Introduccion a las funciones.

PRECÁLCULO
RELACIONES Y FUNCIONES
Lic:Cristian Martinez
Universidad Gerardo Barrios
Facultad de Ciencias y Humanidades
Unidad de Formación Docente
julio de 2015
Lic:Cristian Martinez (Universidad Gerardo Barrios Facultad de Ciencias y Humanidades Unidad de Formación Docente)PRECÁLCULO julio de 2015 1 / 22

CONTENIDOS
1 Producto cartesiano
2 Relaciones:
3 Introducción a la funciones
4 Evaluación de una función.
5 Dominio de una función.
6 Graficas de funciones
7 Dominio y recorrido a partir de un gráfico.

Repasemos los tipos de números que constituyen el sistema de los números
reales.
Los números naturales:
1, 2, 3, 4, . . .
Los enteros están formados por los números naturales junto con los negativos y el
0:
. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .
Construimos los números racionales al formar cocientes con los enteros. Por lo tanto,
cualquier número racional r se puede expresar como
r =
m
n
donde m y n son enteros y n = 0.
También hay números reales, como
√
2,que no pueden ser expresados como un
cociente de enteros y, por lo tanto, se llaman números irracionales.

El conjunto de todos los números reales se denota mediante el s´ımbolo R. Cuando
usamos la palabra número sin calificativo, queremos decir número real. En la figura
se ilustra un diagrama de los tipos de números reales.
Figura: El campo de los números reales

Los números reales se pueden representar mediante puntos sobre una recta, como
se muestra en la figura.
Figura: Recta de los números reales
1 Escogemos un punto de referencia O arbitrario, al que llamamos origen, el
cual corresponde al número real 0.
2 Cada número positivo x se representa por un punto en la recta a una
distancia de x unidades a la derecha del origen, y cada número negativo −x
se representa mediante un punto a x unidades a la izquierda del origen.
3 El número asociado con el punto P se llama coordenada de P y la recta
recibe el nombre de eje coordenado o de recta de los números reales o
simplemente recta real.

Intervalos:
Figura: Intervalos.

El plano coordenado:
Al igual que los puntos sobre una recta se pueden representar con números reales
para formar la recta numérica, los puntos sobre un plano se pueden identificar por
medio de pares ordenados de números para formar el plano coordenado o plano
cartesiano.
1 Para hacerlo, trazamos dos rectas de números reales entre s´ı y que se cortan
en el 0 de cada recta.
2 Por lo regular, una recta es horizontal con dirección positiva hacia la derecha
y se llama eje x; la otra recta es vertical y la dirección positiva es hacia
arriba; recibe el nombre de eje y.
3 El punto de intersección del eje x y del eje y es el origen O, y los dos ejes
dividen el plano en cuatro cuadrantes, llamados I, II, III y IV en la figura.

Figura: El plano coordenado
Cualquier punto P en el plano coordenado se puede ubicar por medio de un único
par ordenado de números (a, b)
1 El primer número a se llama coordenada x de P. (El eje x se llama eje de las
abscisas).
2 El segundo número b se llama coordenada y de P. (El eje y se llama eje de
las ordenadas.)
3 Dos pares ordenados (x, y) y (z, w) serán iguales si x = z y y = w

Producto cartesiano:
Producto cartesiano:
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B (se simboliza A×B) es el conjunto
de todas las parejas ordenadas (x, y) tales que ”x”pertenece al primer conjunto A
y ”y”pertenece al segundo conjunto B:
A × B = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B}
Ejemplos:
1 Con los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a, b}, obtener los productos cartesianos
A × B y B × A, representelos graﬁcamentes.
2 Sean A = [−2, 3) y B = [2, 4] intervalos, obtener el producto cartesiano A×B
y B × A
3 Si A = {x ∈ R/1 < x < 5} y B = {y ∈ N/0 ≤ y ≤ 4}, encuentre A × B y
B × A

Definición:
Una relación es los reales es una regla de correspondecia que asocia a cada número
real ”x”de un conjunto de partida A ⊆ R (llamado dominio de la relación) uno o
más números reales ”y”de un conjunto de llegada B ⊆ R (llamado contradominio).
Representación:
1 En forma verbal:
Un número real y es igual al cuadra-
do de otro número x más la unidad.
2 En forma algebraica:
y = x2
+ 1
3 Forma númerica o de tabla:
x -2 -1 0 1 2
y 5 2 1 2 5
4 Forma gráfica:

Ejemplo:
Relaciones impl´ıcita y explicitas:
Una relaci´on impl´ıcita expresada en forma algebraica, es aquella en donde no
est´a despejada ninguna de sus variables, y es expl´ıcita cuando alguna de sus variables
si esta despejada.
Ejemplo: De las siguientes relaciones impl´ıcitas, expreselas en su forma expl´ıcita:
1 x2
+ y2
= 9
2 2x − 3y = 1
3 −8x = x2
+ 2xy
4 3x − 2y + 5 = 0

