Un propietario de bar gastó 5000€ en refrescos, cerveza y vino. El vino costó 600€ menos que la suma de refrescos y cerveza. Con impuestos de 6%, 12% y 30% respectivamente, la factura total fue de 5924€. Resolviendo un sistema de ecuaciones, gastó 1200€ en refrescos, 1600€ en cerveza y 2200€ en vino.

1. Sistemas de ecuaciones lineales Problemas El propietario de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de 5000€ (sin impuestos). El vino vale 600€ menos que los refrescos y la cerveza juntos. Si tenemos en cuenta que por los refrescos ha de pagar un IVA del 6%, por la cerveza del 12% y por el vino del 30%, con lo que la factura con impuestos sube a 5924€, calcula la cantidad invertida en cada tipo de bebida.

2. Solución: Sea x  cantidad invertida en refrescos y  cantidad invertida en cerveza z  cantidad invertida en vino Impuestos  0,06 x + 0,12 y + 0,30 z = 924 Buscamos ecuaciones en el enunciado del problema: El vino vale 600€ menos que la cerveza y el vino  z = x + y – 600 Invertido 5000€  x + y + z = 5000 El propietario de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de 5000€ (sin impuestos). El vino vale 600€ menos que los refrescos y la cerveza juntos. Si tenemos en cuenta que por los refrescos ha de pagar un IVA del 6%, por la cerveza del 12% y por el vino del 30%, con lo que la factura con impuestos sube a 5924€, calcula la cantidad invertida en cada tipo de bebida.

3. Solución: Obtenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Lo resolvemos por el método de Gauss:  z = 2.200 Obtenemos un sistema escalonado: Solución: invierte 1.200€ en refrescos, 1.600€ en cerveza y 2.200€ en vino.  6 y = 62.400 – 24·2.200 = 9.600  y = 1.600  x = 5.000 –1.600 – 2.200 = 1.200

4. Solución: z = 2.200 Comprobación: Invierte 5.000€: 1.200 + 1.600 + 2.200 = 5.000 El vino vale 600€ menos que los refrescos y la cerveza juntos: 2.200 = 1.200 + 1.600 – 600 Impuestos: 1.200·0,06 + 1.600·0,12 + 2.200·0,30 = 72 + 192 + 660 = 924 y = 1.600 x = 1.200