1) El documento describe los conceptos básicos de vectores fijos y libres en el plano, incluyendo sus características como módulo, dirección y sentido. 2) Explica cómo dos puntos definen un vector fijo y cómo un vector libre representa un conjunto de vectores fijos equipolentes. 3) Introduce las nociones de bases, coordenadas y sistemas de referencia para representar vectores en el plano.

1. VECTORES Y GEOMETRÍA

2. VECTORES FIJOS EN EL PLANO

3. Vector fijo
• Es un par de puntos del plano dados en un
cierto orden.
퐴퐵
A
B
• 퐴 es el origen.
• 퐵 es el extremo.

4. • Dos puntos diferentes del plano A y B
permiten definir dos vectores distintos:
퐴퐵
퐵퐴
A
B
B
A

5. • Los vectores fijos, 퐴퐴, 퐵퐵,… en los que el
origen coincide con el extremo, se llaman
vectores fijos nulos y sus representaciones
gráficas son los puntos: A, B, C,….

6. Características de un vector fijo

7. • Un vector fijo queda determinado si se conoce
su origen y su extremo. Pero también si se
conocen sus características:
• Módulo.
• Dirección.
• Sentido.
• Punto de aplicación.

8. Módulo
• Se llama módulo del vector fijo 퐴퐵, y se
denota por 퐴퐵 , a la longitud del segmento
퐴퐵.

9. Dirección
• Se llama dirección del vector fijo no nulo 퐴퐵,
a la definida por la recta 퐴퐵, o cualquiera de
sus paralelas.
• Si dos vectores fijos no nulos 퐴퐵 y 퐶퐷, tienen
la misma dirección, se escribe: 퐴퐵 퐶퐷; y si
no, 퐴퐵 퐶퐷

10. Sentido
• Se llama sentido del vector fijo no nulo 퐴퐵,al
definido por el movimiento de A a B.
• Si dos vectores no nulos del mismo sentido de
la misma dirección 퐴퐵 푦 퐶퐵, tienen el mismo
sentido, se expresa 퐴퐵 ↑ 퐶퐷, y si tienen
sentido contrario, 퐴퐵 ↓ 퐶퐷.
• Los vectores fijos nulos, tienen por convenio,
el mismo sentido.

11. Punto de aplicación
• El punto de aplicación de un vector fijo es su
origen.

12. Equipolencia de vectores

13. Definición
• Dos vectores fijos 퐴퐵 푦 퐶퐷, son equipolentes
si tienen el mismo módulo, dirección y
sentido.
• Esto se expresa 퐴퐵~ 퐶퐷.
• Si no son equipolentes, 퐴퐵~ 퐶퐷.

14. Vectores libres

15. Definición
• Vector libre es el conjunto formado por un
vector fijo y todos sus equipolentes.
• Se llama representante del vector libre a
cualquiera de los elementos del conjunto.
• El vector libre, de representante el vector fijo
퐴퐵, se expresa:
퐴퐵 = 푋푌 푋푌~퐴퐵

16. • El vector formado por todos los vectores fijos
nulos, se llama vector ceroy se denota por 0.
0 = 퐴퐴, 퐵퐵, … . .

17. • Si no se desea especificar ningún
representante, podemos designar a los
vectores libres con letras minúsculas: 푎 , 푏, 푐 ,…
• Dos vectores libres son iguales si tienen
representantes equipolentes.
퐴퐵 = 퐶퐷 ↔ 퐴퐵~퐶퐷

18. Características de un vector libre
• Un vector libre queda determinado si se
conocen:
– Módulo.
– Dirección.
– Sentido.

19. Operaciones con vectores libres

20. Suma de vectores libres
• Sean 푎 y 푏 dos vectores libres cualesquiera y O
un punto del plano.
• Sea 푂퐴 el único representante de 푎 con origen
en O y 퐴퐵 el único representante de 푏 con
origen en A.
• La suma de esos dos vectores es:
• Y no depende de O.

21. Propiedades
• Asociativa:
푎 + 푏 + 푐 = 푎 + 푏 + 푐
• Conmutativa:
푎 + 푏 = 푏 + 푎
• Elemento neutro:
퐸푠 푒푙 푣푒푐푡표푟 푛푢푙표 0
• Elemento opuesto:
퐸푙 표푝푢푒푠푡표 푑푒 푎 푒푠 − 푎

22. Producto de un número real por un
vector libre
• Se llama producto de un número real x por un
vector 푎 , al vector libre 푥푎 que tiene las
características:
• Módulo: 푥푎 = 푥 . 푎 .
• Dirección: 푥푎 푎 .
• Sentido: 푥푎 ↑ 푎 si 푥 > 0
푥푎 ↓ 푎 si 푥 < 0

23. Vectores colineales
• Dos vectores libres son colineales si sus
representantes con origen común se
encuentran en la misma recta.
푎 푦 푏 푐표푙푖푛푒푎푙푒푠 푎 푦 푏 푛표 푐표푙푖푛푒푎푙푒푠

24. Observaciones
• El vector libre 0es colineal con cualquier
vector libre.
• Decir de dos vectores libres distintos de 0 que
son colineales equivale a decir que tienen la
misma dirección.
• Decir de dos vectores libres que no son
colineales equivale a decir que son distintos de
cero y de distinta dirección.

