Este documento explica cómo resolver ecuaciones con números enteros. Resume los pasos para despejar la incógnita en ecuaciones lineales, incluyendo mover términos que suman o restan al otro lado de la igualdad, y mover términos que multiplican o dividen usando la operación inversa. También cubre cómo resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios o decimales. El documento concluye con ejemplos resueltos de diferentes tipos de ecuaciones.

1. RESOLUCION DE ECUACIONES CON NUMEROS ENTEROS.
Una ecuación es una expresión matemática relacionada con el signo = en la cual hay letras que se llaman incógnitas y el objetivo es hallar un valor para esa incóg
nita que haga que se cumpla la condición de igualdad.
POR EJEMPLO:
x+5=0
Hay que buscar un valor para la incógnita. Las incógnitas se pueden expresar mediante cualquier letra, generalmente se usa la X, Y, ó Z.
Dicho valor es:
x = -5
porque si reemplazo a la x por -5 quedaría :
-5 + 5 = 0
Cuando x = -5 se cumple la igualdad si, por ejemplo, hubiese puesto x = -4 no se cumpliría:

2. -4 + 5 = 0
1 = 0 NO SE CUMPLE LA IGUALDAD
Se dice entonces que la solución para la ecuación x + 5 = 0 es: x = -5
Ecuaciones equivalentes:
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones, por ejemplo:
5x=4x+3; es equivalente a 5x-4x=3; pues si reemplazamos a ambas por x=3, comprobaremos que se cumplen, ambas igualdades,
veamos para la primera:
Para la segunda:

3. Las ecuaciones sencillas se resuelven transformándolas en otras equivalentes, por consecuencia de la ley de uniformidad de las operaciones con
números enteros, que no explicaremos en este apunte, simplemente daremos unas cuantas reglas prácticas para resolver ecuaciones.
REGLA PRACTICA:
Para poder encontrar la solución de una ecuación se hace lo que se llama despejar la x o sea dejar a la misma sola de un miembro de la igualdad.
A) Cuando la x está acompañada por números que están sumando o restando entonces los mismos pasan al otro miembro con la operación inversa con la que operan.
EJEMPLO 1 :

4. x+4=2 Pasamos el 4 al otro miembro de la igualad pero como está sumando lo pasamos restando.
x=2-4 Hacemos la cuenta y nos queda
x = -2
Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
-2 + 4 = 2
2 =2
EJEMPLO 2 :
x+2-3=4+5 Pasamos el 2 que como está sumando pasa restando
x-3= 4+5-2 Pasamos el 3 que como está restando pasa sumando
x = 4 + 5 - 2 + 3 Hacemos la cuenta
x = 10

5. Verificación:
Para verificar reemplazo en la ecuación el valor hallado
10 + 2 - 3 = 4 + 5
9 = 9 Queda verificada la solución.
EJERCITACION:
1) 3 + 2 - 5 + x = 2 + 1 - 3 x=0
2) -2 + 6 -12 = x + 5 - 1 x = -12
3) 2 + 6 - 1 = x + 6 - 4 x = 5
4) -5 - 6 + x = 5 - 8 + 3 x = 11
5) 6 - 9 + x + 9 = 2 - 6 x = -10
6) 6 - 9 - 3 = 4 + x +3 - 5 x = -8
7) 2 + 5 - 9 = 2 + x - 6 - 8 x = 10

6. 8) 2 + 9 + 6 - 9 = x + 3 - 5 x = 10
9) 9 - 5 + 6 +x = -5 -9 +3 x = -21
B) Cuando la incógnita es multiplicada o dividida por un
número, el mismo pasa al otro miembro con la operación inversa o sea si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando.
EJEMPLO 1:
2x = 4 Pasamos el 2 dividiendo
x=4:2 resuelvo
x=2
Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
2.2=4
4 = 4 Se verifica

7. EJEMPLO 2:
-2 x = 4 ¡¡¡ CUIDADDO !!! El -
2 pasa dividiendo con su signo porque está multiplicando y la operación inversa es la división.
x = 4 : (-2) resuelvo
x = -2
Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
-2 . (-2) = 4
4 = 4 Se verifica
EJEMPLO 3:
x:2 = 4 Pasamos el 2 multiplicando
x=4.2 resuelvo

