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Geometría 2°

Este documento presenta un libro de texto sobre geometría dividido en varias unidades y capítulos. La unidad I introduce conceptos básicos como puntos, rectas, planos y figuras geométricas. La unidad II cubre ángulos. Las unidades III a VI se enfocan en temas específicos como rectas paralelas, triángulos, perímetros y áreas. Las unidades VII y VIII tratan sobre regiones poligonales, áreas y sólidos geométricos.

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UNIDAD III Los rieles siempre paralelos Capítulo 1 Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante ................................... 59 Capítulo 2 Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas ........................................ 67 Capítulo 3 Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas................................................ 74 Capítulo 4 Recordando lo aprendido................................ 82 Capítulo 5 Triángulos .................................................. 88 UNIDAD II Todo sobre ángulos Capítulo 1 Identificando y midiendo ángulos................... 27 Capítulo 2 Operaciones con ángulos ................................ 34 Capítulo 3 Solo con enunciados ....................................... 43 Capítulo 4 Complemento y suplemento de un ángulo ..... 48 Capítulo 5 Repaso bimestral ............................................ 54 UNIDAD II Conociendo a la geometría Capítulo 1 Introducción .................................................. 5 Capítulo 2 Segmento de recta ......................................... 12 Capítulo 3 Punto medio y el segmento de recta .............. 18 Capítulo 4 Recordando lo aprendido ............................... 23 UNIDAD IV El triángulo de las bermudas, ¿verdad o fantasía? Capítulo 1 Líneas notables en el triángulo I .................... 97 Capítulo 2 Lineas notables en el triángulo II ................... 105 Capítulo 3 Repaso bimestral ............................................ 113 Índice
TRILCE Geometría UNIDAD V CUANDO EL NÚMERO DE LADOS AUMENTA Capítulo 1 Estudiando las figuras de más de tres lados .................................................. 120 Capítulo 2 ¿Cuál será la suma de ángulos internos.......... 129 Capítulo 3 Estudiando las figuras de cuatro lasdos.......... 136 Capítulo 4 Conociendo los paralelogramos ..................... 144 Capítulo 5 Operaciones en el cuadrilátero ....................... 152 UNIDAD VII Región y área, ¿lo mismo? Capítulo 1 Perímetro es lo mismo que área ..................... 182 Capítulo 2 Conociendo las regiones poligonales .............. 190 Capítulo 3 Calculando el área de regiones triángulares ... 199 Capítulo 4 Calculando el área de diversas regiones ......... 208 UNIDAD VIII eSTUDIANDO LOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Capítulo 1 Reconociendo los elementos .......................... 215 Capítulo 2 ¿Area es lo mismo que volumen? ................... 223 Capítulo 3 Recordando lo estudiado ................................ 231 UNIDAD VI calculando la suma de los lados Capítulo 1 ¿Qué es perímetro? ......................................... 159 Capítulo 2 Calculando el perímetro de diversas figuras... 167 Capítulo 3 Repaso general ............................................... 175
AprendiZajes esperados UNIDAD 1 L a base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos. ¿Cuál es la etimología de Geometría? ¿Qué estudia la Geometría? ¿Qué es postulado? Conociendoalageometría UNIDAD 1 • Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos. • Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte. • Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables. • Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás. • Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe
A diario vemos objetos de diversas formas, que si quisiéramos describirlos tendríamos que usar términos geométricos. • ¿Qué diferencia hay entre un cubo y un dado? • ¿Es igual círculo que circunferencia? Introducción En este capítulo aprenderemos: • A reconocer elementos y figuras geométricas en el plano. • A reconocer elementos y figuras geométricas espaciales. • A identificar y graficar rectas paralelas y secantes. • A identificar y graficar planos paralelos y secantes. • A contar puntos de corte entre rectas y figuras geométricas planas. 5 1 Central: 619-8100 Unidad I CAPITULO
6 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Introducción Conceptos básicos Figura geométrica Son las ideas obtenidas a partir de la forma de un objeto Objeto Figura geométrica esfera cubo cilindro Elementos geométricos Son las ideas geométricas en las cuales no se consideran longitudes o medidas y son los siguientes: El punto Es la idea geométrica más pequeña. La marca de un lápiz, un grano de azúcar, un residuo de tiza, etc., nos dan la idea de punto. Se nombra con una letra mayúscula. A Punto "A" M Punto "M" La recta Los puntos sucesivos en una misma dirección e ilimitadamente nos representa una recta. Recta l l Recta a a El plano Es la idea geométrica obtenida a partir de la mayoría de superficies. Todo plano puede obtener completamente figuras geométricas. Se le nombra con una letra mayúscula. Plano R R
7 Central: 619-8100 Unidad I 1 División de la Geometría Para el mejor estudio de la geometría elemental se divide en: Geometría plana Estudia a las figuras geométricas contenidas en un solo plano. PentágonoCircunferencia Centro Radio r Triángulo Vértices Cuadrilátero Lados Geometría del espacio Estudia a las figuras geométricas tridimensionales o cuyos elementos están contenidos en dos o más planos. Cono Prisma Tetraedro Rayo Es la parte de una recta que tiene un punto de origen y es ilimitado en un solo sentido. AO Rayo OA: OA B P Rayo PB: PB a es paralela a b (a // b) a b m y n son secantes "P" es el punto de intersección m n P Rectas secantes Dos rectas son secantes si tienen un punto en común. Rectas paralelas Dos rectas paralelas son aquellas que no tienen punto de corte. Ten en cuenta
8 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Introducción Número de puntos de corte • Entre dos rectas paralelas y una secante. "P" y "Q" son planos paralelos (P//Q) Planos paralelos Son aquellos que no tienen ni un punto en común. Planos secantes Son aquellas que tienen una recta en común. l "R" y "Q" son planos secantes l es la intersección entre "R" y "Q" Dos puntos de corte • Entre tres rectas secantes. Un punto de corte como mínimo Tres puntos de corte como máximo
9 Central: 619-8100 Unidad I 1 Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Graficar un rayo OA en posición horizontal. 2. Graficar un rayo PB en posición vertical. 3. Graficar los rayos MN y MQ en sentidos opuestos. ¿Qué se forma? 4. Graficar tres rectas paralelas y una secante. ¿Cuántos puntos de corte se obtienen? 5. Graficar tres rectas secantes y dar el máximo número de puntos de corte. 6. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y dos rectas secantes. 7. Calcular el máximo número de puntos de corte entre un triángulo y tres rectas secantes. 8. Calcular el máximo número de puntos de corte entre un cuadrilátero y tres rectas secantes. 9. Calcular el máximo número de puntos de corte entre un pentágono y dos rectas secantes. 10. Calcular el número de puntos de corte entre una circunferencia y seis rectas paralelas. • Entre una circunferencia y una recta secante. • Entre un triángulo y una recta secante. Dos puntos de corte. Dos puntos de corte • Entre una circunferencia y dos rectas secantes. Tres puntos de corte como mínimo. Cinco puntos de corte como máximo. Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • Según Euclides, los elementos geométricos son cuatro......................................................... ( ) • La Geometría se divide en plana y del espacio..................................................................... ( ) 2. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • Las rectas paralelas tienen un punto de intersección............................................................. ( ) • Las rectas secantes no tienen ningún punto en común.......................................................... ( ) Conceptos básicosAprende más...
10 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Introducción Resolución de problemas 6. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes. 7. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas paralelas y dos rectas secantes. 8. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas paralelas y dos rectas secantes. 9. Calcular el máximo número de puntos de corte entre una circunferencia y cuatro rectas secantes. 10. Calcular el máximo número de puntos de corte entre una circunferencia y cinco rectas secantes. Aplicación cotidiana • Supongamos que en el Perú se quiere construir la mayor cantidad de carreteras subterráneas rectilíneas para trenes eléctricos, que facilitarían el viaje entre los departamentos mostrados. Arequipa Piura Lima Ica Ayacucho 11. ¿Cuántas carreteras se forman entre Piura, Lima y Ayacucho? 12. ¿Cuántas carreteras se forman entre Lima, Arequipa e Ica? 13. ¿Cuántas carreteras se forman entre Lima, Ayacucho, Ica y Arequipa? 14. ¿Cuántas carreteras se forman entre Piura, Arequipa, Ica y Ayacucho? 15. ¿Cuántas carreteras se forman entre los cinco departamentos? 3. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado: • La intersección entre dos ............................ está representado por .......................... recta. • El rayo tiene un ......................... de origen y es ilimitado en un solo .................................. rectas - punto - planos - dos - una - sentido - número 4. Graficar un plano "H" y a una circunferencia contenida en "H". 5. Graficar un plano "M" y a dos rectas a y b secantes en "P".
11 Central: 619-8100 Unidad I 1 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y cuatro rectas secantes. 2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes. 3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre siete rectas secantes. 4. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes y dos rectas paralelas. 5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes y tres rectas paralelas. 1. Hallar el máximo número de puntos de corte entre tres rectas secantes y una circunferencia. 2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre ocho rectas paralelas y una circunferencia. 3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre un triángulo y tres rectas paralelas. 4. Hallar el máximo número de puntos de corte entre un triángulo y una circunferencia. 5. Hallar el máximo número de puntos de corte entre dos rectas secantes y un triángulo. 6. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos rectas secantes y un cuadrilátero. 7. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas secantes y dos rectas paralelas. 8. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico? 9. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico? 10. Hallar el máximo número de puntos de corte entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes. 11. Hallar el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y una circunferencia. 12. Hallar el máximo número de puntos de corte entre seis rectas paralelas y un triángulo. 13. Hallar el máximo número de puntos de corte entre tres rectas secantes y un triángulo. 14. Hallar el máximo número de puntos de corte entre un cuadrilátero y una circunferencia. 15. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico? Practica en casa 18:10:45 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45
12 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Saberes previos Segmentos de recta En este capítulo aprenderemos: • A identificar al segmento de recta y a su medida. • A relacionar segmentos consecutivos y no consecutivos. • A sumar y restar longitudes de segmentos consecutivos. Podemos mencionar otros tipos de líneas: línea curva y línea quebrada. En nuestro lenguaje común, el término "segmento" significa parte o porción de algo con lo cual lo podemos conjugar a términos anteriores. • ¿Qué líneas observas? • Unidades de longitud - Centímetros, metros, kilómetros. - Pulgadas, pies, yardas, millas. • Unidad de peso: ....................... Unidad de temperatura: ......................... • Ecuaciones de primer grado: 2x + 10 = 18 ⇒ x = 3x + x + 5 = 25 ⇒ x = CAPITULO 2 En el capítulo anterior, mencionamos a la "línea recta", pero no es el único tipo de línea, en la naturaleza encontramos diversidad de formas así como en nuestro mismo cuerpo.
13 Geometría Unidad ICentral: 619-8100 Observación Definición de segmento de recta Es la parte de una línea recta que tiene por extremos a dos puntos. Su medida esta representada por la distancia entre los extremos del segmento y se expresa en unidades de longitud (centímetros, metros, pulgadas, pies, etc.). R S8 cm • Segmento RS : RS o SR • Medida de RS : mRS = 8 cm RS = 8 cmL • Cuando no se conoce la medida de un segmento de recta, se usan variables como en el Álgebra. • También se usan unidades arbitrarias de longitud, es decir, si no son centímetros, pulgadas, etc. se emplea la letra "∝" de unidades. PQ = 12 cm 12 cm QP "x" µ NM Puntos colineales Son puntos que pertenecen a una línea recta. "A", "B" y "C" son puntos colineales por que pertenecen a L y se pueden contar tres segmentos de recta. A B C L Segmentos consecutivos Son segmentos que tienen un extremo común y son de dos tipos: A C B C A B D Segmentos no colineales A B C A B C D Segmentos colineales Conceptos básicos
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 14 Segmento de recta Suma y resta entre longitudes de segmentos consecutivos y colineales. EH = 8 + 14 = 22 cm 8 cm E F H 14 cm AD = 6 + 10 + 14 = 30 cm 6 cm 10 cm A B C D 14 cm PQ = 36 - 12 = 24 cm P Q R 12 cm 36 cm LE = 23 - (13 + 7) LE = 3 cm 13 cm A L E J 7 cm 23 cm MP = a + b AN = x - y A x N y Q M a b N P 1 + 2 + 3 = 6 segmentos A B C D 1 + 2 = 3 segmentos P Q R 1 + 2 + 3 + 4 = 10 segmentos M EN F Q L L L Número máximo de segmentos de recta Suma y resta con variables Ten en cuenta
Central: 619-8100 15 2 Unidad I ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Si: AC = 42 cm y BC = 31 cm, calcular "AB". A B C 2. Si: EH = 56u y FH = 14u, calcular "EF". E F H 3. Si: MN = 13u; NE = 8u y EF = 18u, calcular "MF". M EN F 4. Si: PR = 24 cm; QS = 36 cm y QR = 100 cm, calcular "PS". P RQ S 5. Si: AC = 58 cm; BD = 76 cm y BC = 32 cm, calcular "AD". A CB D 6. Si: EH = 41u; FN = 38u y EN= 52u, calcular "FH". E F NH 7. Si: PT = 22u; QU = 45u y PU = 59u, calcular "QT". P Q UT 8. Si: EL = 120 cm; EJ = 30 cm y KL = 70 cm, calcular "JK". E J LK 9. Si: AB = 17,2u; CD = 41,8u y AD = 80u, calcular "BC". A B DC 10. Si: PT = 56 cm, calcular "x". P Q 2x 5x T Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • El segmento de recta está formado por dos puntos.................................................................. ( ) • El segmento de recta tiene una cantidad indeterminada de puntos.......................................... ( ) 2. Completar las siguientes proposiciones con los términos del recuadro: • La menor ................................ entre dos puntos está representado por el ................................ de recta que los une. • Dos o más segmentos de ................................ se llaman colineales, si ................................ a una misma recta. plano - recta - perpendicular - distancia - pertenecen - segmento - secantes. Conceptos básicosAprende más...
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 16 Segmento de recta Resolución de problemas 6. En el gráfico: AC = 17 cm; BD = 22 cm y BC= 6 cm. Calcular "AD". A CB D 7. Si: PR = 19u; QS = 26u y QR = 4u, calcular "PS". P RQ S 8. Si: AF = 11u; EN = 19u y AN = 25u, calcular "EF". A FE N 9. Si: PQ = 2x; QE = 8u; EF = 5x y PF = 43u, calcular "x". P EQ F 10. Si: AB = x + a ; BC = 6x - a y AC = 63u, calcular "x". A B C 11. Si: AB = x; BC = 2x; CD = 5x y AD = 40u, calcular "x". A B C D 12. Si: PQ = 3k; RT = 7k; QR = 38u y PT = 118u, calcular "k". P Q R T Aplicación cotidiana • Un grupo de alumnos van de excursión partiendo de un punto "A", en una carretera recta, siendo su destino el punto "B". Pero tienen que hacer escala en los puntos "E" y "F". La distancia entre "A" y "F" es de 34 km, la distancia entre "E" y "B" es de 42 km y la distancia entre el punto de partida y el punto de destino es 63 km. A FE B 13. Calcular la distancia entre "A" y "E". 14. Calcular la distancia entre "E" y "F". 15. Calcular la distancia entre "F" y "B". 3. Completar los siguientes recuadros, de acuerdo a la teoría hecha en clase: E P Q EQ = .......... + ......... P M N PM = ......... – ......... 4. Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC, tal que: AB = 2 cm y BC = 3 cm. Luego mide la longitud del segmento AC. (Usar regla calibrada en centímetros) 5. Usando una regla calibrada en centímetros, graficar los segmentos consecutivos no colineales: PQ = 3 cm y QR = 5 cm. Luego mide la longitud de PR.
Central: 619-8100 17 2 Unidad I Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. Si: AC = 46u y BC - AB = 14u, calcular "AB" A B C 2. Si: PQ = 2(QR) y PR = 36u, calcular "QR". P Q R 3. Si: AC + BD = 53u y AD = 30u, calcular "BC". A CB D 4. Si: PQ + PR = 65 cm y QR = 3(PQ), calcular "PQ". P Q R 5. Si: BC = 3(AB) y CD = 5(AB), calcular "AB". A B C D 135 cm 1. En una recta, marcar a los puntos consecutivos "A", "B" y "C". ¿Cuántos segmentos como máximo se determinan? 2. Si: AB = 72u, calcular "x". A E x 8x B 3. Si: AC = 120 cm, calcular "x". A B 3x 7x C 4. Si: MQ = 124u y NQ = 80u, calcular "MN" QNM 5. Si: EF=20u; MH=30u y MF=16u, calcular "EH". HM FE 6. Si: PR=16u; QT=23u y QR=9u, calcular "PT". TQ RP 7. Si: EN = 24u; MH = 43u y EH = 57u, calcular "MN". HM NE 8. Si: AE = 96 cm, calcular "x". A B C D 2x x 4x 5x E 9. Si: AP = 60u, calcular "AB". A B 2x 8x P 10. Si: EF = 16u; TQ = 22u y EQ = 53u, calcular "FT". QF TE 11. Si: PR = 21u, calcular "RT". P Q R 4a 3a 10a T 12. En el problema anterior, calcular "PT" 13. Si: AL = 4x; LE = 6x y AJ = 24x, calcular "x". A L E 28 cm J 14. Si: MT = 98u, calcular "x". M N Q 5x 26u 7x T 15. ¿Cuántos segmentos se cuentan como máximo en la siguiente figura? A CB ED Conceptosbásicos ¡Tú puedes!
18 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Punto medio del segmento de recta En este capítulo aprenderemos: • A ubicar los puntos medios de los segmentos, conociendo sus medidas. • A usar variables para representar segmentos congruentes. • A usar el compás para ubicar el punto medio del segmento de recta. CAPITULO 3 En nuestro país, las unidades de longitud más usadas son: • 1 metro = 100 centímetros • 1 kilómetro = 1000 metros En las carreteras, para señalar las distancias entre las ciudades se usan los kilómetros. Por ejemplo, en Norte América se usan: pulgadas; pies; yardas y millas. 1 yarda = 3 pies1 pie = 12 pulgadas 1 milla = 1760 yardas Partiendo de que 1 pulgada es aproximadamente 2,54 centímetros, se calcula que 1 milla es aproximadamente 1,6 kilómetros
19 Geometría Unidad ICentral: 619-8100 Saberes previos Conceptos básicos • r B O A O: r: mAO = mOB Circunferencia • Trazar con el compás una circunferencia de 2,5 cm de radio. • AC = ......... + ......... CD = ......... – ......... AD =......... + .........CBA D ya b Definición del punto medio de un segmento de recta Es el punto que pertenece al segmento y tiene igual distancia a los extremos; es decir, que divide al segmento en dos segmentos congruentes (congruentes: medidas iguales) Q M aa R A P 19 cm 38 cm 19 cm B • "P" es punto medio de AB • AP es congruente con PB (AP ≅ PB) • mAP = mPB • Si no se conoce la medida se usan variables iguales: QM = MR = a • "M" es punto medio de QR Ubicación del punto medio del segmento usando el compás Dado el segmento RG y tomando como centro a cada extremo se trazan circunferencias con el mismo radio. Luego se unen los puntos de intersección de las curvas ("E" y "F") y el punto de corte entre RG y EF es el buscado punto medio "M" de RG. F G MR E
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 20 Punto medio y el segmento de recta Conceptos básicosAprende más... Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Grafica un segmento de recta AB de 4,2 cm y ubica a su punto medio, usando el compás. (Usar regla calibrada en centímetros) 2. Grafica un segmento de recta PQ de 5,7 cm y ubica a su punto medio, usando el compás. (Usar regla calibrada en centímetros) 3. Si: AB = 15 cm; BC = 42 cm y "M" es punto medio de BC, calcular "AM". CB MA 4. Si: PQ = 48u; QR = 14u y "N" es punto medio de PR, calcular "NQ". RN QP 5. Si: EF = 23u; NG = 25u y "F" es punto medio de EN, calcular "EG". GF NE 6. Si: AB = 21u y BC = 65u, hallar "MN", si "M" y "N" son puntos medios de AB y BC. A M B N C 7. Si: AM = 79u; MF = 31u y "E" y "N" son puntos medios de AM y MF respectivamente, calcular "EN". FNMEA 8. Si: RB = 70u; "A" es punto medio de RM y "C" es punto medio de MB, calcular "AC". R A a ba b M C B 9. Si: PR = 55u, calcular "MN"; siendo "M" y "N" puntos medios de PQ y QR. RN yx yx QMP 10. Si: EF = 118 cm, calcular "AB", siendo "A" y "B" puntos medios de EK y KF respectivamente. FA K BE Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • Cada segmento de recta tiene solo un punto medio.................................................................( ) • El punto medio de un segmento de recta equidista de los extremos de dicho segmento..........( ) 2. Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro. • Dos ..........................de recta que tienen igual longitud se denominan segmentos .......................... • El .......................... medio de un segmento de recta .......................... a éste en otros dos segmentos congruentes. iguales - semejantes - congruentes - punto - recta - segmentos - divide - determina 3. Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC que miden 3,2 cm y 2,5 cm (usar regla calibrada en centímetros). Luego ubicar a los puntos medios de AB y BC con el uso del compás.
Central: 619-8100 21 3 Unidad I Resolución de problemas 6. Si: AB = 31u; BC = 75u y "M" es punto medio de AC, calcular "BM". CB MA 7. Si: EQ = 86u; FQ = 32u y "N" es punto medio de EF, calcular "NQ". QN FE 8. Si: MQ = 33u; MN = 97u y "P" es punto medio de QN, calcular "MP". NQ PM 9. Si: AC = 40u; BD = 80u y BC = 10u, calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB y CD respectivamente. DB CM NA 10. Si: PR = 43u; QS = 47u; QR = 13u y "A" y "B" son puntos medios de PQ y RS, calcular "AB". SQ RA BP 11. Si: AB = 26u; BC = 58u; "M" y "N" son puntos medios de AB y BC y además "P" es punto medio de MN, calcular "BP". CB PM NA 12. Si: PQ = 72u; QR = 28u y "E", "F" y "M" son puntos medios de PQ, QR y EF respectivamente, calcular "MQ". RM QE FP 4. Grafica a los segmentos consecutivos y colineales PQ y QR, tal que: PQ = 2,8 cm y RP = 3,6 cm (usar regla calibrada en centímetros). ¿Cuánto mide QR y qué observa? 5. Grafica al segmento EF que mide 6 cm y a los segmentos consecutivos no colineales EA y AF de cualquier medida. Luego ubica a los puntos medios de EA y AF con el uso del compás. ¿Cuánto mide el segmento de recta que une dichos puntos medios? (Usar regla calibrada en centímetros) Aplicación cotidiana • Un edificio está compuesto por siete pisos, tal que el primer piso tiene una altura de 3 metros y el resto de los pisos 2 metros de altura. 13. ¿Qué altura tiene el edificio? 14. ¿Qué altura sube una persona que vive en el cuarto piso? 15. ¿Qué altura sube una persona que vive en el sexto piso?
CEILTR Colegios www.trilce.edu.peCEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 22 Punto medio y el segmento de recta Conceptos básicos¡Tú puedes! Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. Sobreunarectasetienenlospuntosconsecutivos "A", "B", "C" y "D". Si: AB = CD y AD + BC = 16, calcular "BD". 2. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B" y "C". Si: AB + AC = 28, calcular "AM", siendo "M" punto medio de BC. 3. Sobreunarectasetomanlospuntosconsecutivos "A", "B", "C" y "D". Calcular "AD", si: AC = 12µ y AD + CD = 28µ. 4. Sobreunarectaseubicanlospuntosconsecutivos "A", "B", "C" y "D". Si: AC + BD = 64µ, calcular "PQ", siendo "P" y "Q" puntos medios de AB y CD respectivamente. 5. En una recta se ubican los puntos consecutivos "P", "Q", "R" y "S". Si "M" es punto medio de PS, PQ + RS = 17 m y QM - MR = 3 m, calcular "RS". 1. Si: AC = 40 cm; BD = 60 cm y AD = 90 cm, hallar "BC". DB CA 2. Si: AB = 11 cm; BD = 28 cm y "C" es punto medio de BD, hallar "AC". DB CA 3. Si: PM = 58; TM = 34 y "Q" es punto medio de PT, hallar "QM". MQ TP 4. Si: AC = 24; CB = 50 y "M" es punto medio de AB, hallar "CM". BC MA 5. Si: AB = 18; BC = 32, "M" y "N" son puntos medios de AB y AC , hallar "MN". CBM NA 6. ¿Cuántos segmentos hay? QFE TP 7. Si: AB = 42; BC = 19; CD = 64 y "M" y "N" son puntos medios de AB y CD, hallar "MN". DBM C NA 8. Si: AE = 26; EF = 32; FH = 48 y "M" es punto medio de EF, hallar "MH - AM". HE M FA 9. Si: PE = MT = 38; EF = 11 y PT = 127, hallar "FM". TE F MP 10. Si: AB = 7u y BC = 19u, hallar "PQ", siendo "P" y "Q" puntos medios de AB y BC. CP B QA 11. Si: AR = 27 cm; TQ = 32 cm y TR = 18 cm, hallar "AQ". QT RA 12. Si: EN = 48; EM = 26 y "N" es punto medio de MF, hallar "EF". FM NE 13. Si "E" es punto medio de AF y AG = 60u, calcular "x". A E F G 3xx 14. Si "R" es punto medio de PT y PT = 70u, calcular "PQ". P Q R T 2x 3x 15. Si "C" es punto medio de AD y AD = 160 cm, calcular "x". A B C D 5x 3x
Central: 619-8100 23 4 Unidad ICentral: 619-8100 Comunicación matemática • Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") 1. Por un punto pasan infinitas rectas.............................................................................. ( ) 2. Por dos puntos solamente pasa una recta..................................................................... ( ) 3. Dos rayos con el mismo origen y en sentidos opuestos forman una recta.................... ( ) 4. Si un punto tiene igual distancia a los extremos de un segmento de recta, entonces es. necesariamente el punto medio................................................................................... ( ) 5. Los puntos que pertenecen a una misma recta se llaman colineales............................. ( ) • Completar las siguientes proposiciones correctamente, usando los términos del recuadro mostrado: 6. Los elementos ................................... son tres y no tienen ................................... 7. El punto ................................ de un segmento de ........................... pertenece a dicho segmento y ........................ igual distancia a los ................................. del segmento. 8. Dos segmentos de recta son ................................... y colineales si ................................... a una misma recta y tienen un ................................... en común. extremos - medio - plano - congruentes consecutivos - geométricos - calculan punto - pertenecen - tiene - recta - medida • Completar correctamente los recuadros adjuntos a cada gráfico: 9. BC < ............... CA B 3 cm 1 cm 10. AC = ............... CB 3 cm 1 cm A Conceptos básicosAprende más... Recordando lo aprendido
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 24 Recordando lo aprendido Conceptosbásicos ¡Tú puedes! Resolución de problemas 11. Calcular el máximo número de puntos de corte entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes. 12. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos rectas paralelas y tres rectas secantes. 13. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos circunferencias y tres rectas paralelas. 14. Si: AB = 28u; BC = 12u y "P" y "Q" son puntos medios de AC y BC respectivamente, calcular "PQ". CP B QA 15. Si "M" y "N" son puntos medios de EN y EQ respectivamente, calcular "MN", si además: EQ = 60u QM NE 16. Si: PE = 78u; PR = 32u; QE = 60u y "M" es punto medio de QR, calcular "MR". ERQ MP 17. Si: AB = DE = x ; BC=3x; CD = 5x y AE = 130u, calcular "AC". EDB CA 18. Si: AB + AC = 96u y BC = 54u, calcular "AB" CBA 19. Si: PQ - QR = 31u y PR = 59u, calcular "QR". RQP 20. Si: EQ = 80u; PF = 140u y EF = 170u, calcular "MN", si además "M" y "N" son puntos medios de EP y QF. FQ NM PE 1. En una recta se marcan los puntos consecutivos "A", "B", "C", "D", "E", "F", "G" y "H". Calcular el máximo número de segmentos determinados. 2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B" y "C", tal que: AC + BC = 68u y "M" es punto medio de AB. Calcular "MC". 3. Se tienen los puntos colineales "P", "Q" y "R" (PQ > QR) tal que: PQ - QR = 18u. Calcular "MQ", siendo "M" punto medio de PR. 4. Se tienen 10 rectas secantes. Calcular el máximo número de puntos de corte. 5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre 12 rectas paralelas y 10 rectas secantes.
