ejercicios

1. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
1
CONJUNTOS NUMERICOS
INTRODUCCION
El objetivo fundamental de estas guías de ejercicios para el primer curso de matemáticas de los
estudiantes de las carreras de ingeniería, es el estudio del cálculo diferencial de funciones de
variable real. Los cursos de matemáticas posteriores exigen sólidos conocimientos de los
fundamentos del ´algebra y teoría de funciones de números reales, razón por la cual el material
propuesto se enfocara en los fundamentos básicos del ´algebra, números reales que los
estudiantes trataron en sus últimos cursos del bachillerato.
NUMEROS REALES: El conjunto de los números Reales (ℛ )está compuesto por los
subconjuntos de los Números Naturales (ℕ), los Números Enteros(ℤ), los Números racionales(ℚ )y
los Números Irracionales (Ι).
La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales recibe
el nombre de conjunto de los números reales, y se denota con el símbolo ℛ = ℚ ∪ Ι
Los números naturales que surgen con la necesidad de contar
ℕ = {1, 2, 3, 4,...}
Los números enteros que complementan a los naturales pues contienen a los negativos y el cero.
ℤ = {…− 3, −2,−1,0,1,2,3, … }
El conjunto de los Números Racionales (ℚ) que corresponden a la unión de todos los números
cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semi periódica. Es decir, el conjunto de
los números racionales está compuesto por todos los números que pueden ser escritos como una
fracción cuyo numerador es un número entero y denominador número entero (distinto de cero)
.
ℚ = {… , −
2
3
, −
1
2
, 0,
1
2
,
2
3
, … }
El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números
que admiten una expresión infinita no periódica.

2. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
2
1, Lógica proposicional
Realizar las operaciones lógicas utilizando las tablas para encontrar todos los
valores de verdad
𝑎) 𝑝 ∧∼ 𝑞) → ~𝑝
𝑏) 𝑝∨ 𝑞) ∧ 𝑝 → 𝑞)
𝑐) 𝑝 ↔ 𝑞) → ~𝑟

3. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
3
𝑑) 𝑝∧ 𝑞) ∨ ~𝑝 ∧∼ 𝑟)
𝑒) 𝑝 →∼ 𝑞) ∨ 𝑞 → 𝑟)

4. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
4
2. Teoría de Conjuntos
Realizar las siguientes operaciones entre conjuntos y sombree su respectivo
diagrama de ven

5. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
5
U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {0,1,3,5,7,9} B = {0,2,4,6,8} C = {0,1,2,3,5,6,8,9}
𝒂) 𝑨 ∪ 𝑩) ∩ 𝑪
𝒃) 𝑨 ∪ 𝑩) 𝒄
∩ 𝑪
𝒄) 𝑩 𝒄
∩ 𝑪 − 𝑨)

6. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
6
𝒅) 𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) 𝒄
𝒆) 𝑨 − 𝑩 − 𝑪)

7. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
7
𝒇) 𝑨 ∪ 𝑩) − 𝑪 ∩ 𝑨)
𝒈) 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪) 𝒄

8. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
8
3. Realiza los siguientes ejercicios de operaciones entre números enteros
teniendo en cuenta las propiedades:

9. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
9
𝑎) −10)− +2) + −5)+ +4)− −20) =
𝑏) +15) − −15) − +15) + −15) =
𝑐) −2). +7). −12). +5) =
𝑑) −10). +2). −5). +4). −20) =
𝑒) +15)− −15) . +15)+ −15) =
𝑓) +15)− −15) . +15)+ −15) =
−2) − +7) − −12) + +5) = −2)− 7) + 12)+ +5) = −2 − 7) +
12 + 5) = −9)+ 17) = 8

10. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
10
4. Calcula las siguientes potencias:
a) −1)20
=
b) −1)33
=
𝑐) −3)5
. 2)4
. −4)2
+ −2) =
𝑑)
−3)5
. +7)2
−4)2 + −2)
=
𝑑)
2)3
. −5)2
−3)2. −3)
=
5. Efectúa las siguientes operaciones de Números racionales:
𝑎)
1
6
+
2
6
+
3
6
=

11. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
11
𝑏)
2
5
+
3
6
+
7
8
=
𝑐) −3).
2
4
+
3
8
+
2
4
+
3
6
=
𝑑) −2) ÷
1
6
+
2
6
+
3
6
=
𝑒)
2
5
+
3
6
+
7
8
÷
1
6
+
2
6
+
3
6
=
6. Efectúa las siguientes operaciones de expresiones algebraicas:
𝑎) 𝑥3
+ 2𝑥2
− 6𝑥2
=
𝑏) 𝑎3
. 𝑎7
=
𝑐) 35
. 𝑎5) =

12. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
12
𝑑) 𝑎4)5
=
𝑒)
𝑎7
𝑎3
=
𝑓) 3−2
=
7. Efectúa las siguientes operaciones con números decimales:
𝑎) 233,34 × 100 =
𝑏) 22,56× 1000 =

13. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
13
𝑐) 6,34× 10.000 =
𝑑) 234,5÷ 10 =
𝑒) 34,234 ÷ 100 =
8. Halle el valor de las siguientes raíces propuestas:
𝑎) 256 =
𝑏) −64
3
=
𝑐) 256
4
=
𝑑) −3125
5
=
𝑒) 1024 =
9. Halle el valor de las siguientes expresiones:
𝑎) 91/2
=
𝑏) 642/3
=
𝑐) 9−1/2
=

14. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
14
𝑑) 1251/3
=
𝑒) 64−1/3
=
10.transformar las siguientes expresiones radicales a potencia:
𝑎) 26
4
=
𝑏) −833
2
=
𝑐) 5−33
3
=
𝑑) 235
4
=
𝑒) 42
−2
=
11.Racionalizar las siguientes expresiones racionales:
𝑎)
3
7
=
𝑏)
2 + 3
3 − 2
=

15. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
15
𝑐)
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 𝑦
=
𝑑)
5
3 + 2
=
𝑒)
3 3 + 4 2
2 7
=
12. Utilice las propiedades de los logaritmos para Calcular el valor de (𝑥) en
las siguientes ecuaciones:
𝑎) log 𝑥) + log 20) = 3
𝑏)log 𝑥3) = log 6)+ log 𝑥2
)
𝑐)2log 𝑥) = log 10 − 3𝑥)

16. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
16
𝑑)3log 𝑥) − log 32) = log 𝑥) − log 2)
𝑒) ln 𝑥2
− 1) − ln 𝑥 − 1) = ln
1
3
13.Utilice las propiedades de los exponentes para Calcular el valor de (𝑥) en
las siguientes ecuaciones:
𝑎) 3 𝑥
= 27
𝑏)2 𝑥+2
= 16
𝑐) 2 𝑥+1)2
= 64

17. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
17
𝑑) 2 𝑥+1
+ 2 𝑥−1
= 20
𝑒) 32𝑥−2
+ 3 𝑥−1
= 12
14.Calcule el valor de (𝑥) en las siguientes proporciones racionales:
𝑎)
7
𝑥
=
42
12
𝑏)
𝑥
3
=
45
15

18. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
18
𝑐)
4
6
=
𝑥
8
𝑑)
12
5
=
𝑥
10
𝑒)
𝑥
6
=
6
8
15.Utilice las proporciones para resolver los siguientes problemas:
a) Por un grifo fluye agua a razón de 4 𝑚3
cada 10 horas, ¿Qué cantidad de
agua fluirá en dos semanas?.

19. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
19
b) Tres alumnos montan una tarima para un evento en 4 horas, ¿Cuánto
tardaran 5 alumnos en montar la misma tarima?.
c) Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas,
¿cuántos trabajadores se necesitarán para levantar un muro de 75 metros
en 26 horas?
d) Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por $792.000
pesos. ¿cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días?

20. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
20
e) Dos bombas de agua trabajando 3 horas diarias llenan un tinaco en 2 días.
¿En cuánto tiempo se llenará el tinaco con 3 bombas trabajando 2 horas
diarias?
14. Utilice las propiedades de los números reales para resolver las siguientes
ecuaciones:
𝑎) 𝑥2
− 1 = 𝑥 + 1)2
− 3𝑥

21. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
21
𝑏) 2𝑥 + 5 = 3𝑥 − 7
2
3
𝑥 − 2) =
1
4
𝑥 − 5)
𝑑) 3𝑥 − 5. 𝑥 − 2) = 8
𝑒)
3𝑥 − 4
2
=
5 − 𝑥
3

22. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
22
15.Resolver las siguientes inecuaciones y grafique la solución en la recta
numérica:
𝑎) 2𝑥 − 3 > 5
𝑏) 2𝑥 + 5 ≤ 3𝑥 − 8
𝑐)
2𝑥 − 3
𝑥 − 1
≥ 1
𝑑) 𝑥 − 1). 𝑥 + 2) ≤ 𝑥2
+ 1

23. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
23
𝑒)
𝑥 − 3
5
+
2𝑥 + 6
2
≥
𝑥
4
−
3𝑥 − 6
2
16.Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto y grafique la
solución en la recta numérica como un intervalo:
𝑎) 2𝑥 − 1 > 1
𝑏) 2 − 5𝑥 ≤ 3
𝑐)
1 − 2𝑥
3
≤ 5

24. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
24
𝑑) 2𝑥 − 6 ≤ 3
𝑒 )
1
5
𝑥 +
6
3
≥ −
1
4
17.Para las siguientes ecuaciones cuadráticas encuentre su solución
𝑎) 𝑥2
− 5𝑥 + 6 = 0
𝑏) 2𝑥2
− 7𝑥 + 3 = 0
𝑐) − 𝑥2
+ 7𝑥 − 10 = 0

25. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
25
𝑑)𝑥2
− 2𝑥 + 1 = 0
𝑒) 𝑥2
− 4𝑥 + 4 = 0
18. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por los métodos
estudiados, (reducción, Sustitución, Igualación y Regla de Cramer)
a) {
4𝑥 + 3𝑦 = 11
5𝑥 − 2𝑦 = 8

26. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
26
b) {
3𝑥 + 2𝑦 = 7
2𝑥 − 3𝑦 = 9
c) {
5𝑥 − 2𝑦 = 4
3𝑥 + 4𝑦 = 18
d) {
4𝑥 − 3𝑦 = 10
5𝑥 − 6𝑦 = −7

27. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
27
e) {
2𝑥 + 3𝑦 = 10
5𝑥 − 6𝑦 = −2
19. Resolver las siguientes desigualdades lineales por el método grafico
𝑎) 𝑥 − 𝑦 > 5
𝑏) 𝑦 < 2𝑥 + 3

28. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
28
𝑐) 𝑦 ≤ 𝑥 + 1
𝑑) 𝑦 − 3 ≥ −𝑥 + 6
𝑒) 3𝑥 + 5𝑦 ≥ 2𝑥 + 𝑦

29. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
29
20. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales
𝑎) 𝑥 + 3 = 4
𝑏) 2𝑥2 − 1 = 𝑥
𝑐) 𝑥 + 4 + 𝑥 − 1 = 5
𝑑) 𝑥 + 3 = 5𝑥 − 1

30. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
30
𝑒) 2𝑥 + 1 − 𝑥 − 3 = 2
21. Factorizar las siguientes expresiones según sea el caso que represente
Factor Común
𝑎) 𝑥3
+ 𝑥2
=
𝑏) 2𝑥4
+ 4𝑥2
=
𝑐)𝑥2
− 4𝑥3
=
𝑑) 4𝑥2
− 2𝑥 + 10𝑥3
=
𝑒) 4𝑥2
𝑦 − 4𝑥𝑦2
+ 8𝑥3
𝑦3
=
22. Facor comun por agrupacion
𝑎) 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑥 =
𝑏) 𝑎𝑏 − 1 + 𝑎𝑏𝑥 + 𝑥 =

31. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
31
𝑐) 6𝑎𝑏2
𝑥 + 4𝑏2
+ 21𝑎𝑥 − 14 =
𝑑) 2𝑏3
+ 3𝑐3
− 2𝑏3
𝑥 − 3𝑐3
𝑥 =
𝑒) 2𝑥 − 𝑦 − 2 − 8𝑎𝑥 + 4𝑎𝑦 + 8𝑎 =
23. Diferencia de cuadrados
𝑎) 36𝑏2
− 9 =
𝑏) 54𝑎8
𝑏2
− 49 =

32. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
32
𝑐) 25𝑥2
− 9𝑦2
=
𝑑) 121− 𝑥2
𝑦6
=
𝑒) 𝑎2
𝑥4
− 36𝑦2
=
24. Trinomio de la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎) 𝑥2
+ 3𝑥 + 2 =
𝑏) 𝑥2
+ 5𝑥 − 36 =

33. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
33
𝑐) 𝑥2
− 10𝑥 − 24 =
𝑑) 𝑥2
− 20𝑥 + 36 =
𝑒) 𝑥2
+ 𝑥 − 30 =
25. Trinomio de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑐 + 𝑐
𝑎) 2𝑥2
+ 7𝑥 − 5 =
𝑏) 11𝑥2
+ 21𝑥 + 10 =
𝑐) 3𝑥2
− 4𝑥 + 1 =

34. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
34
𝑑) 10𝑥2
− 51𝑥 + 5 =
𝑒) 4𝑥2
+ 44𝑥 + 121 =
26. Suma de cubos 𝑎3
+ 𝑏3
= 𝑎 + 𝑏) 𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2)
𝑎) 𝑥3
+ 8 =
𝑏) 𝑎3
𝑥3
+ 27 =
𝑐) 64𝑥6
+ 27𝑦3
=
𝑑) 𝑥9
+ 125𝑦6
=

35. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
35
𝑒) 𝑥3
+
1
8
=
27. Diferencia de cubos 𝑎3
− 𝑏3
= 𝑎 − 𝑏) 𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2)
𝑎) 𝑥3
− 27 =
𝑏) 𝑎6
𝑥3
− 8 =
𝑐) 64𝑥6
− 27𝑦3
=
𝑑) 27𝑥9
− 125𝑎3
𝑦24
=

36. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
36
𝑒)
𝑥3
𝑦3
− 1 =

37. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
37
28. Casos combinaos
𝑎)2𝑎 𝑥3
− 2𝑎 =
𝑏) 𝑎𝑥2
− 5𝑎𝑥 − 6𝑎 − 4𝑥2
− 20𝑥 − 24 =
𝑐) 𝑥6
− 64𝑦12
=
𝑑) 𝑥4
− 𝑦4
=
𝑒) 3𝑎6
𝑏 − 3𝑏𝑥2
+ 𝑎6
− 𝑥4
=
Función lineal y función afín

38. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
38
30. Funciones lineales 𝑓 𝑥) = 𝑎𝑥 𝑜 𝑦 = 𝑎𝑥
Para las siguientes funciones lineales haga la gráfica y responda, a) por donde
corta la gráfica al eje y, b) cuál es su pendiente, la función es creciente o
decreciente, c) dibuje la gráfica
.
𝑎) 𝑦 = 4𝑥
𝑏) 𝑓 𝑥) =
1
2
𝑥
𝑐) 𝑦 = −5𝑥

39. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
39
𝑑) 𝑓 𝑥) =
2
3
𝑥
𝑒) 𝑦 = −
1
4
𝑥

40. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
40
31.Función afín 𝑓 𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑜 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑎) 𝑦 = 3𝑥 + 4
𝑏) 𝑓 𝑥) = −2𝑥 − 3
𝑐) 𝑦 =
𝑥
3
+
1
2

41. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
41
𝑑) 𝑓 𝑥) =
2
3
𝑥 −
3
4
𝑒) 𝑦 = −
1
4
𝑥 + 5

42. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
42
32. Función Cuadrática 𝑓 𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Para las siguientes funciones cuadráticas hacer el análisis de:a) cortes con los
ejes, b) vértice de la parábola, c) representación grafica
𝑎) 𝑦 = 𝑥2
− 6𝑥 + 8
𝑏) 𝑓 𝑥) = −𝑥2
− 4𝑥 − 3
𝑐) 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑥 + 1

43. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
43
𝑑) 𝑓 𝑥) = 𝑥2
− 6𝑥 + 5
𝑒) 𝑦 = −3𝑥2
− 6𝑥 + 12

44. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
44
33. Función Racional 𝑓 𝑥) =
𝑘
𝑥
Para las siguientes funciones racionales hallar a) el dominio de la función, b) las
asíntotas si las tiene, c) corte con los ejes si los tiene.
𝑎) 𝑦 =
3
𝑥 − 1
𝑏) 𝑓 𝑥) =
𝑥 − 2
2𝑥 − 3

45. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
45
𝑐) 𝑦 =
𝑥 − 3
𝑥2 − 1
𝑑) 𝑓 𝑥) =
3𝑥 − 2
𝑥 + 1

46. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
46
𝑒) 𝑦 =
3𝑥2
− 6
𝑥2 + 1