8. x=8
Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
8:2=4
4 = 4 Se verifica
EJEMPLO 4:
x : (-2) = 4 ¡¡¡ CUIDADDO !!! El -2 pasa multiplicando con su signo porque está dividiendo y la operación inversa es la multiplicación
x = 4 . (-2) resuelvo
x = -8
Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad

9. -8 . (-2) = 4
4 = 4 Se verifica
EJERCITACION:
1) 2 x = -4 x = -2
2) x : (-3) = 6 x = -18
3) -3. x = 18 x = -6
4) x .(-4) = 16 x = -2
5) x : (-5) = -4 x = 20
6) 3 x = 9 x=3

10. 7) 5 x = 25 x=5
C) Cuando la incógnita está siendo multiplicada y dividida por un
número y además sumada o restada por otros, primero se pasan los números que suman o restan y después los que multiplican o dividen.
EJEMPLO 1:
2x + 3 - 1 = 6 Pasamos el 3 restando y el 1 sumando
2x = 6 - 3 + 1 Resuelvo
2x = 4 El 2 pasa dividiendo
x = 4:2
x = 2
Verificación:
Para verificar reemplazo en la ecuación el valor hallado

11. 2.2 +3-1= 6
4 +3-1= 6
6 = 6 Queda verificada la solución.
D) Cuando en la ecuación hay varias incógnitas multiplicadas o divididas por un número de un miembro de la igualdad y del otro, acompañados con sumas o restas de números. Se separan
en términos de ambos lados de la igualdad, y se transponen a un miembro de la igualdad, los números que multiplican a la incógnita, y al otro, los números solos. Ejemplo:
Primer paso, separo en términos:
El 2 y el 3 que son positivos en el primer miembro de la igualdad, los paso restando, al segundo:
El 5x que es negativo en el segundo miembro, lo paso positivo al primero:
Sumo las x del primer miembro, y los números del segundo:

12. Luego el 3 lo paso dividiendo, y me queda x=6/3; x=2
Comprobación:
volver
Ejercicios:
Resolver las siguientes ecuaciones y corroborar la solución encontrada:
1) 4x-2=10 2) 6x-3=x+17 3) 2x+5=3
4) 7x=4x+6 5) 2x=9+x 6) 6x=24-2x

13. 7) 10=15-5x 8) x-8=4-x 9) 3x-10=18-x
10) 7x-8=3x+4 11) 2-3x-5=5-8x+x 12) x+2=3-2x+8
RESPUESTAS
1) x=3 2) x=4 3) x=-1
4) x=2 5) x=9 6) x=3

14. 7) x=1 8) x=6 9) x=7
10) x=3 11) x=2 12) x=3

15. Ecuaciones
Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, los cuales se denominan Cuando tenemos coeficientes fraccionarios es recomendable transformar estos coeficientes e
miembros de la ecuación. En ellas aparecen números y letras (incógnita) amplificando cada término de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominado
relacionadas mediante una operación matemática. fracciones.
Ecuaciones Lineales 1°Ejemplo 5 + 5x = 6 + 4 => se debe amplificar por 3
3
Una ecuación es una igualdad que contiene al menos un valor desconocido
llamadoincógnita. En las ecuaciones lineales la incógnita no está elevada a ninguna 15 + 15x = 18 + 12 => 15 + 5x =30
potencia. 3 => 5x = 30 - 15
=> 5x = 15
Ejemplo 4x + 3 = 23 => x= 15
5
Para resolver esta ecuación se debe colocar en un lado de la igualdad los términos => x = 3
con incónita y al otro lado de la igualdad los datos numéricos y luego realizar las
operaciones según corresponda. 2°Ejemplo 4x + 10 = 2x + 36 => el mcm es 6 (2*3=6)
2 3
4x + 3 = 23 24x + 60 = 12x + 216 => 12x + 60 = 4x + 216
2 3 => 12x - 4x = 216 - 60
4x = 23 + -3 => 8x = 156
=> x = 156
8
4x = 20 => x = 19,5
Cuando los coeficientes son números decimales, es recomendable amplificar cada término d
x = 20

16. 4 por la potencia de 10 que transforme en entero al decimal y luego se resuelve como siempre
x=5 Ejemplo 0,45x - 12,5 = 0,3x + 8 => se debe amplificar por 100
45x - 1250 = 30x + 800 => 15x = 2050
=> x = 2050
15
=> x = 136,666...