Estadística

1. Estadística II Ramiro Kantuta Limachi
1
1. Los norteamericanos adultos con más de 25 años (cerca de 100 millones) fueron
clasificados por educación (X) y edad (Y) de la siguiente manera:
EDAD (Y)
Educación (X) (25-35)
30
(35-55)
45
(55-100)
70
Ninguna 0 1000000 2000000 5000000
Primaria 1 3000000 6000000 10000000
Secundaria 2 18000000 21000000 15000000
Universitaria 3 7000000 8000000 4000000
Nota. Dividir entre 100 millones para reducir dígitos
Suponga que en una encuesta se selecciona aleatoriamente un adulto.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un universitario de treinta años (es
decir, x=3 y Y=30)?. Y ¿Cuál es la probabilidad de obtener cada una de las
12 combinaciones posibles de educación y edad (es decir obtenga la
distribución de probabilidad conjunta P(X,Y)?
b) Calcule P(x) y P(y)
c) ¿Son x e y independientes?
d) Calcule 𝜇 𝑥 y 𝜇 𝑦
e) Grafique la distribución conjunta
f) Concéntrese en los norteamericanos de 30 años. Tabule su distribución d
educación (X) llámela distribución condicional P[X|Y] para Y=30. Calcule su
educación promedio llámela E(X|Y=30)
g) De manera similar calcule E(X|Y=45) y E(X|Y=70). Márquela en la gráfica
de P(X,Y). describa en sus palabras que se está mostrando.
h) Ateniéndose al numeral g, ¿diría usted que la educación es independiente
de la edad? ¿es su respuesta consistente con lo obtenido en el numeral c?
i) Ahora usando las fórmulas de probabilidad condicionales
P(X|Y)=P(X,Y)/P(Y), obtenga por ejemplo P(X|Y) para Y=30. ¿concuerda este
resultado con su respuesta en numeral a?.

2. Estadística II Ramiro Kantuta Limachi
2
xy 30 45 70 P(x) xP(x) x^2P(x)
0=10 0,01 0,02 0,05 0,08 0,8 8
1=20 0,03 0,06 0,1 0,19 3,8 76
2=30 0,18 0,21 0,15 0,54 16,2 486
3=40 0,07 0,08 0,04 0,19 7,6 304
P(y) 0,29 0,37 0,34 1 28,4 874
YP(y) 8,7 16,65 23,8 49,15
Y^2P(x) 261 749,25 1666 2676
Se dividió la tabla por 100000000 para reducir digitos
a) 𝑃(𝑥 = |𝑦 = 30) = 0.07
b) ∑ ∑ 𝑃(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑃(𝑥)4
𝑥=1 = ∑ 𝑃(𝑦) = 13
𝑦=1
3
𝑦=1
4
𝑥=1
c) Independencia
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥)𝑃(𝑦)
𝑃(𝑥 = 0, 𝑦 = 30) = 𝑃(𝑥 = 0)𝑃(𝑦 = 30)
0.01 = (0.08)(0.29)
0.01 ≠ 0.0232
Por tanto, son dependientes
d) Media 𝜇 𝑥 = 𝐸(𝑥) = ∑ 𝑃(𝑥)4
𝑥=1 = 28.4; 𝜇 𝑦 = 𝐸(𝑦) ∑ 𝑃(𝑦)3
𝑦=1 = 49.15
❖ Varianza 𝜎2
= 𝑉(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − (𝐸(𝑥))2
= 874 − (28,4)2
= 67.44;
𝜎2
= 𝑉(𝑦) = 𝐸(𝑦2) − (𝐸(𝑦))2
= 2676 − (49.15)2
= 260.53
❖ Desviación estándar
𝜎𝑥 = √𝑉(𝑥) = √67.44 = 8.21
𝜎𝑦 = √𝑉(𝑦) = √260.53 = 16.14
❖ Covarianza 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝐸(𝑥, 𝑦) − 𝐸(𝑥)𝐸(𝑦)
𝐸(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑥𝑦𝑃(𝑥, 𝑦)
xy 30 45 70
10 3 9 35
20 18 54 140
30 162 283,5 315
40 84 144 112
xyP(x,y) 267 490,5 602 1360