Central: 619-8100 25 4 Unidad I Conceptosbásicos Practica en casa 18:10:45 1. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos triángulos. 2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas secantes. 3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes. 4. ¿Cuántos puntos de corte hay entre el triángulo ABC y la circunferencia? B CA 5. ¿Cuántos puntos de corte hay entre las circunferencias y las rectas paralelas? 6. Si: AD = 58 cm, calcular "x". A B C x 18 cm 3x D 7. Si: AB = 11u; BC = 39u y "M" y "N" son puntos medios de AB y BC respectivamente, calcular "MN" A M B N C 8. Si: PF = 59u y EF = 21u, calcular "MF", siendo "M" el punto medio de PE. P M E F 9. Si: AD = 48u y BC = 15u, calcular: a + b A B C D a b 10. Si: AB = 12u; BC = 10u; CD = 18u y "M" es punto medio de BD, calcular "AM". A B C DM 11. Si: AM = 38u; MP = 54u; PQ = 22u y "N" es punto medio de AQ, calcular "NP". A M N QP 12. Si: AD = 72u, calcular "y" A B C y 16u 7y D 13. Si: AC + AB = 72u y BC = 50u, calcular "AB" A CB 14. Si: QR - PQ = 16u y PR = 60u, calcular "PQ" P RQ 15. Si: AB=24u; BC=30u y "M" y "N" son puntos medios de AB y BC respectivamente, calcular "MN" A B CM N
AprendiZajes esperados UNIDAD 1 E xisten tres sistemas de medición angular y el sistema que usaremos es el sexagesimal. Para la elaboración de estos sistemas se tomó como referencia a la circunferencia. ¿Cómo se mide un ángulo? Todo sobre ángulos UNIDAD 2 • Uso del transportador y compás para la medida angular y trazo de la bisectriz. • Resolver ejercicios sin usar el transportador. • Relacionar ángulos de acuerdo a su medida, tomando como referencia al ángulo recto y al ángulo llano. • Resolución de problemas gráficos con variables y ecuaciones sobre ángulos consecutivos. • Interpretar enunciados para la elaboración de gráficos sobre segmentos y ángulos. • Elaborar propiedades a partir de ejercicios numéricos. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe
Identificando y midiendo ángulos Antigüamente; al tomar como base la división del año en 360 días se dividió al círculo en 360 partes, dando como origen al sistema sexagesimal para la medición angular, que posteriormente sirvió para la elaboración del reloj. Las antiguas civilizaciones de Mesopotamia observaron que el Sol parecía desplazarse hacia el Oeste en el firmamento de una manera regular, con el paso de los días. Este era un descubrimiento sofisticado: primero crearon un mapa de las estrellas, luego observaron que cada día el Sol salía y se ponía en un intervalo breve; pero discernible, contra el fondo de las estrellas para completar un circuito completo de todo el campo de estrellas. Los egipcios sabían que el Sol tardaba aproximadamente 360 días, por eso fue que se dividió el círculo en 360º donde "cada grado representaba la distancia recorrida por el Sol contra el fondo de estrellas en un día". Sin embargo, los egipcios sabían que el año verdadero tenía 365 días y no 360, el asunto se complicaba más por el uso de un calendario de 12 meses de 30 días sin añadirles nada. Hasta los avances de la Aritmética, el año oficial egipcio duraba 360 días y simplemente se declaraban que los restantes cinco no existían, al menos oficialmente. Este periodo era dedicado a festejos y banquetes con animales especialmente sacrificados para este periodo. ¿Por qué una vuelta mide 360º? 1º: un grado sexagesimal 360º 1º 12 6 11 5 10 1º 4 9 3 8 2 7 1 En este capítulo aprenderemos: • A diferenciar entre ángulo, medida angular y región angular. • A clasificar a los ángulos de acuerdo a su medida. • A usar el transportador para graficar y/o medir ángulos. • A trazar la bisectriz de un ángulo con el uso del compás y con el uso del transportador. CAPITULO 27 1 Central: 619-8100 Unidad II
28 Identificando y midiendo ángulos CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Clasificación de ángulos Ángulo agudo Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 0º y menor de 90º. θº 0º<θº<90º Ángulo recto Es el ángulo que mide 90º y a los lados que lo forman se llaman perpendiculares A O B m AOB = 90º OA OB Los rayos OA y OB son perpendiculares Observación Saberes previos Conceptos básicos • O A OA es un ............................. • Algunas letras griegas: α = Alpha β = Beta θ = Tetha • Dos rayos opuestos con el mismo origen forman una ........................................ A O B Definición de ángulo El ángulo es la reunión de dos rayos a través de su origen. La medida del ángulo está dado por la abertura entre sus lados. αº A B O Región angular Vértice : O Lados : OA y OB Medida : αº Elementos Ángulo AOB : AOB; BOA; AOB; BOA. Medida del AOB: m AOB = αº Notación
29 1 Unidad IICentral: 619-8100 Clasificación de ángulos Ángulo agudo Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 0º y menor de 90º. θº 0º<θº<90º Ángulo recto Es el ángulo que mide 90º y a los lados que lo forman se llaman perpendiculares A O B m AOB = 90º OA OB Observación Los rayos OA y OB son perpendiculares Ángulo obtuso Se denomina así a los ángulos que sus medidas varían entre 90º y 180º. αº 90º<αº<180º Ángulo llano Es el ángulo que mide 180º, es decir, que sus lados están en sentidos opuestos. m AOB = 180º A BO 180ºRecta Ángulo no convexo Es aquel cuya medida varía entre 180º y 360º. 180º<βº<360º βº O M N
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 30 Identificando y midiendo ángulos ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Uso del transportador Se ubica el transportador coincidiendo el vértice del ángulo con el centro del transportador y a uno de los lados con uno de los ceros y el otro lado señala el valor del ángulo. 110º O M F E • Con cualquier abertura se traza el compás obteniéndose los puntos "E" y "F" . • Luego, tomando como centros a estos puntos "E" y "F", se trazan circunferencias con el mismo radio; obteniéndose el punto "M". • Finalmente, el rayo OM es la bisectriz del ángulo. 1. Mide los siguientes ángulos mostrados y clasifícalos.
Central: 619-8100 31 1 Unidad II Conceptosbásicos Aprende más... 2. Trazar una recta a perpendicular a la recta mostrada L y que pase por el punto "E". E L 3. Medir los siguientes ángulos y clasifícalos. 4. Traza la bisectriz del siguiente ángulo con el uso del compás. 5. Traza la bisectriz del ángulo mostrado. 6. Grafica un ángulo de 120º y traza su bisectriz con el transportador. 7. Grafica un ángulo de 70º y traza su bisectriz con el transportador. 8. Grafica un ángulo de 60º y traza su bisectriz con el uso del transportador. 9. Grafica un ángulo de 140º y traza su bisectriz con el uso del transportador. 10. Grafica un ángulo de 200º y traza su bisectriz con el uso del transportador. Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • El ángulo de una vuelta mide 360º.....................................................................................( ) • El ángulo llano mide 90º....................................................................................................( ) 2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro. • La ................................... de un ángulo divide a éste en ................................... iguales. • Dos ángulos que ................................... igual medida se llaman ángulos ................................... rayo - recta - congruentes - iguales - tienen - bisectriz - medidas - ángulos 3. Grafica los ángulos congruentes AOB y PMQ que miden 80º. 4. Grafica los ángulos congruentes MON y APB que miden 130º. 5. Grafica el ángulo AOB, tal que: m AOB = 230º.
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 32 Identificando y midiendo ángulos Resolución de problemas 6. Medir los ángulos internos "A", "B" y "C" usando el transportador. A C B 7. Medir los ángulos en los vértices "A", "B", "C" y "D" usando el transportador. D A B C 8. Medir los: AOB; BOC y AOC usando el transportador. O C BA 9. Medir los: AOB; BOC; COD y AOD usando el transportador. A D C B O 10. Medir los: AOB; BOC y COD usando el transportador. C B D O A Recta 11. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 100º y m BOC = 60º. ¿Cuánto mide el ángulo AOC? (Usar el transportador) 12. Graficar los ángulos consecutivos PQM y MQN talque:m PQM=70ºym MQN=50º. ¿Cuánto mide el ángulo PQN? (Usar el transportador) 13. Usando el compás, trazar la bisectriz del ángulo AOB. Luego ubicar a un punto "P" de dicha bisectriz y medir las distancias de "P" a los lados OA y OB O A B Aplicación cotidiana • Las agujas del reloj (horario y minutero) son observadas por Anita que entusiasmada con el tema de ángulos encuentra que: 14. Al escuchar la campanita del reloj siendo las 8 a.m en punto, las agujas forman un ángulo de: 15. Luego de dos horas vuelve a escuchar la campanita y las agujas del reloj forman un ángulo de: http://es.123rf.com
Central: 619-8100 33 1 Unidad II Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Graficar un ángulo no convexo de 240º y luego trazar su bisectriz usando el transportador. 2. Graficar un ángulo no convexo cualquiera y luego trazar su bisectriz con el uso del compás. 3. Graficar a los ángulos consecutivos AOB y BOC que miden 120º y 100º respectivamente. Luego trazar la bisectriz OM del ángulo AOC. 4. En el problema anterior, calcular: m MOB. 5. Trazar las bisectrices de los ángulos AOB y BOC, usando el compás. Luego mide el ángulo formado por dichas bisectrices. A O C B • Graficar y clasificar a los siguientes ángulos (usa el transportador) 1. 35º 2. 65º 3. 104º 4. 170º 5. 28º 6. 126º 7. 58º 8. 220º • Graficar a los ángulos consecutivos AOB y BOC. Luego, calcular m AOC. (Usa el transportador) 9. m AOB = 30º y m BOC = 60º 10. m AOB = 40º y m BOC = 80º 11. m AOB = 20º y m BOC = 70º 12. m AOB = 80º y m BOC = 70º 13. m AOB = 110º y m BOC = 90º 14. m AOB = 130º y m BOC = 80º 15. m AOB = 100º y m BOC = 50º
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 34 Ordenamiento lineal y circular Se cree que el alfabeto griego deriva de una variante del fenicio, introducido en Grecia por mercaderes de esa nacionalidad. El fenicio, como los alfabetos semíticos posteriores, no empleaba signos para registrar las vocales; para salvar esta dificultad, que lo hacía incompleto para la transcripción de la lengua griega, los griegos adaptaron algunos signos utilizados en fenicio para indicar aspiración para representar las vocales. Este aporte puede considerarse fundamental; la inmensa mayoría de los alfabetos que incluyen signos vocálicos se derivan de la aportación original griega. Además de las vocales, el griego añadió tres letras nuevas al final del alfabeto: fi y ji, para representar sonidos aspirados que no existían en fenicio, y psi. En el Álgebra se usan variables como "x", "y" y "z" para señalar valores numéricos, en general trabajando básicamente con las operaciones. En Geometría para señalar valores angulares no conocidos se utilizan letras griegas como: "α";"β";"θ" y "δ"; etc Operaciones con ángulos En este capítulo aprenderemos: • A relacionar ángulos por sus lados • A graficar ángulos sin el uso del transportador comparando al ángulo recto y ángulo llano. • A sumar y restar medidas de ángulos consecutivos. 2 A α alfa N ν ni B β beta Ξ ξ xi r γ gamma O o ómicron ∆ δ delta ∏ π pi E ε épsilon P p ro Z ζ dseta ∑ σ sigma H η eta T τ tau Θ θ zeta ϒ υ ipsilon I ι iota Φ ϕ fi K κ kappa X χ ji Λ λ lambda Ψ ψ psi M µ mi Ω ω omega
Geometría Central: 619-8100 35 Unidad II Saberes previos Conceptos básicos • Rectas .................................................. • Rectas................................................... • Una vuelta mide................................... • El ángulo POQ mide............................. P QO • El ángulo llano AOB mide.................... OA B Ángulos opuestos por el vértice Son los ángulos que se forman al trazar dos rectas secantes. M αº αº N F E A Vértice Los ángulos MAN y EAF son opuestos por el vértice m MAN = m EAF = αº θº B P Q A C Vértice θº Los ángulos PBQ y ABC son opuestos por el vértice m PBQ = m ABC = θº
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 36 Operaciones con ángulos Ángulos consecutivos Son dos, tres o más ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común respectivamente. En el gráfico: m AOC = 40º + 60º = 100º40º 60º O C B A AOB y BOC son consecutivos o adyacentes En el gráfico: m POR = 50º + 70º = 120º m QOS = 70º + 20º = 90º O S Q R 20º 70º 50º P POQ; QOR y ROS son consecutivos En el gráfico: m POR = 35º + 65º = 100º m ROS = 180º - 100º = 80ºO S Q R 65º 35º P Recta POQ; QOR y ROS son consecutivos. Suma y resta de ángulos consecutivos usando variables. B βºαº A C O yº yº = αº + βº βº αº αº + βº = 90º
Central: 619-8100 37 2 Unidad II ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 xº = bº – qº O θº βºxº A B C m AOB = 180º - θº A O C B 180º – θº θº xº 90º – xº Q RO P m QOR = 90º - xº O αº βº θº αº+ βº + θº = 180º αº+ βº + θº + ωº = 360º ωº βº αº qº 1. Calcular "xº", si: m AOF = 18º O E B F A 2xº xº 2. Si: m EOF = 130º; m EON = 100º y OM es bisectriz del ángulo NOF, calcular: m EOM O M F N E 3. Si OM es bisectriz del ángulo AOB y m BOC = 32º, calcular: m MOC. COA M B 4. Si: m MOA = 48º y m MOQ = 142º, calcular: m NOQ, si OA es bisectriz del ángulo MON QO A M N
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 38 Operaciones con ángulos Conceptos básicosAprende más... 5. Calcular "xº" 4xº xº 6. Si: m AOB = 38º; m BOC = 72º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular "θº". O A B θº M C 7. Si: m AOB = 28º; m BOC = 102º y ON es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON O A B N C 8. Si: m EOF = αº y m FOH = 5αº, calcular "αº" F E O H 9. Calcular "αº". αº 8αº 10. Calcular "αº". 80º 4αº αº Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • La medida de un ángulo llano es el doble de la medida de un ángulo recto.......................... ( ) • La bisectriz de un ángulo es un rayo que divide en medidas iguales a dicho ángulo.............. ( ) 2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado: • Dos ángulos .......................................... por el vértice, tienen sus .......................................... en sentidos opuestos y sus medidas son ........................................... • Dos rectas secantes y .......................................... forman cuatro ángulos ...................................... consecutivos. perpendiculares - paralelas - llanos - rectos - opuestos - iguales - consecutivos - lados - ángulos
Central: 619-8100 39 2 Unidad II Completar las relaciones, según los gráficos: 3. m AOE = ........ − ........ A O βº E B 4. m FOM = ........ − ........ E O M F αº 5. αº + βº + θº + ωº = ........ θº βº αº ωº Resolución de problemas 6. Si: m COD = 23º, calcular: m AOB. A O C B D 7. Si: m AOC = 74º; m BOC = 22º y OM es bisectriz del ángulo AOB, calcular: m MOC. A M B O C 8. Si: m AOB=42º; m BOC=90º y ON es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON. O A B N C 9. Calcular "αº" 2αº 4αº 3αº αº A B C D O
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 40 Operaciones con ángulos Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 10. Calcular "xº", si: m AOD = 148º. A O C B Dxº 68º3xº 11. Si OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcular: m BOC A M B C N 26º DO 34º 12. OM y ON son bisectrices de AOt B y COt D. Si: m AOB=36º, calcular: m MON A B M C N100º DO 13. Si OE y OF son bisectrices de AOt C y BOt C, calcular: m EOF A F B E 30º C O Aplicación cotidiana • Una puerta metálica levadiza de la cochera de una casa está decorada y asegurada por varillas que forman ángulos consecutivos congruentes. 14. ¿Cuántos ángulos consecutivos, congruentes y menores se han formado? 15. ¿Cuánto mide cada ángulo menor? 1. Si: m BOC = 80º; OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcular la m MON. DA M B C N O 2. Calcular "xº", si: m AOC + m BOD = 130º. xº A B C DO
Central: 619-8100 41 2 Unidad II Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 3. Se tiene dos ángulos consecutivos POQ y QOR. Se traza OM bisectriz del ángulo POQ. Si: m POR + m QOR =140º, calcular la m MOR. 4. Si: m AOB - m BOC = 70º, calcular la m MOB. Además OM es bisectriz del ángulo AOC. B C M A O 5. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC de tal manera que el ángulo AOB mide 50º. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y BOC. 1. Si: m AOB = 20° y m AOC = 100°, calcule: m BOC. B C O A 2. Si:m AOD=120º,m BOC=70ºym COD=30º, calcule: m AOB. OA B C D 3. Calcule "α°" 32º αº 4. Calcule "x°" 4xº xº 5. Calcule "x°", si: m AOD = 110°. 50º 2xº xº O A B C D 6. Calcule "x°" 120º 3xºxº
CEILTR Colegios www.trilce.edu.peCEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 42 Operaciones con ángulos 7. Si: m AOC=120°, m BOC=20° y OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule: m MOC. C O B M A 8. Si: m POQ=100°, m QOR=40° y OM es bisectriz del ángulo POR, calcule: m MOQ. P M Q O R 9. Si OM es bisectriz del ángulo AOC y ON es bisectriz del ángulo BOC, calcule: m MON, si además: m BOC=40º. A M B N C O 10. Si: m AOB=36°, OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcule: m MON. A O D N C B M 11. Calcular: m BOC. A B C D 5xº3xº 2xº O 8xº 12. Calcule "xº", si: m AOC=158º y OM es bisectriz del ángulo BOC 64º xº A B M C O 13. Si OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule "θ°". O A M 48º θº 5θº B C 14. Calcule "β°" A B C 38º βº 64º Recta DO 15. Si: m AOB = 30° y m BOC = 80º y además OM es bisectriz del AOt C, calcule m BOM. O A B M C
Central: 619-8100 Unidad IICentral: 619-8100 Conceptos básicos 3 43 ¿Qué es generalizar? ¿Qué es para ti una fórmula? 1 2 3 n ........ "n" puntos segmentos ( )n n 2 1- 1 2 3 3 puntos 3 segmentos 4 puntos 6 segmentos 1 2 3 4 En la Aritmética, estudiamos a los números haciendo operaciones que resuelven problemas diversos de la vida cotidiana como compra, venta, edades, etc. En el Álgebra, el concepto de cantidad es mucho más amplio utilizando letras para representar a las cantidades conocidas y desconocidas. Una fórmula algebraica surge justamente de la generalización que implica la representación de cantidades por letras. En nuestro curso de Geometría, empleamos claramente estos conceptos básicos y en estos dos capítulos es importante entenderlo y dominarlo para aplicarlo en capítulos más complejos. Solo con enunciados En este capítulo aprenderemos: • A interpretar un enunciado con términos geométricos de segmentos de recta y ángulos. • A graficar problemas para su resolución conociendo sus valores o usando variables. • A representar mediante una ecuación la suma y resta de segmentos y ángulos. • "Q" es punto medio de AN A Q N a a • Puntos y segmentos consecutivos y colineales. A B C a yb D AB = a – b AD=a+y Recuerda que...
44 Solo con enunciados CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe • • Suma y resta de ángulos consecutivos. m AOB = θº - βº m AOD = θº + αº O A B C βº θº αº D E F A αº αºO OF es bisectriz del ángulo AOE 1. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos "A", "B" y "C" tal que: AC = 25u. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y BC. Resolución: Se ubican arbitrariamente a los puntos medios "M" y "N" de AB y BC respectivamente. Como no se conocen los valores de AB y BC se ponen letras. A M B 25u N C a a b b • Del gráfico: 2a + 2b = 25u, simplificando: a + b = 12,5u • Nos piden: MN = a + b ∴ MN = 12,5u Ejemplos 2. Se tienen dos ángulos consecutivos AOB y BOC; tal que: m AOC = 128º. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y BOC. Resolución: O P A B xº Q αº θº θº αº C • Se trazan las bisectrices OP y OQ, siendo el ángulo POQ el pedido en el ejercicio. • Sumando ángulos consecutivos: 2θº + 2αº = m AOC 2θº + 2αº = 128º θº + αº = 64º • Finalmente: m POQ = xº y del gráfico: xº = αº + θº ∴xº = 64º Recuerda que...
45 3 Central: 619-8100 Unidad II ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Conceptos básicosAprende más... 1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A"; "B" y "C" tal que: AB = 32u y AC = 46u. Calcular "AM", siendo "M" punto medio de BC. 2. Se tienen los puntos colineales "P"; "Q" y "R", tal que: PQ = 56u y QR = 38u. Calcular "MQ", siendo "M" el punto medio de PR. 3. AE y EF son segmentos colineales y consecutivos tal que: AE=36u y AF=78u. Calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AE y EF respectivamente. 4. PQ y QR son segmentos colineales y consecutivos tal que: PQ = 84u y QR = 62u. Calcular "EQ", siendo "E" el punto medio de PR. 5. Sobreunarectaseubicanlospuntosconsecutivos "A", "B", "C" y "D" tal que: AB=20u; BC=16u y CD=34u. Calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB y CD respectivamente. 6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 76º y m BOC = 48º. Calcular m BOM, siendo OM bisectriz del AOt C. 7. Se tienen los ángulos consecutivos POQ y QOR, tal que: m POR=140º y m POQ=110º. Calcular m POE, siendo OE bisectriz del QOR. 8. Dados los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD, tal que: m AOB=m BOC=m COD y m AOD=144º. Calcular: m BOD. 9. Dados los ángulos consecutivos POQ y QOR, tal que: m POQ=2 m QOR y m POR=126º. Calcular: m QOR. 10. Dados los ángulos consecutivos MON y NOE, tal que: m MON=3 m NOE y m MOE=128º. Calcular: m NOE. Comunicación matemática 1. Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado: • Dos segmentos de ..................................... y dos ángulos se ..................................... congruentes si tienen sus ..................................... iguales respectivamente. • La menor ..................................... entre dos puntos en el espacio está representado por la ........... .......................... del segmento de recta que ..................................... a dichos puntos. distancia - medidas - recta - punto une - plano - denominan - longitud 2. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • El ángulo de una vuelta mide 360º....................................................................................... ( ) • El ángulo no convexo es mayor de 90º y menor que 180º.................................................... ( ) • Los ángulos opuestos por el vértice suman 180º................................................................... ( ) 3. Trazar dos rectas perpendiculares y luego las rectas bisectrices de los ángulos rectos formados con el transportador. ¿Qué observas? 4. Graficar un ángulo agudo cualquiera, luego con el uso del compás traza su bisectriz. Mide las distancias de un punto cualquiera de la bisectriz hacia los lados del ángulo. ¿Qué observas? 5. Grafica un segmento de recta de cualquier longitud, luego ubica a su punto medio con el uso del compás. ¿Qué se obtiene al dividir la longitud de uno de los segmentos obtenidos entre la longitud del segmento inicial?
46 Solo con enunciados CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Conceptos básicos¡Tú puedes! Resolución de problemas 6. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B" y "C" tal que: AB = 86u y BC =58u. Siendo "M" punto medio de AC, calcular "BM". 7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "P", "Q" y "R" tal que: PR=68u y PQ=22u. Calcular la distancia entre "P" y el punto medio de QR. 8. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D" tal que: AB=18u, BC=24u y CD=30u. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD. 9. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D" tal que: AC = 36u, BD = 48u y BC = 10u. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD. 10. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: m AOB=68º y m AOC=138º. Calcular la medida del ángulo formado por OA y la bisectriz del ángulo BOC. 11. Se tienen los ángulos consecutivos POQ y QOR que miden 100º y 50º respectivamente. Calcular el ángulo formado por OQ y la bisectriz del ángulo POR. 12. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD que suman 180º. Si: m AOB=38º y m COD=76º, calcular: m BOC. 13. En el ejercicio anterior, calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOt B y COt D. Aplicación cotidiana • Alejandrita es aficionada a la carpintería ya que ayuda a su papá en la elaboración de un mueble para su cuarto. El papá le dice a Alejandrita que corte con una sierra la madera mostrada de 2 metros de longitud en tres partes, tal que la menor parte mida 40 cm y la mayor parte exceda a la parte intermedia en 20 cm. 1. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D" tal que: AC=42u; BD=78u y CD=3(AB). Calcular "AB". 2. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R" y "S" tal que: PR + QS = 124u. Calcular: PS + QR. 3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: m BOC - m AOB = 48º. Calcular la medida del ángulo formado por OB y la bisectriz del ángulo AOC 4. Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 90º. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BOC y AOC. 5. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD que forman un ángulo llano. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD. Además: OB OC. 14. ¿Cuántos cortes realiza Alejandrita? 15. ¿Cuánto miden las otras dos partes? 2 metros
47 3 Central: 619-8100 Unidad II Conceptosbásicos Practica en casa 18:10:45 1. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si: AC = 21u; BD = 28u y AD = 30u, calcular "BC". 2. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si: AC = 19u; BD = 24u y AD = 27u, calcular "BC". 3. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R", "S" y "T". Si: PQ = QR; RS = ST; PR = 12u y RT = 20u, calcular "QS". 4. Calcular "PM", siendo "M" punto medio de QR. P 18u 22u 30u RQ S 5. Calcular "x", si: AM = MD; AC = 5m y AD = 16m. A C M D x 6. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos "P", "Q", "R" y "S" tal que "Q" es punto medio de PR. Si: PR=30 m y RS=10 m, hallar "QS". 7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "P", "Q", "R" y "S", tal que: PR=10 m; QS=12 m y QR=4 m. Calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de PQ y RS. 8. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si: AB=BC; AC=CD y AD=48u, calcular "BC". 9. Del gráfico mostrado, calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AC y BD respectivamente. 18u 12u 8u A CB D 10. Calcular "xº". 2xº 40º 11. Calcular "xº". 3xº 2xº 12. Calcular "xº". 3xº + 5º 4xº - 10º 13. Calcular "xº". 2xº - 15º 2xº + 15º 60º 14. Calcular "xº". 2xº - 10º 3xº + 10º 15. Calcular "xº". 4xº A B C xº + 10º O
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 48 Complemento y suplemento de un ángulo Complemento y suplemento de un ángulo En este capítulo aprenderemos: • A comparar la medida de un ángulo con el ángulo recto y el ángulo llano. • A relacionar gráficamente y algebraicamente el complemento y suplemento de un ángulo. • A identificar a dos ángulos complementarios y suplementarios. Torre de Pisa La torre de Pisa (Italia) se construyó verticalmente, pero por lo débil de los cimientos de la torre se produjo una ligera inclinación dejando la torre en tres pisos. Después de 100 años aproximadamente se reinició la construcción de los cuatro pisos restantes con la finalidad de corregir la inclinación pero la torre se inclinó más. Desde el 2001 se reabrió el acceso al público ya que no existe riesgo alguno. Actualmente se hacen edificaciones con inclinaciones gracias a la tecnología, lo cual le da un aspecto de modernidad. • ¿Qué ángulo está inclinada la torre de Pisa? • ¿La inclinación de la torre de Pisa fue adrede? http://www.viajesmag.com CAPITULO 4
Geometría Central: 619-8100 49 Unidad II Conceptos básicos Saberes previos • El ángulo recto AOB mide ...................... O A B • Una recta se grafica idénticamente a un ángulo 180º • 5 – [12 + (8 - 2)] = ........................................... 16 – [24 – (12 – 5)] = ........................................... 2x – [6x + 10x – (6x – 3x)] = ........................................... 18a – [12a – 3(4a – a)] = ........................................... ............................................. Definición de ángulos complementarios Son aquellos dos ángulos cuyas medidas suman 90º. O A αº B E H F θº αº + θº = 90º Los ángulos AOB y EFH son complementarios. Definición de ángulos suplementarios Son aquellos dos ángulos cuyas medidas suman 180º. Φº + ωº = 180º P ωº R Q Φº N M O Los ángulos MON y RPQ son suplementarios
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 50 Complemento y suplemento de un ángulo Complemento de un ángulo Es el ángulo que le falta a un ángulo dado para que mida 90º Complemento de 30º = 90º - 30º Complemento de 30º = 60º C30º = 60º 30º Complemento de 50º = 90º - 50º Complemento de 50º = 40º C50º = 40º 50º qº Cqº Complemento de "qº": Cqº = 90º – qº Suplemento de un ángulo Es el ángulo que le falta a un ángulo dado para que mida 180º. Suplemento de 40º = 180º - 40º Suplemento de 40º = 140º S40º = 140º 40º Suplemento de 60º = 180º - 60º Suplemento de 60º = 120º S60º = 120º 60º Suplemento de 100º = 180º - 100º Suplemento de 100º = 80º S100º = 80º 100º Suplemento de 130º = 180º - 130º Suplemento de 130º = 50º S130º = 50º 130º Suplemento de ωº = Sωº = 180º - ωº ωº Sωº Los ángulos de referencia son los de 90º y 180º de tal manera que al conocer un ángulo agudo u obtuso se pueden relacionar con dichos ángulos. Ten en cuenta
Central: 619-8100 51 4 Unidad II ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Para combinar operaciones con el complemento y suplemento de un ángulo se usan términos prácticos como por ejemplo: 1. Si nos piden: • Calcular el complemento de 40º y luego el suplemento del resultado. La solución es: C40º = 90º - 40º = 50º S50º = 180º - 50º = 130º Respuesta: 130º • En forma práctica: Calcular el suplemento del complemento de 40º. La solución es: SC40º = 180º - (90º - 40º) SC40º = 180º - 50º ∴ SC40º = 130º 2. Si nos piden: • Calcular el complemento del resultado del suplemento de 110º. La solución es: S110º = 180º - 110º = 70º C70º = 90º - 70º = 20º Respuesta: 20º • En forma práctica: CS110º = 90º - (180º - 110º) CS110º = 90º - 70º CS110º = 20º 1. Calcular el complemento de 53º. 2. Calcular el suplemento de 81º. 3. Calcular la suma entre el complemento de 10º y el suplemento de 100º. 4. Calcular la suma entre el complemento de 30º y el suplemento de 70º. 5. Calcular la diferencia entre el suplemento de 70º y el complemento de 50º. 6. Calcular la diferencia entre el suplemento de 50º y el complemento de 50º. 7. Calcular la suma entre el suplemento y el complemento de 60º. 8. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 80º. 9. Calcular el complemento del suplemento de 125º. 10. Calcular el suplemento del complemento de 75º. Ten en cuenta
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 52 Complemento y suplemento de un ángulo Conceptos básicosAprende más... Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • Dos ángulos complementarios tienen que ser consecutivos..................................................( ) • Tres ángulos que miden 30º; 40º y 110º son suplementarios................................................( ) 2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, con los términos del recuadro mostrado: • Para que un ángulo tenga ................................., tiene que ser menor o ................................. a 90º y para que un ................................. tenga suplemento ................................. que ser ................... .............. o igual a 180º. • El complemento de un ángulo ................................. es cero y el ................................. de un ángulo llano también es ................................. ángulo - recto - suplemento - complemento consecutivos - cero - igual - tiene - mayor menor - llano - centro 3. Graficar dos ángulos consecutivos y complementarios. 4. Graficar dos ángulos consecutivos y suplementarios. 5. Completar los recuadros, según los gráficos: θº ...... − ...... ...... − ...... αº Resolución de problemas 6. Calcular el complemento del suplemento de 124º. 7. Calcular el suplemento del complemento de 72º. 8. Calcular la suma entre el suplemento y el complemento de 68º. 9. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 57º. 10. Calcular la diferencia entre el complemento de 14º y el suplemento de 158º. 11. Calcular el suplemento del suplemento de 131º. 12. Calcular la medida de un ángulo, si su complemento es 35º. 13. Calcular la medida de un ángulo, si su suplemento es 128º. 14. Si "xº" es la medida de un ángulo y el complemento de "xº" es 39º, calcular "xº". 15. Si "θº" es la medida de un ángulo y el suplemento de "θº" es 63º, calcular "θº".
