El documento presenta conceptos básicos de programación cuadrática, incluyendo funciones objetivo cuadráticas, cálculo de pendientes y distancias, ecuaciones para representar circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas. Explica cómo minimizar y maximizar funciones mediante programación lineal y cuadrática, con ejemplos numéricos.

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FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS
ESCUELA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA
PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA
Ahora la función objetivo f(x) debe ser cuadrática; esta incluye variables cuadráticas o el
producto de 2 variables.
La pendiente.
𝑚 =
𝑌2−𝑌1
𝑋2−𝑋1
𝑚 = tan ∝= 𝑦1
La distancia.
𝑑2 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
distancia de un punto a la recta
𝑑 = |
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐
√𝑎2 + 𝑏2
CIRCUNFERENCIA, HIPÉRBOLE, ELIPSE Y PARÁBOLA
Circunferencia
Esta se reconoce porque tiene dos variables elevadas al cuadrado con un mismo
coeficiente; se representa por: (𝑋1 − ℎ)^2 + ( 𝑋2 − 𝑘)^2
EJEMPLO 1:
𝑿 𝟐 + 𝟑𝑿 + 𝒀 𝟐 − 𝟓𝒀 = 𝟑
( 𝑥2 + 3𝑥 +
9
4
) + ( 𝑦2 − 5𝑦 +
25
4
) = 3 +
9
4
+
25
4
( 𝑥 +
3
2
)
2
+ ( 𝑦 −
5
2
)
2
=
23
2
Centro 𝐶 = (−
3
2
;
5
2
)
Radio 𝑅 = (
23√2
2
)

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EJEMPLO 2:
𝟐𝑿 𝟐 + 𝟐𝒀 𝟐 = 𝟕
𝑋2 + 𝑌2 = 3.5
𝐶 = (0;0)
𝑅 = √3.5
𝑅 = 1.87
Ecuación de la elipse
A diferencia de la ecuación que representa una circunferencia, en la elipse los
coeficientes de los cuadrados son diferentes.

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Las curvas que más se utilizan en I.O. son la circunferencia y la elipse.
Ecuación de la hipérbole
Cuando la ecuación tiene signo negativo representa una hipérbole.
Ecuación de la parábola
Se da cuando tengo una variable cuadrática y una lineal.
MINIMIZAR LA FUNCION
0321  XX
01058 2
1  XX
32 21  XX 1058 21  XX
Y = mx + b
X1= 2 X2 = 2 X1+2X2 =3
MINIMIZAR: -2 X1 -2 X2
1 X1 + 2 X2 ≤ 3
8 X1 + 5 X2 ≥ 10
1 X1 + 0 X2 ≥ 0
X1, X2 ≥ 0
8X1+5X2=10 X1+X2=3
   2
2
2
1 22  XX

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C(2,2) 2X2 = -X1 +3
2
31
2


X
X
2
3
2
1
12  XX
2
1
m m1xm2 =-1
1
2
1
2  xm m2=
2
1
1


m 2= 2
Ecuaciónde larecta
 xxmyy  1 2x1 – x2 = 2 121 xmm
x2 – 2 = 2(x1 -2) x1 + 2x2 = 3(-2) 1
2
1
2  m
x2 -2 = 2x1 – 4 2X1-X2 = 2
2
1
1
2


m
x2 – 2x1 = -4+2
5
4
45
642
22
2
2
21
21





x
x
xx
xx
m2 = 2
2x1-x2 = 2
22
2
5
4
2
5
3












z
2
5
4
2 1 x z= 3,4
5
4
22 1 x

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2
5
6
1 x
5
3
1 x
MINIMIZARLA FUNCIÓN
2
1212 XXXZ 
MINIMIZAR: -2 X1 -1 X2
2 X1 + 3 X2 ≤ 6
2 X1 + 1 X2 ≤ 4
1 X1 + 0 X2 ≥ 0
X1, X2 ≥ 0

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1.- 632 21  xx 2.- 42 21  xx
 