3. Estadística II Ramiro Kantuta Limachi
3
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝐸(𝑥, 𝑦) − 𝐸(𝑥)𝐸(𝑦) = 1360 − (28,4)(49,15) = −35.86
❖ Coeficiente de covariación de pearon
𝑟 =
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦)
𝜎𝑥 𝜎𝑦
=
−35.86
(8.21)(16.14)
= −0.27
❖ Regresión lineal y sobre x
𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥
𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅ = 𝐸(𝑦) − 𝑏𝐸(𝑥)
𝑏 =
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦)
𝑉(𝑥)
=
−35.86
67.44
= −0.53
𝑎 = 𝐸(𝑦) − 𝑏𝐸(𝑥) = 28.4 − (−0.53)(49.15) = 54.53
𝑦 = 54.53 − 0.53𝑥
❖ Regresión lineal x sobre y
𝑥 = 𝑐 + 𝑑𝑦
𝑐 = 𝑥̅ − 𝑑𝑦̅ = 𝐸(𝑥) − 𝑑𝐸(𝑦)
𝑑 =
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦)
𝑉(𝑦)
=
−35.86
260.53
= −0.137
𝑐 = 𝐸(𝑥) − 𝑑𝐸(𝑦) = 28.4 − (−0.137)(49.15) = 35.165
𝑥 = 35.165 − 0.137𝑦
e) Graficar la tabla
f) Esperanza para y=30
E(x|y=30)
0
0,10344828
1,24137931
0,72413793
2,06896552
g) Esperanzas para y=45 y 70
E(x|y=45) E(x|y=70)
0 0
0,16216216 0,29411765
1,13513514 0,88235294
0,64864865 0,35294118
1,94594595 1,52941176

4. Estadística II Ramiro Kantuta Limachi
4
h) No. La educación es dependiente de la edad
i) Si. Concuerda los resultados con el inciso a)
E(y=30|x) 0,125 0,25 0,625 1
7 Tengan x e y la densidad conjunta:
𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑥 + 𝑐𝑦 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1; 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
0 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑢𝑛𝑡𝑜
a) Encuentre el valor de c que convierte a 𝑓(𝑥, 𝑦) en una función de densidad de
probabilidad
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1
𝑅𝑦𝑅𝑥
∫ ∫ 𝑥 + 𝑐𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
1
0
=
1
0
∫ (𝑥𝑦 +
𝑐𝑦2
2
)|
0
1
𝑑𝑥
1
0
= ∫ [(𝑥(1) +
𝑐12
2
) − (𝑥(0) +
𝑐02
2
)] 𝑑𝑥 =
1
0
∫ 𝑥 +
𝑐
2
𝑑𝑥
1
0
=
𝑥2
2
+
𝑐𝑥
2
|
0
1
(
12
2
+
𝑐(1)
2
) − (
02
2
+
𝑐(0)
2
) =
1
2
+
𝑐
2
=
1 + 𝑐
2
Si
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1
𝑅𝑦𝑅𝑥
Reemplazando
1 + 𝑐
2
= 1 → 1 + 𝑐 = 2 → 𝑐 = 2 − 1 = 1
Función de densidad
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1; 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
b) Obtener la densidad marginal para Y e demuestre que ∫ 𝑓2(𝑦)𝑑𝑦
∞
−∞
= 1
𝑓(𝑦) = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑅𝑦𝑅𝑥
= ∫ 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥
1
0
=
𝑥2
2
+ 𝑥𝑦|
0
1
= (
12
2
+ (1)𝑦) − (
02
2
+ (0)𝑦) =
1
2
+ 𝑦
∴ 𝑓(𝑦) =
1
2
+ 𝑦 ; 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
∫ 𝑓2(𝑦)𝑑𝑦
∞
−∞
= 1 → ∫
1
2
+ 𝑦
1
0
𝑑𝑦 =
𝑦
2
+
𝑦2
2
|
0
1
= (
1
2
+
12
2
) − (
0
2
+
02
2
) =
1
2
+
1
2
= 1
c) Obtener la densidad marginal para X e demuestre que ∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
= 1

