Este documento presenta un trabajo final de álgebra. Explica conceptos básicos como definiciones de álgebra, clasificación de términos y grado de polinomios. Luego describe operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división con ejemplos. Finalmente, cubre temas como factorización, ecuaciones de primer y segundo grado, y fracciones complejas. El documento provee una introducción completa a los conceptos y operaciones fundamentales del álgebra.

1. Trabajo final de Matemáticas
Susana Ceniceros Becerra
1 “a”
1

2. Indice
Algebra Definicion
Operaciones Algebraicas
Suma……………………………………………………………………………………………………………………………………………..3
Ejemplo de Suma
Resta
Ejemplo de Resta
Multiplicacion…………………………………………………………………………………………………………………………………4
Ejemplo de Multiplicacion
Division/Ejemplos…………………………………………………………………………………………………………………………..5
Monomio entre monomio & Polinomio entre polinomio/Ejemplos
Polinomio entre polinomio/Ejemplos……………………………………………………………………………………………6
Conclusiones
Prductos Notables
Binomio a una potencia
Binomio al cuadrado/Ejemplos
Binomio al cubo/ Ejemplos…………………………………………………………………………………………………………….7
Binomio a potecia superior/Ejemplo
Binomio termino comun/Ejemplo
Binomio Conjugado/Ejemplo
Conclusion………………………………………………………………………………………………………………………………………8
Factorizacion
Factor Comun/Ejemplo
Agrupacion/Ejemplo…………………………………………………………………………………………………………………….. 9
Trinomios Cudraticos
TCP/Ejemplo
ax2+bx+c/Ejemplo
Diferencia de Cuadrados /Ejemplo
Suma y Diferencia de cubos/Ejemplo
Conclusion……………………………………………………………………………………………………………………………………10
Division Algebraica
Simplificacion/Ejemplo
Multiplicacion y Division/Ejemplo………………………………………………………………………………………………..11
Suma y Resta/Ejemplo
Conclusion
Fraccion Compleja
Ecuaciones Lineales……………………………………………………………………………………………………………………12
Una Incognita/Ejemplo………………………………………………………………………………………………………………..13
Graficas ………………………………………………………………………………………………………………………………….14-15
Dos incognitas/Ejemplo …………………………………………………………………………………………………………15-16
Problemas
Ecuacion Caudraticas
Metodos
Ecuacion Incompleta/Ejemplo…………………………………………………………………………………………………….17
Sin termino Lineal/Ejemplo
Formula General/Ejemplo……………………………………………………………………………………………………………18
Graficas ………………………………………………………………………………………………………………………………….19-20
Conclusion……………………………………………………………………………………………………………………………………20
2

3. Algebra
Parte de las matemáticas que estudia la relación de números y variables para construir modelos
matemáticos.
Si bien la palabra "álgebra" viene de la palabra árabe (al-Jabr, ‫ ,)ال ج بر‬sus orígenes se remontan a
los antiguos babilonios, que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron
capaces de hacer cálculos en una forma algebraica. Con el uso de este sistema fueron capaces de
aplicar las fórmulas y soluciones para calcular valores desconocidos. Este tipo de problemas suelen
resolverse hoy mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones
indefinidas.
3x 3  1 

3x 2  5  0 

3x 2  7  y 

Estos son ejemplos de
Expresión
Ecuación
Y Función Algebraicas
Clasificación por términos
Monomio (1)
Binomio (2)
Trinomio (3)
Polinomio (4)
Por grado exponente mayor
Lineal (1)
Cuadrático (2)
Cubico (3) 4° 5° 6° grado etc. Depende de la suma de los exponentes
Operaciones Algebraicas
Suma
La suma (algebraica) es la operación binaria que tiene por objetivo el reunir dos o más sumandos,
en una sola expresión llamada suma o adición.
El modo de resolverla es
 Los coeficientes son lo que se suman
 Signos iguales se suman
 Signos diferentes se restan(ordenar signo del mayor al menor)
 Ordenar y Clasificar
3