1
012
22
2
2
1
1
1
2
1
1
2
1
2
12
2
121





x
x
dx
dx
x
dx
dx
xxx
cxxx
Calculamos lapendiente
3
2
2
3
2
632
2
12
21



m
xx
xx
2
3
1
3
2
1
1
1
21



m
m
mm
X1 X2
0 2
3 0
X1 X2
0 4
2 0

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 
3
2
1
3
1
12
3
2
1
1
1



x
x
x
9
14
2
9
4
2
3
2
3
2
2
3
2
2
2
2
12










x
x
x
xx
c
c
cxxx









9
4
9
14
3
4
9
4
9
14
3
2
2
2
2
121
La pendiente esigual a
12
12
xx
yy
tgm


 
= primera derivada yꞌ
adyacente
opuesto


MAXIMIZAR
   
   22
22
13
4
33
22
13





yx
y
yx
yx
sa
yxz
X = 3 y =1
C(3,1)
22)1  yx 2)x+3y =3 3) y =4

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La rectamás cercana
C = ( 6, 8 )
X1+2X2 = 12
X1+2X2-12 = 0
x y
0 1
3 0
x y
0 2
1 0

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   
   
    
       
  
 
 





































2
12
122
812
4212
212
0122
2
6
10
2040
10
40040
10
2000160040
52
100544040
2
4
100405
64163624144448144
6416622126212
2086212
5
10
86
5
10
5
12166
1
2
12
1
1
21
21
2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
X
X
XX
X
X
XX
XX
X
X
X
X
X
X
a
acbb
X
XX
XXXXX
XXXX
XX
XX
kXhX
d
d
d
d

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MINIMIZAR
   2
2
2
1 86  XXZ
Sa X1 =7
X2 =5
X1 +2X2 = 12 X1+X2 = 9
X1=6 X2 = 8
C(6,8)
X Y
0 6
12 0
X Y
0 9
9 0
   2
2
2
1
1
21
21
2
1
86
0
9
122
5
7






XXZ
X
XX
XX
X
X

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CALCULO DE LA PENDIENTE
3X+4Y-5=0
4
3
4
5
4
3
1 

m
XY
Si lasrectas sonparalelas
3
4
2 m
m 1-m2=-1
f(x) = X2
+ 2X – 3
vértice de laparábola
a
b
VX
2

 12
2
xV V(h,k)
V= -1
PUNTO DE CORTE CON EL EJE Y
X = 0
 
     
  30
30200
32
2
2



F
F
XXXF
P = (0,3)
Sustituyendoel valorde h en lafunciónpara obtenerel vértice
F(x) = -12
+ 2(-1) – 3
F(x) = 1-2-3
F(x) = -4
PUNTO DE CORTE POR X
F(x) óy = 0 igualamoslafunciónacero
X2
+2X -3 = 0 (trinomiode laformasimple)

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(X+3)(X-1) = 0
(x+3) = 0 (X-1) = 0
X1=-3 X2 = 1
PUNTOSDE CORTE
P1(-3,0) P2(1,0)
OTRA FORMA DE RESOLVER(DANDOVALORESA X)
X2
+ 2X -3 = F(X)
(-4)2
+2(-4) – 3 = 5
(-3)2
+2(-3)-3= 0
(-2)2
+2(-2)-3= -3
(-1)2
+2(-1)-3= -4
(2)2
+2(2)-3 = 5
(3)2
+2(3)-3 = 12
(4)2
+2(4)-3 = 21
MINIMIZAR
X Y
-4 5
-3 0
-2 -3
-1 -4
0 -3
1 0
2 5
9 12
4 21

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Z = (X1-5) + (X2-10)
MINIMIZAR: -5 X1 -10 X2
1 X1 + 0 X2 ≤ 4
0 X1 + 1 X2 ≤ 6
1 X1 + 3 X2 ≤ 8
1 X1 + 1 X2 ≤ 10
X1, X2 ≥ 0
X1 = 4 X2 = 6 X1+3X2 = 8 X1 + X2 = 10
C(5,10)
12
+2(1,2)+22
X Y
0 2,7
8 0
X Y
0 10
10 0

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X1+3X2 = 8
X1 8 -3X2
   
2
2
2
2
1
10
27
105 





 XX
   
   
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
10
27
1002033
10
27
10538














XXX
XX
07291090380100
0
10
729
1093810
10
729
100209189
2
2
2
22
2
2
2
2
2
22



XX
XX
XXXX
0361380100 2
2
2  XX
a
acbb
X
2
42
2


  
 