5. Estadística II Ramiro Kantuta Limachi
5
𝑓(𝑥) = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑅𝑦𝑅𝑥
= ∫ 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦
1
0
= 𝑥𝑦 +
𝑦2
2
|
0
1
= (𝑥(1) +
12
2
) − (𝑥(0) +
02
2
) = 𝑥 +
1
2
∴ 𝑓(𝑥) = 𝑥 +
1
2
; 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑦
∞
−∞
= 1 → ∫ 𝑥 +
1
2
1
0
𝑑𝑥 =
𝑥2
2
+
𝑥
2
|
0
1
= (
12
2
+
1
2
) − (
02
2
+
0
2
) =
1
2
+
1
2
= 1
d) Calcule la esperanza de X e Y
𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑅𝑥
= ∫ 𝑥 (𝑥 +
1
2
)
1
0
𝑑𝑥 = ∫ (𝑥2
+
𝑥
2
)
1
0
𝑑𝑥 =
𝑥3
3
+
𝑥2
4
|
0
1
(
13
3
+
12
4
) − (
03
3
+
02
4
) =
1
3
+
1
4
=
4 + 3
12
=
7
12
𝐸(𝑥) =
7
12
𝐸(𝑦) = ∫ 𝑦 𝑓(𝑦)𝑑𝑦
𝑅𝑦
= ∫ 𝑦 (
1
2
+ 𝑦)
1
0
𝑑𝑦 = ∫ (
𝑦
2
+ 𝑦2
)
1
0
𝑑𝑦 =
𝑦2
4
+
𝑦3
3
|
0
1
(
12
4
+
13
3
) − (
02
4
+
03
3
) =
1
4
+
1
3
=
3 + 4
12
=
7
12
𝐸(𝑦) =
7
12
e) Calcule la varianza de X e Y
𝑉(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − (𝐸(𝑥))
2
𝐸(𝑥2) = ∫ 𝑥2
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑅𝑥
= ∫ 𝑥2
(𝑥 +
1
2
)
1
0
𝑑𝑥 = ∫ (𝑥3
+
𝑥2
2
)
1
0
𝑑𝑥 =
𝑥4
4
+
𝑥3
6
|
0
1
(
14
4
+
13
6
) − (
04
4
+
03
6
) =
1
4
+
1
6
=
6 + 4
24
=
10
24
=
5
12
𝑉(𝑥) =
5
12
− (
7
12
)
2
=
11
144
𝑉(𝑦) = 𝐸(𝑦2) − (𝐸(𝑦))
2
𝐸(𝑦2) = ∫ 𝑦2
𝑓(𝑦)𝑑𝑦
𝑅𝑦
= ∫ 𝑦2
(
1
2
+ 𝑦)
1
0
𝑑𝑦 = ∫ (
𝑦2
2
+ 𝑦3
)
1
0
𝑑𝑦 =
𝑦3
6
+
𝑦4
4
|
0
1
(
13
6
+
14
4
) − (
03
6
+
04
4
) =
1
6
+
1
4
=
5
12
𝑉(𝑦) =
5
12
− (
7
12
)
2
=
11
144