4. Ejemplos
5a 2
      
 2a 3  a  4a  3a 2  5a 3  2a  7  3a  2a 3  5  1a 3  8a 2  4a  12
3 2 4  1 5 2 7 7 2 1 37
 x   2   x  x     x  x 
4 3  6 2 8 4 6 24
4 y  5 z  3  4 z  y  2  3 y  2 z  1  6 y  3z  4
1°polinomio cubico
2°trinomio cuadrático
3°trinomio lineal
Resta
La resta (algebraica) es la operación binaria que tiene por objetivo hallar el sumando desconocido,
cuando se conocen la suma o adición el minuendo y uno de los sumandos (el sustraendo)
 Se cambia el signo a todos los términos de la expresión antecedidos por (-)
 Sumar
 Ordenar y clasificar
Ejemplos
5m  4n  7   8n  7   4m  3n  5  6m  4n  3  3m  11n  8
4m  3m  6m  5m  4  6m  8m  3m  1  4m  9m  14m  8m  5
4 3 2 3 2 4 3 2
6 x  3x  7 x  2  10 x  6 x  5x  2 x  4  4 x  6 x  8x  5x  2
5 2 5 3 2 5 3 2
 xy  7 y  xy    2 xy  5 y  2   6 y  xy  5  3xy  1y  5 y  7
4 3 2 4 3 2 4 3
1 3  8 5 3 2 5 55 127
 x  y  5   y     x    x  y
6 8  3 4 2 9 3 24 36
Invetado
5 xy  6 y  4 x    2 y  5  2 xy  6 x  2  3xy  8 y  10 x  3
1°trinomio lineal
2°polinomio 4°
3°polinomio 5°
4°polinomio 5°
5°trinomio lineal
6°polinomio cuadratico
Multiplicación
Se resuelven
 Los coeficientes se multiplican aplicando la ley de los signos
 Los exponentes de las mismas literales se suman
 Se aplica la ley distributiva
 Se simplifica “sumando” términos semejantes
 Ordenar y clasificar
4

5. Ejemplos
2 x 2
 
 x  3 2 x 2  5 x  2  4 x 4  12 x 3  5 x 2  17 x  6
3x  14 x 2  2 x  1  12 x 3  10 x 2  1x  1
4 2 5 1  2 3  8 3 3 2 83 3
 a  a   a    a  a  a 
3 4 2  5 2  15 2 40 4
5m 1
2
2
 3
 1 11
 3m 3 4m 4  2m 5  20m 4  10m 2  12m 1 2  6m 3
1 17
2 2 1 4  3 2 7  6 4 54 3 11 2 5 4
 z  z   z  z  3   z  z  z  z 
5 3 9  7 2  35 35 70 9 3
3 y  52 y  4  6 y 2  2 y  20
4ab  3b 6a 2b  2ab 2   24a 3b 2  10a 2b 3  6ab 3
1°polinomio 4°
2°polinomio cubico
3°polinomio cubico
5°polinomio 4°
6°trinomio cuadrático
7°trinomio 5°
Un terreno rectangular mide 2x-4 metros de largo y 5x-3 metros de ancho ¿Cuál es el modelo
matemático que expresa su área?
(2x-4)(5x-3)=10 x  26 x  12 trinomio cuadratico
2
En una tienda se compra tres diferentes artículos A, B y C
A cuesta 3x por unidad se compran 5. B cuesta 4x-2 por unidad y se compraron 3 unidades y C
cuesta ¾ x por unidad y se compraron 7 unidades
¿Cuál es el modelo matemático del costo final?
A= (3x)(5)=15x monomio lineal
B= (4x-2)(3)=12x-6 binomio lineal
21
C=( ¾ x)(7) = x monomio lineal
4
División
Existen tres tipos
+Monomio entre monomio
+Polinomio entre polinomio
+Polinomio entre monomio
5