Central: 619-8100 53 4 Unidad II Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Si el complemento de "xº" es igual al doble de "xº", calcular "xº". 2. Si el suplemento de "θº" es el cuádruple de "θº", calcular "2θº". 3. Calcular la medida de un ángulo, si la suma de su complemento y su suplemento es 200º. 4. Si el suplemento de un ángulo es el cuádruple de su complemento, calcular la medida de dicho ángulo. 1. Calcular el complemento de 26º. 2. Calcular el suplemento de 83º. 3. Calcular el complemento de 72º. 4. Calcular el suplemento de 100º más el complemento de 50º. 5. Calcular el suplemento de 80º menos el complemento de 60º. 6. Calcular el complemento de 70º más el suplemento de 130º. 7. Calcular el complemento del suplemento de 170º. 8. Calcular el complemento del suplemento de 118º. 9. Calcular el complemento del complemento de 39º. 10. Calcular el suplemento del suplemento de 111º. 11. Calcular el complemento del complemento de 83º. 12. Calcular el suplemento del suplemento de 141º. 13. Calcular la suma del complemento y el suplemento de 25º. 14. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 65º. 15. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 45º
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 54 Ordenamiento lineal y circular Conceptos básicosAprende más... Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Repaso bimestral 1. Si: BC = 3 (AB) y AC = 72u, calcular "AB". A B C 2. Si: PQ = 5 (QR) y PR = 54u, calcular "QR". P Q R 3. Si: AB=36u; BC=42u y CD=54u, calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB y CD. A C DB 4. Calcular "αº" 42º αº 2αº 5. Calcular "xº". 5xº - 26º 2xº + 19º 6. Calcular "2θº" 74º 3θº θº 7. Si: m AOC = 104º; m BOD = 118º y m BOC = 60º, calcular: m MON. (OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD.) O D C B A 8. Calcular el suplemento del complemento de 70º más el complemento de 60º. 9. Calcular el complemento del suplemento de 160º más el suplemento de 95º. 10. Calcular el complemento del suplemento de 115º menos el complemento de 85º. Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • El complemento de 100º es -10º........................................................................................... ( ) • El suplemento de 200º es -20º............................................................................................... ( ) • El suplemento de 300º es 60º................................................................................................ ( ) • Los ángulos que miden 20º; 30º y 40º son consecutivos....................................................... ( ) 5
Geometría Central: 619-8100 55 Unidad II Resolución de problemas 6. Se tienen los puntos colineales "A", "B" y "C" tal que: BC = AB + 12u y AC = 32u. Calcular "AB". 7. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R" y "S" tal que: PQ = 6u; QR = 14u y RS = 36u. Calcular "QM", si "M" es punto medio de PS. 8. Se tienen los ángulos consecutivos y suplementarios AOB y BOC tal que: m BOC=2 m AOB. Calcular: m AOB. 9. Se tienen los ángulos consecutivos y complementarios AOB y BOC tal que: m AOB = 4 m BOC. Calcular: m BOC. 10. Calcular la diferencia entre el suplemento del complemento de 65º y el complemento de 55º. 11. Calcular la diferencia entre el complemento del suplemento de 98º y el complemento de 86º. 12. Si el suplemento de un ángulo es igual a 116º, calcular el complemento de dicho ángulo. 13. Calcular el máximo número de segmentos que se determinan en una recta al ubicar 21 puntos. 2. Completar las siguientes relaciones gráficas: x y A B C BC = ...... − ...... m MOE = ....... − ....... αº θº N E M m AOB = ........ − ........ 2ωº A C B 3. Graficar dos ángulos opuestos por el vértice agudos. 4. Graficar dos ángulos consecutivos y complementarios, tal que uno de ellos mida 50º. 5. Graficar dos ángulos consecutivos y suplementarios, tal que uno de ellos mida 105º. O O Aplicación cotidiana • En un encuentro de fútbol el delantero Waldy lanza un balón de larga distancia al arquero Ronaldo; pero antes de llegar al arco, el balón da un rebote de tal manera que el ángulo del trayecto del balón antes del rebote con el campo es el triple del ángulo del trayecto de rebote con el campo y el ángulo que forman estas trayectorias mide 105º. http://www.futbolred.com 14. Calcular las medidas de los ángulos mencionados. 15. Calcular el complemento del menor de los ángulos anteriores.
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 56 Repaso bimestral Conceptos básicos¡Tú puedes! Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. En AC se ubica el punto "B", tal que: AB - BC = 10u. Calcular la distancia de "B" al punto medio de AC. (AB>BC) 2. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos "G", "M", "A" y "B". Calcular "GB", si: GA = 20u y GB + AB = 50u. 3. Calcular "xº", si: βº = 20º. xº 2βºβº 4. Si: m AOC + m BOD = 250º, calcular la m BOC. OA D C B 5. Si el suplemento del suplemento del suplemento del complemento del complemento de un ángulo es 80º, calcular la medida de dicho ángulo. 1. Calcular "x", si: AB = 52. EA F B x 12 3x 2. Si: PM = 33; MN = 45 y PQ = 98, calcular "NQ". MP N Q 3. Calcular "x". EA F D 17 x 78 49 4. Si: AB = 14; BC = 16 y CD = 26, calcular "MN", si "M" y "N" son puntos medios de AB y CD. M B CA N D 5. Si: m AOC = 148º y m BOC = 82º, calcular el complemento del ángulo AOB. B CO A 6. Si: m AOB = 42º, m BOC = 104º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM. M B CO A 7. Calcular "xº". xº 3xº 2xº 4xº
Central: 619-8100 57 5 Unidad II 8. Calcular el complemento de "αº". C B DA O 2αº 100º αº 139º 9. Calcular el complemento de 16º más el suple- mento de 128º. 10. Si: AQ = 48 cm; NP = 72 cm y AP = 96 cm, calcular "NQ". N Q PA 11. Calcular "MN", si: AB=18; BC=40 y "M" y "N" son puntos medios de AB y AC. M B NA C 12. Calcular "BE", si: AC = 18. B CA x 2x 4x E 13. Si: m AOB = 46º; m BOC = 72º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM. B M CO A 14. Calcular el suplemento de "αº". 48º 2αº αº 15. Si: m AOB = 44º; OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y AOC, calcular: m MON. C N O B M A
AprendiZajes esperados UNIDAD 1 L a base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos. ¿Cuál es la etimología de Geometría? ¿Qué estudia la Geometría? ¿Qué es postulado? Conociendoalageometría UNIDAD 1 • Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos. • Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte. • Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables. • Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás. • Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables.
Central: 619-8100 Geometría 59 www.trilce.edu.pe 1 Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante En este capítulo aprenderemos: • A definir y graficar dos rectas paralelas. • A reconocer los ángulos alternos internos entre dos rectas paralelas. • A plantear las propiedades correspondientes a los ángulos alternos internos. • A reconocer los ángulos correspondientes determinados entre dos rectas paralelas. • A plantear las propiedades relacionadas a los ángulos correspondientes. • A desarrollar diversos problemas. El Partenón El diseño del Partenón estuvo condicionado inicialmente para albergar la imagen de oro y marfil de Atenea Parthenos, esculpida por Fidias. La colosal estatua de doce metros de altura precisaba de una inmensa cella de más de 18 metros de anchura, dividida en tres naves mediante una doble columnata conformada por dos órdenes superpuestos de estilo dórico. La nave central medía diez metros de anchura. Dentro de la cella del lado este, la columnata se dispuso en forma de "U" y estaba compuesta por nueve columnas con un entrepaño entre cada una de ellas, en los lados largos de la "U". Tres columnas con dos entrepaños formaban el lado corto. En la zona oeste, al fondo del interior de la columnata de cuatro columnas, existía el basamento de la estatua, para el culto a Atenea Parthenos con un amplio estanque, poco profundo, que producía un efecto de brillo mediante el agua frente a ésta. Ambas cellas estaban cerradas por puertas de bronce. La cella del este estaba dedicada a Atenea Polías (protectora de la ciudad), y la cella del oeste estaba dedicada a Atenea Párthenos, "la virgen", por lo cual todo el edificio acabó siendo conocido como el Partenón. La decoración escultórica del Partenón es una combinación única de las metopas (esculpidas en altorrelieve extendiéndose por los cuatro lados externos del templo), los tímpanos (rellenando los espacios triangulares de cada frontón) y un friso (esculpido en bajorrelieve abarcando el perímetro exterior de la cella). En ellos se representan varias escenas de la mitología griega. Además, las diversas partes del templo estaban pintadas de colores vivos. El Partenón es, sin duda, el máximo exponente del orden dórico, como se puede apreciar en el diseño del friso o sus columnas. • Desde la antigüedad ya se conocía el concepto de paralelismo , ¿las columnas del Partenón son paralelas? http://oyukimacias.files.wordpress.com/2010/06/partenon.jpg CAPITULO
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 60 Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante Conceptos básicos Saberes previos • Ángulos opuestos por el vértice • Ángulos suplementarios aº qº aº + qº =180º aºaº L1 L2 • En la bisectriz: qº qº A O B bisectriz del BAOB • En un triángulo: aº qº bº aº + qº + bº =180º También: Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si están en un mismo plano y no tienen puntos en común, es decir no tienen puntos de corte. Se lee: "La recta L1 es paralela a la recta L2". L1 L2 Gráfico: Notación: !! L1 // !! L2 aº bº L2 L3 L1 • !! L1 // !! L2 . • !! L3 es la recta secante a !! L1 y !! L2 • "aº" y "bº" son las medidas de los ángulos alternos internos. aº = bº Entonces: fº qº L2 L3 L1 qº = fº Entonces: • !! L1 // !! L2 Ángulos alternos internos Son los pares de ángulos que se encuentran entre dos rectas paralelas y en lados diferentes de la recta secante.
Central: 619-8100 61 Unidad III 1 Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Ángulos correspondientes Son los pares de ángulos que se encuentran a un mismo lado de la recta secante y a un mismo lado de cada recta paralela. aº = bº Entonces: L1 L2 L3 aº bº • !! L1 // !! L2 • !! L3 es la recta secante a !! L1 y !! L2 • "aº" y "bº" son las medidas de los ángulos correspondientes. También: qº fº • !! L1 // !! L2 qº = fº Entonces: L1 L2 L3 1. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 L1 L2 72º aº+10º 2. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 62º qº+5º L1 L2 3. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº" L1 L2 qº+20º 142º 4. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº" L1 L2 135º qº+40º 5. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "aº" L1 L2 48º 2aº+10º 6. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 140º 7qº
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 62 Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante Conceptosbásicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones. • Las rectas paralelas son aquellas que al ser prolongadas no tienen ningún punto en común ................................................................................................( ) • En el gráfico: (L1 // L2) L1 L2 aº qº Se muestran dos ángulos alternos internos..................................................................( ) • Dos rectas paralelas !! L1 y !! L2 se denotan como: !! L1 // !! L2 ............................................... ( ) 2. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico: aº=.......... L1 L2 aº qº • Si: !! L1 // !! L2 • Si: !! L1 // !! L2 L1 L2 aº bº aº=.......... 7. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "aº" L1 L2 3aº 54º 8. Si: !! a // !! b, calcular "aº" a b 94º 4aº+10º 9. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 L1 L2 5qº 145º 10. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 L1 L2 154º xº+35º
Central: 619-8100 63 Unidad III 13. Grafica haciendo uso de la regla: • Dos rectas horizontales paralelas !! L1 y !! L2 y una recta secante a ellas oblicua !! L3 . 4. Relaciona mediante flechas, si: !! L1 // !! L2 L1 L2 aº qº L1 L2 bº wº • Ángulos correspondientes • Ángulos alternos internos 5. De acuerdo al gráfico, plantea la ecuación. • Si: !! L1 // !! L2 L1 L2 qº aº Ecuación: aº+.......... = ........... Resolución de problemas 6. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº" L2 L1 145º 5qº+10º 7. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 3qº+10º L2 76º 8. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "xº" L1 L2 xº+5º 78º 9. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 L1 L2 138º xº+35º
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 64 Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante Conceptos básicos¡Tú puedes! Aplicación cotidiana El sol Los rayos solares del sol emiten haces de luz como lo muestra la figura. El "haz 1" es paralelo al "haz 2" y forman los ángulos mostrados "aº"; "bº" y "qº" 14. Si un alumno observa que: aº = 46º, calcular "bº". 15. Con las condiciones anteriores, calcular "qº". 1. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº". L1 L2 2qº 58º 2. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 xº 50º 65º 3. Si: !! L1 // !! L2 // !! L3 , calcular "xº" L1 L2 L3 70º 45º xº 4. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "xº". L1 L2 72º xº 60º 10. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . 124º 2xº+10º L2 L1 11. Calcular "aº", si: !! m // !! n m n 3aº 70º–2aº 12. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2. L1 L2 4xº 132º 13. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2. L1 L2 135º 3qº aº bº qº haz "1" haz "2"
Central: 619-8100 65 Unidad III 1 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 75º xº 2. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . 120º 3xº L2 L1 3. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 3qº 72º 4. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 45º 3qº 5. Calcular "xº", si: !! a // !! b . 150º 3xº a b 6. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 66º 6qº 7. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 5aº+30º 145º 8. Calcular "bº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 65º 5bº+20º 5. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº". L1 L2 120º 40º qº
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 66 Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante 9. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 3qº+27º 162º 10. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 3aº+mº 171º+mº 11. Calcular "bº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 nº+5bº 70º+nº 12. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 146º xº 13. Calcular "yº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 108º 4yº 14. Calcular "xº", si: !! m // !! n . 3xº–1º n m 71º 15. Si: !! a // !! b , calcular "qº". 2qº–1º 139º a b ...................................................... ( )
Central: 619-8100 Geometría 67 www.trilce.edu.pe Geometría 67 Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas En este capítulo aprenderemos: • A aplicar las propiedades dadas a ángulos alternos internos. • A aplicar las propiedades dadas a ángulos correspondientes. • A desarrollar diversos problemas sobre ángulos determinados por rectas paralelas. • En las vallas mostradas, ¿observarás objetos paralelos? Postes paralelos La valla es un elemento superficial vertical que se utiliza para delimitar terrenos y protegerlos contra intrusos. Suelen ser de madera o metálicas. Las vallas se colocan alrededor de un terreno o jardín y tienen la función de impedir la entrada al mismo o de proteger la intimidad de sus habitantes. Las vallas se instalan en granjas, terrenos agrícolas o en otros espacios privados como, por ejemplo, los jardines de las viviendas unifamiliares. Una valla clásica está formada por una serie de tablones o estacas de madera colocados en vertical y terminados en punta o de forma redondeada. Los tablones se clavan al terreno y se unen por medio de otras tablas horizontales que se clavan a las anteriores. Existen también vallas metálicas que consisten en una malla de alambre, denominada alambrada. También se encuentran vallas confeccionadas con materiales naturales como cañas o brezo. En este caso, las piezas se trenzan con alambre conformando una superficie tupida. CAPITULO 2
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 68 Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Saberes previos • Ángulos opuestos por el vértice aº aº • Ángulos alternos internos Si: !! a // !! b. qº qº a b • Ángulos consecutivos y suplementarios bº aº aº+bº= 180º • Ángulos correspondientes Si: !! m // !! n . qº qº m n 1. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº". 144º 3qº L1 L2 2. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "xº". L1 L2 126º 9xº 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 xº+40º 35º 4. Si: !! a // !! b , calcular "qº". 4qº a b 20º
Central: 619-8100 69 Unidad III 2 Conceptosbásicos Aprende más... 5. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 5aº 60º 6. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . xº 40º 65º L1 L3 L2 7. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . xº 42º L1 L3 L2 48º 8. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 xº 62º 58º 9. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3L2 xº35º 125º 10. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . qº L1 L3 L2 135º 52º Comunicación matemática 1. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico: aº+ ...... = ....... L1 L2 bº aº • Si: !! L1 // !! L2 . • Si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . xº= ..... + .....xº bº L1 L3 L2 aº
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 70 Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas Resolución de problemas 6. Calcular "qº", si: !! a // !! b. 3qº 126º a b 7. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . 3qº+70º 5qº+40º L1 L2 2. Plantea la ecuación correcta de acuerdo al gráfico, en términos de "aº"; "bº" y "qº" ( !! L1 // !! L2 // !! L3 ) Ecuación: ......=.........+......... L1 L3 L2 qº aº bº 3. Graficar haciendo uso de la regla: • Tres rectas paralelas verticales !! a ; !! b y !! c . 4. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda. a b aº qº • En el gráfico, donde: !! a // !! b Tenemos que: aº = qº ................. ( ) qº yº xº a b c • En el gráfico, donde: !! a // !! b // !! c Tenemos que: qº = xº – yº ............... ( ) 5. Completa el gráfico, de acuerdo al enunciado. • Unir mediante segmentos los puntos "A"; "B" y "C". L1 L3 L2 A B C
Central: 619-8100 71 Unidad III 2 Aplicación cotidiana La reja de la ventana Por seguridad Julio coloca rejas en la ventana del frontis de su casa como lo muestra la figura. Si todas las rejas horizontales son paralelas entre sí y las rejas oblicuas también son paralelas entre sí. Calcular: 14. ¿Cuál es la relación que cumple "aº" y "bº" de acuerdo a las condiciones dadas? 15. ¿Qué relación cumple "aº" y "qº" de acuerdo a las condiciones brindadas? aº qº bº 8. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 6qº 2qº–20º 9. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! c . xº 53º 28º a b c 10. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 120ºxº 62º 11. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 xº 51º 38º 12. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! c . xº a c b 134º 128º 13. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 xº 138º 62º
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 72 Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. Si: !! a // !! b , calcular "xº". 2qº 50º xº qº a b 2. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . 150º 120º xº L1 L2 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . 70º L1 L2 125º xº 4. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 xº 23º 58º 5. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 bº bº aº aº xº 1. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . 2xº 50º L1 L2 2. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 50º xº 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 62º xº 4. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 126º xº
Central: 619-8100 73 Unidad III 25. Calcular "aº", si: !! a // !! b . 129º a b 3aº 6. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! c . xº a c b 43º 22º 7. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3L2 qº72º 141º 8. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 xº 120º 135º 9. Si: !! L1 // !! L2 // !! L3 , calcular "qº". qº L1 L3 L2 64º 10. En la figura, calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 2qº 34º 11. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L2 L3 L1 82º aº 132º 12. Calcular "aº", si: !! a // !! b // !! c . a c b 25º aº 93º 13. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . 100º aº 40º L2 L3 L1 14. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 qº 62º 15. Calcular "xº + yº", si: !! a // !! b // !! c a c b yº xº 130º 34º
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 74 3 Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas En este capítulo aprenderemos: • A reconocer los ángulos alternos internos dados entre dos rectas paralelas. • A aplicar las propiedades dadas a los ángulos alternos internos. • A reconocer los ángulos correspondientes entre dos rectas paralelas. • A aplicar las propiedades dadas en los ángulos correspondientes. • A conocer nuevas propiedades y desarrollar diversos problemas. • ¿El concepto de paralelismo se usaba para la construcción de templos? Los cuatro postes El templo pudiera haber tenido origen en el Megaron, sala rectangular precedida por un pórtico de columnas (stylos), existente en la casa Micénica y que era la habitación más importante de la casa griega y santuario de los dioses familiares, tal como lo describe Vitrubio. En las invasiones y guerras, los ganadores derruían el palacio del rey vencido, pero respetaban el Megaron puesto que era la casa del dios de la región. Así, el templo más antiguo era el In-antis, que tiene todo el aspecto de ser una habitación que ha perdido la casa que tenía alrededor. Son construcciones arquitrabadas que se alzan sobre una plataforma con gradas (krepis o krepidoma), llamándose estilóbato al último escalón. La planta definitiva del templo griego constaba de un local llamado cella, un espacio interior, de forma rectangular, que constituye el núcleo de la construcción. Tiene una sola abertura, la puerta, sin ventanas. A veces el templo tiene dos cellas, con las puertas en las fachadas principales, las más cortas, y en este caso cada cella suele estar dedicada a una divinidad distinta. 3CAPITULO
Geometría Central: 619-8100 75 Unidad III Conceptos básicos Saberes previos L1 L2 d d L1 // L2 • Rectas paralelas qº qº • Ángulos opuestos por el vértice bº aº aº + bº = 90º • Ángulos complementarios • Ángulos consecutivos y suplementarios aº bº aº + bº = 180º • Si: !! L1 // !! L2 // !! L3 , calcular "xº" en términos de "aº" y "bº". L1 L3 L2 aº bº xº Resolución: L1 L3 L2 aº aº bº bº xº xº = aº + bº • Trasladamos los ángulos alternos internos (ángulos de igual medida) "aº" y "bº" • Por adición de ángulos: Recuerda que...
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 76 Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 • En general: xº L1 L2 bº aº Si: !! L1 // !! L2 Entonces: xº = aº + bº 1. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 5qº+10º 4qº+60º 2. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 4qº+5º 65º 3. Calcular "xº", si: !! a // !! b . a b 58º 2xº 4. En la figura , calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 9qº 72º 5. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! m. xº 30º 45º a m b 6. Calcular "aº", si: !! m // !! n . m n 63º 7aº Recuerda que...
Central: 619-8100 77 Unidad III 3 Conceptos básicosAprende más... 7. Calcular "qº", si: !! a // !! b . 5qº+20º 75º a b 8. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . xº L1 L2 38º 45º 9. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 46º aº 10. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 148º xº Comunicación matemática 1. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico. aº +.....=...... bº aº+qº a b • Si: !! a // !! b . • Si: !! m // !! n . zº xº+yº m n zº =.....+...... 2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda, en los siguientes enunciados. • En el gráfico: L1 L2 aº bº xº Tenemos que: xº=aº+bº, si: !! L1 // !! L2 .............................................................................( ) • En los ángulos opuestos por el vértice, las medidas de los ángulos son diferentes ..........( )
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 78 Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas Resolución de problemas 6. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 5aº 65º 7. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 3xº+20º xº+80º 8. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 80º 5qº+15º 9. Calcular "xº", si: !! a // !! b . 5xº xº a b 3. Completa el gráfico, según el enunciado: • Une mediante segmentos de recta los puntos "A" con "B" y "A" con "C". A B C 4. Relaciona con flechas, si: !! a // !! b . a b aº aº • Ángulos correspondientes • Ángulos alternos internos qº qº a b 5. Plantea la ecuación de acuerdo al gráfico, en términos de "xº"; "yº" y "zº" Si: !! a // !! b a b xº+zº yº Ecuación: .........................=.........
Central: 619-8100 79 Unidad III 3 Conceptos básicos¡Tú puedes! 10. Calcular "xº", si: !! m // !! n // !! r . xº 70º 65º m n r 11. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 4xº+5º 65º 12. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 xº 62º 65º 13. Calcular "xº", si: !! a // !! b . 100º 48º xº a b Aplicación cotidiana El vaso de agua Un vaso contiene agua hasta cierta medida. Un alumno lo inclina 40º como muestra la figura y se originan los ángulos "aº" y "bº". 14. Calcular la medida del ángulo "aº". 15. Calcular la medida del ángulo "bº". 40º bº aº 1. Si: !! a // !! b , calcular "xº". xº a b 130º+mº 150º–mº 2. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 2qº xº 8qº
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 80 Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 48º 6qº 2. Calcular "aº", si: !! a // !! b . 55º 5aº a b 3. Calcular "qº", si: !! a // !! b . 2qº 58º a b 4. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 5aº 60º 5. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L12aº 80º 6. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 5xº+20º 60º 3. Calcular "bº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 qº qº bº 60º 25º 4. Calcular "mº – nº", si: !! a // !! b 120º nº mº a b 5. Calcular "xº+yº", si: aº+bº=50º y además: !! L1 // !! L2 . L2 L1 yº aº aº xº bº bº
Central: 619-8100 81 Unidad III 3 7. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 140º 7xº 8. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 3xº 75º 9. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 3xº–10º 50º 10. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 75º 7qº+ 5º 11. Calcular "xº", si: !! a // !! b . a b65º 40º xº 12. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . 60º L1 L2 33º aº 13. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 aº 114º 150º 14. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 75º 80º xº 15. Calcular "aº+qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 130º 40º 60º 2aº aº qº
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 82 4 Saberes previos Recordando lo aprendido En este capítulo aprenderemos: • A reconocer las propiedades aprendidas anteriormente. • A diferenciar los tipos de problemas para resolverlos de manera adecuada. • A aplicar las propiedades ya sea en los ángulos correspondientes o en alternos internos, etc. Carpintería metálica Carpintería metálica se denomina al taller, al oficio y al producto elaborado del carpintero que emplea metales para la fabricación de muebles, puertas, ventanas, accesorios, etc. Se conoce como empresas de carpintería metálica a las que utilizan profesionales que se dedican a la fabricación y comercialización de productos metálicos, como acero y aluminio, para los mercados de la construcción, industria y decoración, así como la gama de productos orientada al cerramiento integral de la vivienda: puertas, ventanas, persianas laminadas, extrusionadas, de seguridad, cajones de registro laminados, extrusionados, y de rotura de puente térmico, contraventanas de lamas orientables, mosquiteras, accesorios de accionamiento, rejas de hierro y forjado artístico, etc. • En el gráfico, ¿puedes observar líneas paralelas? qº qº • Ángulos opuestos por el vértice aº bº aº + bº = 180º • Ángulos consecutivos suplementarios aº bº aº+bº=90º • Ángulos consecutivos complementarios CAPITULO 4
Geometría Central: 619-8100 83 Unidad III ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 60º 2xº+10º 2. Calcular "qº", si: !! a // !! b . 8qº 152º a b 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 7xº 63º 4. Calcular "xº", si: !! m // !! n . m n 14xº 70º 5. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 aº 157º 6. Calcular "bº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 61º bº 7. Calcular "qº", si: !! a // !! b . qº 152º a b 8. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L2 L3 L1 xº 42º 53º 9. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! c . xº 50º 60º a b c 10. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 xº 34º 125º
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 84 Recordando lo aprendido Conceptos básicosAprende más... Comunicación matemática 1. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico: L2 L1 xº yº xº+ ......=........ • Si: !! L1 // !! L2 xº= ......+..... a b xº yº+ zº • Si: !! a // !! b 2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda en los siguientes enunciados. • En los ángulos correspondientes, sus medidas son de diferente medida ..........................( ) • En los ángulos alternos internos, sus medidas suman 180º .............................................( ) 3. Comparar la columna "A" con la columna "B", usando los signos ">"; "<" ó "=". Columna A Signo Columna B qº aº "aº+qº" Si: !! a // !! b . qº wº a b "qº+wº" 4. Nombra cada figura: m n qº qº 5. Indicar que rectas son paralelas entre sí: L2 L3 L4 L1 45º 45º • ............................................................... • ...............................................................
