece como un
substituto torpe y grosero de éste, pero está presente también en descripciones hechas
desde presupuestos filosóficos contrarios al formalismo. Es el caso de Brian Rotman
quien, desde una posición que él califica de post-estructuralista, afirma que la distinción
entre lo que llama en su modelo semiótico de la actividad matemática el “Código” y el
“meta-Código” “opera tanto dentro del término ‘símbolo’ como contra él. De ellos es igual
oposición entre ideogramas concebidos formalmente (+, ×, 0, 1 2, 3, =, >, sin t,…, dy/dx,
log(z), etc.), que se corresponden con signos en su manifestación Codificada, propia —
podríamos llamarla ‘literal’—, y los diagramas matemáticos (puntos, líneas, círculos,
ángulos, aplicaciones, curvas, triángulos, gráficas, figuras, flechas, gráficos, etc.), que
constituyen el campo del meta-Código, es decir del discurso matemático informal —que
podríamos llamar ‘metafórico’—”, y que “el legado de la persecución del rigor ha sido la

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marginación del meta-Código […] en favor de los textos formales del Código.”
La distinción entre signos matemáticos “artificiales” y el lenguaje natural se acompaña
pues de una tipología de los signos “artificiales”. En el caso de Rotman, es una simple
dicotomía entre diagramas, que se usan metafóricamente, y lo que parece ser que
concibe como los signos propiamente matemáticos que “han de ser entendidos como
ideogramas en el sentido usual de caracteres escritos que invocan, transmiten o
denotan un contenido conceptual”. Javier de Lorenzo es más prolijo y distingue entre:
1) Signo estrictamente artificial, como ", #, $, %, que carecen de referente en el
lenguaje natural;
2) Signo gráfico único, como todas las letras de diversos alfabetos, N, e, &, ', con las que
se designa convencionalmente diversos objetos matemáticos;
3) signo compuesto por varias letras, como dx, ln, tg, que provienen de abreviaturas de
palabras con las que se designan términos técnicos;
4) término, como ‘grupo’, ‘anillo’, ‘cuerpo’, ‘matriz’, que existen en el lenguaje natural,
pero que se usan en los textos matemáticos con un significado ajeno a su campo
semántico en el lenguaje natural;
5) figura, como las figuras geométricas, diagramas de Euler-Venn, etc., y
6) signo artificial, como 0, 1, (,), cuyo uso no es exclusivo de los textos matemáticos.
Ahora bien, Javier de Lorenzo señala que “la caracterización del texto matemático no
va a estar en la mera utilización del signo artificial, sino en el modo de emplearlo y en
el modo por el cual se le da un referente o contenido semántico posterior” y de ahí
deriva el interés que pueda tener la elaboración de una tipología de los modos de uso o
de asignación de referente de los signos “artificiales” en los textos matemáticos a lo
largo de la historia y la determinación de lo que llama “estilos matemáticos”.
Sin embargo, desde el punto de vista en que yo quiero situarme, una semiótica de las
matemáticas no ha de centrarse en el estudio de los signos, sino de los sistemas de
significación y los procesos de producción de sentido. Entonces, esa diferencia entre un
“signo artificial” —que sería el propiamente matemático y cuyos modos de uso o de
asignación de referente específicos habría que estudiar— deja de ser crucial, para
colocar en primer plano el sistema de signos considerado globalmente — o los sistemas
de signos—, y lo que hay que calificar de “matemático” no es sólo un tipo particular de
signos, sino sobre todo determinados sistemas de signos —es decir, no hay que hablar
de sistemas de signos matemáticos sino de sistemas matemáticos de signos, y sólo en el
interior de tales sistemas matemáticos habrá que estudiar el modo particular de
combinación en que se presentan signos cuya materia de la expresión es heterogénea.
Eugenio Filloy introdujo hace ya algún tiempo la necesidad de usar una noción de
sistemas matemáticos de signos lo suficientemente amplia como para que pueda servir
como herramienta de análisis de los textos que producen los alumnos cuando se les está
enseñando matemáticas en los sistemas escolares —y estos textos se conciben como el
resultado de procesos de producción de sentido—, así como de los textos matemáticos
históricos —tomados como monumentos, petrificaciones de la acción humana o de

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procesos de cognición propios de una episteme. Al tomar como objeto de estudio estos
textos matemáticos y no unos supuestos textos ideales concebidos como manifestaciones
del “lenguaje matemático”, o textos que se miden con respecto a ellos, tanto la noción de
sistemas matemáticos de signos como la de texto ha de abrirse en varias direcciones. Así,
Filloy afirma que hay que hablar de sistema matemático de signos, con su código
correspondiente, cuando se da la posibilidad convencionalizada socialmente de
generar funciones sígnicas, incluso cuando las correlaciones funcionales han sido
establecidas en el uso de artefactos didácticos en una situación de enseñanza, con la
intención de que sean efímeras. Por otro lado, también hay que considerar los sistemas
de signos, los estratos de sistemas de signos que los aprendices producen con el fin de
dotar de sentido a lo que se les presenta en la situación de enseñanza, aunque se rijan
por un sistema de correspondencias que no ha sido socialmente establecido, sino que es
idiosincrático. Como los textos no han de concebirse como manifestaciones del lenguaje
matemático, ni identificarse con los textos escritos, es pertinente utilizar la noción de texto
elaborada por Jenaro Talens y Juan Miguel Company como “el resultado de un trabajo de
lectura/transformación hecho sobre un espacio textual” y la distinción que ellos
introducen entre significado y sentido. Con ello, el sujeto empírico, que no tenía cabida
en el reino de las matemáticas, retorna como aprendiz, productor de sentidoi
.
BIBLIOGRAFÍA
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5.
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i
Tomado de http://es.slideshare.net/gpx7/02-marcos-cm y http://es.slideshare.net/fmorenomoreno0/fran-
matematicas
(páginas 21-22 y 1-2) documentos referenciados “Signos, Textos y Sistemas Matemáticos de Signos” de Luis
Puig de la Universidad de Valencia y “Marcos Teóricos de Referencia sobre la Cognición Matemática” de
Juan D. Godino.