6. Monomio entre Monomio & Polinomio entre Monomio
*Los coeficientes se dividen o simplifican aplicando la ley de los signos
*Los exponentes de las mismas literales se restan; si queda residuo se indica donde estaba
el mayor
*El coeficiente solo se indica arriba si es lo único que queda
Ejemplo
8m 9 n 2  10m 7 n 4  20m 5 n 6  12m 3 n 8 4m 7
2 3
  5m 5 n  10m 3 n 3  6mn5
2m n n
20 x  5 x  10 x  15 x
4 3 2
 4 x 3  1x 2  2 x  3
 5x
4a 8  10a 6  5a 4  5a
3
 2a 5  5a 3
2a 2
2 x y  6 xy  8 xy  10 x y
2 2 2 2
 1x  3 y  4  5 xy
2 xy
Polinomio entre polinomio
+Se divide dentro de la casita
+El numero Siempre se divide entre el primer termino
+Después se multiplica el producto por el segundo
+Y al pasarlo se le cambia el signo
Ejemplo
3x 2  2 x  8
 3x  4
x2
2x3  4x  2
 x 2  x 1
2x  2
2a 4  a 3  7 a  3
 1a 3  2a 2  3a  1
2a  3
14 y  71y  33
2
 2 y  11
7y 3
Si un espacio rectangular tiene un área de 6x 2-19x y la anchura es 3x-5 ¿Cuánto mide la
base? 2x-3
6

7. Conclusión
Mi conclusión sobre este tema es que este tipo de problemas son la base de el resto para
poder aprender a utilizarlas sin necesidad de esta checando siempre el procedimiento
Productos notables
Es la multiplicación de expresiones algebraicas especiales mediante la aplicación de reglas
para obtener el resultado
Binomio a una Potencia
Los binomio a una potencia es la multiplicación de (n) veces un mismo binomio
Binomio al cuadrado
Resultado es un TCP
+Cuadrado del primer termino
+Doble producto de los dos términos
+Cuadrado del segundo termino
Ejemplo
(3a+4)2= 9a2+24a+16
(2x2-5)2= 4x4-20x2+25
(7m+8n)2= 49m2+112mn+64n2
Binomio al cubo
+Cubo del primero
+Triple del producto del cuadrado del primero por el segundo
+Triple del producto del cuadrado del segundo por el primero
+Cubo del segundo
Ejemplo
(4a+5)3= 64a3+240a2+300a+125
(2a3-7)3= 8a9-84a6-294a3-343
(5m+4)3= 125m3+300m2+240m+64
7

8. Binomio a Potencia superior
Se utiliza el triangulo de Pascal, multiplicando los dos términos por los números indicados
Ejemplo
3x  24  81x 4  216 x 3 216 x 2  96 x  16
2 x 2
 4  32 x10  320 x 8  1280 x 6  2560 x 4  2560 x 2  1024
5
4 y  3  4096 y18  1843 y15  34560 y12  34560 y 9  19440 y 6  5832 y 3  729
3 6
Binomio con término común
+Se saca el cuadrado del común
+Suma o resta de los diferentes por el común
+Producto de los diferentes
Ejemplo
2 x  32 x  5  4 x 2  16 x  15
m  4m  2  m 2  2m  8
5a  3b 5a  2b   25a 2  5ab  6b 2
a  
 1 a 2  4  a 4  5a 2  4
2
Binomio conjugado
+Cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo
Ejemplo
x 2
 
1 x 2 1  x 4 1
3a  7 3a  7   9a 2  49
4 x  
 3 4 x 3  3  16 x 9  9
3
Conclusión Que es estos métodos son lo inverso de los de Factorización
8

9. Factorización
El metodo que debe probarse en
primer lugar, se aplica cuando
todos los terminos tengan una
Factor Común
misma variable y/o sus coeficientes
sean multiplos de un mismo
numero
TCP(Trinomio al
CuadradoPerfecto). No existe
TCP factor común los extremos tienen
raíz exacta y ek termino central es e
doble producto de dichas raices
No tiene factor común ni es TCP.Se
Trinomios Cuadraticos x2+mx+n factoriza a dos binomios con
termino común
No tiene factor común ni es TCP.Se
Factorizacion ax2+bx+c
factoriza por agrupación
Es un binomio donde los terminos
Diferencia de cuadrados se restan y tienen raíz caudrada
exacta, se factoriza a binomios
conjugados
Agrupación
No existe factor común la expresion
se divide en parejas comunes (al
menos cuatro terminos)
Suma o Diferencia de Cubos a3+-b3=(a+-b)(a2+-ab+b2)
Ejemplos
Factor común
5a 2  10a  5aa  2
4 x 2 y  12 xy 2  4 xy x  3 y 
Agrupación
xw  yw  xz  yz  w  z x  y 
xw  yw  wx  y 
xz  yz  z x  y 
9