Central: 619-8100 85 Unidad III 4Resolución de problemas 6. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 3xº–1º 71º 7. Calcular "bº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 78º 4bº–2º 8. Calcular "xº", si: !! a // !! b . 56º 5xº – 4º a b 9. Calcular "xº", si: !! m // !! n . m n 3xº 15º – 2xº 10. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 132º 2qº 11. Si: !! m // !! n , calcular "aº". m n 2aº 58º 12. Calcular "bº", si: !! a // !! b . 4bº 5bº a b 13. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 168º152º qº Aplicación cotidiana El poste Un alumno está ubicado en la posición indicada. Al ser encendido el poste emite un haz de luz como se indica en la figura, originando los ángulos "aº" y "bº". Dato: PQ // BC. 14. Si: m BABC=62º, calcular la medida del ángulo "bº". 15. ¿Cuál será la medida de "aº"? bº P Q C B Haz de luz aº A
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 86 Recordando lo aprendido Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. Si: !! L1 // !! L2 y !! L3 // !! L4 , calcular "qº". L1 L2 L4 L3 4qº 6qº 2. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! c . 72º xº qº 2qº a b c 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 60º xº 4qº qº 4. Calcular "xº", si: !! a // !! b . a b qº 2qº 2aº xº aº 5. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "xº". L1 L2 xº 126º qº aº 2qº 2aº 1. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 5aº 65º 2. Calcular "qº", si: !! a // !! b . a b 24º 12qº 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 16xº 80º 4. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 139º qº
Central: 619-8100 87 Unidad III 45. Calcular "qº", si: !! a // !! b . a b qº 137º 6. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L2 L3 L1 xº 60º 135º 7. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! c . b c a xº 50º 80º 8. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 2qº–110º qº 9. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1aº 32º 85º 10. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 60º 4qº 11. Calcular "qº+ aº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L2 L3 qº aº 55º 12. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L3 L2 L1 142º 125º aº 13. Calcular "xº", si: aº+bº=85º y !! L1 // !! L2 . L1 L2 bº aº xº 14. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . 60º xº qº 2qº L2 L3 L1 15. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1qº qº aº aº 35º xº
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 88 5 Triángulos En este capítulo aprenderemos: • A definir y graficar un triángulo. • A conocer la clasificación de los triángulos. • A reconocer los elementos de un triángulo. • A identificar y aplicar las propiedades fundamentales en el triángulo. • A reconocer la diferencia entre ángulos internos y externos del triángulo. • Los veleros son embarcaciones para uso recreativo y deportivo , en su estructura. ¿Puedes observar algún triángulo? El velero Los egipcios fueron los primeros constructores de barcos de vela de los que se tiene noticia. Hace al menos cinco mil años que los fabricaban para navegar por el Nilo y más tarde por el Mediterráneo. Las embarcaciones de vela fueron los primeros medios de transporte a través de largas distancias de agua (ríos, lagos, mares). Actualmente tienen un uso de carácter recreativo, deportivo o educativo. Sin embargo, en algunas zonas del Océano Índico siguen utilizándose con un sentido comercial. Las embarcaciones de vela también tuvieron un uso militar, especialmente en naciones con un fuerte desarrollo colonial transoceánico (Inglaterra, España, Holanda, Francia), hasta el siglo XIX. Hay muchos tipos, pero todas tienen ciertas cosas básicas en común. Todas las embarcaciones de vela tienen un casco protegido por la quilla, aparejo, al menos un mástil para soportar las velas y una orza para no derivar y compensar la fuerza lateral del viento. CAPITULO5
Geometría Central: 619-8100 89 Unidad III Conceptos básicos Saberes previos L1 L2 qº qº • Ángulos opuestos por el vértice. • Ángulos alternos internos ( !! a // !! b ) • Ángulos correspondientes ( !! m // !! n ) • Ángulos consecutivos y suplementarios. aº qº aº+qº=180º qº qº a b aº aº m n Definición Un triángulo es aquella figura geométrica formada por la unión de tres puntos no colineales mediante segmentos de recta. Clasificación El triángulo se clasifica de acuerdo a las longitudes de los lados y a la medida de sus ángulos interiores. De acuerdo a sus lados Triángulo escaleno Tiene lados de diferentes medidas Triángulo isósceles Tiene dos lados de igual medida qº qº base Triángulo equilátero Presenta sus tres lados de igual medida. 60º 60º 60º bº aº qº A B C Elementos: • Vértices: A; B; C • Lados: AB; BC; AC. • Medida de ángulos internos: aº; bº; qº. Notación: triángulo ABC ( ABC)
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 90 Triángulos De acuerdo a sus ángulos bº aº qº Triángulo acutángulo Todos sus ángulos internos son agudos qº Triángulo obtusángulo Un ángulo interno es obtuso qº aº Triángulo rectángulo Un ángulo interno es recto bº aº qº aº+bº+qº=180º Ángulos determinados Propiedades fundamentales Suma de ángulos internos: La suma de medidas de los ángulos internos en todo triángulo es 180º. Medida del ángulo exterior: En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes a él. zº yº xº aº bº qº Medida de los ángulos: • Internos: aº; bº; qº • Externos: xº; yº ; zº xº=bº+qº bº qºxº zº=aº+bº bº aº zº También:
Central: 619-8100 91 Unidad III 5 ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Calcular "xº" y clasifica el triángulo PQR. 85º 76º xº P Q R 2. Calcular "qº". 62º 20º qº 3. Calcular "fº" y clasifica el triángulo ABC. fº 33º A B C 4. Calcular "bº" 24º 32º bº 5. Calcular "xº" y clasifica el triángulo ABC. xº 124º A B C 6. Calcular "bº". 32º 48º 2bº 7. Calcular "qº" y clasifica el triángulo PQR. qº 48º 102º P Q R 8. Calcular "xº" y clasifica el triángulo ABC. 3xº xº 80º A B C 9. Calcular "fº", si: AB = BC. 34º fº A B C 10. Calcular "xº" 5xº 14xº
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 92 Triángulos Conceptos básicosAprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda en los siguientes enunciados. • El triángulo es la figura geométrica que resulta de la unión de tres puntos consecutivos .....( ) • En un vértice, un ángulo interior y un ángulo exterior suman 180º ....................................( ) 2. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico: xº aº bº xº= .... + .... qº aº aº=........ aº qº bº aº +.... + ....= ....... 3. Relaciona mediante flechas. Triángulo equilátero 80º 60º 40º •• Triángulo acutángulo •• Triángulo isósceles 60º 60º 60º •• 4. Grafica haciendo uso de la regla: • El triángulo rectángulo PQR tal que: mBQ=90º. • El triángulo isósceles ABC, de base AC, donde: AB=BC. 5. Completa el gráfico: • Haciendo uso de la regla, une mediante segmentos de recta los puntos no consecutivos "P"; "Q" y "S". ¿Qué figura resulta? .................................... Q P S
Central: 619-8100 93 Unidad III 5Resolución de problemas 6. Calcular "qº" y clasifica el triángulo ABC. 2qº 45º 3qº A B C 7. Calcular "xº" xº 4xº 130º 8. Calcular "xº", si: AB = AC 24º xº A B C 9. Calcular "qº" y clasifica el triángulo EDU. qº 20º 18º E D U 10. Calcular "xº" 40º 20º xº 15º 11. Calcular "xº" 32º 118º xº 85º 12. Calcular "qº" y clasifica el triángulo qº qº 2qº 13. Calcular "xº" 30º 50º 60º xº Aplicación cotidiana El globo aerostático Un globo aerostático se encuentra suspendido como se muestra en el gráfico y es sostenido por tres cables: AP; PB y PC. 14. Si la mBBPC=20º, calcular: mBAPB. 15. El triángulo formado por los cables AP; PB y el suelo AB, ¿qué clase de triángulo es? P
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 94 Triángulos Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. De la figura, calcular "aº+bº" bº 3bº 2aº 3aº40º 2. Calcular "xº". 2xº 5xº 6xº 3. Calcular "xº". 2xº 125º xº 100º 4. Calcular "xº", si: !! L // AC. 70º 130º xº A B C L 5. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 qº qº qº 30ºxº L1 L2 120º 1. Calcular "qº" y clasifica el triángulo ABC. 132º 40ºqºA B C 2. Calcular "aº". 60º 50º aº 3. Calcular "xº" y clasifica el triángulo PQR 82º 73º xº P Q R 4. Calcular "qº" y clasifica el triángulo qº Conceptos básicos¡Tú puedes!
Central: 619-8100 95 Unidad III 55. Calcular "qº". 62º 50º 54ºqº 6. Calcular "xº" y clasifica el triángulo. 54º 4xº 2xº 7. Calcular "xº" 135º 3xº 2xº 8. Calcular "xº" y clasifica el triángulo ABC. xº 40º A B C 9. Calcular "qº". 38º 41º 50º qº 10. Calcular "aº". 4aº aº 46º 44º 11. Calcular "xº". 30º 125º 82º xº 12. Calcular "xº" y clasifica el triángulo PQR. xº2xº 3xº P Q R 13. Calcular "xº", si: AB= BC. 30º 40º xº A B CP Q 14. Calcular "xº" y clasifica el triángulo ABC. xº A B CM 15. Calcular "xº". 54º xº
AprendiZajes esperados UNIDAD 1 E xisten tres sistemas de medición angular y el sistema que usaremos es el sexagesimal. Para la elaboración de estos sistemas se tomó como referencia a la circunferencia. ¿Cómo se mide un ángulo? Todo sobre ángulos UNIDAD 2 • Uso del transportador y compás para la medida angular y trazo de la bisectriz. • Resolver ejercicios sin usar el transportador. • Relacionar ángulos de acuerdo a su medida, tomando como referencia al ángulo recto y al ángulo llano. • Resolución de problemas gráficos con variables y ecuaciones sobre ángulos consecutivos. • Interpretar enunciados para la elaboración de gráficos sobre segmentos y ángulos. • Elaborar propiedades a partir de ejercicios numéricos.
Central: 619-8100 Geometría 97 www.trilce.edu.pe 1 Líneas notables en el triángulo I En este capítulo aprenderemos: • A definir y graficar la bisectriz en el triángulo. • A definir y graficar la mediana en el triángulo • A reconocer la diferencia entre la bisectriz y la mediana en el triángulo. • A desarrollar diversos problemas. • Hay construcciones que presentan estructuras triangulares , un ejemplo es la cabaña mostrada en el gráfico. En uso moderno, una cabaña es una vivienda, típicamente en un área rural, o semi-rural fabricada con materiales humildes (aunque hay viviendas de estilo de cabaña en las ciudades). Originalmente en la Edad Media, las cabañas albergaron a trabajadores agrícolas y a sus familias. Así, las cabañas eran unidades campesinas más pequeñas. En un período temprano, una referencia documental a una cabaña significaría habitualmente no una vivienda independiente pequeña como hoy, sino una vivienda y una granja completas (no obstante, pequeñas). Así en la Edad Media, la palabra cabaña (lat cotagium) parece haber significado no solo una vivienda, sino al menos una vivienda (domus) y un granero (grangia), así como, generalmente, un terreno vallado de tierra cerrado por una puerta (portum). Algunos ejemplos de esto se pueden encontrar en los rollos de los juzgados del siglo XV. La vivienda de tipo cabaña acuñó el nombre latino: domum dicti cotagii, mientras que el granero de la cabaña fue llamado grangia dicti cotagii. Casa triangular CAPITULO
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 98 Líneas notables en el triángulo I Saberes previos Conceptos básicos qº aº aº+qº=180º aº+bº+ qº =180º aº bº qº • La bisectriz: • Ángulos suplementarios: • En el triángulo: • Punto medio del segmento: a a A P B "P": Punto medio del segmento AB A O B Bisectriz del ángulo AOBqº qº Mediana Es el segmento de recta que tiene por extremos a un vértice y al punto medio del lado opuesto de dicho vértice. Bisectriz Bisectriz interior: Es el segmento que divide a un ángulo interno en medidas iguales. A B CP qº qº BP: Bisectriz del triángulo ABC relativa a AC. P Q N R aº aº PN: Bisectriz del triángulo PQR relativa a QR. A B CM BM:Medianadeltriángulo ABC relativa a AC. P Q N R PN: Mediana del triángulo PQR relativa a QR.
Central: 619-8100 99 Unidad IV 1 ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Bisectriz exterior: Es el segmento que divide a un ángulo externo en medidas iguales. BE: Bisectriz exterior del triángulo ABC relativa a AC. aº aº A B C E RS: Bisectriz exterior del triángulo PQR relativa a PQ. P Q R S bº bº 1. Si BN es mediana y NC=13 cm, calcular "x". A B CN 2x – 1 2. Si PE es mediana y QE=12 cm, calcular "x". P Q R E 2x – 4 3. Si CM es mediana y AB=18 cm, calcular "y". A B C M 3y – 3 4. Si CE es bisectriz interior, calcular "qº". A C BE 80º qº 30º 5. Calcular "xº", si PS es bisectriz interior. P Q R S xº 40º 80º 6. Calcular "qº", si BR es bisectriz exterior del triángulo ABC. 60ºqº A B C R
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 100 Líneas notables en el triángulo I Conceptosbásicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico: P Q S R qº aº qº=........... • QS: bisectriz interior A B C M x y x = ........... • AM: mediana 2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda en los siguientes enunciados. • La mediana relativa a un lado divide a dicho lado en dos partes iguales ...........................( ) • La bisectriz exterior divide al ángulo exterior en tres partes de igual medida ................................( ) 3. Relaciona mediante flechas: • Bisectriz interior • qº qº • Mediana • • Bisectriz exterior • aº aº 7. Calcular "bº", si BM es bisectriz exterior del triángulo ABC. A B C M 80º bº 8. Calcular "xº", si QS es bisectriz exterior del triángulo PQR. P Q R S 40º 62º xº 9. Calcular "aº", si QF es bisectriz interior del triángulo PQR. 42º aº 88º P Q RF 10. Calcular "bº", si RS es bisectriz exterior del triángulo PQR. R 30º P Q S bº
Central: 619-8100 101 Unidad IV 14. Completar los siguientes enunciados con las palabras del recuadro. • La ....................... divide al lado opuesto en.............................. iguales. • La .................................. divide al ángulo .................................. en dos ángulos de igual medida. dos partes - bisectriz exterior - mediana - externo 5. Grafica haciendo uso de la regla: • El triángulo ABC y traza la mediana CE relativa al lado AB. • El triángulo PQR y traza la bisectriz interior PE relativa al lado QR. Resolución de problemas 6. Si QN es mediana, calcular "y", si: NP=18. E P Q Ny+24 7. Calcular "qº", si BN es bisectriz interior. A B CN 75º qº+ 20º 8. Calcular "bº", si MN es bisectriz exterior del triángulo ATM. 40º A T M N bº 100º 9. Calcular "x", si AM es mediana. A B C M 3x+1 13 10. Calcular "xº", si BF es bisectriz interior. 35º 65º A B C F xº 11. Calcular "xº", si RE es bisectriz exterior del triángulo ARQ. 35º 95º xº A R Q E 12. Calcular "qº", si QF es bisectriz interior. P Q F R 30º 80ºqº 13. Calcular "xº", si CP es bisectriz exterior del triángulo ABC. 54º A B C P 86º xº
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 102 Líneas notables en el triángulo I Conceptos básicos¡Tú puedes! Aplicación cotidiana Tiro al blanco Rubén, Julio y Eduardo están practicando tiro al blanco, para lo cual se colocan de manera alineada sobre la línea AC. Rubén y Eduardo se encuentran en los extremos "A" y "C". 14. Si la distancia entre Rubén y Eduardo es de 14 m y se observa que en el triángulo AMC, MB es mediana, calcular "x". 15. Julio desea calcular la mBAMC y observa que mBAMB=50º y MB es bisectriz interior del triángulo AMC. A B C x+6 M 1. Si AE y CF son bisectrices interiores, calcular "qº". A B qº C EF 70º 2. Calcular "BC", si AM es mediana. A B C M x2+16 8x 3. Calcular "xº", si BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. xº 60º 155º A B C E 4. Calcular "AM", si BM es mediana y el perímetro del triángulo ABC es 28 m. A B CM 7 m 9 m 5. Calcular "qº", si AP es bisectriz interior. A B C P qº 72º 35º
Central: 619-8100 103 Unidad IV 1 Conceptosbásicos Practica en casa 18:10:45 1. Calcular "AC", si BM es mediana. A B C M 6 cm 2. Calcular "xº", si BM es bisectriz interior. A B CM 2xº 30º–xº 3. Calcular "qº", si BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. qº A B C E 80º 4. Calcular "PR", si QS es mediana. P Q R S 12 5. Calcular "aº", si BM es bisectriz interior. A B C M 82º 30º aº 6. Calcular "bº", si UM es bisectriz exterior del triángulo EDU. 82º bºE D M U 7. Calcular "qº", si QS es bisectriz interior. 70º 50º qº P Q R S 8. Calcular "aº", si BM es bisectriz exterior del triángulo ABC. 50ºaº A B C M 9. Si AE es bisectriz interior, calcular "qº". A B E C qº 75º 25º 10. Si AE es bisectriz interior, calcular "qº". 32º qº A B C E
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 104 Líneas notables en el triángulo I 11. Calcular "qº", si BP es bisectriz exterior del triángulo ABC. qº 35º 85º A B C P 12. Calcular "x", si BM es mediana y AM+AC=42 cm. A B CM x 13. Calcular "qº", si AP es bisectriz interior. A B P C qº 60º 32º 14. Calcular "xº", si BM es bisectriz exterior del triángulo ABC. 60º 80º xº A B C M 15. Calcular "qº", si BP es bisectriz exterior del triángulo ABC. qº32º A B C P
Central: 619-8100 Geometría 105 www.trilce.edu.pe 2 Central: 619-8100 Líneas notables en el triángulo II En este capítulo aprenderemos: • A definir y graficar la altura en el triángulo. • A definir y graficar la mediatriz en el triángulo • A reconocer la diferencia entre la altura y la mediatriz. • A desarrollar diversos problemas. • En la estructura del puente Centenario de Panamá, se observa una simetría en la estructura. El puente Centenario El puente Centenario es el segundo puente permanente en cruzar el canal de Panamá, el primer puente fue el "Puente de las Américas". Otros puentes de menor tamaño fueron construidos en las compuertas de las esclusas de Miraflores y Gatún, pero estos puentes solo se pueden usar cuando las puertas de las compuertas están cerradas y además tienen un límite de capacidad muy estricto. El puente Centenario se ubica a 15 kilómetros (9 millas) al norte del "Puente de las Américas" y cruza el Corte Gaillard cerca de las esclusas de Pedro Miguel. Las nuevas secciones de la autopista que conectan a Arraiján con el este a Cerro Patacón en la vía este del puente, alivian significativamente la congestión con el "Puente de las Américas". El puente tiene un diseño atirantado con un largo total de 1 052 m (3 451 pies) su arco principal mide 320 m (1 050 pies) y con una elevación de 80 metros (262 pies) sobre el canal de Panamá permitiendo que los grandes buques pasen por debajo de este. El puente esta apoyado por dos torres de 184 m (604 pies) de alto. Tiene la capacidad de albergar 6 carriles de tráfico a través del canal. El puente fue diseñado para soportar los temblores los cuales son registrados con frecuencia en la zona del canal. La torre oeste del puente fue construida con 50 metros tierra adentro para permitir la ampliación del canal de Panamá. CAPITULO
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 106 Líneas notables en el triángulo II Conceptos básicos Saberes previos L1 L2 aº qº bº aº+bº+qº=180º • Rectas perpendiculares: • Distancia de un punto a una recta: • Punto medio: • En el triángulo: P L d "d": distancia de "P" a !! L P A B m m "P": punto medio del segmento AB • En la figura: A P B El punto "P" equidista de los puntos "A" y "B" Altura Es el segmento trazado desde un vértice en forma perpendicular al lado opuesto de un triángulo. En el triángulo acutángulo A B C H BH: altura del triángulo ABC relativa a AC. En el triángulo obtusángulo A B CH BH: altura del triángulo ABC relativa a AC. En el triángulo rectángulo A B C AB: altura del triángulo ABC relativa a AC.
Central: 619-8100 107 Unidad IV 2 Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Mediatriz Es la recta perpendicular en el punto medio de un segmento de recta. L A B !! L : mediatriz de AB P Q m !! m: mediatriz de PQ. Mediatriz en el triángulo: A B C L !! L: mediatriz del lado AC. Q P R m !! m: mediatriz del lado PQ. !! n : mediatriz relativa al lado BC del triángulo ABC. A B C n 1. Calcular "xº", si BQ es altura. A B C Q xº 30º 2. Calcular "qº", si BH es altura. 30º 10º qº A B CH 3. Calcular "x", si !! L es mediatriz de AB y AB=12 cm. A B CL x 4. Calcular "qº", si !! m es mediatriz de PF. P E F m qº 65º
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 108 Líneas notables en el triángulo II Conceptosbásicos Aprende más... 5. Calcular "aº", si !! L es mediatriz de PR. P R L Q 60º 100º aº 6. Calcular "qº", si AH es altura. A B C H qº 45º 7. Calcular "aº", si !! L es mediatriz de AC. A B C L 95º 60º aº 8. Calcular "qº", si QP es la altura relativa a PR. qº 32º P Q R 9. Calcular "x", si !! L es mediatriz de BC y BC=22 cm. A B C L 3x – 1 10. Calcular "qº", si !! L es mediatriz de BC. 30º qº 25º A B C L Comunicación matemática 1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico. x = ............ L P Q x y • !! L : mediatriz de PQ. xº = .......... A B C H xº • AH: altura 2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda en los siguientes enunciados: • La altura es una recta que divide al lado opuesto en dos partes iguales ............................... ( ) • La mediatriz en un triángulo equilátero coincide con la altura ............................................ ( )
Central: 619-8100 109 Unidad IV 23. Relaciona mediante flechas. Bisectriz interior • • Mediatriz qº qº • • Altura • • 4. Completar los siguientes enunciados con las palabras del recuadro. • La .......................... es la ........................ perpendicular a un .......................... en su punto medio. • La ....................... es siempre perpendicular al lado .............................. altura - mediatriz - recta - lado - opuesto 5. Grafica haciendo uso de la regla. • En el triángulo ABC mostrado, traza la mediatriz relativa a AB. A B C Resolución de problemas 6. Calcular "aº+bº", si BH es altura. aº 60º 70º bº A B CH 7. Calcular "aº", si BH es altura. A B CH 45º 15º aº 8. Calcular "x", si !! L es mediatriz de AC. A B C L 2x+1 13 9. Calcular "qº", si BH es altura. A B C qº 35º H
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 110 Líneas notables en el triángulo II Conceptosbásicos ¡Tú puedes! Aplicación cotidiana El puente Un puente es sujetado mediante cables en los puntos "A"; "B"; "C"; "D"; "E" y "F"; para darle mayor estabilidad. Dato: AB=BC=CQ=QD=DE=EF. 14. Si el cable: AP=15 km y PF=3x – 6, calcular "x". 15. Un ingeniero observa que mBQPD=20º. Calcular "qº". 1. Calcular "xº", si !! L es mediatriz de AC: 2qº qº A B P C L 60º xº 2. Calcular "qº", si BH es altura. A B C H qº 5qº – 80º 10. Calcular "aº", si !! L es mediatriz de PR. P Q R L 65º aº 11. Calcular "qº", si !! m es mediatriz de BC. 70º 80º A B C m qº 12. Calcular "xº", si BH es altura. A B CH 62º xº 13. Calcular "qº", si !! n es mediatriz de BC. 5qº 3qº qº A B C n A B D E F P QqºC
Central: 619-8100 111 Unidad IV 2 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. Calcular "qº", si BH es altura. A B CH qº 50º 2. Calcular "aº", si CP es altura. A B C P 70º aº 3. Calcular "qº", si BH es altura. A B C H qº 55º 4. Calcular "xº", si !! L es mediatriz de PR. P Q R L 75º 80º xº 5. Calcular "qº", si !! n es mediatriz de QR. Q P R n qº 25º 6. Calcular "x", si !! L es mediatriz de AB y además AB = 14 cm y AP= 2x –1. A B P C L 3. Calcular el ángulo formado por AH y CP. 30º 40º A B C H P 4. Calcular "x", si !! L es mediatriz de AC A B C L 3aº aº P 80º xº 5. Si !! m y !! n son mediatrices de BC y AC, calcular "xº". A B C 120º 130º xº n m
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 112 Líneas notables en el triángulo II 7. Calcular "qº", si !! m es mediatriz de CB. 40º qº 15º A B C m 8. Calcular "qº", si QH es altura. qº 36º P Q R H 9. Calcular "xº", si FM es altura. A M F E 42º 36º xº 10. Calcular "xº", si !! n es mediatriz de AB. A B n C xº 54º 68º 11. Calcular "xº–yº", si AH es altura. A E H N yº xº 80º 70º 12. Calcular "qº", si !! L es mediatriz de AC. 25º 100º qº A B C L 13. Calcular "qº", si BH y AP son alturas. A B P C H 3qº qº 14. Calcular "qº", si BH y CP son alturas. A C B H P qº 45º 30º 15. Calcular "xº", si !! L es mediatriz de AB. 30º 32º A B C L xº
Central: 619-8100 Geometría 113 www.trilce.edu.pe 3 Central: 619-8100 • En el gráfico mostrado, ¿puedes observar triángulos? Pitágoras nació en la isla de Samos en el año 582 a. C. Siendo muy joven viajó a Mesopotamia y Egipto (también, fue enviado por su tío, Zoilo, a Mitilene a estudiar con Ferécides de Siros y tal vez con su padre, Badio de Siros). Tras regresar a Samos, finalizó sus estudios, según Diógenes Laercio con Hermodamas de Samos y luego fundó su primera escuela durante la tiranía de Polícrates. Abandonó Samos para escapar de la tiranía de Polícrates y se estableció en la Magna Grecia, en Crotona alrededor del 525 a. C., en el sur de Italia, donde fundó su segunda escuela. Las doctrinas de este centro cultural eran regidas por reglas muy estrictas de conducta. Su escuela (aunque rigurosamente esotérica) estaba abierta a hombres y mujeres indistintamente, y la conducta discriminatoria estaba prohibida (excepto impartir conocimiento a los no iniciados). Sus estudiantes pertenecían a todas las razas, religiones, y estratos económicos y sociales. Tras ser expulsados por los pobladores de Crotona, los pitagóricos se exiliaron en Tarento donde se fundó su tercera escuela. Poco se sabe de la niñez de Pitágoras. Todas las pistas de su aspecto físico probablemente sean ficticias excepto la descripción de una marca de nacimiento llamativa que Pitágoras tenía en el muslo. Es probable que tuviera dos hermanos aunque algunas fuentes dicen que tenía tres. Era ciertamente instruido, aprendió a tocar la lira, a escribir poesía y a recitar a Homero. Había tres filósofos, entre sus profesores, que debieron de haber influido a Pitágoras en su juventud. El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el método pitagórico para la purificación y perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como armonía; en virtud de ésta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico, y si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las cosas. Pitágoras CAPITULO Repaso bimestral
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 114 Repaso bimestral Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Calcular "bº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 10bº 70º 2. Calcular "xº", si: !! a // !! b. a b 35º 2xº – 1º 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3. L2 L3 L1 xº 50º 62º 4. Calcular "xº". 3xº 54º 5. Calcular "xº" xº 80º 112º 6. Calcular "qº", si BE es bisectriz interior. A B C E qº 82º 40º 7. Calcular "qº", si QM es bisectriz exterior del triángulo PQR. 62º P Q R M qº 8. Calcular "x", si BM es mediana. A B CM 3x – 4 11 9. Calcular "aº", si QS es altura. P Q R 41º S aº 10. Calcular "qº", si !! n es mediatriz de AC. A B C n 42º 60º qº
Central: 619-8100 115 Unidad IV 3 Conceptosbásicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico. qº aº xº xº= ..... + ..... aº qº aº+qº= ........ qº wºA B C M qº=........... AM: bisectriz 2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda en los siguientes enunciados. • En un triángulo rectángulo, la suma de sus ángulos agudos es 90º ................................... ( ) • La mediatriz es una recta perpendicular en el punto medio de un segmento ................... ( ) 3. Relaciona mediante flechas. Ángulos alternos internos • • qº qº Mediatriz• • Altura• • 4. Completa los enunciados. • El triángulo que tiene sus tres lados de igual medida se llama .......................................... • El triángulo que presenta un ángulo obtuso se llama ........................................................ 5. Grafique haciendo uso de la regla. • Trace la altura BH y la mediana BM, luego sombrea el triángulo HBM. A B C • Traza la mediatriz relativa a AC y que corta a BC en "Q", sombrea el triángulo ABQ. A B C
116 Repaso bimestral CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Resolución de problemas 6. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2. L1 L2 150º 3xº 7. Calcular "xº", si: !! a // !! b. 85º 5xº – 15º a b 8. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3. L1 L3 L2 xº 60º 140º 9. Calcular "yº". 40º 120º yº 10. Calcular "xº" 80º 70º xº60º 11. Calcular "x", si AM es mediana. A B C M 3x+10 5x – 4 12. Calcular "aº", si BP es bisectriz exterior del triángulo ABC. 48º 112º aº A B C P 13. Calcular "qº", si !! m es mediatriz de BC. 12º 30º qº A B C m Aplicación cotidiana El helicóptero Un helicóptero de reconocimiento trata de detectar loscuartelesdeabastecimientodelastropasenemigas. Al ser detectado por los radares del enemigo, el cañón "A" y el cañón "B" le disparan misiles con ángulos de inclinación "aº" y "bº"; como se muestra en la figura. 14. Si en un determinado momento: aº=54º y bº=67º, se pide calcular: mBAHB. 15. Para las condiciones anteriores, un observador desea calcular la mBBHP. aº bºA B P H
117 Unidad IV 3 Central: 619-8100 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Calcular "xº", si: !! a // !! b. a b 2xº 3xº 3xº xº 2. Calcular "xº", si: a+b =270º. xº aº bº 3. Si !! m es mediatriz de AC y AS es bisectriz interior, calcular: mBABC. A B C S 130º 60º m 4. Calcular "xº" 62º qºqº aº aº xº A B C 5. Calcular "AB", si !! m es mediatriz de AC y además: PC=13 cm. A B P C m aº 2aº 1. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2. 42º 3xº+6º L1 L2 2. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2. L1 L2 143º aº 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3. L2 L3 L1 xº 120º 132º 4. Calcular "aº". 80º aº+30º aº+16º
118 Repaso bimestral CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 5. Calcular "qº". 62º qº 6. Calcular "qº" 85º 60º 45º qº 7. Calcular "aº", si CH es altura. 86º aºA B C H 8. Calcular "x", si BM es mediana. A B CM 2x – 4 18 9. Calcular "y", si QS es mediana. Q P R S 30 y2 – 6 10. Calcular "qº", si BP es bisectriz exterior del triángulo ABC. A B C P qº 60º 80º 11. Calcular "bº", si RM es bisectriz exterior del triángulo PQR. P Q R M 40º bº 12. Calcular "qº", si !! L es mediatriz de AC. A B C L 60º qº 13. Calcular "bº". 42º 65º bº 14. Calcular "qº". P Q M R 40º qº 15. En la figura, calcular "xº". P Q 36º xº A B C
AprendiZajes esperados UNIDAD 1 L a base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos. ¿Cuál es la etimología de Geometría? ¿Qué estudia la Geometría? ¿Qué es postulado? Conociendoalageometría UNIDAD 1 • Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos. • Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte. • Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables. • Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás. • Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables.