200
380
200
144400144400380
1002
3611004380380
2
2
2
2





X
X
X
X1= 8-3X2 X1= 8-3(1,9)
9.12 X X1= 8-5,7 X1= 2,3

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   
22
22
31
810351






d
BA
CBXAX
d
P1 ( 2,3; 1,9)
COMPROBACIÓN
   
   
9,72
6,6529,7
109,153,2
105
22
2
2
2
1




Z
Z
Z
XXZ
ALGORITMO DE RAMIFICACIÓN YACOTAMIENTO
  aX  parte entera
La parte enteraesel númeroque noexcede al númerodado´.Candomaximizamosencontramos
el menorvalory cuandominimizamosencontramosel mayorvalor.
MAXIMIZAR
Z = 3X1 + 4X2 2X1+X2 = 6 2X1+3X2= 9
Sa
ALGORITMO DE RAMIFICACIÓN Y ACOTAMIENTO
 Este método se aplica para obtener soluciones enteras.
𝑥 ≤ ⟦ 𝑎⟧ 𝑥 ≥ ⟦ 𝑎⟧ + 1
X Y
0 6
3 0
X Y
0 3
4,5 0
9,72
10
27
10
27
2



d
d
d

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⟦−3,5⟧ = −4
⟦−3,8⟧ = −4
⟦−3,2⟧ = −4
⟦2,5⟧ = 2
⟦2,8⟧ = 2
⟦2,1⟧ = 2
La parte entera es el número que no excede al número dado.
 En esta técnica al maximizar encontramos el menor valor, y
 Al minimizar encontramos el mayor valor.
ALGORITMO DE BRANCH AND BOUND (RAMIFICACIÓN Y ACOTAMIENTO)
Es un algoritmo diseñado para la resolución de modelos de programación entera, sin
embargo, es muy frecuente que la naturaleza del problema nos indique que las variables
son enteras o binarias. Su operatoria consiste en resolver este como si fuese un modelo
de programación lineal y luego generar cotas en caso que al menos una variable de
decisión adopte un valor fraccionario. El algoritmo genera en forma recursiva cotas (o
restricciones adicionales) que favorecen la obtención de valores enteros para las variables
de decisión.
En este contexto resolver el modelo lineal asociado a un modelo de programación entera
se conoce frecuentemente como resolver la relajación continua del modelo entero.
MAXIMIZAR: 3 X1 + 4 X2
2 X1 + 1 X2 ≤ 6
2 X1 + 3 X2 ≤ 9
1 X1 + 0 X2 ≥ 0
X1, X2 ≥ 0
- 0 +

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2X1+X2 = 6
2X1+3X2 = 9
2
3
2
3
32
932
62
2
2
2
21
21







X
X
X
XX
XX
4
9
2
2
9
2
3
62
6
2
3
2
62
1
1
1
1
21





X
X
X
X
XX

18. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
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2
27
9
2
9
4
9
4
2
3
3















Z
Z
Z
50,1
2
3
25,2
4
9
75,12
4
51
2
1



X
X
Z
3
5
2
2
0.
2
932
62
2
2
1
21
1
21
21







X
X
X
XX
X
XX
XX
 
0
632
62
2
2
21



X
X
XX
2X1+1 = 6
2X1 = 5
X1 = 5/2
2X1 + 3(1) = 9
2X1 = 9-3
Z = 12,75
X1 = 2,25
X2 = 1,50
X1 ≤ 2 X1 ≥ 3
X1= 2
X2=1,67
Z= 12,67
Z= 9
X1= 3
X2 = 0
Z = 10
X1 = 2
X2≥ 1
Z= 12,67
Z = 12,5
X1 = 1,50
X2 = 2
Z= 12,67
 
1
3
3
33
9332
932
2
2
2
2
21





X
X
X
X
XX

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2X1 = 6
X1 = 6/2
X1 = 3
 
6
2
12
122
1862
6632
632
1
1
1
1
1
21







X
X
X
X
X
XX
EJERCICIO 1:
MAIMIZAR 𝒁 = 𝟑𝑿 𝟏 + 𝟒𝑿 𝟐
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9
𝑋𝑖 ≥ 0; 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠
DESARROLLO
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6
X y
0 6
3 0
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9
x y
0 3
9/2 0
C= (3, 3/2)
Resolver las ecuaciones por eliminación:
(-1) 2𝑋1 + 𝑋2 = 6
2𝑋1 + 3𝑋2 = 9
- 2𝑋1 − 𝑋2 = −6
2𝑋1 + 3𝑋2 = 9
2𝑋2 = 3
𝑋2 =
3
2
𝑋2 = 1,5 𝑍 = 3𝑋1 + 4𝑋2 𝑍 = 12,75