Definición de función:
Una función es una regla que asigna a cada elemento de x en un conjunto A ⊆ R
exactamente un elemento, llamado f(x), en un conjunto B ⊆ R.
Se consideran funciones para las cuales los conjuntos A y B son conjuntos de
números reales
El s´ımbolo f(x) se lee (f de x) o (f en x) y se llama el valor de f en x, o
la imagen de x bajo f.
El conjunto A se llama dominio de la función.
El rango de f es el conjunto de los valores posibles de f(x) cuando x var´ıa a
través de el dominio, es decir:
Rango de f = {f(x)|x ∈ A}

Definición de función:
El s´ımbolo que representa un número arbitrario en el dominio de una función
f se llama variable independiente
El s´ımbolo que representa un número arbitrario en el rango de una función f
se llama variable dependiente
Asi, si se escribe y = f(x), entonces x es la variable independiente y y es la
variable dependiente.
Se emplearán letras como f, g, h, . . . para representar funciones.
Es útil considerar una función como una máquina.
Si x está en el dominio de la función f entonces cuando se introduce x en la
máquina, es aceptada como entrada y la máquina produce una salida f(x) de
acuerdo con la regla de la función.
Figura: Diagrama de máquina de f

Diagrama de flechas
Otra forma de ilustrar una funicón es mediante un diagrama de flechas. Cada
flecha conecta un elemento de A con un elemento de B. La fecha ´ındica que f(x)
se relaciona con x, f(a) se relaciona con a.
Figura: Diagrama de flechas de f
En la definicón de una función la variable independiente x desempeña el papel de
marcador de posición. Por ejemplo, la función f(x) = 3x2
+ x − 5 se puede
considerar como
f() = 3()2
+ () − 5

Ejemplo:Evaluación de una función
1 Si f(x) = x2
, evaluar f(3), f(−2), f(
√
5)
2 Si f(x) = 3x2
+ x − 5, evaluar f(−2), f(4), f(0), f(
1
2
)
3 Si f(x) = 2x2
+ 3x − 1, evalúe f(a), f(−a), f(x + h),
f(a + h) − f(a)
h
Función definida por partes
Un telefono celular cuesta 39 dolares al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y
cada minuto adicional de uso cuesta 20 centavos de dolar. El costo mensual es una
función de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como:
G(x) =
39 si 0 ≤ x ≤ 400
39 + 0,2(x − 400) si x > 400

Dominio de una funcion:
El dominio de una función se puede expresar de forma expl´ıcita. Por ejemplo, si se
escribe
f(x) = x2
, 0 ≤ x ≤ 5
entonces el dominio es el conjunto de los números reales para los cuales 0 ≤ x ≤ 5.
Si la función está dada por una expresión algebraica y el dominio no se enuncia de
manera expl´ıcita, entonces por convención el dominio de la función es el dominio
de la expresión algebraica; es decir, es el conjunto de los números reales para
los que la función se define como un numero real.
Generalmente, sólo en dos casos el dominio de una función real de variable real no
está constituido por todo el conjunto de los números R:
1 Cuando aparecen ra´ıces pares y la variable x es parte del radicando. En este
caso, el radicando debe ser mayor o igual a cero.
2 Cuando aparece un cociente y la variable x es parte del denominador. En
este caso el denominador debe ser distinto de cero.

Por ejemplo:
1 f(x) =
1
x − 4
2 g(x) =
√
x
La función f, no está definida en x = 4, as´ı que su dominio es {x ∈ Rx = 4}. La
función g no está definida para x negativa, as´ı que su dominio es {x ∈ Rx ≥ 0}
Determinación de dominio de funciones
Halle el dominio de cada función.
1 f(x) = x2
+ 2x − 1
2 f(x) =
1
x2 − x
3 g(x) =
√
9 − x2
4 h(t) =
t
√
t + 1

Gráficas de funciones
Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjunto de pares
ordenados
{(x, f(x))|x ∈ A}
En otras palabras, la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y) tales y = f(x);
es decir, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x).
Figura: La altura de la gráfica arriba del punto x es el valor de f(x)

Función Lineal
Una función f de la forma f(x) = mx+b se llama función lineal porque su gráfica
es la ecuacón y = mx + b, que representa una recta con pendiente m y y ordenada
al origen b.
Un caso especial de una función lineal se representa cuando la pendiente es m = 0.
Función Constante
La función f(x) = b, donde b es un determinado número, se llama función cons-
tante porque todos sus valores son el mismo número.
Figura: Función lineal

Graficación de funciones
Elabore el gráfico de las siguientes funciones.
1 f(x) = x2
2 f(x) = x3
3 f(x) =
√
x
Figura: Gráfico de funciones

Una familia de funciones exponenciales
1 Gráfique las funciones f(x) = xn
para n = 2, 4 y 6 en el rectángulo de visión
[−2, 2] por [−1, 3].
2 Gráfique las funciones f(x) = xn
para n = 1, 3 y 5 en el rectángulo de visión
[−2, 2] por [−2, 2].
3 Qué conclusiones puedes sacar de estas gráficas.

La gráfica de una función ayuda a ilustrar el dominio y el rango de la función.
Figura: Dominio y rango de f
Halle el dominio y el rango de una gráfica
1 Use una calculadora de graficación para trazar la gráfica de f(x) =
√
4 − x2.
2 Halle el dominio y el rango de f.
Figura: Gráfica de f(x) =
√
4 − x2

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