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 120 Ordenamiento lineal y circular 1 • Tan grandes fueron los incas que lo demostraron en su arquitectura. ¿Observas algún polígono en la figura? Piedra de los doce ángulos, en la calle Hatum Rumiyoc, Cusco Estudiando las figuras de más de tres lados En este capítulo aprenderemos a: • Definir e identificar al polígono y su clasificación. • Reconocer los elementos del polígono. • Graficar al polígono con sus respectivos elementos. http://condor2008.wikispaces.com L a arquitectura desarrollada en el incario se caracteriza por la sencillez de sus formas, su solidez, su simetría y por buscar que sus construcciones armonicen el paisaje. A diferencia de sociedades costeñas, como la Chimú, los incas utilizaron una decoración bastante sobria. El principal material utilizado fue la piedra, en las construcciones más simples era colocada sin tallar, no así en las más complejas e importantes. Los constructores incas desarrollaron técnicas para levantar muros enormes, verdaderos mosaicos formados por bloques de piedra tallada que encajaban perfectamente, sin que entre ellos pudiera pasar ni un alfiler. Muchas veces esos bloques eran tan grandes que resulta difícil imaginar su colocación, las mejores muestras de esta habilidad se encuentran en la zona del Cusco. Se sabe que los mejores talladores de piedra eran collas, provenientes del Altiplano y que muchos de ellos fueron llevados al Cusco para servir al estado. La arquitectura en el Incanato 1
Geometría Central: 619-8100 121 Unidad V Conceptos básicos Saberes previos A B C D • Puntos no colineales "A"; "B"; "C" y "D" son puntos no colineales A B C Lado Lado Lado "A"; "B" y "C": vértices • En el triángulo A B • Menor distancia entre dos puntos qº aº • Dos ángulos suplementarios aº + qº =180º A B C D E Región interior Elementos • Vértices : "A"; "B"; "C"; "D"; "E" • Lados : AB; BC; CD; DE; AE Notación: Polígono ABCDE. Definición Polígono es aquella figura geométrica que se forma al unir tres o más puntos no colineales de un mismo plano mediante segmentos de recta.
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 122 Estudiando las figuras de más de tres lados • Diagonales : AC; BD; ... • Medida de ángulos internos : "aº"; "bº"; "qº"; "wº"; "fº" • Medida de ángulos externos : e1; e2; e3; e4; e5 A B C D E e1 e2 e3 e4 e5 bº aº qº fº wº • 1 B interior + 1 B exterior = 180º Ejemplo: aº + e1 =180º wº + e4 = 180º Elementos asociados Clasificación Según su región interior Polígono convexo Polígono no convexo Según las medidas de sus elementos Polígono equilátero: Es aquel polígono que tiene todos sus lados de igual medida. Polígono equilátero no convexo Polígono equilátero convexo Polígono equiángulo: Es aquel que tiene todos sus ángulos internos de igual medida. qº qº qº qº qºqº Ten en cuenta
Central: 619-8100 123 Unidad V 1 Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Número de lados Nombre 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octágono 9 Nonágono 10 Decágono 11 Endecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono Polígono regular: Es aquel polígono que es equilátero y equiángulo a la vez. Cuadrado 60º 60º 60º Triángulo equilátero Según su número de lados 1. Según su región y número de lados, nombra el polígono mostrado. A B C D E 2. Según su número de lados, nombra el polígono mostrado. A B C D E G F
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 124 Estudiando las figuras de más de tres lados 3. En la figura, traza las diagonales AD y AC. A B C D E 4. En la figura, traza todas las diagonales del polígono. ¿Cuántas son? AB C D E F 5. En la figura, traza todas las diagonales posibles del vértice "B". A B C D E F 6. Según su número de lados y región, nombra el polígono mostrado. A B C D E F 7. En la figura, traza todas las diagonales posibles del vértice "P". A B C D E P 8. Según su número de lados y región, nombra el polígono mostrado y traza cuatro de sus diagonales. A B C D E H F G 9. En la figura, se han trazado dos de sus diagonales, ¿cuántas faltan trazar? AB C D E F 10. Según su región y número de lados, nombra el polígono mostrado.
Central: 619-8100 125 Unidad V 1 Conceptosbásicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Nombra los elementos del siguiente polígono: A B C D E aº bº wº fº qº • Vértices : ........................................ • Lados : ........................................... • Ángulos internos : ........................... 2. Nombra los polígonos mostrados, según su número de lados: ............................................................................ 3. Identifica al polígono convexo y al no convexo. .............................................. .............................................. 4. Traza las diagonales del siguiente polígono: A B CD 5. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: • Un triángulo es un polígono convexo................................................................................( ) • Un cuadrado es un polígono no convexo .........................................................................( ) • Una diagonal es un segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono........( ) • Un triángulo equilátero es un polígono regular..................................................................( ) • Los polígonos, de acuerdo a su región, pueden ser convexos o no convexo......................( )
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 126 Estudiando las figuras de más de tres lados Resolución de problemas 6. Según su región, nombra los polígonos mostrados. A B C A B C D E F 7. Según su número de lados, nombra los polígonos mostrados. A B CD 8. Grafica un heptágono convexo ABCDEFG y traza todas las diagonales posibles del vértice "A". 9. Grafica un pentágono no convexo y traza dos de sus diagonales. 10. Grafica un cuadrilátero convexo y traza todas sus diagonales. 11. Según su número de lados, nombra los polígonos mostrados. 12. Traza las diagonales del vértice "P". A B C D P 13. Traza las diagonales de los vértices "A" y "B". A B C D E Aplicación cotidiana Cercando el terreno Eduardo compró un terreno de forma hexagonal equilátera, como se muestra en la figura. 14. Si el lado AF = 10 m, calcula el perímetro del terreno de Eduardo. 15. Si Eduardo coloca estacas como en la figura mostrada y cerca su terreno con un cerco metálico, ¿cuánto gastará en dicho cerco, si el costo por metro es de S/. 20? A B C D E F 10m
Central: 619-8100 127 Unidad V 1 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Grafica un endecágono. 2. Según su número de lados y región, nombra el polígono mostrado. 3. ¿Cuántas diagonales faltan trazar en la figura? A B C D E F G 4. Grafica un dodecágono. 5. Si el polígono mostrado es equilátero y su perímetro es "13x + 18", calcula "x". x+3 1. Nombra el polígono, de acuerdo a su región. 2. Nombra el polígono, de acuerdo a su número de lados. 3. Grafica las diagonales del vértice "P". P 4. En la figura, traza todas las diagonales de los vértices "Q" y "R". ¿Cuántas son? R Q 5. En la figura, grafica todas las diagonales trazadas desde "P". P 6. Grafica un cuadrilátero convexo y traza todas sus diagonales.
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 128 Estudiando las figuras de más de tres lados 7. En la figura, ¿cuántas diagonales faltan trazar? 8. ¿Cómo se llama el polígono mostrado, de acuerdo a su número de lados? 9. Grafica un pentágono convexo y desde uno de sus vértices traza todas las diagonales posibles. 10. Grafica un pentágono no convexo y traza todas sus diagonales. 11. Grafica un hexágono convexo y traza desde dos vértices consecutivos todas las diagonales posibles. 12. ¿Cómo se llama el polígono de 20 lados? 13. ¿Qué polígonos son convexos? I) II) III) IV) 14. Grafica un heptágono convexo y traza todas sus diagonales desde un solo vértice. 15. Grafica un octógono convexo en el que un ángulo interno mida 120º.
Central: 619-8100 Geometría 129 www.trilce.edu.pe 2 Central: 619-8100 • Maqueta de una cúpula geodésica. ¿Observas algún polígono en la figura? ¿Cuál será la suma de ángulos internos? En este capítulo aprenderemos a: • Calcular la suma de ángulos internos usando las diagonales del polígono. • Mencionar y aplicar la propiedad de la suma de ángulos internos. • Desarrollar diversos problemas sobre la propiedad de suma de ángulos internos. L as caras de una cúpula geodésica pueden ser triángulos, hexágonos o cualquier otro polígono. Los vértices deben coincidir todos con la superficie de una esfera o un elipsoide (si los vértices no quedan en la superficie, la cúpula ya no es geodésica). El número de veces que las aristas del icosaedro o dodecaedro son subdivididas, dando lugar a triángulos más pequeños, se llama frecuencia de la esfera o cúpula geodésica. Para la esfera geodésica se cumple el teorema de poliedros de Euler, que indica: C + V − A = 2 Las cúpulas geodésicas, a diferencia de las cúpulas conformadas por celosías tridimensionales, pueden sufrir pandeo global sin que ninguna de las barras comprimidas que las forman haya sufrido pandeo local. Eso implica que un cálculo como estructura lineal convencional, y comprobación posterior de pandeo local, puede no ser adecuado en muchos casos, y para grandes luces se requiere de un cálculo no-lineal, con el fin de determinar sus cargas críticas y asegurarse de que no se producen fenómenos de inestabilidad elástica. http://bioantu.ning.com
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 130 ¿Cuál será la suma de ángulos internos? Conceptos básicos Saberes previos A B C D E aº qº aº + qº = 180º • En el triángulo • Diagonal de un polígono • En el gráfico AC y AD : Diagonales trazadas del vértice "A" aº + bº + qº = 180º aº bº qº A B C En todo polígono Número de lados = Número de vértices = n A B C D Número de lados = 4 Número de vértices = 4 ⇒ n= 4 A B C D E F Número de lados = 6 Número de vértices = 6 ⇒ n= 6 A B C D E F G H Número de lados = 8 Número de vértices = 8 ⇒ n= 8 Ejemplo Ejemplo
Central: 619-8100 131 Unidad V 2 Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Suma de ángulos internos (Si ) aº qº bº mº nº pº Si=180º×2=360º En el cuadrilátero aº bº qº yº zº xº mº pº nº Si=180º×3=540º En el pentágono Si=180º×4=720º En el hexágono En un polígono de "n" lados Si = 180º (n – 2) 1. En la figura, traza las diagonales del vértice "A". ¿Cuántos triángulos se forman? A B C D E 2. En la figura, traza todas las diagonales del vértice "P". ¿Cuántos triángulos se forman? P 3. Traza todas las diagonales del vértice "B" y calcula la suma de ángulos internos del polígono. A B C D E F 4. Traza todas las diagonales del vértice "R". R 5. Calcula la suma de ángulos internos del polígono. A B C D E 6. Calcula la suma de ángulos internos del nonágono. 7. Calcula la suma de ángulos internos del pentadecágono. 8. Calcula la suma de ángulos internos del icoságono.
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 132 ¿Cuál será la suma de ángulos internos? Conceptosbásicos Aprende más... 9. En la figura, calcula la suma de ángulos internos del polígono. 10. En la figura, calcula "xº" A B C D E xº xº 100º 120º 120º Comunicación matemática 1. En las figuras, trazando diagonales desde un vértice, ¿cuántos triángulos se forman en cada caso? Número de triángulos Número de triángulos 2. Completa de acuerdo con el enunciado. • Pentágono n= • Octógono n= • Pentadecágono n= • Icoságono n= 3. ¿Cuántos vértices tienen las figuras mostradas? Número de vértices = Número de vértices = Número de vértices = 4. Completa en cada caso, la suma de ángulos internos (Si). • Pentágono Si= • Dodecágono Si= • Cuadrilátero Si= • Heptágono Si=
Central: 619-8100 133 Unidad V 25. Completa en cada caso: • aº bº qº aº + bº + qº = • En todo polígono: Si =180º( – ) donde: "Si" es la suma de ángulos internos. Resolución de problemas 6. En la figura, traza las diagonales del vértice "P". ¿Cuántos triángulos se forman? P 7. En la figura, traza las diagonales del vértice "R" y calcula la suma de ángulos internos del polígono. R 8. Calcula la suma de ángulos internos de un polígono de trece lados. 9. Calcula el número de lados del polígono cuyos ángulos internos suman 900º. 10. Calcula el número de vértices del polígono cuyos ángulos internos suman 1 260º. 11. Calcula el número de lados del polígono cuyos ángulos internos suman 2 520º. 12. En el gráfico, calcula "aº". 40ºaº aº aº aº A B C D E 13. En la figura, calcula "xº". A B C D E F G xº xº xº xº 140º 100º 120º Aplicación cotidiana La ronda Unos niños están sujetando cuerdas, como se muestra en la figura regular ABCDEF. 14. Si AF=4 m, calcula la longitud total de la cuerda usada en este juego. 15. Calcula el ángulo formado por el niño que está en la posición "D". A B C D E F
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 134 ¿Cuál será la suma de ángulos internos? Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. En la figura, calcula "xº". xº xº xº 120º 120º 2. En el gráfico, calcula "xº", si: aº + qº = 180º xº xº xº aº qº 3. Calcula la suma de ángulos internos del polígono mostrado. 4. En la figura, calcula "xº" xº xº xº 60º 70º 50º 5. En el gráfico, calcula "mº + nº" A B C D E F 140º mº nº 130º 110º 120º qº qºaº aº 1. En la figura, al trazar las diagonales del vértice "A", ¿cuántos triángulos se forman? A 2. En la figura, trazando las diagonales del vértice "P", ¿cuántos triángulos se forman? P 3. Traza las diagonales del vértice "R" y calcula la suma de ángulos internos del polígono. R 4. Calcula la suma de ángulos internos del octógono. 5. Calcula la suma de ángulos internos del decágono. 6. Calcula la suma de ángulos internos del endecágono.
Central: 619-8100 135 Unidad V 27. Calcula la suma de ángulos internos del polígono de catorce vértices. 8. Calcula la suma de ángulos internos del polígono de dieciocho lados. 9. Calcula la suma de ángulos internos del polígono mostrado. 10. Si la suma de ángulos internos de un polígono es 5 400º, calcula el número de lados. 11. Calcula el número de lados del polígono cuyos ángulos internos suman 4 320º. 12. Calcula el número de vértices del polígono cuyos ángulos internos suman 2 160º. 13. En la figura, calcula "xº". xº 2xº xº xº 140º A B C D E 14. En la figura, calcula "xº". 2xº xº xº 150º 100º 15. Calcula el número de lados de un polígono, si el número de lados más la suma de ángulos internos es 364.
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 136 Ordenamiento lineal y circular 3 • Las velas de muchas embarcaciones, en la antigüedad, presentaban formas trapezoidales. ¿Observas alguna vela con dicha forma? Estudiando las figuras de cuatro lados En este capítulo aprenderemos a: • Definir un cuadrilátero. • Reconocer y diferenciar un trapezoide y un trapecio. • Graficar un trapecio y un trapezoide. • Reconocer y aplicar las propiedades en un trapezoide y un trapecio. E l velero de mástiles altos o gran velero es un barco tradicional equipado con velamen y aparejos aptos para la navegación propulsada por el viento. Entre estos populares barcos de mástil alto se encuentran las goletas, brics (tipo bergantín con velas trapeciales, además de la mesana, que tiene velas alineadas proa-popa), fragatas y bergantines. Los aparejos tradicionales de este tipo de barcos pueden incluir velas cuadradas y velas aúricas con mástil y gavia separados. Estos aparejos son por lo general más complejos que los encontrados en los barcos de vela modernos, los cuales utilizan materiales contemporáneos, como el aluminio y acero, que les permiten tener mástiles más altos y ligeros, con menos pero más versátiles velas. El término "velero de mástil alto" se popularizó a partir de la segunda mitad del siglo XX con el desarrollo de las carreras de veleros de mástiles altos. http://www.plataformaarquitectura.cl 3
Geometría Central: 619-8100 137 Unidad V Conceptos básicos Saberes previos A B C D Cuadrilátero convexo P Q S R Cuadrilátero no convexo aº bº qº fº A B C D aº + bº + qº + fº = 360º Definición El cuadrilátero es el polígono de cuatro lados. Tipos de cuadriláteros convexos Trapezoide Es el cuadrilátero que no tiene lados paralelos. aº qº aº + qº = 180º • En la figura aº qº L1 L2 aº + qº = 180º • En el gráfico (L1 // L2) d L1 L2 • Distancia entre rectas (L1 // L2) • Triángulo isósceles qº qº Base d : distancia entre "L1" y "L2"
138 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Estudiando las figuras de cuatro lados A B C D Base menor Altura Lado lateral Base mayor • BC // AD A B C D a b En la figura: • BC // AD • a ≠ b Trapecios Es el cuadrilátero que tiene solo un par de lados opuestos paralelos, a los que se les llama bases. Clasificación de trapecios Trapecio escaleno Es aquel que tiene sus lados laterales de diferente longitud. En la figura: • BC // AD A B C D a a aº aº qºqº En la figura: • BC // AD A B C D Trapecio isósceles Es aquel que tiene sus lados laterales de igual medida. Trapecio rectángulo Es aquel que tiene dos de sus ángulos interiores consecutivos rectos. En la figura: • BC // AD A B C D bº aº fº qº aº + bº = 180º qº + fº = 180º Propiedad de todo trapecio
Central: 619-8100 139 Unidad V 139 3 ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. En la figura, calcula "xº". A B C D 3xº 4xº 2xº xº 2. En la figura, calcula "xº". xº 140º 60º 3. En el trapecio ABCD (BC // AD), calcula "xº". A B C D xº 80º 4. En el trapecio ABCD (BC// AD), calcula "xº". A B C D 5xº 4xº 5. En el trapecio isósceles (AB=CD), calcula "xº". A B C D xº 65º 6. En el trapecio rectángulo, calcula "xº". A B C D 110º xº+10º  7. En la figura (AB // CD), calcula "xº". A B C D 78º xº 8. En el trapezoide, calcula "xº". xº 85º 75º 9. En el trapezoide, calcula "qº". 60º 80º qº 10. En la figura, calcula "aº". 80º 140º aº
140 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Estudiando las figuras de cuatro lados Conceptos básicosAprende más... Comunicación matemática 1. Completa, dependiendo de cada gráfico. bº aº qº fº aº+bº+qº+fº= aº qº A B C D aº+ = Si: BC // AD bº qº A B C D bº+ = Si: BC // AD 2. Para el trapecio mostrado (BC // AD), marca "V" o "F" según corresponda: qºbº aº fº A B C D • BC y AD son las bases ................................................................................................ ( ) • A AB se le llama lado lateral ....................................................................................... ( ) • En la figura: aº+qº=180º........................................................................................... ( ) • En la figura: aº=fº...................................................................................................... ( ) 3. En el trapecio mostrado, completa los elementos de la figura: A B C D 4. Grafica un trapezoide convexo ABCD y traza todas sus diagonales. 5. Marca "V" o "F", según corresponda: • Un trapezoide es un cuadrilátero que no presenta lados opuestos paralelos................ ( ) • La suma de ángulos internos de un trapezoide es 360º................................................ ( ) • En la figura: aº qº  aº+qº=90º............................................................................... ( ) • Los trapezoides son un tipo de trapecios..................................................................... ( )
Central: 619-8100 141 Unidad V 141 3Resolución de problemas 6. En la figura, calcula "xº". xº xº 80º 70º A B C D 7. En la figura, calcula "xº". xº 130º xº A B C D 8. En la figura, calcula "qº", si: AB=CD. A B C D 2qº+20º qº+40º 9. Si: BC // AD, calcula "xº". A B C D xº+40º xº+10º 10. En la figura, calcula "aº". 3aº 2aº 11. De la figura, calcula "xº". 10xº 12xº 6xº 8xº 12. En la figura, calcula "xº". 20º 50º 120º xº 13. En la figura (CD // AB), calcula "xº+yº". 2xº 4xº 3yº 6yº A B C D Aplicación cotidiana La repisa Un florero está apoyado en una repisa de forma trapecial. (BC // AD). 14. Si: bº=2aº, calcula "aº". 15. Si: AB=CD, calcula "qº". aº bº qº A B C D Base mayor Base menor
142 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Estudiando las figuras de cuatro lados Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. Calcula "xº". xº 70º 130º 65º 2. Si: BC // AD, calcula "xº". A B C D xº aº aº qº qº 3. Calcula "xº". 50º 2xº 3xº 70º 4. En la figura, calcula "xº". 140º aº aº qº qº xº 5. En el gráfico, calcula "xº". xº 130º 60º 70º A B C D E FG H 1. Calcula "xº". xº 80º 85º 2. Calcula "xº", si: AB // CD. D A B C 120º xº 3. En el trapecio isósceles, calcula "qº". 3qº qº 4. En la figura, calcula "xº". 125º 5xº  5. En la figura, calcula "xº".
Central: 619-8100 143 Unidad V 143 3 xº85º 120º 6. En la figura, calcula "qº" 135º qº 7. En la figura, calcula "qº". 145º 85º qº 80º 8. En la figura, calcula "xº". 138º 82º xº 9. En el trapecio isósceles, calcula "xº". 3xº xº 10. En la figura, calcula "qº" (BC // AD). 5qº 4qºA B C D 11. Calcula "xº". 140º 60º 70º xº 12. Calcula "qº". 4qº 2qº 13. Calcula "xº". 2xº 45º xº 14. En el trapecio, calcula "xº" (AB // CD). D A B C 125º 5xº 15. En la figura, calcula "qº". 6qº 2qº 4qº 3qº
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 144 4 • Muchos jardines presentan formas rectangulares – Jardines de Bahai - Israel Conociendo los paralelogramos En este capítulo aprenderemos a: • Definir de manera correcta un paralelogramo. • Conocer y aplicar las propiedades básicas de todo paralelogramo. • Reconocer los diferentes tipos de paralelogramos. • Graficar correctamente cualquier tipo de paralelogramo. U n jardín (del francés jardín, huerto), es una zona del terreno donde se cultivan especies vegetales, con posible añadidura de otros elementos como fuentes o esculturas, para el placer de los sentidos. En castellano se llamaba antiguamente "huerto de flor" para distinguirlo del huerto donde se cultivan hortalizas. La adopción de la palabra francesa hizo más fácil la distinción entre uno y otro vocablo. Hacer estos huertos sin finalidad económica, únicamente por goce estético, arrastra una larga tradición, y ya eran famosos los Jardines colgantes de Babilonia, considerados como una de las maravillas del mundo antiguo, lo que denota que estos espacios de ocio tienen desde entonces una larga tradición, o los jardines de Bahai, que demuestran perfección en sus formas tanto rombales como rectangulares. http://www.cs.technion.ac.il 4
Geometría Central: 619-8100 145 Unidad V Saberes previos Conceptos básicos aº qº L1 L2 • En el gráfico: (L1 // L2) • En todo triángulo • En la figura • En un cuadrilátero convexo aº bº qº aº + qº = 180º xº = aº + qº aº + bº + qº = 180º aº + bº + qº + fº = 360º aº qº xº qº fºaº bº Paralelogramos Definición Es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. En la figura: AB // CD y BC // AD A B C D Propiedades • En todo paralelogramo, los lados opuestos son paralelos e iguales. En la figura: AB // CD y AD // BC A B C D a a b b
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 146 Conociendo los parelelogramos • En todo paralelogramo, los ángulos opuestos son de igual medida. Además: A B C D aº aºqº qº En la figura: AB // CD y AD // BC aº+ qº = 180º Clasificación de paralelogramos Cuadrado Es el paralelogramo de lados y ángulos de medidas iguales. a a a a A B C D Rombo Es el paralelogramo cuyos lados son de igual medida. Rectángulo Es el paralelogramo cuyos ángulos internos miden 90º y sus lados son de diferente medida. Romboide Es el paralelogramo cuyos lados consecutivos son diferentes y cuyos ángulos internos no miden 90º. a a a a A B C D aº aºbº bº b a A B C D A B C D aº aº qº qº b a
Central: 619-8100 147 Unidad V 4 Conceptosbásicos Aprende más... ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Si ABCD es un paralelogramo, calcula "x". A B C D 17 2x+3 2. Si ABCD es un paralelogramo, calcula "xº". A B C D 2xº–30º xº+20º 3. Grafica un cuadrado ABCD de lado 3 cm. 4. Grafica un rectángulo ABCD, donde: AB=3 cm y BC=5 cm. 5. En el rombo ABCD mostrado, calcula "x". A B C D 2x+40 4x–10 6. En el gráfico, ABCD es un romboide, calcula "xº" A B C D 3xº+20º 2xº 7. En el cuadrado ABCD, calcula "x". 4x–18 2x+10 A B C D 8. GraficaelromboideABCD,talque:m ABC=120º; AB=3 cm y BC=5 cm. 9. Grafica un rombo ABCD cuyo lado mida 5 cm y uno de sus ángulos, 40º. 10. En el romboide ABCD, calcula "xº". A B C Dxº 70º Comunicación matemática 1. De acuerdo con el gráfico mostrado, completa la relación correcta. A B x y C D x = Rombo a a xº = Cuadrado x m x = Rectángulo A B C D aº qº aº+ = Romboide xº
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 148 Conociendo los parelelogramos 2. Marca verdadero (V) o falso (F), según corresponda: • El rombo es el paralelogramo que tiene todos sus ángulos internos iguales ................... ( ) • El cuadrado presenta todos sus ángulos internos de igual medida .................................. ( ) • En todo paralelogramo, sus ángulos opuestos son de igual medida................................. ( ) • El romboide es un paralelogramo equilátero................................................................... ( ) 3. Grafica, de acuerdo con el enunciado: • Un romboide ABCD, tal que: AB=3,5 cm y AD=5 cm. • Un rectángulo ABCD, tal que: AB=3 cm y BC=6 cm. 4. Completa el gráfico, de acuerdo con el enunciado. • En el cuadrado PQRS, traza las diagonales PR y QS. • En el romboide ABCD, traza las diagonales . AC y BD. A B C D P Q R S 5. Relaciona con líneas: • a a • Rectángulo • a b qº qº aº aº • Cuadrado • b a • Romboide
Central: 619-8100 149 Unidad V 4Resolución de problemas 6. En el romboide ABCD, calcula su perímetro. A B C D 5 6 7. En la figura, ABCD es un paralelogramo. Calcula "qº". A B C D 65º qº+25º 8. En el gráfico, PQRS es un paralelogramo. Calcula "qº". P Q R S 70º qº qº 9. En la figura, ABCD es un romboide. Calcula "x". A B C D 6 11 3y x+y 10. Grafica el rombo ABCD, donde: AD=6 cm. 11. Grafica el cuadrado ABCD, tal que: AB=6 cm. 12. Grafica el rectángulo PQRS, tal que: RS=4 cm y QR=5 cm, y traza las diagonales. 13. En la figura, calcula "qº", si PQRS es un romboide. P Q R S 2qº 3qº Aplicación cotidiana La pizarra A P B Q C R D S Borde de aluminio 150 cm 400 cm En el colegio Trilce hay una pizarra ABCD, cuyas longitudes están mostradas (en cm) y presenta un borde de aluminio de espesor constante de 5 cm. Calcula: 14. El perímetro de la pizarra ABCD. 15. El perímetro de la figura interna PQRS.
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 150 Conociendo los parelelogramos Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. En el romboide ABCD, calcula "qº", si: AM=MN. A B C D M 80º qº N 2. Si ABCD es un romboide, calcula "x". A B C D 70º 55º x 6 5 E 3. En el paralelogramo ABCD, calcula "BP". A B C D aº aº 12 x 7 P 4. Calcula la medida del lado menor de un rectángulo, si es 5 cm menor que el lado mayor y además su perímetro es 50 cm. 5. En la figura, PQRS es un romboide de perímetro 40 cm. Calcula "QR". P Q R S3x x 1. Calcula "x", si ABCD es un romboide. A B C D 2x–1 13 2. Si ABCD es un paralelogramo, calcula "xº". A B C D 3xº–20º 100º 3. Si PQRS es un rombo, calcula "x". P Q R S 3x 21 4. Si PQRS es un cuadrado, calcula "x". 30–x x–10 Q R P S
Central: 619-8100 151 Unidad V 45. Calcula "qº" en el romboide ABCD. 30º–qº A B C D qº 6. Grafica el rombo PQRS, tal que: PQ=3 cm. 7. Grafica el romboide PQRS, tal que: m PQR=130º, PQ=4 cm y QR=7 cm. 8. Calcula "xº" en el paralelogramo ABCD. A B C D xº 65º 9. Calcula "x" en el rectángulo ABCD. 3x–10 x+30 A B C D 10. Calcula "aº" en el cuadrado PQRS. Q R P S 9aº 11. Grafica un romboide PQRS, tal que m R=65º, QR=6 cm y RS=4 cm. 12. En el rombo ABCD, calcula "x". A B C D 3x+14 4x–1 13. Calcula "xº" en el romboide PQRS. 2xº 130º P Q R S 14. En la figura, calcula "xº", si PQRS es un romboide. 75º P Q R S xº M 15. En la figura, calcula "xº", si ABCD es un romboide. A B C D 20º xº
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 152 Ordenamiento lineal y circular 5 • En la parte externa de esta cúpula, ¿observas alguna forma rectangular? Operaciones en el cuadrilátero En este capítulo aprenderemos a: • Reconocer las diferentes características y propiedades de los cuadriláteros. • Aplicar las propiedades vistas en los cuadriláteros a diferentes problemas. • Graficar correctamente un cuadrilátero con sus respectivos elementos. L a Deutscher Werkbund (Federación alemana del trabajo) fue el primer movimiento arquitectónico relacionado con el expresionismo producido en Alemania. Fundada en Múnich, el 9 de octubre de 1907, por Hermann Muthesius, Friedrich Naumann y Karl Schmidt, incorporó posteriormente a figuras como Walter Gropius, Bruno Taut, Hans Poelzig, Peter Behrens, Theodor Fischer, Josef Hoffmann, Wilhelm Kreis, Adelbert Niemeyer y Richard Riemerschmidt. Heredera del Jugendstil y de la Sezession vienesa, e inspirada en el movimiento Arts & Crafts, su objetivo era la integración de arquitectura, industria y artesanía a través del trabajo profesional, la educación y la publicidad, así como introducir el diseño arquitectónico en la modernidad y conferirle un carácter industrial. Las principales características del movimiento fueron: el uso de nuevos materiales, como el vidrio y el acero, y la importancia del diseño industrial y el funcionalismo decorativo, como los usados en las estructuras de las cúpulas. http://www.peruarki.com 5
Geometría Central: 619-8100 153 Unidad V ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Según la figura, calcula "qº". 130º 80ºqº 2. En el trapecio isósceles ABCD, calcula "aº". A B CD 2aº 100º 3. En el romboide PQRS, calcula "qº". P Q R S 120º 3qº 4. De la figura, calcula "xº". 4xº 2xº 5. En el trapecio rectángulo, calcula "qº". 4qº 60º 6. Si ABCD es un paralelogramo, calcula "x+y". 2y 3x 18 15 A B C D 7. En el rectángulo ABCD mostrado, de perímetro 120 cm, calcula "BC". x 4x A B C D 8. En el trapecio isósceles, calcula "xº". DA B C 110º 2xº 9. En el romboide ABCD mostrado, calcula "qº". A B C D 74º qº 10. En la figura, calcula "qº". 100º qº qº 80º
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 154 Operaciones en el cuadrilátero Conceptos básicosAprende más... Comunicación matemática 1. Nombra cada tipo de trapecio mostrado. qº qº 2. Nombra cada paralelogramo mostrado. a a a b a a a a 3. Completa cada relación, de acuerdo con: A B C D qº aº Si: BC // AD aº + = aº= Si: AB // CD y BC // AD aº qº A B C D 4. Marca verdadero (V) o falso (F), según corresponda. • Un romboide es un paralelogramo equilátero ..............................................................( ) • En un trapezoide convexo, la suma de sus ángulos internos es 540º ............................( ) • Un rombo es un paralelogramo de lados iguales .........................................................( ) • En todo cuadrilátero, la suma de ángulos internos es 360º ...........................................( ) 5. Grafica, según el enunciado. • Un trapezoide convexo PQRS. • Un rectángulo ABCD, tal que: AB=2 cm y BC=3 cm.