10. Trinomios Cuadráticos
TCP
n 2  14n  49  n  7
2
x2+ mx+ n
x 2  15 x  54   x  9x  6
x 2  20 x  300   x  30 x  10 
x 2  14 x  45   x  9 x  5
x 2  x  42   x  7  x  6 
a 2  24a  119  a  17 a  7 
ax2+ bx+ c
8m 2  14m  15  2m  54m  3
8m 2  6m  20m  15  2m4m  3  54m  3
5 x 2  13 x  6  5 x  3 x  2
2 x 2  11x  12  2 x  3 x  4 
6 y 2  y  2  3 y  2 2 y  1
2m 2  3m  35  2m  7 m  5
Diferencias de Cuadrados
25a 2  64b 2  5a  8b 5a  8b 
 
9 x 6  1  3x 3  1 3x 3  1 
x  144  x  12x  12 
2
4m 2 49  2m  7 2m  7 
Suma o Diferencia de cubos
 
27a 9  b 3  3a 3  b 9a 6  3ab  b 2 
64 x 3  125  4 x  516 x 2
 20 x  25 
Conclusión
Es lo inverso a productos notables debe analizarse cual ecuación debe ser utilizada para poder
obtener el resultado correcto
10

11. División Algebraica
Simplificación
x 2  16 x4

x  8 x  16 x  4
2
4 x 2  20 x 4x

x  4x  5 x 1
2
3a  9b 3

6a  18b 6
Multiplicación y división
a  c ac
*  multiplica ción
b  d bd
a  c  ad
  división
b  d  bc
x 2  6 x  9 x 2  6 x  5  x  3x  5
 
x 2  7 x  12 3 x 2  2 x  1 x  4 3 x  1
7 x  21 x 2  5 xy  4 y 2 7 x  1 y 
 
x  16 y
2 2
4 x  11x  3  x  4 y 4 x  1
2
x 2  3 x  10 2 x  10 2
 
x 2  25 6 x  12 6
x  4 4 x  8 4 x  2 
 
2 x  8 x 2  16 2
3 x  15 12 x  18  x  54
 
x3 4 x  12 4x  6
4 x  9 2 x  3 2 x  32 x  3 y 
2
 
x  3y 2x  6 y x  3y
x 2  14 x  15 x 2  12 x  45 x  1
 
x 2  4 x  45 x 2  6 x  27 x  5
11

12. Suma y Resta
a 3 a  4a  9
 2 
a  3a  2 a  4a  3 a  2 a  1a  3
2
m 3m 3m 2  2m
 
m 2  1 m  1 m  1m  1
2a 4 2a 3  10a 2  44a  24
 2 
a 2  a  6 a  7a  12 a  6 a  1a  4 a  3
x 2 3x 2  12 x  28
 
x 2  5 x  14 x  2 x  7  x  2  x  2 
Conclusión
Se tienen que emplear los mismos métodos de Factorización para resolverlas
El método de factorización debe analizarse ya que solo por un método se pueden resolver esto
radica en el resultado.
Fracción Compleja
Fracción en la que el numerador o el denominador, o ambos, contienen fracciones. Primero halle
el mínimo común denominador (MCD) de los
Denominadores de todas las expresiones racionales que están tanto en el
Numerador como en el denominador, luego multiplique arriba y abajo de la
Fracción compleja por el MCD encontrado, cancelando factores y simplificando.
Después factorice el numerador y el denominador de la fracción compleja y
Simplifique. Son fracciones dentro de una fracción.
Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal (grado mayor =1) representa una línea recta tipo: y=a+bx
a=ordenada al origen (interacción en y)
b= pendiente (inclinación)
12