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Solución óptima o problema relajado
SOLUCIÓN ENTERA Z=12; X1=0 X2=3
Cotas:
𝑍 = 12
𝑋1 = 0
𝑋2 = 3
𝑍 = 10
𝑋1 = 1
𝑋2 = 2
𝑍 = 12,2
𝑋1 = 1
𝑋2 = 2,3
𝐼𝑛𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒
𝑍 = 10
𝑋1 = 2
𝑋2 = 1
𝑍 = 12,5
𝑋1 = 1,5
𝑋2 = 2
𝑍 = 12,8
𝑋1 = 2
𝑋2 = 1,7
𝑍 = 9
𝑋1 = 3
𝑋2 = 0
𝒁 = 𝟏𝟐,𝟕𝟓
𝑿 𝟏 = 𝟐, 𝟐𝟓
𝑿 𝟐 = 𝟑, 𝟐
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤ 2,5
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋1 ≤ 3
𝑋1 ≤ 2
𝑋2 ≤ 1
𝑋2 = 1
𝑋1 = 2
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤ 2
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋1 ≤ 1,5
𝑋1 ≤ 2
𝑋2 ≥ 2
𝑋2 = 2
𝑋1 = 1,5
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 2
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋2 ≤ 1,7
𝑋1 ≤ 2
𝑋1 = 2
𝑋2 = 1,7
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 0 𝑋2 = 0
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋2 ≤ 1
𝑋1 ≥ 3
𝑋1 = 3
𝑋2 = 0
X1≤2 X1≥3
X2≤1 X2≥2
X1≤1 X1≥2
X2≤2 X2≥3

21. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS
ESCUELA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA
EJERCICIO 2
MINIMIZAR 𝒁 = −𝟓𝑿 𝟏 − 𝟖𝑿 𝟐
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45
𝑋𝑖 ≥ 0; 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6
𝑋1 = 6
𝑋2 = 6
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45
X Y
0 5
9 0
−5𝑋1 − 5𝑋2 ≤ −30
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45
4𝑋2 ≤ 15
𝑋2 ≤ 3,75
𝑋1 + 3,75 ≤ 6
𝑋1 ≤ 2,25
𝑍 = −41,25
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 4
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋2 ≤ 2,3
𝑋1 ≤ 2
𝑋2 ≥ 2
𝑋1 ≤ 1
𝑋1 = 1
𝑋2 = 2,3
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 2
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋2 ≤ 1,7
𝑋1 ≤ 2
𝑋2 ≥ 2
𝑋1 ≥ 2
𝑋1 = 2
𝑋2 = 1
INFACTIBLE
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤ 2
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋1 ≤ 1,5
𝑋1 ≤ 2
𝑋2 ≥ 2
𝑋1 ≤ 1
𝑋2 ≤ 2
𝑋2 = 2
𝑋1 = 1
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤ 1,5
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋1 ≤ 0
𝑋1 ≤ 2
𝑋2 ≥ 2
𝑋1 ≤ 1
𝑋2 ≤ 3
𝑋2 = 3
𝑋1 = 0

22. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS
ESCUELA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA
SOLUCIÓN 𝑍 = −40 𝑋1 = 0 𝑋2 = 5
𝑍 = −39
𝑋1 = 3
𝑋2 = 3
𝑍 = −41
𝑋1 = 1,8
𝑋2 = 4
𝒁 = 𝟒𝟏,𝟐𝟓
𝑿 𝟏 = 𝟐, 𝟐𝟓
𝑿 𝟐 = 𝟑, 𝟕𝟓
𝑍 = −40,2
𝑋1 = 1
𝑋2 = 4,4
𝑁𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒
𝑍 = −37
𝑋1 = 1
𝑋2 = 4
𝑍 = −40
𝑋1 = 0
𝑋2 = 5
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤ 3
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋1 ≤ 3,6
𝑋2 ≤ 3
𝑋1 ≤ 3
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤ 2
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋1 ≤ 1,8
𝑋2 ≥ 4
𝑋1 ≥ 1,8
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 5
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋2 ≤ 4,4
𝑋2 ≥ 4
𝑋1 ≤ 1
𝑋1 = 1
𝑋2 ≤ 4,4
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 4
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋2 ≤ 3,89
𝑋2 ≥ 4
𝑋1 ≥ 2
𝑋1 = 1
𝑋2 = 4
No Factible
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 2
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋2 ≤ 1,8
𝑋1 ≤ 1
𝑋2 ≤ 4
𝑋2 = 4
𝑋1 ≤ 1
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 1
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋2 ≤ 0
𝑋1 ≤ 1
𝑋2 ≥ 5
𝑋2 = 5
𝑋1 = 0
X2≤3 X2≥4
X1≤1 X1≥2
X1≤1
X2≤4 X2≥5