Central: 619-8100 155 Unidad V 5Resolución de problemas 6. Si ABCD es un cuadrado y CPD es un triángulo equilátero, calcula "qº". A B C D P qº 7. En el trapecio isósceles ABCD, calcula "xº" (AB // CD) A B C D 4xº 2xº 8. En el rombo ABCD mostrado, calcula "x". A B C D3x+10 4x–1 9. En la figura, ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero. Calcula "qº". A B C D qº P 10. Si ABCD es un rectángulo y CPD es un triángulo equilátero, calcula "xº". A B C D P xº 11. En el romboide ABCD mostrado, calcula "qº". A B C D 3qº 6qº 12. En la figura, ABCD es un trapecio (BC // AD) y ADR es un triángulo equilátero. Calcula "qº". A qº 110º B C D R 13. En la figura, ABCD es un romboide y ADEF es un cuadrado. Calcula "xº". A B C D EF xº 65º Aplicación cotidiana La mesa Juan se inscribe en un curso de carpintería y construye la mesa mostrada con las siguientes dimensiones, como se muestra en la figura. 14. Si las dimensiones están erradas, ya que el largo (BC) debe medir 20 cm más y el ancho (AB) debe medir 5 cm más, ¿cuál sería el perímetro de la mesa, haciendo las correcciones debidas? 15. Si no hubiera falla, ¿cuál sería el perímetro de la mesa? A B C D 150 cm 100 cm
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 156 Operaciones en el cuadrilátero Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. Si ABCD es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero, calcula "qº". A B C D E qº 2. Si ABCD es un trapecio isósceles (AB=CD) y CPD es un triángulo equilátero, calcula "xº". xº 110º A B C D P 3. En la figura, ABCD es un romboide, calcula "xº". 4xº A B C D H xº 4. Si ABCD es un cuadrado y BCQP es un rombo, calcula "xº". A B C D P Q 120º xº 5. En el romboide ABCD, AB=2 cm. Calcula "BC". P qº qº aº aº A B C D x 2 1. Calcula "xº". 100º 80ºxº 2. En el trapecio ABCD, calcula "xº" (BC // AD). A B C D 120º 2xº 3. En la figura, calcula "qº", si PQRS es un romboide. 80º 4qº P Q R S 4. Calcula "xº". 100º 80º 3xº xº
Central: 619-8100 157 Unidad V 55. Calcula "qº". 120º 3qº 3qº 6. En el trapecio isósceles ABCD, calcula "qº". A B C D 4qº 60º 7. Calcula "x", si ABCD es un romboide. A B C D 4x–1 2x+9 8. En el gráfico, calcula "qº". 4qº 2qº 9. Calcula "qº", si PQRS es un romboide. P Q R S 120º qº H 10. Calcula "xº", en el romboide ABCD. A B C D xº 72º 11. Calcula "qº", si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero. A B C D qº P 12. Si las figuras ABCD y CPD son polígonos regulares, calcula "qº+fº". A B C D P qº fº 13. Calcula "qº", si PQRS es un romboide. P Q R S qº 68º 14. Calcula "3qº". 5qº 60º4qº 15. En el rectángulo ABCD, calcula "x". A B C D 5x+1 3x+41
AprendiZajes esperados UNIDAD 1 L a base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos. ¿Cuál es la etimología de Geometría? ¿Qué estudia la Geometría? ¿Qué es postulado? Conociendoalageometría UNIDAD 1 • Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos. • Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte. • Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables. • Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás. • Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables.
Central: 619-8100 Geometría 159 www.trilce.edu.pe 1 • A las abejas se les considera los arquitectos de la naturaleza. En la parte superior se muestra una muestra de su trabajo, ¿qué forma poligonal observas? ¿Qué es perímetro? En este capítulo aprenderemos a: • Definir el concepto de perímetro. • Calcular el perímetro en diferentes regiones poligonales. • Desarrollar diferentes tipos de problemas sobre perímetro. L a miel tiene muchas propiedades terapéuticas (Havsteen 2002). Se puede usar externamente debido a sus propiedades antimicrobianas y antisépticas. Así, la miel ayuda a cicatrizar y a prevenir infecciones en heridas o quemaduras superficiales. También es utilizada en cosmética (cremas, mascarillas de limpieza facial, tónicos, etcétera) debido a sus cualidades astringentes y suavizantes. La miel también se emplea en la medicina tradicional. Es un excelente conservante natural. Sin embargo, no siempre es saludable. Debido a que procede de flores silvestres, hay algunos momentos y lugares en los que la miel producida por las abejas es altamente tóxica. Los rododendros y azaleas producen un néctar altamente venenoso para los humanos, aunque inofensivo para las abejas, que producen así una miel mortífera. En algunas regiones del mundo las colmenas se vacían inmediatamente después de la temporada de flores, eliminando cualquier residuo para evitar envenenamientos accidentales. Existen historias del uso de miel venenosa como arma de guerra en la antigüedad, pero no son corroborables. Dicha miel venenosa es muy difícil de encontrar. La forma de la flor de azalea hace que a las abejas le resulte difícil acceder al néctar, y en la época en la que florecen hay casi siempre otras flores más atractivas para las abejas , y así lo trabajen en su colmena que presenta la forma brindada en el gráfico. http://www.plataformaarquitectura.cl
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 160 ¿Qué es perímetro? Conceptos básicos Saberes previos • Paralelogramos A B C D Cuadrado qº qº aº aº Rombo Rectángulo • Trapecios aº aº qº qº A B C D Trapecio isósceles Perímetro Longitud de perímetro Es la suma de las longitudes de todos los lados de una región poligonal. Notación del perímetro: (2p) En la figura: 2pFigura=AB+BC+CD+DE+EF+AF A B C D EF Región poligonal La palabra perímetro proviene del latín perímetros, que a su vez deriva de un concepto griego. Se refiere al contorno de una superficie o de una figura y a la medida de ese contorno. Perímetro = 16 cm4cm 4cm 4cm 4cm
Central: 619-8100 161 Unidad VI 1 Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 En otras palabras, en una figura, el perímetro es la suma de todos sus lados. De esta manera, el perímetro permite calcular la frontera de una superficie, por lo que resulta de gran utilidad. Conocer el perímetro de un campo, por ejemplo, permite definir que cantidad de material se necesita para alambrarlo. De igual forma, el perímetro es un dato esencial para diseñar la seguridad de una casa o de un barrio cerrado. Cabe destacar que, así como el perímetro es el dato que permite calcular los bordes de la superficie, el área es la que posibilita el conocimiento de su superficie interior. Así, el perímetro nos dirá cómo podemos alambrar un campo, mientras que el área aportará la información respecto a cómo podemos sembrar dicho campo o que cantidad de fertilizante utilizar. 1. En la figura, calcula el perímetro del siguiente polígono, si es regular. A B C 8cm 2. En el rectángulo mostrado, calcula su perímetro. 3 cm 7 cm 3. En el trapecio isósceles ABCD, calcula su perímetro. qº qº A B C D 7 3 11 4. Si la siguiente figura es un polígono regular, calcula su perímetro. 7 P Q R S 5. Si el polígono ABCDEF es regular, calcula su perímetro. 5 A B C D E F 6. Si el perímetro de la figura regular ABCDE es 70 cm, calcula "x". x A B C D E
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 162 ¿Qué es perímetro? Conceptos básicosAprende más... 7. Si ABCD es un rombo y ADEF es un cuadrado, calcula el perímetro de la región ABCDEF. 5 A B C D EF 8. Si ABCE es un cuadrado y CED un triángulo equilátero, calcula el perímetro de la región ABCDE. 4A B C E D 9. Si ABEF es un cuadrado y FECD un rectángulo, calcula el perímetro de la región ABCD. 5 7 A B C D E F 10. Calcula el perímetro del hexágono no convexo ABCDEF. 24 22 12 6 A B C D E F Comunicación matemática 1. Indica los perímetros de las siguientes figuras. 2p = a c b d e 2p = a c bC B A 2. Marca verdadero (V) o falso (F), según corresponda: • El perímetro es la suma de las longitudes de todos los lados de un polígono .................. ( ) • Un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados de igual medida ........................ ( ) • El triángulo equilátero es el polígono regular más simple que hay .................................. ( )
Central: 619-8100 163 Unidad VI 1 Hexágono regular Pentágono regular Triángulo equilátero 108º 108º 108º 108º 108º 120º 120º 120º 120º 120º 120º 60º 60º 60º Resolución de problemas 6. Calcula "x", si el perímetro de la siguiente figura regular es 24 cm. A B C 2x 7. En el rectángulo mostrado, calcula "x", si su perímetro es 48 cm. x 5x 8. En el hexágono regular de lado "x+2" y perímetro 60 cm, calcula "x". x+2A B C D E F 9. En la figura, calcula el perímetro del hexágono ABCDEF no convexo. 26 14 A B C D E F 3. Compara los perímetros de las figuras regulares con los signos ">", "<" o "=". 4 2p 3 3 2p 4. Grafica de acuerdo con los enunciados: • Un heptágono regular ABCDEFG cuyo lado mida 2 cm. • Un hexágono cóncavo equilátero. 5. Relaciona con líneas:
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 164 ¿Qué es perímetro? 10. Calcula el perímetro del hexágono no convexo ABCDEF, si ABCF es un cuadrado y EFCD un trapecio isósceles (EF // DC). 12 5 7 A B C D E F 11. Calcula el perímetro del heptágono no convexo ABCDEFG, si ABCDG es un pentágono regular y DEFG es un cuadrado. 12 A B C D E F G 12. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero. A B C D P 7 13. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCDEF es un hexágono regular y PDEQ es un cuadrado. A B C D E F P Q 10 Aplicación cotidiana La losa de fulbito A B C D El gráfico muestra una losa deportiva. Juan observa que: AB=2(AD) y que el perímetro de la losa deportiva es 108 m. 14. Calcula la longitud de "BC". 15. Si: AB=3(AD) y el perímetro es 120 m, calcula "AD".
Central: 619-8100 165 Unidad VI 1 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 4 5 7 8 3 2. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 5 10 6 460º 60º 3. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si AED es un triángulo equilátero y ABCD es un romboide. A B C D E 7 5 4. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 6 6 A BO 5. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si el triángulo DEF es equilátero. 4 cm E D F 1. Si la siguiente figura es un polígono regular, calcula su perímetro. P Q R 14 2. Dado el romboide PQRS, calcula su perímetro. 6 14 P Q R S 3. Dado el trapecio isósceles ABCD, calcula su perímetro. qº qº A B C D 5 4 3 4. Si la siguiente figura es un polígono regular, calcula su perímetro. 20
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 166 ¿Qué es perímetro? 5. Si la siguiente figura es un polígono regular, calcula su perímetro. A B C D E 20 cm 6. Si el perímetro del rombo ABCD es 48 cm, calcula "x". A B C D2x 7. Si el perímetro del cuadrado ABCD es 60 cm, calcula "x". 2x+1 A B C D 8. Si ABPQ es un cuadrado y PCDQ es un rectángulo, calcula el perímetro de ABCD. 10 4 A B C D P Q 9. Si ABCP es un rombo y CPD es un triángulo equilátero, calcula el perímetro de la figura ABCD. 25 A B C D P 10. Calcula el perímetro de la figura, si es un cuadrado. 50–x 30+x A B C D 11. Calcula el perímetro del siguiente polígono, si es regular. A B C D E F G H 10 12. Calcula el perímetro de un icoságono regular, si uno de sus lados mide 5 cm. 13. Calcula el perímetro de un pentadecágono regular, si uno de sus lados mide 3 cm. 14. Calcula el perímetro de un nonágono regular, si uno de sus lados mide 6 cm. 15. Calcula el perímetro de la siguiente figura sombreada. 20 14
Central: 619-8100 Geometría 167 www.trilce.edu.pe 2 Central: 619-8100 • En la arquitectura mostrada en la parte superior, ¿observas formas poligonales o algún polígono regular? Calculando el perímetro de diversas figuras En este capítulo aprenderemos a: • Calcular el perímetro de diferentes regiones poligonales. • Desarrollar diferentes problemas sobre el cálculo de perímetros. L a arquitectura practicada en las últimas décadas, desde la segunda mitad del siglo XX, puede ser entendida, desde las perspectivas denominadas potsestructuralistas o potsmodernas, como una reacción a las propuestas del movimiento moderno: unas veces los arquitectos actuales releen los valores modernos y proponen nuevas concepciones estéticas (lo que eventualmente se caracterizará como una actitud llamada arquitectura neomoderna); otras, proponen proyectos de mundo radicalmente nuevos, un ejemplo de los últimos son los trabajos de estructuras geodésicas. http://www.plataformaarquitectura.cl
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 168 Calculando el perímetro de diversas figuras Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Saberes previos • Polígonos regulares • Trapecios • Paralelogramos 60º 60º 60º Triángulo equilátero Cuadrado aº aº aº aº aº Pentágono regular qº qº qº qº qº qº Hexágono regular Trapecio isósceles aº aº qº qº Trapecio rectángulo a b Rectángulo a b aº aºqº qº Romboide a a a a Rombo 1. Calcula el perímetro de la región ABCDEF, si ABCF es un rombo y CFED es un cuadrado. 5 A B C D E F 2. Calcula el perímetro de la región ABCDE, si ABCE es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero. A B C E D 4
Central: 619-8100 169 Unidad VI 23. Calcula el perímetro de la región ABCDEF, si ABCF es un rectángulo y CDEF es un rombo. 12 5 A B C D E F 4. Calcula el perímetro de la región ABCDE, si ABCE es un rombo y CED es un triángulo equilátero. A B C DE 6 5. Calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero. A B C D P 7 6. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un rectángulo y ABP es un triángulo equilátero. A B C D P 10 2 7. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 8 2 3 10A B C D E F 8. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 20 2 2 14 8 9. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 16 12 10. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABCDEF es un hexágono regular y APQF es un cuadrado. 8A B C D E F P Q
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 170 Calculando el perímetro de diversas figuras Conceptos básicosAprende más... Comunicación matemática 1. Nombra las siguientes figuras: qº qº qº qº qº 60º 60º 60º qº qº aº aº 2. Grafica, de acuerdo con los enunciados: • Un hexágono regular ABCDEF y el triángulo equilátero APF, interior al hexágono. • Un cuadrado ABCD y el triángulo equilátero CPD, exterior al cuadrado. 3. De acuerdo con el enunciado, sombrea las figuras mostradas. A B C D P • La región interior al cuadrado ABCD y exterior al triángulo APD. • La región interna al pentágono ABCDE y externa al cuadrilátero BPQA. A B C D E P Q 4. Completa la relación correcta. A B C l 60º 60º Perímetro del triángulo= l Perímetro del cuadrado= 5. Marca verdadero (V) o falso (F), según corresponda. • El rombo es un polígono regular ...................................................................................... ( ) • El perímetro se calcula mediante la suma de los lados de un polígono, dividida entre dos ..( ) • Todo paralelogramo es un polígono regular ....................................................................( )
Central: 619-8100 171 Unidad VI 2Resolución de problemas 6. En la figura, ABCD es un cuadrado y CDQ es un triángulo equilátero. Si el perímetro de la región ABCQD es 20 cm, calcula "x". xA B C D Q 7. En la figura, calcula "x", si PQRS es un cuadrado, SMR es un triángulo equilátero y el perímetro de la región sombreada es 30 cm. P Q R S M x 8. Calcula el perímetro de la región ABCDEF, si ABEF es un cuadrado y BCDE es un rombo. 12 A B C D E F 9. Calcula el perímetro de la región sombreada. 8 20 35 8 10. Calcula el perímetro de la región sombreada. 40 50 11. En la figura, BPC es un triángulo isósceles y ABCD es un cuadrado. Calcula el perímetro de la región ABPCD. 15 12 qº qº A B C D P 12. Si el perímetro de la figura PQCD es 24 cm, calcula el perímetro del cuadrado ABQP. 2x x A B C DP Q 13. Si el perímetro de la figura ABCD es 48 cm, calcula el perímetro del triángulo equilátero APB. 3x x A B C P D
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 172 Calculando el perímetro de diversas figuras Conceptos básicos¡Tú puedes! Aplicación cotidiana El dormitorio 32 7 15 8 Dormitorio Sala El dormitorio de Luis presenta las siguientes medidas, de acuerdo a la figura mostrada. 14. Calcula el perímetro del dormitorio de Luis. 15. Calcula el perímetro de la sala de Luis 1. En la figura: a+b=32 cm. Calcula el perímetro de la figura sombreada. a b 2. En la figura, ABCD es un romboide y PCD es un triángulo equilátero. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 10 15A B P C D 3. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada. 40 50 4. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada. 20 36 1812 60º 60º 5. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un rectángulo y APD es un sector circular de centro "A". 60º A B C P D 4 8
Central: 619-8100 173 Unidad VI 2 Conceptosbásicos Practica en casa 18:10:45 1. En la figura, ABCF es un cuadrado y FCDE es un trapecio isósceles. Calcula el perímetro de la figura ABCDEF. qº qº A B C D E F 8 15 5 2. Calcula el perímetro de la figura ABCDE, si ABCE es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero. A B C E D10 3. Si ABCF es un rombo y CDEF es un cuadrado, calcula el perímetro de la figura ABCDEF. A B C D E F 4. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABCD es un cuadrado y ARD un triángulo equilátero. A B C D R 15 5. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABCDE es un polígono regular y CMD es un triángulo equilátero. A B C D E M 11 6. Calcula el perímetro de la figura ABCED, si ABCD es un trapecio isósceles y CED es un triángulo equilátero. 12 6 5 A B C E D qº qº 7. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 11 3 3 14 8. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 11 27
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 174 Calculando el perímetro de diversas figuras 9. Si la figura es un polígono regular, calcula su perímetro. 31 A B C D E F 10. En la figura, calcula el perímetro del trapecio rectángulo. 3 4 6 11. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABCF es un rectángulo y CDEF es un rombo. 12 20 A B C D E F 12. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 35 10 13. Calcula el perímetro de la figura ABCDEFG, si ABCDG es una figura regular y FGDE es un cuadrado. 3 G A B C F E D 14. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABC es un triángulo equilátero y BEDC es un cuadrado. 5 A B C E D 15. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 60º 60º 19 14 8 8
Central: 619-8100 Geometría 175 www.trilce.edu.pe 175 3 Central: 619-8100 • En la estructura de los autos modernos observamos que los ingenieros usan muchas formas poligonales, como en este Lamborghini Gallardo. ¿Observas alguna forma geométrica estudiada? Repaso general En este capítulo aprenderemos a: • Repasar todo lo aprendido anteriormente. • Recordar y aplicar los conceptos aprendidos. Y a han salido a la luz las imágenes oficiales de lo último de Lamborghini, el sustituto del Gallardo, para aguantar en el mercado unos añitos hasta la llegada de su sustituto. Pero no se trata solo de eso, hay varios cambios: motor, tracción total permanente y nueva suspensión mejoran las prestaciones y la dinámica del superdeportivo italiano. La aerodinámica ha mejorado, a efectos de estabilidad y forma, en la estructura con formas poligonales: a altas velocidades (a más de 120 km/h) se libera el spoiler. También mejora la refrigeración del motor con tomas de aire más grandes. Se ha rediseñado el difusor trasero y los bajos. La eficiencia aerodinámica es un 31% superior al modelo previo, según la marca. http://www.sobrecoches.com
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 176 Repaso bimestral Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Según su región y número de lados, nombra el polígono mostrado. A B C D F E G 2. En la figura, traza todas las diagonales posibles del vértice "P". A R Q P 3. En la figura, calcula la suma de ángulos internos del polígono. A B C D E 4. En el trapecio rectángulo, calcula "qº". 57º qº 5. En el trapezoide, calcula "aº". 100º 2aº 2aº aº 6. En el romboide mostrado, calcula "qº". A B C D 45º 3qº 7. Calcula el perímetro del trapecio isósceles. aºaº A B C D 2 7 5 8. Calcula el perímetro del hexágono regular ABCDEF, de lado 12 u. A B C D E F 12 9. En la figura, calcula "x", si ABCD es un romboide de 40 cm de perímetro. x A B C D 4x 10. Calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCDE es un pentágono regular y ABP es un triángulo equilátero. A B C D E P 12
Central: 619-8100 177 Unidad IV 3 Conceptosbásicos Aprende más... Comunicación matemática 1. De acuerdo con el gráfico, completa la relación correcta. aº fº qº bº aº+bº+qº+fº= aº+ = qº aº A B C D • Si ABCD es un trapecio: 2. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. • En un paralelogramo, los ángulos internos opuestos son de igual medida .................( ) • El rombo es un paralelogramo equilátero .................................................................( ) • Un polígono, de acuerdo con su región, puede ser convexo y no convexo ..............( ) • En todo cuadrilátero, la suma de ángulos internos es 540º ........................................( ) 3. De los polígonos mostrados, ¿cuáles son convexos? a) b) c) d) 4. Nombra las siguientes figuras. 60º 60º 60º aº aºqº qº aº aºqº qº 5. Grafica de acuerdo con el enunciado. • Un cuadrilátero no convexo ABCD. • Un rectángulo ABCD, tal que: AB=3 cm y BC=5 cm. Resolución de problemas 6. En el pentágono no convexo mostrado, traza todas las diagonales posibles del vértice "B". A B C D E 7. En la figura, calcula "xº". 60º 60º xº
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 178 Repaso bimestral 8. En el trapecio isósceles ABCD (BC // AD), calcula "qº". 3qº 30º A B C D 9. Calcula el perímetro del romboide ABCD. 1–a A B C D 5+a 10. En el rombo ABCD mostrado, calcula "xº". A B C D 140º 2xº–10º 11. Calcula el número de lados de aquel polígono que cumple que sus ángulos internos sumen 1 080º. 12. Calcula el perímetro de la región ABCDEFG. 60º60º 8 5 12 18 A B C D E F G 13. Calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado, EFG es un triángulo equilátero y ADEG es un trapecio isósceles (AD=EG). 7 3 12A B C D E F G Aplicación cotidiana Las habitaciones En el gráfico se muestra el conjunto de habitaciones de Eduardo, conformado por una sala de estudio, un baño y un dormitorio. Si la sala de estudio y el baño son cuadrados y el dormitorio es un rectángulo, con las dimensiones dadas en el gráfico, analizar cada situación y luego calcula lo que se pide. 14. El perímetro de todo el conjunto de habitaciones. 15. Compara el perímetro de la sala de estudio con el del baño y el dormitorio, en conjunto. ¿Qué perímetro es mayor? 8 4 2 Sala de estudio Dormitorio Baño
Central: 619-8100 179 Unidad IV 3 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. En el trapecio isósceles mostrado, calcula su perímetro. 18 6 8 qº qº 2. En el trapecio mostrado, calcula "xº". qº qº aº aº xº 140º 50º 3. En el polígono mostrado, calcula "xº". A B C D E F G H xº xº xº xº xº 100º 100º 140º 4. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 14 cm 3 cm 16 cm 5. En la figura, calcula el perímetro del romboide ABCD. A B C DP 2,5 qº qº aº aº 1. Nombra el polígono, según el número de lados. 2. Traza las diagonales del polígono mostrado, desde el vértice "Q". Q 3. ¿Cuántos triángulos se forman, trazando las diagonales desde el vértice "R"? R 4. Calcula "qº", en el siguiente gráfico. qº 52º
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 180 Repaso bimestral 5. En el rombo ABCD, calcula "aº". A B C D aº 224º–aº 6. En el hexágono regular ABCDEF, calcula el perímetro. A B C D EF 15 7. Calcula la suma de ángulos internos de un decágono. 8. Si el perímetro de la figura es 40 cm, calcula "x". x 9x 9. Calcula la suma de ángulos internos de un pentadecágono. 10. Calcula "qº" en el trapecio mostrado. 134º qº 11. Calcula "xº". 3xº 2xº 2xº xº 12. Calcula "xº". 70º 10º 15º xº 13. Calcula "x" en el rombo. A B C D 3x–10 2x+5 14. Calcula "qº" en el trapecio ABCD. 24º 4qº A B C D 15. Calcula "qº". 2qº 4qº
AprendiZajes esperados UNIDAD 1 L a base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos. ¿Cuál es la etimología de Geometría? ¿Qué estudia la Geometría? ¿Qué es postulado? Conociendoalageometría UNIDAD 1 • Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos. • Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte. • Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables. • Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás. • Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables. Central: 619-8100
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 182 Ordenamiento lineal y circular 1 • ¿Puedes observar alguna región?. En estas regiones trabajadas de manera tan perfecta, nadie hasta el momento puede explicar su origen. ¿Perímetro es lo mismo que área? En este capítulo aprenderemos a: • Definir y diferenciar el concepto de región y área. • Reconocer la diferencia entre los conceptos de área y perímetro. • Conocer y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de un cuadrado y un rectángulo. • Desarrollar diversos problemas sobre el cálculo de áreas de un cuadrado y un rectángulo. http://www.taringa.net/posts/imagenes R eferente al fenómeno OVNI y su fenomenología, ufológos han postulado que el fenómeno OVNI habría sido probablemente ya conocida por distintas culturas indígenas y civilizaciones las cuales han relatado este tipo de sucesos de generación en generación por vía oral o incluso mediante dibujos y pinturas rupestres. En este traspaso de información de culturas a través de los siglos, postulan que sería posible reconocer la existencia de episodios relacionados a la presencia de OVNIS y seres asociados a la aparición de tales objetos y sus fenómenos asociados. Existen pinturas que exhiben ciertos objetos a nivel del cielo que pueden ser interpretados sugerentemente como OVNIS. En algunas pinturas rupestres incluso se descubren trazos que representan seres antropomorfos desconocidos, que pudieran ser confundidos con seres que en la actualidad se asocian a visitas de tripulantes OVNI (ovninautas) o seres extraños que se aparecen junto con la presencia de OVNIS. Algunos críticos argumentan, sin embargo, que las presuntas pruebas del fenómeno OVNI en la antigüedad, no deja de ser una explicación ad hoc, ya que las nubes y carros de fuego podrían ser metáforas empleadas en los relatos religiosos, y que estas representaciones pudieran ser producto de experiencias y trances chamánicos o representaciones de valor de cada tribu indígena. 1
Geometría Central: 619-8100 Geometría 183 Unidad VII Conceptos básicos Saberes previos • Polígono equilátero • Rectángulo • Paralelogramo • Cuadrado a A B C D E a aa b a aº aºbº bº a a D iagonal b a a Diagonal Región Es una parte de la superficie y está limitado por una línea cerrada llamada contorno o frontera. A la región se le denomina de acuerdo al contorno que presente, por ejemplo: Contorno triangular Región triangular Contorno cuadrangular Región cuadrangular Contorno pentagonal Región pentagonal Área Es la medida de una región y se expresa mediante un número positivo acompañado de unidades cuadráticas, por ejemplo: Área=28 cm2 Se interpreta: El área de la región cuadrangular es de 28 cm2 Área=36 km2 Se interpreta: El área de la región hexagonal es de 36 km2
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 184 Perímetro es lo mismo que área Cálculo del área de una región cuadrada 1 cm 1 cm S= (1 cm) (1 cm) S= 1 cm2 2 cm 2 cm S= 4 cm2 S= (2 cm) (2 cm) 3 cm 3 cm S= 9 cm2 S= (3 cm) (3 cm) • En general: l l S: Área de la región cuadrada S=l2 Cálculo del área de una región rectangular a b S: Área de la región rectangular S=a . b 2 m 2 m • Perímetro del cuadrado = 2+2+2+2=8 m • Área del cuadrado = (2)2 = 4 m2 2 m 5 m • Perímetro del rectángulo = 2+2+5+5=14 m • Área del rectángulo = (2)(5)= 10 m2 En el cuadrado: En el rectángulo: No es lo mismo área y perímetro Ten en cuenta
Central: 619-8100 185 Unidad VII 1 ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. En la figura, el perímetro del cuadrado ABCD es 20 cm, calcula el área de la región cuadrada. A B C D 2. Si el perímetro del rectángulo es de 18 cm, calcula el área de la región rectangular PQRS. 2 cm P Q R S 3. Calcula el área de la región sombreada. 10 m 10 m 3 m 3 m 4. Calcula el área de la región sombreada. 2 m 7 m 4 m 7 m 5. Si el perímetro del rectángulo ABCD es 72 cm, calcula el área de la región rectangular. 2 x 4 x A B C D 6. Si el área de la región rectangular mostrada es 27 m2, calcula el lado mayor. x 3 x 7. Calcula el área de la región sombreada. 13 m 8 m 3 m 15 m 8. Si el cuadrado mostrado tiene igual área que la del rectángulo, calcula "x". x x 9 m 4 m 9. Calcula el área de la región cuadrada mostrada (en cm2). 2x – 5 3x – 12 10. En un cuadrado, su perímetro es numéricamente igual al área, calcula el lado del cuadrado.