25. Bases y coordenadas

26. Bases
• Una base es un par ordenado de vectores
libres no colineales.
• Una base ortonormal o métrica es aquélla
cuyos vectores son perpendiculares y
unitarios. De módulo 1.

27. Observación
• A partir de ahora trabajaremos solo con este
último tipo de bases, que denotaremos así:
{i,j}.
• Como las bases del plano tienen dos vectores,
se dice que la dimensión del plano es 2.

28. Propiedades
1. Todo vector 푎 se puede descomponer según
la base 푖 , 푗 del siguiente modo: 푎 = 푥푖 + 푦푗

29. 2. La descomposición del vector a en la base
{푖, 푗} es única.

30. Coordenadas
• Se llaman coordenadas del vector 푎 = 푥푖 +
푦 푗 en la base { 푖, 푗} al par ordenado de números
(푥, 푦).

31. • Observa que, fijada una base, un vector libre
queda determinado si se conocen sus
coordenadas en dicha base, ya que se puede
dibujar fácilmente un representante.
• Recíprocamente, fijada una base y dibujado un
representante de un vector libre hay que saber
calcular sus coordenadas en dicha base. Para ello
basta ir de su origen a su extremo por caminos
paralelos a los vectores de la base.

32. Observaciones
• Fijada una base, el vector 푎 = 푥푖 + 푦푗 puede,
pues, identificarse con sus coordenadas en
dicha base, esto es: 푎 = (푥, 푦).
• A partir de ahora supondremos fijada una
base métrica { 푖, 푗}.

33. Propiedades
Sean 푎 = (푥, 푦) y 푏 = (푥′, 푦′) dos
vectores y 푡un número real:

34. Primera
푎 = 푏 ↔ 푥 = 푥′, 푦 = 푦′.
Es la segunda propiedad de las bases expresada
de otro modo.

35. Segunda
• Las coordenadas del vector suma son la suma
de las coordenadas de los vectores sumandos.
• Esto es:
푎 + 푏 = (푥 + 푥′, 푦 + 푦′)

36. Tercera
• Las coordenadas del vector producto t·a son
las coordenadas del vector a multiplicadas por
el número t. Esto es: 푡푎 = (푡푥, 푡푦).

37. EL PLANO AFÍN

38. 1.- Vector de posición de un punto
• Si fijamos un punto O en el plano, a cada
punto de éste se le puede asociar un vector li-bre;
y a cada vector libre, un punto. En efecto:
• Al punto A se le puede asociar el vector [푂퐴].
• Al vector 푥 se le puede asociar el punto X tal
que [푂푋] = 푥 .

39. 2.- Sistemas de referencia
• Un punto y una base definen un sistema de
referencia.
• Si la base es ortonormal o métrica, el sistema
se llama ortonormal o métrico .

40. • A partir de ahora supondremos fijado un
sistema de referencia métrico {푂; 푖, 푗}.

41. • El punto O se llama origen de coordenadas.
• La recta que pasa por O y tiene la dirección de
i se llama eje de abscisas o primer eje.
• La recta que pasa por O y tiene la dirección de
j se llama eje de ordenadas o segundo eje.

42. • Las semirrectas OX y OX' se denominan,
respectivamente, semieje positivo y semieje
negativo de abscisas. Del mismo modo, las
semirrectas OY y OY' se denominan semieje
positivo y semieje negativo de ordenadas.

43. • Las cuatro regiones en las que los ejes dividen
al plano se llaman cuadrantes: XOY es el
primer cuadrante; YOX', el segundo; X'OY', el
tercero; e Y'OX, el cuarto.

44. 3.- Coordenadas de un punto
• Se llaman coordenadas del punto A en el
sistema de referencia {푂; 푖, 푗} a las
coordenadas de su vector de posición [푂퐴] en
la base { 푖, 푗}. Para indicar que el punto A tiene
de coordenadas (x,y), se escribe A(x,y). Es
decir:
퐴(푥, 푦) ↔ [푂퐴] = 푥 · 푖 + 푦 · 푗
• La primera coordenada del punto A se llama
abscisa y la segunda, ordenada.

45. Aplicaciones

46. 1.- Coordenadas de un vector libre
determinado por dos puntos
• Si 퐴(푥푎, 푦푎) 푦 퐵(푥푏, 푦푏) son dos puntos cua-lesquiera,
se verifica:
[퐴퐵] = (푥푏 − 푥푎, 푦푏 − 푦푎)

47. 2.- Coordenadas del punto medio de
un segmento
• Si 푀(푥푚, 푦푚) es el punto medio del segmento
de extremos 퐴(푥푎, 푦푎 ) 푦 퐵(푥푏, 푦푏), se verifica:
푥푚 =
푥푎 + 푥푏
2
; 푦푚 =
푦푎 + 푦푏
2

48. 3.- Coordenadas del baricentro de un
triángulo
• Si G(x,y) es el baricentro del triángulo que
tiene por vértices los puntos
퐴(푥푎, 푦푎), 퐵(푥푏, 푦푏) 푦 퐶(푥푐 , 푦푐 ), se verifica:
풙품 =
풙풂 + 풙풃 + 풙풄
ퟑ
; 풚품 =
풚풂 + 풚풃 + 풚풄
ퟑ

49. Ecuaciones de la recta

50. 1.- Vector direccional de una recta
• Se llaman vectores direccionales de una recta
a los vectores distintos de 0que tienen su
misma dirección.

