Funciones

1. M.Sc. FredySuntaxi – CÁLCULO DIFERENCIAL– PRIMER NIVEL
Funciones exponenciales y logarítmicas
Las funciones exponenciales pueden ser:
1) Funciones exponenciales de cualquier base distinta de uno y de cero. Por
ejemplo:
𝑓(𝑥) = 2𝑥
𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
𝑔(𝑥) = 2𝑥−1
𝑔(𝑥) = (
1
2
)
𝑥+1
2) Funciones exponenciales de base 𝒆 que se llama Euler. Por ejemplo:
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥
𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥−1
Determinar el dominio y el rango de las funciones exponenciales.
Las funciones logarítmicas pueden ser:
3) Funciones logarítmicas vulgares o de cualquier base distinta de uno y de
cero. Por ejemplo:
𝑓(𝑥) = log10 𝑥 𝑓(𝑥) = log2 𝑥
𝑔(𝑥) = log10 (𝑥 − 2) 𝑔(𝑥) = log2(𝑥 + 2)
4) Funciones logarítmicas naturales o de base 𝒆 que se llama Euler. Por
ejemplo:
𝑓(𝑥) = ln𝑒 𝑥 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2
− 4)
𝑔(𝑥) = ln𝑒(𝑥 + 4)
Determinar el dominio y el rango de las funciones logarítmicas .
 Existe una relacióndirecta entre la funciónexponencial ylogarítmica, que es:
De exponencial a logarítmica De logarítmica a exponencial
𝑦 = 𝑒𝑥
⇔ 𝑥 = ln𝑒 𝑦 𝑦 = log2 𝑥 ⇔ 𝑥 = 2𝑦
Ejemplo:
𝑦 = 2𝑥−1
⇔ 𝑥− 1 = log2 𝑦
𝑥 = log2 𝑦 + 1
Ejemplo:
𝑦 = ln𝑒(𝑥 + 4) ⇔ 𝑥+ 4 = 𝑒𝑦
𝑥 = 𝑒𝑦
− 4
Es decir, la función exponencial es la inversa de la función logarítmica y viceversa.
Determine la función inversa de las funciones planteadas y graficar.
1) 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥+1
2) 𝑔(𝑥) = 𝑒−𝑥
3) ℎ(𝑥) = log2(𝑥 + 2)
4) 𝑘(𝑥) = ln(𝑥2
− 4)
Funciones por partes
Es una funcióndefinida por intervalos, cuyo dominioyrangoes la uniónde intervalos .
Ejercicios:
Determine el dominio yel rangode las siguientes funciones elaborando su gráfico.
1) 𝑓(𝑥) = {
3𝑥 − 1, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
𝑥 + 1, 𝑠𝑖 𝑥 > 1
2) 𝑓(𝑥) = { 𝑥3
, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑥 + 3, 𝑠𝑖 𝑥 > 0
3) 𝑓(𝑥) = {𝑥2
− 4, 𝑠𝑖 𝑥 < 3
2𝑥 − 1, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
4) 𝑓(𝑥) = {4 − 𝑥2
, 𝑠𝑖 𝑥 < 3
1 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3

2. M.Sc. FredySuntaxi – CÁLCULO DIFERENCIAL– PRIMER NIVEL
Tarea en casa.
Preguntas planteadas.
Parte 1.
Elaborar los gráficos de funciones exponenciales.
𝑓(𝑥) = 3𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥
𝑔(𝑥) = (
1
3
)
𝑥−2 𝑔(𝑥) = 𝑒−𝑥+1
A fin de determinar el dominio, rango ysuinversa.
Parte 2.
Elaborar los gráficos de funciones logarítmicas, para determinar el dominio, rangoysu
inversa.
𝑓(𝑥) = log2 2𝑥 𝑓(𝑥) = ln𝑒 −𝑥
𝑔(𝑥) = log10 (9 − 𝑥2
)
𝑔(𝑥) = ln(
𝑥 − 2
𝑥 + 4
)
Parte 3
Determine el dominio yel rangode las siguientes funciones elaborando su gráfico.
1) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 2, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 0
2) 𝑓(𝑥) = { 𝑥3
, 𝑠𝑖 𝑥 > 1
2 − 𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
3) 𝑓(𝑥) = {𝑥2
− 2, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
1 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 1