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 186 Perímetro es lo mismo que área Conceptos básicosAprende más... Comunicación matemática 1. Relaciona con líneas. Región cuadrangular Región triangular Región hexagonal •• •• •• 2. Indica el valor de verdad ("V" o "F") de las siguientes proposiciones: • Los conceptos de región y área son lo mismo.............................................................( ) • La región se nombra de acuerdo al contorno que presenta.........................................( ) • Los conceptos de área y perímetro son lo mismo........................................................( ) 3. Completa las relaciones mostradas de acuerdo al gráfico. l l Área= ( )2 Área= ( ) . ( ) a b 4. Sombrea de acuerdo al enunciado: • La región interna al rectángulo y externa al cuadrado. • La región externa al cuadrado e interna al pentágono. 5. Completa de acuerdo al gráfico. m m Perímetro=
Central: 619-8100 187 Unidad VII 1Resolución de problemas 6. En el cuadrado ABCD, su área mide 81 cm2, calcula "y". y y A B C D 7. En el rectángulo PQRS mostrado de área 663 m2, calcula su perímetro. 17 a P Q R S 8. Calcula el área de la región sombreada, si PQRS es un cuadrado. 12 m 20 m 8 m 6mP Q RS A B C D 9. Si los perímetros de las figuras ABCD y PQRS son iguales, calcula: y x . 4x x A B C D 3y 2y P Q R S 10. Calcula el área de la región sombreada. 24 m 6 m 8 m 8 m 20 m 11. En el triángulo equilátero ABC de 5 cm de lado, calcula el área de la región cuadrada ACSR más el área de la región rectangular sombreada BPQC. 1A B C P Q R S 12. En el rectángulo mostrado, un lado es el triple del otro. Si el área de la región rectangular PQRS es 48 m2, calcula el perímetro del rectángulo. P Q R S 13. Si las áreas de las figuras mostradas son iguales, calcula "x". x x 8 x–2
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 188 Perímetro es lo mismo que área Conceptos básicos¡Tú puedes! Aplicación cotidiana La puerta 210 cm 135 cm 40cm 1. En la figura, a2 – b2 = M. Calcula el área de la región rectangular mostrada . a – b a + b 2. Si ABCD es un cuadrado de perímetro 24 m, calcula el área de la región sombreada. A B C D 3. Calcula el área de la región rectangular ABCD en términos de "M" y "N". A B C D P M N 4. Calcula el área de la región cuadrada CDEF, si ABCD es un trapecio isósceles (BC // AD) de perímetro igual a 34 m. A B D F E C 13 m 5 m qº qº 5. Si las figuras mostradas son equivalentes, calcula: y x . 2x 2x 3y y Un carpintero desea hacer un agujero de forma cuadrada de 40 cm de lado. Si las dimensiones de la puerta son 210 cm de alto y 135 cm de ancho como se muestra en la figura: 14. Calcula el área de la puerta con el agujero ya realizado. 15. Calcula el perímetro de la puerta con el agujero ya realizado. R S
Central: 619-8100 189 Unidad VII 1Conceptosbásicos Practica en casa 18:10:45 1. Calcula el área de la región cuadrada mostrada. 8 8 2. Si el área de la región rectangular es 63 cm2, calcula "y". y 9 3. Calcula "x", si PQRS es un cuadrado de área 169 cm2. x xP Q R S 4. Calcula "x", si ABCD es un rectángulo de área 48 cm2. x 16 cmA B C D 5. Calcula el perímetro de un cuadrado, si el área de su región es 81 cm2. 6. Calcula el área de una región rectangular, si un lado es el doble del otro y su perímetro es 24 cm. 7. Calcula el área de la región rectangular PQRS, si la base es el triple de la altura y el perímetro es 56 m. 8. En la figura, calcula "p", si el área de la región rectangular ABCD es 180 cm2. 12 A B C D p + 5 9. Calcula el área de la región sombreada. 12 15 3 5 10. Calcula "l", si ABCD es un cuadrado de área 1 600 m2. l lA B C D 11. Calcula el área de una región rectangular, si su perímetro es 160 cm y la base mide seis veces más que la altura. 12. Calcula el área de la región de un rectángulo, donde el lado mayor es el cuádruplo del menor y su perímetro es 140 cm. 13. Si las áreas del cuadrado y el rectángulo son iguales, calcula "x". x x 28 7 14. Calcula el área de la región no sombreada. 6 6 6 6 36 30 15. Calcula el área de la región de un cuadrado, si su área y su perímetro son numéricamente iguales.
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 190 Ordenamiento lineal y circular 2 • Los Jardines en muchos casos presentan regiones de diferentes formas. Jardines de la catedral Santa Cécile - Albi – Francia Conociendo las regiones poligonales En este capítulo aprenderemos a: • Conocer y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de un triángulo rectángulo y un romboide. • Desarrollar diversos problemas sobre el cálculo de áreas de una región encerrada por un triángulo rectángulo y un romboide. L os Jardines tienen su origen entre los años 1630 y 1640, cuando el Conde-Duque de Olivares (Don Gaspar de Guzmán y Pimentel), valido de Felipe IV (1621–1665), le regaló al rey unos terrenos que le habían sido cedidos por el Duque de Fernán Núñez para el recreo de la Corte en torno al Monasterio de los Jerónimos de Madrid. Así, con la reforma del Cuarto Real que había junto al Monasterio, se inició la construcción del Palacio del Buen Retiro. Contaba entonces con unas 145 hectáreas. Aunque esta segunda residencia real iba a estar en lo que en aquellos tiempos eran las afueras de la villa de Madrid, no estaba excesivamente lejos del alcázar y resultó ser un lugar muy agradable por estar en una zona muy boscosa y fresca. http://www.all-free-photos.com 2
Geometría Central: 619-8100 Geometría 191 Unidad VII Conceptos básicos Saberes previos • Romboide • Triángulo rectángulo aº + qº = 180º aº aº qº qº a b Cateto Cateto Hipotenusa • Rectángulo b b a a I II Región I = Región II Cálculo del área de la región de un triángulo rectángulo b a A B C D Área del rectángulo ABCD = S (a).(b) = S b a A B C D S/2 S/2 Área del triángulo rectángulo ACD = S 2 Área del triángulo rectángulo ACD = .a b 2 Trazamos una diagonal del rectángulo (AC).
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 192 Conociendo las regiones poligonales Cálculo del área de una región romboidal b a A B C D Área del rectángulo ABCD = S (a).(b) = S • En general: Trazamos una paralela a la diagonal AC que pase por "B". Área = ( )( )x y 2 x y b a A B C D S/2 S/2 P b b a A B C D S/2 P S/2 Trasladamos la región ACD a la región PBA por ser regiones iguales. Área del romboide PBCA = S S 2 2 + Área del romboide PBCA = S Área del romboide PBCA = a . b
Central: 619-8100 193 Unidad VII 2 Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 • En general: h b Área =b . h Área =m . hh m 1. En cada caso, calcula el área de la región sombreada. 6 u 4 u A= 12 u5 u A= 2. Calcula el área de la región sombreada de cada romboide. A= 12 u 5 u A=7 u 10 u 3. Calcula el área de la región sombreada. 6 8 5 4. Calcula el área de la región sombreada. 6 u 6 u 10 u Observación
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 194 Conociendo las regiones poligonales Conceptos básicosAprende más... 5. Calcula el área de la región sombreada. 15m 8m 8m 14m 6. Calcula el área de la región sombreada. 5m12m 13m13m 13m 7. Calcula el área de la región sombreada. A B C D P 12 6 7 8. Calcula el área de la región sombreada. A B C D M 18 6 10 9. Calcula el área de la región sombreada. M 10u 6u 4u 2uP Q R SN 10. Calcula el área de la región sombreada. P 3m A B C D Q 14m 8m 6m Comunicación matemática 1. Sombrea la región pedida de acuerdo al enunciado. • La región interna al cuadrado PQRS y externa al triángulo ABS. P Q R S A B • La región externa al rectángulo BPQR e interna al romboide ABCD. A B C D P Q R
Central: 619-8100 195 Unidad VII 2 • En el romboide: m H Área =( )( ) • En el triángulo rectángulo: Área = ( ) ( ).( ) m n 3. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. • Para calcular el área de un triángulo rectángulo se necesita los dos catetos .................... ( ) • Para calcular el área de un romboide se necesita un lado y una diagonal ....................... ( ) • La región cuadrangular es aquella que está limitada por un triángulo rectángulo ............ ( ) 4. Completa los enunciados usando los términos del recuadro mostrado. • El área de un rectángulo se calcula como el ....................... de la ...................... por la ...................... • El área de un ................... rectángulo se calcula como el ............................ de los .................. semiproducto – altura – base – catetos – producto – triángulo 5. Menciona que figuras componen las regiones compuestas. La región heptagonal esta compuesta por: • • • a b c La región pentagonal esta compuesta por: • • a b 2. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico mostrado.
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 196 Conociendo las regiones poligonales Resolución de problemas 6. Calcula el área de la región sombreada. 17 4 158 7. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un romboide y ED=5 m. A B C D E 16 m 8. Si el área de la región del romboide ABCD es 260 cm2, calcula "h". A B C D h 26 cm 9. Si el área de la región del triángulo rectángulo es la mitad del área de la región del romboide, calcula "x". 6 8 x 6 10. Calcula el área de la región sombreada. 12 m 12 m 6 m 7 m P F 11. Calcula el área de la región sombreada. 26 m 8m 14 m 10 m qº qº A B C D 12. Calcula el área de la región sombreada. 12 cm 10 cm 5 cm 6 cm P RQ S N M 13. Calcula el área de la región sombreada, si: BC=6 cm y CD=8 cm. 2 cm A B C D E 18 cm Aplicación cotidiana La cochera En la figura se muestra el plano de una cochera 14. ¿Cuál es el área designada para la cochera? (en m2) 15. Si Eduardo desea comprar la cochera y el costo por metro cuadrado es de $20, ¿cuál será el monto que pagará Eduardo por la cochera? 10 4 4 8 8 8 A B C D P Q R S Habitación Cochera
Central: 619-8100 197 Unidad VII 2 Conceptosbásicos Practica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Si el área de la región del triángulo rectángulo es 48 cm2, calcula el cateto mayor. 2 k 3 k 2. Si el área de la región rectangular es 60 cm2, calcula el área de la región triangular APD. A B C D P 3. En el rectángulo ABCD: AB+AD=120 cm, calcula el área de la región rectangular. 3 k 5 k A B C D 4. Calcula el área de la región sombreada. 10m 2m 18 m 4 m qº qº 5. El área de la región de un triángulo rectángulo es 30 cm2. Si un cateto se duplica y el otro cateto se triplica, ¿cuál será su nueva área? 1. Calcula el área de la región sombreada. 4 cm 7 cm 2. Calcula el área de la región sombreada ABCD. 5 cm A B C D 9 cm 3. Calcula el área de la región sombreada, si ABDE es un cuadrado. 5 m 4 m3m A B C D E 4. Calcula el área de la región sombreada. 8 cm 8 cm 4 cm qº qº
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 198 Conociendo las regiones poligonales 5. Calcula el área de la región sombreada. 8 m 10 m 4 m 6. Calcula el área de la región sombreada. 5cm 5 cm 2cm 12cm 7. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un romboide. 7 cm 4 cm 2 cm 5 cm A B C E D 8. Calcula el área de la región sombreada. 4 cm 7 cm 5 cm 9. Calcula el área de la región sombreada. 8 cm 4 cm 6 cm 6 cm 5 cm8 cm 10. Calcula el área de la región sombreada. 25 m 4 m 10 m 8 m 11. Calcula el área de la región sombreada. 24 m 10m 12m 4m 12. Calcula el área de la región sombreada. 10m 6m 8m 13. Calcula el área de la región sombreada, si PQRS es un romboide. 12m 10m P Q R S H 14. Si las áreas de las regiones del romboide y del triángulo rectángulo son iguales, calcula "x". 6 m 4m 8 m x 15. Calcula la diferencia de las áreas entre las regiones del romboide y el triángulo rectángulo. 5 m 6m 10 m 4 m
Central: 619-8100 Geometría 199 www.trilce.edu.pe 199 3 Central: 619-8100 • ¿Qué tipo de regiones puedes observar en la habitación del Hotel Royal de Dubai? Calculando el área de regiones triangulares En este capítulo aprenderemos a: • Conocer y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de regiones triangulares cualquiera. • Conocer y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de regiones trapeciales cualquiera. • Desarrollar diversos problemas sobre el cálculo de áreas de un trapecio y un triángulo cualquiera. U n hotel es un edificio planificado y acondicionado para otorgar servicios de alojamiento a las personas temporalmente y que permite a los visitantes sus desplazamientos. Los hoteles proveen a los huéspedes de servicios adicionales como restaurantes, piscinas y guarderías. Algunos hoteles tienen servicios de conferencias y animan a grupos a organizar convenciones y reuniones en su establecimiento. El hotel de 4 estrellas Manor House Hotel en Castle Combe, Wiltshire, Inglaterra, fue construido en el siglo XIV, el hotel tiene 48 habitaciones y 1,5 km² de jardines. Los hoteles están normalmente, clasificados en categorías según el grado de confort, posicionamiento y el nivel de servicios que ofrecen. En cada país pueden encontrarse las categorías siguientes: • Estrellas (de 0 a 7 ) • Letras (de E a A) • Clases (de la cuarta a la primera) • Diamantes y "World Tourism". Estas clasificaciones son exclusivamente nacionales, el confort y el nivel de servicio pueden variar de un país a otro para una misma categoría y se basan en criterios objetivos: amplitud de las habitaciones, cuarto de baño, televisión, piscina, etc. A nivel empresarial, al hotel se le puede considerar una empresa tradicional, se utiliza a menudo el término "industria hotelera" para definir al colectivo, su gestión se basa en el control de costos de producción y en la correcta organización de los recursos (habitaciones) disponibles, así como en una adecuada gestión de las tarifas, muchas veces basadas en cambios de temporada (alta, media y baja) y en la negociación para el alojamiento de grupos de gente en oposición al alojamiento individual. http://tm.maniazones.com
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 200 Calculando el área de las regiones triángulares Conceptos básicos Saberes previos • Altura • Trapecio • Distancia mínima de un punto a una recta • En un paralelogramo A B C H "H": Altura relativa a AC Base menor Altura Base mayor "H": Altura relativa a PRH P Q RM Distancia mínima P L S S Cálculo del área de la región de un triángulo acutángulo A B C D h b Área del romboide ABCD = S b . h = S Trazamos la diagonal BD. A B C D h b S 2 S 2 Área del triángulo ABD= S 2 Área del triángulo ABD= .b h 2
Central: 619-8100 201 Unidad VII 3 Trazamos la diagonal BD. • En general: Cálculo del área de la región de un triángulo obtusángulo Área del romboide ABCD = S b . h = S A B C D h b A B C D h b S 2 S 2 Área del triángulo ACD= S 2 Área del triángulo ACD= .b h 2 A B C h b Área = .b h 2 • En general: Cálculo del área de la región de una región trapecial A B C h b Área = .b h 2 Área del trapecio ABCD=S b a A B C D h
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 202 Calculando el área de las regiones triángulares Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Trazamos la diagonal AC. • En general: Área =( )( )a b h 2 + b a A B C D h b a A B C D h h Área del trapecio ABCD=S Área del triángulo ABC + Área del triángulo ACD=S .a h 2 .b h 2+ =S ( )a b h 2 + =Área del trapecio ABCD 1. Calcula el área de la región triangular en cada caso. A B C 5 m 8 m A= A= Q P R 3 m 4 m 2. Calcula el área de la región del trapecio mostrado. 9 m 3 m 7 m 3. En la figura, calcula el área de la región del triángulo mostrado, si: BC = 8 m. A B C H 7 m 4. En la figura, si: a + b = 17 m, calcula el área de la región del trapecio. b a 12 m 5. En la figura, calcula la diferencia de áreas entre las regiones triangulares ABC y PQR. P Q R 3m 4m7cm 6cm A B C
Central: 619-8100 203 Unidad VII 3 Conceptos básicosAprende más... 6. En la figura, calcula "h", si el área de la región triangular ABC es 36 cm2. A B C h 9 cm 7. Calcula "h", si el área de la región del trapecio PQRS es 50 cm2. 14 m 6 m h P Q R S 8. Calcula el área de la región triangular sombreada, si ABCD es un cuadrado. 8 cm 8 cm A B C D P 9. Calcula "x", si el área de la región del trapecio ABCD es 22 cm2. 7 m x 4 m A B C D 10. Calcula el área de la región sombreada. 2 m 5 m qº qº aº aº Comunicación matemática 1. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. • En el romboide mostrado: b h Su área se calcula como "b . h" ........................................................................................... ( ) • En un triángulo rectángulo, su área se calcula como el semiproducto de catetos ................ ( ) • En un trapecio, su área se calcula como la semisuma de bases multiplicado por su altura ... ( )
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 204 Calculando el área de las regiones triángulares • La región externa al triángulo rectángulo APQ e interna al trapecio ABCD. • La región externa al trapecio rectángulo PQRS e interna al romboide ABCD. A B C D P Q A P B Q C R D S 3. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico mostrado. b a h Área =( )( )+ • En el trapecio. • En el triángulo rectángulo. Área = ( )( ) 2 n m 4. Completa los enunciados usando los términos del recuadro mostrado. • El área de un .................... se calcula como la ..................... de las ........................ multiplicado por la altura. • El ................ de un ......................es igual a su ......................... elevado al cuadrado. trapecio - semisuma - área - cuadrado - lado - bases 2. Sombrea la región pedida de acuerdo al enunciado. 5. Completa la ecuación de acuerdo a la condición dada. • El área del triángulo rectángulo es la tercera parte del área del trapecio. Ecuación: ............................................ b a h y x • El área del trapecio es igual al área del triángulo rectángulo Ecuación: ............................................
Central: 619-8100 205 Unidad VII 3Resolución de problemas 6. Calcula la diferencia de áreas de las regiones triangulares mostradas. 8 m 5 m 9 m 4 m 7. Calcula la suma de áreas de las regiones trapeciales mostradas. 9 m 3 m 6 m 7 m 2 m 8 m 8. Calcula el área de la región sombreada. 43 8 9 5 9. Calcula el área de la región sombreada. 8cm 5cm 20cm 20cm 10. Calcula "x", si el área de la región triangular ABC es 25 cm2. 10 cm x A B C 11. Calcula "x", si el área de la región triangular ABC es 28 cm2. A B C x 8cm 12. Calcula "x", si el área de la región del trapecio es la tercera parte del área de la región del triángulo. 7 m 4 m x 11 m 6 m 13. Calcula el área de la región sombreada. 6m 15m qº qº aº aº Aplicación cotidiana El frontis de la casa En el gráfico se muestra el frontis de la casa de un alumno. Si su padre lo envía a pintar dicho frontis, calcula: 14. El área del frontis mostrado. 15. Si un balde de pintura rinde 6,1 m2; ¿cuántos baldes de pintura se necesitarán para pintar dicho frontis? 4m 3m 2,5m 5m 5m2m
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 206 Calculando el área de las regiones triángulares Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. Si el área de la región triangular ABC es 20 m2, calcula "x". x+3 x A B C 2. Calcula el área de la región sombreada en términos de "m". m m A B C D P 3. Si el área de la región del trapecio PQRS es 80 m2, calcula "a". 3a a 8 P Q R S 4. Calcula el área de la región sombreada (PQRS es un trapecio). 10 8 4 P Q R S M N 5. Si el área de la región del trapecio ABCD es 60 m2, calcula el área de la región sombreada, si "P" es punto medio. A B C D P 1. Calcula el área de la región sombreada. 6 m 7 m 2. Calcula el área de la región sombreada. 9 m 5 m 3m 3. Calcula el área de la región sombreada. 12 cm 5 cm 4. Calcula el área de la región sombreada. 6 m 5 m
Central: 619-8100 207 Unidad VII 35. Calcula la diferencia de áreas de las regiones triangulares. 7 m 8 m 14 m 4 m 6. Calcula la diferencia de áreas entre las regiones de los trapecios. 8 m 4 m 7 m 6 m 3m 6 m 7. Calcula "x", si el área de la región triangular ABC es 20 m2. 8 m x A B C 8. Calcula "x", si el área de la región del trapecio ABCD es 42 cm2. 10 cm x 7 cm A B C D 9. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado. 12cm A B C D 10. Calcula el área de la región sombreada. 4 m 8 m8 m 3 m 12 m 11. Si el área de la región del trapecio y el área de la región del triángulo rectángulo son iguales, calcula "h". 8 m 16m 12 m 4 m h 12. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado. 14m A B C D 8m 13. Calcula el área de la región sombreada del triángulo. 18 m 8 m 14. Calcula el área de la región sombreada, si BPQC es un cuadrado y ABCD es un trapecio. 17 m 12 m 3m A B C D P Q 15. Si el área que encierra el rectángulo ABCD es 60 m2, calcula el área de la región sombreada. 4 m 10 m A B C D P
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 208 Ordenamiento lineal y circular 4 • Las piscinas son una forma de recreación encontradas por el hombre, que pueden tener diferentes formas. Calculando el área de diversas regiones L a palabra piscina proviene del latín y originalmente se utilizaba para designar pozos para peces de agua dulce o salada. También se utilizó para designar los depósitos de agua conectados a los acueductos. Los primeros cristianos utilizaron la palabra piscina para designar la pila bautismal. Existe una larga tradición de construcciones artificiales dedicadas al baño, entre las que destacan los numerosos yacimientos de termas romanas, como los encontrados en la ciudad inglesa de Bath. Hoy en día las piscinas han experimentado un significativo avance tecnológico, sobre todo en términos de depuración del agua. Se emplean derivados de cloro para mantenerlas limpias, y se controla su pH y en ocasiones incluso la temperatura del agua, asimismo, existen varias modalidades, como las fijas, las portátiles y las desmontables. Y de distintos materiales, como poliéster, de concreto, recubiertas de mosaico, etc. http://www.piscinaspremium.com En este capítulo aprenderemos a: • Repasar lo aprendido en los capítulos anteriores. • Recordar las fórmulas para aplicarlas luego. 4
Geometría Central: 619-8100 Geometría 209 Unidad VII ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Calcula el área de la región triangular ABC. 10cm 12cm A B C 2. Calcula el área de la región triangular PQR. 12 m 9 m P Q R 3. Calcula el área de la región cuadrada ABCD, si su perímetro es 24 cm. A B C D 4. Calcula la diferencia de las áreas entre las regiones del rectángulo y del romboide. 15m 10m 9 m 13 m 5. Calcula el área de la región sombreada. 8 m 4 m 4 m 13 m 6. Si ABCD es un rombo, calcula el área de su región. 5 m 4m A B C D 7. Si las regiones tienen áreas iguales, calcula "x". 20 m 6 m 30 cm x 8. Si ABCD es un cuadrado, calcula el área de la región sombreada. A B C D P 7 m 15 m 9. En la figura, calcula el área de la región sombreada. 20 m 5 m 14 m 4 m 10. Calcula el área de la región sombreada. 12 m 6 m 9 m 6 m
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 210 Calculando el área de diversas regiones Conceptos básicosAprende más... Comunicación matemática 1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico: n m Área= En el triángulo: Área= m n En el romboide: Área=( )( ) m x n En el trapecio: 2. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. • Una región se nombra de acuerdo a su contorno ........................................................( ) • El área es un valor que puede ser negativo .................................................................( ) • El área y el perímetro en un cuadrado son conceptos iguales ......................................( ) 3. Nombra las regiones mostradas, de acuerdo a su número de lados. 4. Sombrea la región pedida de acuerdo al enunciado • La región externa al rectángulo PQRS e interna al romboide ABCD. A B C D P Q R • La región interna al trapecio rectángulo ABCD y externa al triángulo rectángulo PQR. A B C D P Q R S 5. Grafica (haciendo uso de la regla) un trapecio isósceles ABCD (BC // AD), traza la diagonal BD y la mediana BE del triángulo ABD y sombrea el triángulo BED.
Central: 619-8100 211 Unidad VII 4Resolución de problemas 6. Calcula "b", si el área de la región triangular PQR es 84 m2. b 14m P Q R 7. Calcula el área de la región sombreada. 8u 6u 10u A B C D P Q 20u 8. Si PQRD y ABCD son cuadrados, calcula el área de la región sombreada. 8m 6m A B C DP Q R6m 9. Calcula el área de la región no sombreada. 6 8 5 7 A B C D 10. Calcula el área de la región triangular CMD. 6 8 14 A B M C D 11. Calcula el área de la región sombreada. 10cm 6cm 6cm 6cm 12. Si el área de la región rectangular ABCD es 72 m2, calcula "x". x 2xA B C D 13. En el trapecio rectángulo ABCD: AD=3(BC), calcula el área de su región. 4 6 A B C D Aplicación cotidiana La sombra Un foco al ser encendido refleja la sombra de una tabla rectangular de medidas 30 cm × 20 cm, como se muestra en la figura. 14. Calcula el área en (cm2) de la tabla rectangular que esta siendo proyectada. 15. Si la sombra reflejada en el suelo es un rectángulo cuya área es el triple del área de la tabla, calcula "x". Foco Suelo Tabla de 30 × 20 cm 25 cmSombra x
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 212 Calculando el área de diversas regiones Conceptosbásicos Practica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. En la figura, calcula el área de la región sombreada. 3m 5 m 9 m 2. En la figura, calcula el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD es 6 m. 3m 4mA D B C 3. Las diagonales de un rombo miden 18 y 8 u, calcula el área de la región limitada por el rombo. 4. Calcula el área de la región sombreada en términos de "a". 5a 2a 8a 5. En la figura, calcula el área de la región rectangular ABCD, si: CD= 6 cm y APDR es un cuadrado. A B C DR P 1. Calcula el área de la región sombreada. 5m 4m 2. Calcula el área de la región sombreada. 4 u 6 u 3. Calcula el área de la región sombreada. 12 m 5 m 4. Calcula "x", si el área de la región triangular PQR es 48 cm2. x 12 cm
Central: 619-8100 213 Unidad VII 45. En el trapecio rectángulo, calcula "x" si el área de la región del trapecio es 80 m2. 13 m 7 m x 6. Si el área de la región rectangular ABCD es 36 m2, calcula "x". x 4xA B C D 7. Calcula el área de la región sombreada. 5m 9m 4m 2m 4m 8. Calcula el área de la región sombreada. 8cm 14cm 10cm 16cm 9. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y BEDF es un romboide. 6cm 6cm 4cm A B C D E F 10. En la figura, calcula el área de la región sombreada, si: AB=CD=10 m. A B C D 11. Calcula el área de la región sombreada. 18m 20 m 12. Calcula el área de la región sombreada. 12m 25 m 16 m 16 mA B C D 13. Calcula el área de la región rectangular PQRS. 8m P Q R S A qº qº B aº aº 2m 14. Calcula el área de la región sombreada. 20m 6m 10m A B C D E 15. Calcula el área de la región sombreada. 4 m2 m 6 m 7 m 9 m 12 m A B C D
AprendiZajes esperados UNIDAD 1 L a base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos. ¿Cuál es la etimología de Geometría? ¿Qué estudia la Geometría? ¿Qué es postulado? Conociendoalageometría UNIDAD 1 • Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos. • Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte. • Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables. • Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás. • Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables.
Central: 619-8100 Geometría 215 www.trilce.edu.pe 1 • Las pirámides de Egipto son un claro ejemplo de poliedros. En una de estas pirámides, ¿cuál es la cantidad de caras que presenta? Reconociendo los elementos del poliedro En este capítulo aprenderemos a: • Definir correctamente a un poliedro. • Conocer y diferenciar los elementos de un poliedro. • Definir y diferenciar un hexaedro regular y un paralelepípedo. • Graficar correctamente un poliedro. L as pirámides muestran, para su época, el gran conocimiento de los técnicos egipcios y la capacidad organizativa necesaria para erigir tales monumentos con medios muy simples; pero nada parece indicar que hiciera falta una tecnología superior a la que disponían los egipcios representada por "ingenios" de madera, trineos e, hipotéticamente, usando la rueda, en forma de rodillos de madera y rampas. No se sabe con certeza cómo se construyeron las pirámides, pues no han perdurado documentos de su época que lo describan. Además, se utilizaron diversos materiales (piedra escuadrada, piedra sin tallar, adobe) y variadas técnicas en la construcción de sus núcleos (apilamiento de bloques, muros resistentes conformando espacios rellenos de cascotes, etc.). La hipótesis más aceptada es la siguiente: previamente se procedía a aplanar el terreno rocoso, y excavar canales para inundarlos de agua y así poder marcar líneas de nivel con las que preparar una superficie horizontal. Después se rellenaban los surcos. A continuación se excavaba la cámara subterránea y se comenzaba la edificación. La mayoría de los bloques de piedra eran cortados en canteras próximas al lugar de construcción. Se transportaban otros de las canteras del sur del país con ayuda de gigantescas barcazas. Los bloques se colocaban a continuación sobre trineos y se arrastraban hasta su emplazamiento definitivo. http://www.taringa.net
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 216 Reconociendo los elementos Conceptos básicos Saberes previos 60º 60º 60º Triángulo equilátero Cuadrado b a A = a .b l l A = l2 • Polígonos regulares • Área de un rectángulo • Área de un cuadrado Definición de poliedro Son los sólidos geométricos que están formados por polígonos planos que tienen lados comunes y encierran un determinado espacio cuya medida representa el volumen del poliedro. Al lado común a dos caras se le denomina arista y al punto de concurrencia de las aristas, vértice. Cara Vértice Arista Hexaedro regular o cubo Es el poliedro formado por seis cuadrados iguales. a a a Nº caras 6 Nº vértices 8 Nº aristas 12
Central: 619-8100 217 Unidad VIII 1 a a a a a a a a a a Paralelepípedo rectangular o rectoedro Es el poliedro formado por seis rectángulos. b c a Nº caras 6 Nº vértices 8 Nº aristas 12 Desarrollo del paralelepípedo rectangular b c a a a b b c c a a Desarrollo del hexaedro regular
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 218 Reconociendo los elementos Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Indicar el número de caras, vértices y aristas del sólido mostrado. 2. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene el sólido mostrado? 3. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene el sólido mostrado? 4. Indicar el número de caras, vértices y aristas del sólido mostrado. 5. Indicar el número de vértices más el número de caras del sólido mostrado. 6. Indicar la diferencia entre el número de caras y vértices del sólido mostrado. 7. Indicar el número de vértices, aristas y caras del sólido mostrado. 8. Indicar el número de caras, vértices y aristas del sólido mostrado. 9. Haciendo uso de la regla, grafica un hexaedro regular de 4 cm de arista. 10. Haciendo uso de la regla, grafica un paralelepípedo rectangular de aristas 2; 4 y 6 cm.