51. • Si de una recta solo se conoce un vector
direccional, no queda determinada ya que
todas las rectas paralelas comparten dichos
vectores.

52. • Para que una recta quede determinada nos
deben dar, además de un vector direccional,
un punto por el que pasa dicha recta. Ambos
datos juntos constituyen una determinación
lineal de la recta.

53. 2.- Ecuación vectorial
• Si 푋(푥, 푦) es un punto cualquiera del plano, es
evidente que:
푋푟 ↔ 푃푋 푦 푣 푠표푛 푐표푙푖푛푒푎푙푒푠 ↔
[푃푋] = 푡 · 푣 ↔ [푃푂] + [푂푋] = 푡 · 푣 ↔
[푂푋] = [푂푃] + 푡 · 푣
Por las propiedades de los vectores colineales.

54. Ecuación vectorial de la recta
풙, 풚 = 풙ퟎ, 풚ퟎ + 풕 풗ퟏ, 풗ퟐ

55. 3.- Ecuaciones paramétricas
• De la ecuación vectorial de la recta se deduce:
푥, 푦 = 푥0, 푦0 + 푡 푣1, 푣2 →
푥, 푦 = (푥0, 푦0) + (푡푣1, 푡푣2) →
푥, 푦 = (푥0 + 푡푣1, 푦0 + 푡푣2)
• Y finalmente:
풙 = 풙ퟎ + 풕풗ퟏ
풚 = 풚ퟎ + 풕풗ퟐ

56. 4.- Ecuación continua
• Sea la recta r que pasa por el punto 푃 푥0, 푦0 y
tiene por vector direccional a 푣 푣1, 푣2 . Si
푋 푥, 푦 es uno cualquiera de sus puntos:
푋 ∈ 푅 ↔ 푃푋 y 푣 son colineales.
풙 − 풙ퟎ
풗ퟏ
=
풚 − 풚ퟎ
풗ퟐ

57. 5.- Ecuación general o implícita
• De la ecuación continua de la recta se deduce:
푥 − 푥0
푣1
=
푦 − 푦0
푣2
→ 푣2 푥 − 푥0 = 푣1 푦 − 푦0
푣2푥 − 푣2푥0 = 푣1푦 − 푣1푦0
• Pasando todo al primer miembro:
푣2푥 − 푣1푦 − 푣2푥0 + 푣1푦0 = 0
푨풙 + 푩풚 + 푪 = ퟎ

58. Observaciones
• Observa que si 푣 = 푣1, 푣2 es un vector di-reccional
de r, la ecuación de esta recta es 풗ퟐ풙 −
풗ퟏ풚 + ⋯ . = ퟎ.
• Recíprocamente, si la ecuación de la recta r es
퐴푥 + 퐵푦 + 퐶 = 0, 풗 = −푩, 푨 es un vector
direccional de r.
• Es fácil ver también que las rectas paralelas a
퐴푥 + 퐵푦 + 퐶 = 0, tienen de ecuación퐴푥 + 퐵푦 +
⋯ = 0, ya que todas ellas tienen por vector direc-cional,
푣 −퐵, 퐴 .

59. 6.- Ecuación punto-pendiente
• Si 푣 es un vector direccional de la recta r, se
llama pendiente de la recta r, y se denota por
m, al cociente 푣2
푣1. Si 푣1 = 0, la recta, por
definición, no tiene pendiente.

60. • Geométricamente, la pendiente indica la
inclinación de la recta respecto del eje de
abscisas.

61. Ecuación punto pendiente de la recta
• De la ecuación continua de la recta, si ésta no es
paralela al eje de ordenadas, esto es, si 푣1 ≠ 0,
se deduce:
•
풙−풙ퟎ
풗ퟏ
=
풚−풚ퟎ
풗ퟐ
→ 풗ퟏ 풚 − 풚ퟎ = 풗ퟐ 풙 − 풙ퟎ
풚 − 풚ퟎ =
풗ퟐ
풗ퟏ
풙 − 풙ퟎ = 풎 풙 − 풙ퟎ
• que es la ecuación punto-pendiente de la recta
que pasa por el punto 푃 푥0, 푦0 y tiene por
pendiente m.

62. 7.- Ecuación explícita
• De la ecuación punto pendiente:
푦 − 푦0 = 푚 푥 − 푥0
• Desarrollando y despejando y:
풚 = 풎풙 + 풏
• que es la ecuación explícita de la recta r