13. Una incógnita
42 x  3  5 x  1  7 x  2   3 x  4 
8 x  12  5 x  5  7 x  14  3 x  4
13 x  17  4 x  10
13 x  4 x  17  10
9 x  27
27
x
9
x3
34 x  3  2 x  32  x   2  3 x  4   5 x  2
 15
x
9
5x  3  2 x x  1

4 3 2
30
x
34
2 x  5  3x x  2  3x

7 5 2 1
20
x
267
2x  3  x
52 x  3  4 x  1  5 
2 3
87
x
76
13

14. Graficas
Y=5x-1
B=.2 A=-1
Y=2x+3
A=3 B=-1.5
Y= 1/2x +2
14

15. A=2 B=-4
Dos incógnitas
2x  3y  4
x  4y  7
x  1 y  2
15

16. 4a  b  6
3a  5b  10
20 22
a b
17 17
mn 3
3m  4n  9
m  21n  0
5 p  2 q  3
2p q  3
3  21
p q
9 9
x  2y  8
3 x  5 y  12
x  16 y  12
3m  2n  7
m  5 n  2
41 13
m n
17 17
2 h  i  5
3h  4i  2
 18  11
h i
5 5
16

17. Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $1.5 niños se se
vendieron 1000 boletos recaudando $3500 ¿Cuántos de cada tipo se vendieron?
Se vendieron 200 boletos de niño y 800 boletos de adulto
Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con otra que contiene 55% del mismo metal para
obtener 800kg aleación al 40% ¿Qué cantidad de cada una debe de emplearse?
120kg de la aleación del 30% y 680kg de la aleación de 55%
Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación cuadrática representa una parábola vertical donde las raíces son el punto de con x
El modelo es ax2+bx+c=0
Métodos de resolución
+ Ecuaciones cuadráticas incompletas
+Sin término lineal
+Formula General
+Completar TCP
Ecuaciones cuadráticas incompletas
*Sin término Independiente
*Una de las respuestas siempre es 0
7 x 2  21x  0
x1  0
x2  3
x 2  3x  0
x1  0
x2  3
8x 2  7 x  0
x1  0
7
x2 
8
17

18. Sin término lineal
*Se despeja
4 x 2  16  0
x1  2
x 2  2
5 x 2  10  0
x1  1.4142
x2  1.4142
a 2  25  0
x1  5
x 2  5
Completar el TCP
*Se intercambia el término lineal para completar un TCP
*Se nivela la ecuación
*Se despeja
Formula General
 b  b 2  4ac
2a
a  3a  2  0
2
x1  2
x2  1
9m 2  2m  5  0
x1  0.6424
x2  0.8647
7 y 2  3 y  10  0i
x1  0.2142  58.0714i
x2  0.21412  58.0714i
2t 2  t  1  0i
x1  0.25  1.75i
x2  0.25  1.75i
18

19. Graficas
Y=x2-1
A=-1 B=-1 C=1
Y=x2+5x+6
A=-3 B=-2 C=6
19

20. Y=-x2-4 ¿?
Conclusiones Finales
En el primer parcial se nos dieron las bases para el Algebra se nos enseño la clasificación, los
grados, las operaciones de suma resta, multiplicación y división esta fue la base para el siguiente
nivel ya que estas se aplicarían después en los productos notables. Esto nos lleva al segundo
parcial donde se nos explicaron los binomios a diferentes potencias, los conjugados y los de
termino común en si el resultado de estos son los que se resolverán en Factorización donde se
utilizan los diferente s métodos mencionados en el mapa conceptual los resultados de estos son
como los de productos notables (en sí).Fracciones algebraicas son una combinación de los
diferentes métodos de factorización. Ecuaciones lineales se utiliza el despeje para poder obtener
el resultado esto servirá para algunos métodos de Ecuaciones cuadráticas en lo personal el
método que mas me agrada para dos incógnitas es el de determinantes. Todo tiene un orden y se
debe de seguir para poder resolver las incógnitas.
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