Hipérbola
Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que la diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F', es siempre constante.
Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola siempre se cumple que: d(P,F)−d(P,F') =2⋅a
Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al foco F y al foco F' respectivamente. Y donde 2a es una constante.
Elementos de la hipérbola
Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y cualquier punto de la hipérbola es siempre la misma.
Eje focal, principal o real. Recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario. Mediatriz del segmento que une los dos focos.
Centro (O). Punto de intersección de los ejes focal y secundario.
Semidistancia focal (c). La mitad de la distancia entre los dos focos F y F'. Su valor es c.
Distancia focal (2c). Distancia del segmento que une los dos focos F y F'. Su longitud es 2c.
Los vértices (A y A'). Puntos de la hipérbola que cortan al eje focal.
Semieje real (a). Segmento que va desde el origen O hasta cualquiera de los vértices A o A'. Su longitud es a.
Semieje imaginario (b). b=c2-a2
Ecuación de la Hipérbola con centro fuera del origen
Hipérbola Horizontal con centro en (h,k)
Vértice:
Focos:
Extremos del eje conjugado:
Ecuaciones de las asíntotas:
Hipérbola Vertical con centro en (h,k)
Vértice:
Focos:
Extremos del eje conjugado:
Ecuaciones de las asíntotas:
Ecuación de la Hipérbola con centro en el origen
Hipérbola Horizontal
Vértices:
Focos:
Extremos del eje conjugado:
Ecuaciones de las asíntotas:
Hipérbola Vertical
Vértices:
Focos:
Extremos del eje conjugado:
Ecuaciones de las asíntotas:
La ecuación general de la hipérbola es la siguiente:
Con A y C de signo contrario.
Para transformar la ecuación general de la hipérbola horizontal a su ecuación ordinaria , o para pasar de la ecuación general de la hipérbola vertical su respectiva ecuación ordinaria: , se puede lograr realizando los siguientes pasos:
1. Se reordenan los términos en x y en y
2. Se extrae como factor común al coeficiente de la variable elevada al cuadrado
3. Se completan los cuadrados perfectos(TCP)
4. Se factoriza
5. Se divide entre el término independiente.
Ecuación general de la hipérbola horizontal
Ax2−Cy2+ Dx + Ey + F =0
ecuación ordinaria:
(x-h)2a2-(y-k)2b2=1
Ecuación general de la hipérbola horizontal
-Ax2+Cy2+ Dx + Ey + F =0
ecuación ordinaria:
(y-k)2a2-(x-h)2b2=1
Hipérbola
Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que la diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F', es siempre constante.
Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola siempre se cumple que: d(P,F)−d(P,F') =2⋅a
Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al foco F y al foco F' respectivamente. Y donde 2a es una constante.
Elementos de la hipérbola
Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y cualquier punto de la hipérbola es siempre la misma.
Eje focal, principal o real. Recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario. Mediatriz del segmento que une los dos focos.
Centro (O). Punto de intersección de los ejes focal y secundario.
Semidistancia focal (c). La mitad de la distancia entre los dos focos F y F'. Su valor es c.
Distancia focal (2c). Distancia del segmento que une los dos focos F y F'. Su longitud es 2c.
Los vértices (A y A'). Puntos de la hipérbola que cortan al eje focal.
Semieje real (a). Segmento que va desde el origen O hasta cualquiera de los vértices A o A'. Su longitud es a.
Semieje imaginario (b). b=c2-a2
Ecuación de la Hipérbola con centro fuera del origen
Hipérbola Horizontal con centro en (h,k)
Vértice:
Focos:
Extremos del eje conjugado:
Ecuaciones de las asíntotas:
Hipérbola Vertical con centro en (h,k)
Vértice:
Focos:
Extremos del eje conjugado:
Ecuaciones de las asíntotas:
Ecuación de la Hipérbola con centro en el origen
Hipérbola Horizontal
Vértices:
Focos:
Extremos del eje conjugado:
Ecuaciones de las asíntotas:
Hipérbola Vertical
Vértices:
Focos:
Extremos del eje conjugado:
Ecuaciones de las asíntotas:
La ecuación general de la hipérbola es la siguiente:
Con A y C de signo contrario.