6. Estadística II Ramiro Kantuta Limachi
6
f) Calcular la densidad condicional f1(x|y)
𝑓(𝑥|𝑦) =
𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓(𝑦)
𝑓(𝑥|𝑦) =
𝑥 + 𝑦
1
2
+ 𝑦
=
2(𝑥 + 𝑦)
1 + 𝑦
g) Calcule la covarianza entre x e y
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝐸(𝑥, 𝑦) − 𝐸(𝑥)𝐸(𝑦)
𝐸(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥𝑅𝑦𝑅𝑥
= ∫ ∫ 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦)
1
0
1
0
𝑑𝑦𝑑𝑥
∫ ∫ (𝑥2
𝑦 + 𝑥𝑦2)
1
0
1
0
𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ∫ (𝑥2
𝑦 + 𝑥𝑦2)
1
0
1
0
𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ (
𝑥2
𝑦2
2
+
𝑥𝑦3
3
|
0
1
)
1
0
𝑑𝑥
∫
𝑥2(1)2
2
+
𝑥(1)3
3
1
0
𝑑𝑥 = ∫
𝑥2
2
+
𝑥
3
1
0
𝑑𝑥 =
𝑥3
6
+
𝑥2
6
|
0
1
= (
13
6
+
12
6
) =
1
6
+
1
6
=
2
6
=
1
3
Nota. La evaluación de limite inferior es cero y por eso se hizo directo
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) =
1
3
−
7
12
7
12
= −
1
144
h) Calcule coeficiente de correlación de pearson entre x e y
𝑟 =
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦)
𝜎𝑥 𝜎 𝑦
=
−
1
144
√ 11
144
√ 11
144
= −
1
11
i) Calcule la esperanza matemática condicional de x dado y
𝐸(𝑥|𝑦) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥|𝑦)
𝑅𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓(𝑦)
1
0
𝑑𝑥 =
1
𝑓(𝑦)
∫ 𝑥(𝑥 + 𝑦)
1
0
𝑑𝑥 =
1
𝑓(𝑦)
∫ (𝑥2
+ 𝑥𝑦)
1
0
𝑑𝑥
1
𝑓(𝑦)
(
𝑥3
3
+
𝑥2
𝑦
2
)|
0
1
=
1
𝑓(𝑦)
(
13
3
+
12
𝑦
2
) =
1
𝑓(𝑦)
(
1
3
+
𝑦
2
) =
1
1
2
+ 𝑦
∙
2 + 3𝑦
6
=
(2 + 3𝑦)2
(1 + 𝑦)6
=
2 + 3𝑦
3(1 + 𝑦)
j) Calcule la varianza de x dado y
𝑉(𝑥|𝑦) = 𝐸(𝑥2|𝑦) − (𝐸(𝑥|𝑦))2
𝐸(𝑥2|𝑦) = ∫ 𝑥2
𝑓(𝑥|𝑦)
𝑅𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2
𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓(𝑦)𝑅𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑓(𝑦)
∫ 𝑥2
(𝑥 + 𝑦)
1
0
𝑑𝑥 =
1
𝑓(𝑦)
∫ (𝑥3
+ 𝑥2
𝑦)
1
0
𝑑𝑥

7. Estadística II Ramiro Kantuta Limachi
7
1
𝑓(𝑦)
(
𝑥4
4
+
𝑥3
𝑦
3
)
0
1
=
1
𝑓(𝑦)
(
14
4
+
13
𝑦
3
) =
1
1
2
+ 𝑦
(
1
4
+
𝑦
3
) =
1
1
2
+ 𝑦
(
3 + 4𝑦
12
) =
3 + 4𝑦
12(
1
2
+ 𝑦)
𝑉(𝑥|𝑦) = 𝐸(𝑥2|𝑦) − (𝐸(𝑥|𝑦))2
=
3 + 4𝑦
12 (
1
2
+ 𝑦)
− (
2 + 3𝑦
3(1 + 𝑦)
)2
=
3 + 4𝑦
(6 + 12𝑦)
− (
2 + 3𝑦
(3 + 3𝑦)
)2
𝑉(𝑥|𝑦) =
3 + 4𝑦
(6 + 12𝑦)
− (
2 + 3𝑦
(3 + 3𝑦)
)2