Para transformar la ecuación general de la hipérbola horizontal a su ecuación ordinaria , o para pasar de la ecuación general de la hipérbola vertical su respectiva ecuación ordinaria: , se puede lograr realizando los siguientes pasos:
1. Se reordenan los términos en x y en y
2. Se extrae como factor común al coeficiente de la variable elevada al cuadrado
3. Se completan los cuadrados perfectos(TCP)
4. Se factoriza
5. Se divide entre el término independiente.
Ecuación general de la hipérbola horizontal
Ax2−Cy2+ Dx + Ey + F =0
ecuación ordinaria:
(x-h)2a2-(y-k)2b2=1
Ecuación general de la hipérbola horizontal
-Ax2+Cy2+ Dx + Ey + F =0
ecuación ordinaria:
(y-k)2a2-(x-h)2b2=1
Ejercicios resueltos de MRUV (MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO)ColgandoClases ...
Tres ejercicios de Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado resueltos y explicados...
El primero de los problemas contiene un par de errores:
- Por empezar a la izquierda del origen la posición inicial debería ser -150m por lo que invalida los resultados que provengan de las ecuaciones en las que aparece la posición inicial. Por otra parte el último apartado aparece calculado sobre 2,5s y no sobre 7,5s que es el tiempo que tarda en pararse. Lo resultados correctos sería s=-100m en el primer apartado y s=-93.75m en el último.
Tienes este problema corregido en el siguiente enlace:
https://es.slideshare.net/emengol/ejercicios-de-mruv-resueltos-de-mruv-movimiento-rectilneo-uniformemente-variado
Disculpad las molestias.
Ejercicios resueltos de MRUV (MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO)ColgandoClases ...
Tres ejercicios de Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado resueltos y explicados...
El primero de los problemas contiene un par de errores:
- Por empezar a la izquierda del origen la posición inicial debería ser -150m por lo que invalida los resultados que provengan de las ecuaciones en las que aparece la posición inicial. Por otra parte el último apartado aparece calculado sobre 2,5s y no sobre 7,5s que es el tiempo que tarda en pararse. Lo resultados correctos sería s=-100m en el primer apartado y s=-93.75m en el último.
Tienes este problema corregido en el siguiente enlace:
https://es.slideshare.net/emengol/ejercicios-de-mruv-resueltos-de-mruv-movimiento-rectilneo-uniformemente-variado
Disculpad las molestias.
El tema de triangulos rectangulos nos ayuda a saber la altura y el angulo de inclinacion de los objetos que no podemos medir, por eso es bueno aprender este hermoso tema.
1. Problema <br />La anchura de mi calle es de 20m y, colocándome en el centro de la misma, puedo ver los edificios de ambos lados.<br />Mido los ángulos que forman las visuales con los puntos más altos de los edificios y la horizontal: resultan ser de 45º y de 60º respectivamente.<br />a) ¿Qué altura tienen los edificios?<br />b) En lo alto de cada edificio hay un pájaro. Tiran una miga de pan en la calle y ambos pájaros se lanzan por ella al mismo tiempo y a la misma velocidad. Llegan en el mismo instante a la miga. ¿A qué distancia del edificio A esta la miga? ¿Con que inclinación voló cada pájaro? <br />Resolución:<br />calculemos la altura de edificio B ( hB)<br />tan45°=hB10m<br />1=hB10m<br />hB=10m<br />Calculemos la altura del edificio A (hA)<br />tan60°=hA10m<br />3=hA10m<br />hA=103m<br />llamaremos x a la longitud de la inclinación y a a la distancia que hay desde el punto donde se juntan las pájaros del edificio B<br />Aplicando teorema de Pitágoras <br />x2=(20-a)2+(103)2<br />x2=a2+102<br />Por igualación:<br />(20-a)2+300=a2+102<br />400-40a+a2+300=a2+102<br />-40a=100-300-400<br />-40a=-600<br />a=15<br />Por lo tanto la distancia al edificio A es 5m<br />Calculemos la inclinación de vuelo de cada pájaro <br />Llamaremos α al ángulo del edificio B:<br />tanα=1510<br />α=56°18|35.76||<br />Llamaremos β al ángulo del edificio A:<br />tanβ=5103<br />β=16°6|7.61||<br />