Central: 619-8100 219 Unidad VIII 1 Conceptosbásicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. • Los elementos del poliedro son: los vértices, aristas y las caras .......................................( ) • En un poliedro, el punto de concurrencia de las aristas se denomina vértice ..................( ) • El cubo es el poliedro cuyas caras son todos cuadrados diferentes ..................................( ) 2. Nombra los elementos del poliedro en cada caso. 3. Completa de acuerdo al gráfico. Nº caras Nº vértices Nº aristas 4. Grafica un paralelepípedo cuyas aristas midan 5; 6 y 4 cm (grafica haciendo uso de la regla). 5. Completa los enunciados, usando los términos del recuadro mostrado. • El ............................. es el poliedro formado por seis ....................... iguales. • Al lado común de dos ...................... se le denomina ....................... hexaedro regular - caras - arista - cuadrados Resolución de problemas 6. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene el poliedro mostrado? 7. Calcule la diferencia de caras y vértices en un paralelepípedo rectangular. 8. Indicar el número de caras, vértices y aristas del sólido.
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 220 Reconociendo los elementos 9. Indicar el número de caras, vértices y aristas del sólido. 10. Indicar el número de caras, vértices y aristas del sólido mostrado. 11. Indicar el número de caras, vértices y aristas del sólido mostrado. 12. Indicar el número de vértices, aristas y caras del sólido mostrado. 13. Indicar el número de caras, vértices y aristas del sólido mostrado. Aplicación cotidiana La casa de mi mascota En la figura se muestra el hogar de la mascota de Eduardo. Si él desea pintar la casa de su mascota: 14. ¿Cuántas caras del hogar de la mascota pintará Eduardo? 15. Si por cada cara, él emplea 1/8 de galón de pintura, ¿cuántos galones usará en pintar el hogar de su mascota?
Central: 619-8100 221 Unidad VIII 1 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Calcula el número de caras (C), aristas (A) y vértices (V) luego, halla "C+V–A". 2. Si la suma de las medidas de todas las aristas de un hexaedro regular es 48 cm, calcula la medida de una arista. 3. Si las aristas de un paralelepípedo rectangular son 4; 7 y 3 cm, calcula el área total de la superficie del sólido. 4. Si la diagonal de una cara de un hexaedro regular es 8 2 cm, calcula la suma de las medidas de todas sus aristas. 5. En un paralelepípedo rectangular, ¿cuántas diagonales en total presenta el sólido? 1. Suma el número de caras, vértices y aristas en el sólido. 2. Suma el número de caras, vértices y aristas en el sólido. 3. Suma el número de caras, vértices y aristas en el sólido. 4. Suma el número de caras, vértices y aristas en el sólido. 5. En el poliedro, suma el número de caras, vértices y aristas. 6. En el poliedro, suma el número de caras y aristas en el sólido.
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 222 Reconociendo los elementos 7. Suma el número de caras, vértices y aristas en el sólido. 8. En el rectoedro mostrado, calcula la suma del número de caras y aristas. 9. Grafica un hexaedro regular de 5 cm de arista. 10. Calcula la diferencia entre el número de caras y vértices de un hexaedro regular. 11. Calcula la diferencia entre el número de caras y vértices de un paralelepípedo rectangular. 12. Calcula el número de caras del sólido 13. Calcula el número de caras del poliedro. 14. Suma el número de caras, vértices y aristas del sólido. 15. Calcula el número de caras del poliedro.
Central: 619-8100 Geometría 223 www.trilce.edu.pe 2 Central: 619-8100 • Las "torres gemelas", ¿qué forma tenían?, ¿la de un hexaedro o la de un paralelepípedo rectangular? ¿Área es lo mismo que volumen? En este capítulo aprenderemos a: • Reconocer y diferenciar los conceptos de área y volumen en un poliedro. • Calcular el área y el volumen de un hexaedro regular y de un paralelepípedo rectangular. • Desarrollar diversos problemas sobre el cálculo de áreas y volúmenes. L a palabra edificio quiere decir hacer fuego (del indoeuropeo æde, fuego y del latín facere, hacer), lo que no debe extrañar cuando se sigue diciendo hogar a la vivienda. Se trata de una obra de fábrica, dedicado a albergar distintas actividades humanas: vivienda, templo, teatro, comercio, etc. Del origen del nombre parece desprenderse que los edificios primitivos sirvieron para albergar el fuego, evitando que lo apagasen la lluvia o el viento, pues no era sencillo encenderlo. La inventiva humana fue mejorando las técnicas de construcción y decorando las diversas partes, hasta hacer de la actividad de edificar una de las bellas artes: la Arquitectura. http://www.taringa.net
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 224 ¿Área es lo mismo que volumen? Saberes previos Conceptos básicos • Área de un cuadrado • Área de un rectángulo • En un poliedro l l Área = l2 b a Área = a . b Longitud de la arista En el hexaedro regular Área de la superficie total (At) 1cm 1cm 1cm ATotal = 6×(1cm)2 ATotal = 6 cm2 2cm 2cm 2cm ATotal = 6×(2cm)2 ATotal = 24 cm2 3cm 3cm 3cm ATotal = 6×(3cm)2 ATotal = 54 cm2 • En general: a a a At = 6(a)2
Central: 619-8100 225 Unidad VIII 2 Volumen (V) 1cm 1cm1cm V= (1 cm)3 V= 1 cm3 2cm 2cm 2cm V= (2 cm)3 V= 8 cm3 3cm 3cm 3cm V= (3 cm)3 V= 27 cm3 En el paralelepípedo rectangular • En general: Área de la superficie total (At) Volumen (V) No olvidar que las caras opuestas del rectoedro son rectángulos iguales a a a V = a3 V = a . b . c a a c b At = 2(a.b) + 2(a.c) + 2(b.c) At = 2(a.b+ b.c + a.c)
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 226 ¿Área es lo mismo que volumen? Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. En el cubo mostrado, calcula el área y el volumen del sólido. 4cm 4cm 4cm 2. En el cubo mostrado, calcula el área y el volumen del sólido. 5 u 5 u 5 u 3. En el paralelepípedo rectangular mostrado, calcula el área y el volumen del sólido. 5cm 4cm 10cm 4. En el rectoedro mostrado, calcula el área y el volumen del sólido. 12cm 6cm 4cm 5. Calcula el volumen del rectoedro mostrado. 2cm 5cm8 cm 6. Calcula la diferencia de volúmenes entre los cubos mostrados. 2cm 2cm 2cm6cm 6cm 6cm 7. Calcula la diferencia de volúmenes entre el cubo y el paralelepípedo. 3u 3u 3u 2u 9u 3u 8. En el cubo mostrado, la suma de las aristas es 36 cm. Calcula el volumen del sólido. 9. Si el área de la superficie del cubo mostrado es de 96 cm2, calcula el volumen del cubo. 10. Calcula el volumen del rectoedro mostrado. 15u 6u 5u
Central: 619-8100 227 Unidad VIII 2 Conceptosbásicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Marca verdadero "V" o falso "F" según corresponda. • Un cubo cuya arista mide 4 cm tiene un volumen de 60 cm3 ........................................( ) • Un paralelepípedo rectangular también es llamado ortoedro ..........................................( ) • Un paralelepípedo presenta doce aristas y seis vértices ..................................................( ) 2. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico. m m m AT = ............ • En el hexaedro mostrado, el área total de la superficie es: V = ................ m p n • En el rectoedro mostrado, el volumen es: 3. Grafica un hexaedro regular, cuya arista mida 5 cm. 4. Completa los enunciados, usando los términos del recuadro mostrado. • El ........................ también es llamado .............................. • Un ...................... rectangular también es llamado ................................ hexaedro - rectoedro - paralelepípedo - cubo 5. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico mostrado. m p n Atotal =2 ( ....... + ........ + .......) Resolución de problemas 6. Calcula el volumen del hexaedro mostrado. 9 cm 9 cm 9 cm 7. Calcula el volumen del rectoedro mostrado. 2 u 5 u 10 u
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 228 ¿Área es lo mismo que volumen? 8. En el cubo mostrado, calcula su área, si el volumen del cubo es 216 cm3. 9. Calcula el área del cubo mostrado, si la suma de aristas del sólido es 96 cm. 10. En el rectoedro, el área de la cara sombreada es 50 cm2. Calcula el volumen del sólido. 5 cm 12 cm 11. En el rectoedro mostrado, el área de la cara sombreada es 60 m2. Calcula el área de la superficie del sólido. 8 cm 5 cm 12. Si los volúmenes de los sólidos son iguales, calcula "x". x x x 1cm 3 cm 9 cm 13. Calcula "x", si el volumen del rectoedro mostrado es 720 cm3. 10cm x 8 cm Aplicación cotidiana El juego Un alumno del colegio Trilce tiene cubos para colocar de manera exacta dentro de una caja rectangular de 4; 16 y 12 cm. Los cubos a colocar son todos iguales a 2 cm de arista. 2cm 2cm 2cm 12cm 4cm 16cm Calcula: 14. El volumen del cubo y el volumen de la caja que va a participar en el juego. 15. Si el juego consiste en llenar al tope la caja de los cubos, ¿cuántos cubos podrá colocar el alumno dentro de la caja para cumplir con la condición del juego?
Central: 619-8100 229 Unidad VIII 2 Conceptosbásicos Practica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Calcula "qº" en el gráfico, si el sólido mostrado es un cubo. qº 2. Calcula la suma de las aristas de un hexaedro regular, si su volumen es numéricamente igual al triple de su área. 3. El volumen de un rectoedro es 24 cm3. Si el largo es el triple del ancho y el ancho es igual a la altura, calcula el área lateral del sólido. 4. Si el sólido mostrado es un cubo de arista 3 cm, calcula "AB". A B 5. Las áreas de las tres caras indicadas del rectoedro mostrado son: 12; 15 y 20u2. Calcula el volumen del sólido. 20u2 15u2 12u2 1. Calcula el volumen del cubo mostrado. 2cm 2. Calcula el área total de un cubo, cuya arista mida 8 cm. 3. Calcula el volumen de un rectoedro de 5; 2 y 3 cm de aristas. 4. Para el problema anterior, calcula el área total del sólido. 5. Calcula el volumen y el área total del rectoedro mostrado. 5cm 8cm 16cm 6. La suma de aristas de un cubo es 120 cm, calcula el volumen del sólido. 7. La suma de aristas de un cubo es 72 cm, calcula el área total del sólido. 8. En el gráfico, calcula el volumen del cubo. 8cm
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 230 ¿Área es lo mismo que volumen? 9. Calcula el área total del rectoedro de 8; 7 y 10u de aristas. 10. Calcula el volumen de un cubo cuya área es 216 m2. 11. Calcula la suma de aristas de un cubo, si su área es 384 m2. 12. Calcula "x", si el volumen del rectoedro es 144 cm3. 6cm 12cm x 13. Calcula "x", si el volumen del cubo es 64 cm3. x x x 14. Calcula la diferencia de volúmenes de los sólidos mostrados. 3m 3m 3m 5m 10m 3m 15. Calcula "x", si el volumen del rectoedro es 560 m3. 7m x 10m
Central: 619-8100 Geometría 231 www.trilce.edu.pe 231 3 Central: 619-8100 • Las Torres Petronas de Malasia son unas de las más altas del mundo y presentan una superficie total de 350 000 m2 compuestas de vidrio. Recordando lo estudiado L as Torres Petronas fueron diseñadas por el arquitecto argentino César Pelli y terminadas en el año1998. Con 88 pisos, de estructura mayoritariamente de hormigón y vidrio, evocan motivos tradicionales del arte islámico, haciendo honor a la herencia musulmana de Malasia. Pelli utilizó un diseño geométrico islámico en su planta al entrelazar dos cuadrados, de tamaño gradualmente decreciente en la parte superior, la cual está basada en un motivo muy tradicional en la cultura islámica: una estrella de 12 picos incluyendo un círculo en cada intersección. La construcción de las torres comenzó en el año 1994. La estructura básica se tomó de un proyecto no realizado para una torre en Chicago. En su construcción se involucró a trabajadores de distintas naciones que aportaron con su conocimiento y trabajo. En la construcción de ambas torres se diseñó una estrategia que permitió acelerar el trabajo. Se crearon dos equipos, uno conformado por trabajadores coreanos y el otro por japoneses, uno a cargo de cada torre, de modo que hubo una gran competencia por lograr el mejor y más rápido trabajo. Las torres se encuentran unidas por una pasarela de doble altura aérea entre los pisos 41 y 42, que forma un portal. El skybridge, como es llamado, es el punto más alto accesible para los visitantes. Las visitas son gratuítas, pero limitadas a 1 200 personas diarias. En su interior las torres se encuentran compuestas por oficinas, entre las que destacan las de la compañía petrolera Petronas y la sede en Malasia de la empresa Microsoft. Al pie de la torre se encuentra el Kuala Lumpur Convention Center (KLCC) y el popular centro comercial Suria kentuki. http://upload.wikimedia.org En este capítulo aprenderemos a: • Repasar lo aprendido anteriormente. • Recordar y aplicar los conceptos aprendidos.
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 232 Recordando lo estudiado Sintesis teórica A= .b h 2 b hh b l l A=l2 A=a.b a b A=b.h b h CÁLCULO DE ÁREAS b a h A = ( )( )a b h 2 + Área de regiones triangulares Área de paralelogramos • Aplicable a todo tipo de trapecios Área de trapecios
Central: 619-8100 233 Unidad VIII 3 ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Cara Arista Vértice Elementos del poliedro a a a At = 6a2 V = a3 Hexaedro o cubo b c a V = a.b.c At = 2(a.b + b.c + a.c) Paralelepípedo rectangular o rectoedro 1. Calcula el área de la región sombreada. 5m12m A B C D 13m 4m 2. Calcula el área de la región sombreada. 4u 12u 5u 10u 3. Si el área de la región del trapecio es 160 m2, calcula "x". 12 m 8 m x 4. Calcula el área total del paralelepípedo. 5u 4u 11u
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 234 Recordando lo estudiado Conceptosbásicos Aprende más... 5. Calcula el volumen del cubo mostrado. 11m 11m 11m 6. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado. 2 m 8 m 6 m 3 mA B C D 7. Calcula el volumen del rectoedro mostrado. 10 m 7 m 3 m 8. Calcula el número de caras, vértices y aristas del poliedro mostrado. 9. Calcula la diferencia de volúmenes en los sólidos mostrados. 3m 3m 3m 1m 10m 3m 10. En la figura, las áreas de las regiones sombreadas son iguales, calcula "x". 10m 8 m x 5 m Comunicación matemática 1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico. Volumen = ( )3 m m m • En el cubo Área = ( ) . ( ) h A B C D n • En el romboide ABCD
Central: 619-8100 235 Unidad VIII 3 • Traza la diagonal PQ del cubo. P Q A B P Q • Traza las diagonales AB y PQ. 2. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. • Un cubo de 6 cm de arista tiene un volumen de 216 cm3 ...........................................( ) • El área del rectángulo se calcula como el producto de la base por la altura .................( ) • El perímetro es lo mismo que el área ...........................................................................( ) 3. Sombrea de acuerdo al enunciado. • La región externa al romboide ABCD e interna al trapecio rectángulo. A B C D 4. Nombra los elementos del poliedro mostrado. 5. Grafica con regla de acuerdo al enunciado. Resolución de problemas 6. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un romboide. 4cm A B C D 6cm 4cm 7. Calcula el área de la región sombreada. 5u 4u 20u 12u 8. Si el área de la región del rectángulo ABCD es 80 m2, calcula "x". x 5 x 9. Calcula el volumen del cubo mostrado. 5 m 5 m 5 m
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 236 Recordando lo estudiado Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 10. Calcula el volumen del rectoedro. 9 cm 6 cm 3 cm 11. Si el volumen del cubo y del rectoedro son iguales, calcula "x". 9m 6m 4m x x x 12. Calcula el área de la región del trapecio. 12 m 5 m 6 m 13. Calcula la diferencia entre el número de caras y el número de vértices en el poliedro mostrado. Aplicación cotidiana El cubo mágico Un curioso alumno de Trilce desea saber de manera exacta algunas medidas de un cubo mágico. Si una cara está compuesta por nueve cuadrados iguales de 4 cm2 de área, calcula: 14. El área total del cubo mágico. 15. El volumen del cubo mágico. 1. Calcula el área sombreada en términos de "m" y "n". n m 2. Calcula la altura del rectoedro mostrado, si el volumen del rectoedro y el volumen del cubo son iguales. 16m x 18m 12m x 12m 12m
Central: 619-8100 237 Unidad VIII 3 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. Calcula el área total del cubo. 3m 3m 3m 2. Calcula el área de la región sombreada. 3 m 5 m 3. Calcula el área de la región sombreada. 5m 4m 5 m 4. Calcula "x", si el área de la región sombreada es 300 cm2. x 3x 5. Calcula el área total del rectoedro. 4cm 5cm 10cm 6. Calcula la diferencia de volúmenes. 8 m 3 m 5 m 4 m 4 m 4 m 7. Calcula el área de la región sombreada. 4 m 4 m 8. Calcula el área de la región del triángulo rectángulo. 14m 5m 3. Calcula "H", si: a+b=20 m y el área del trapecio es 240 m2. a b H 4. Las longitudes de las aristas de un rectoedro están en la relación de 1; 2 y 3. Si la suma de sus aristas es 24 cm, calcula el volumen del rectoedro. 5. Calcula el área total del sólido. 3 m 2 m 4 m 5 m
CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 238 Recordando lo estudiado 9. ¿Cuántas aristas tiene el tetraedro mostrado? 10. Calcula el área de la región sombreada. ABCD : trapecio. 10m 16 m 6 m A B C D 11. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un romboide. A B C D P 5 m 12 m 12. Calcula el volumen del paralelepípedo. 15m 7m 8m 13. Si el área de la región triangular es 105 m2, calcula "x". x 21m 14. Calcula el área del rectángulo ABCD, si: AC=10 cm. 8 cm A B C D 15. Calcula el volumen del cubo, si: AB=6 2 m. A B

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Geometría 2°

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    UNIDAD III Losrieles siempre paralelos Capítulo 1 Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante ................................... 59 Capítulo 2 Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas ........................................ 67 Capítulo 3 Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas................................................ 74 Capítulo 4 Recordando lo aprendido................................ 82 Capítulo 5 Triángulos .................................................. 88 UNIDAD II Todo sobre ángulos Capítulo 1 Identificando y midiendo ángulos................... 27 Capítulo 2 Operaciones con ángulos ................................ 34 Capítulo 3 Solo con enunciados ....................................... 43 Capítulo 4 Complemento y suplemento de un ángulo ..... 48 Capítulo 5 Repaso bimestral ............................................ 54 UNIDAD II Conociendo a la geometría Capítulo 1 Introducción .................................................. 5 Capítulo 2 Segmento de recta ......................................... 12 Capítulo 3 Punto medio y el segmento de recta .............. 18 Capítulo 4 Recordando lo aprendido ............................... 23 UNIDAD IV El triángulo de las bermudas, ¿verdad o fantasía? Capítulo 1 Líneas notables en el triángulo I .................... 97 Capítulo 2 Lineas notables en el triángulo II ................... 105 Capítulo 3 Repaso bimestral ............................................ 113 Índice
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    TRILCE Geometría UNIDAD V CUANDOEL NÚMERO DE LADOS AUMENTA Capítulo 1 Estudiando las figuras de más de tres lados .................................................. 120 Capítulo 2 ¿Cuál será la suma de ángulos internos.......... 129 Capítulo 3 Estudiando las figuras de cuatro lasdos.......... 136 Capítulo 4 Conociendo los paralelogramos ..................... 144 Capítulo 5 Operaciones en el cuadrilátero ....................... 152 UNIDAD VII Región y área, ¿lo mismo? Capítulo 1 Perímetro es lo mismo que área ..................... 182 Capítulo 2 Conociendo las regiones poligonales .............. 190 Capítulo 3 Calculando el área de regiones triángulares ... 199 Capítulo 4 Calculando el área de diversas regiones ......... 208 UNIDAD VIII eSTUDIANDO LOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Capítulo 1 Reconociendo los elementos .......................... 215 Capítulo 2 ¿Area es lo mismo que volumen? ................... 223 Capítulo 3 Recordando lo estudiado ................................ 231 UNIDAD VI calculando la suma de los lados Capítulo 1 ¿Qué es perímetro? ......................................... 159 Capítulo 2 Calculando el perímetro de diversas figuras... 167 Capítulo 3 Repaso general ............................................... 175
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    AprendiZajes esperados UNIDAD 1 L abase económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos. ¿Cuál es la etimología de Geometría? ¿Qué estudia la Geometría? ¿Qué es postulado? Conociendoalageometría UNIDAD 1 • Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos. • Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte. • Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables. • Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás. • Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe
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    A diario vemosobjetos de diversas formas, que si quisiéramos describirlos tendríamos que usar términos geométricos. • ¿Qué diferencia hay entre un cubo y un dado? • ¿Es igual círculo que circunferencia? Introducción En este capítulo aprenderemos: • A reconocer elementos y figuras geométricas en el plano. • A reconocer elementos y figuras geométricas espaciales. • A identificar y graficar rectas paralelas y secantes. • A identificar y graficar planos paralelos y secantes. • A contar puntos de corte entre rectas y figuras geométricas planas. 5 1 Central: 619-8100 Unidad I CAPITULO
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    6 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Introducción Conceptos básicos Figura geométrica Sonlas ideas obtenidas a partir de la forma de un objeto Objeto Figura geométrica esfera cubo cilindro Elementos geométricos Son las ideas geométricas en las cuales no se consideran longitudes o medidas y son los siguientes: El punto Es la idea geométrica más pequeña. La marca de un lápiz, un grano de azúcar, un residuo de tiza, etc., nos dan la idea de punto. Se nombra con una letra mayúscula. A Punto "A" M Punto "M" La recta Los puntos sucesivos en una misma dirección e ilimitadamente nos representa una recta. Recta l l Recta a a El plano Es la idea geométrica obtenida a partir de la mayoría de superficies. Todo plano puede obtener completamente figuras geométricas. Se le nombra con una letra mayúscula. Plano R R
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    7 Central: 619-8100 UnidadI 1 División de la Geometría Para el mejor estudio de la geometría elemental se divide en: Geometría plana Estudia a las figuras geométricas contenidas en un solo plano. PentágonoCircunferencia Centro Radio r Triángulo Vértices Cuadrilátero Lados Geometría del espacio Estudia a las figuras geométricas tridimensionales o cuyos elementos están contenidos en dos o más planos. Cono Prisma Tetraedro Rayo Es la parte de una recta que tiene un punto de origen y es ilimitado en un solo sentido. AO Rayo OA: OA B P Rayo PB: PB a es paralela a b (a // b) a b m y n son secantes "P" es el punto de intersección m n P Rectas secantes Dos rectas son secantes si tienen un punto en común. Rectas paralelas Dos rectas paralelas son aquellas que no tienen punto de corte. Ten en cuenta
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    8 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Introducción Número de puntosde corte • Entre dos rectas paralelas y una secante. "P" y "Q" son planos paralelos (P//Q) Planos paralelos Son aquellos que no tienen ni un punto en común. Planos secantes Son aquellas que tienen una recta en común. l "R" y "Q" son planos secantes l es la intersección entre "R" y "Q" Dos puntos de corte • Entre tres rectas secantes. Un punto de corte como mínimo Tres puntos de corte como máximo
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    9 Central: 619-8100 UnidadI 1 Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Graficar un rayo OA en posición horizontal. 2. Graficar un rayo PB en posición vertical. 3. Graficar los rayos MN y MQ en sentidos opuestos. ¿Qué se forma? 4. Graficar tres rectas paralelas y una secante. ¿Cuántos puntos de corte se obtienen? 5. Graficar tres rectas secantes y dar el máximo número de puntos de corte. 6. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y dos rectas secantes. 7. Calcular el máximo número de puntos de corte entre un triángulo y tres rectas secantes. 8. Calcular el máximo número de puntos de corte entre un cuadrilátero y tres rectas secantes. 9. Calcular el máximo número de puntos de corte entre un pentágono y dos rectas secantes. 10. Calcular el número de puntos de corte entre una circunferencia y seis rectas paralelas. • Entre una circunferencia y una recta secante. • Entre un triángulo y una recta secante. Dos puntos de corte. Dos puntos de corte • Entre una circunferencia y dos rectas secantes. Tres puntos de corte como mínimo. Cinco puntos de corte como máximo. Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • Según Euclides, los elementos geométricos son cuatro......................................................... ( ) • La Geometría se divide en plana y del espacio..................................................................... ( ) 2. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • Las rectas paralelas tienen un punto de intersección............................................................. ( ) • Las rectas secantes no tienen ningún punto en común.......................................................... ( ) Conceptos básicosAprende más...
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    10 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Introducción Resolución de problemas 6. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes. 7. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas paralelas y dos rectas secantes. 8. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas paralelas y dos rectas secantes. 9. Calcular el máximo número de puntos de corte entre una circunferencia y cuatro rectas secantes. 10. Calcular el máximo número de puntos de corte entre una circunferencia y cinco rectas secantes. Aplicación cotidiana • Supongamos que en el Perú se quiere construir la mayor cantidad de carreteras subterráneas rectilíneas para trenes eléctricos, que facilitarían el viaje entre los departamentos mostrados. Arequipa Piura Lima Ica Ayacucho 11. ¿Cuántas carreteras se forman entre Piura, Lima y Ayacucho? 12. ¿Cuántas carreteras se forman entre Lima, Arequipa e Ica? 13. ¿Cuántas carreteras se forman entre Lima, Ayacucho, Ica y Arequipa? 14. ¿Cuántas carreteras se forman entre Piura, Arequipa, Ica y Ayacucho? 15. ¿Cuántas carreteras se forman entre los cinco departamentos? 3. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado: • La intersección entre dos ............................ está representado por .......................... recta. • El rayo tiene un ......................... de origen y es ilimitado en un solo .................................. rectas - punto - planos - dos - una - sentido - número 4. Graficar un plano "H" y a una circunferencia contenida en "H". 5. Graficar un plano "M" y a dos rectas a y b secantes en "P".
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    11 Central: 619-8100 UnidadI 1 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y cuatro rectas secantes. 2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes. 3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre siete rectas secantes. 4. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes y dos rectas paralelas. 5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes y tres rectas paralelas. 1. Hallar el máximo número de puntos de corte entre tres rectas secantes y una circunferencia. 2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre ocho rectas paralelas y una circunferencia. 3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre un triángulo y tres rectas paralelas. 4. Hallar el máximo número de puntos de corte entre un triángulo y una circunferencia. 5. Hallar el máximo número de puntos de corte entre dos rectas secantes y un triángulo. 6. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos rectas secantes y un cuadrilátero. 7. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas secantes y dos rectas paralelas. 8. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico? 9. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico? 10. Hallar el máximo número de puntos de corte entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes. 11. Hallar el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y una circunferencia. 12. Hallar el máximo número de puntos de corte entre seis rectas paralelas y un triángulo. 13. Hallar el máximo número de puntos de corte entre tres rectas secantes y un triángulo. 14. Hallar el máximo número de puntos de corte entre un cuadrilátero y una circunferencia. 15. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico? Practica en casa 18:10:45 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45
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    12 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Saberes previos Segmentos derecta En este capítulo aprenderemos: • A identificar al segmento de recta y a su medida. • A relacionar segmentos consecutivos y no consecutivos. • A sumar y restar longitudes de segmentos consecutivos. Podemos mencionar otros tipos de líneas: línea curva y línea quebrada. En nuestro lenguaje común, el término "segmento" significa parte o porción de algo con lo cual lo podemos conjugar a términos anteriores. • ¿Qué líneas observas? • Unidades de longitud - Centímetros, metros, kilómetros. - Pulgadas, pies, yardas, millas. • Unidad de peso: ....................... Unidad de temperatura: ......................... • Ecuaciones de primer grado: 2x + 10 = 18 ⇒ x = 3x + x + 5 = 25 ⇒ x = CAPITULO 2 En el capítulo anterior, mencionamos a la "línea recta", pero no es el único tipo de línea, en la naturaleza encontramos diversidad de formas así como en nuestro mismo cuerpo.
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    13 Geometría Unidad ICentral: 619-8100 Observación Definiciónde segmento de recta Es la parte de una línea recta que tiene por extremos a dos puntos. Su medida esta representada por la distancia entre los extremos del segmento y se expresa en unidades de longitud (centímetros, metros, pulgadas, pies, etc.). R S8 cm • Segmento RS : RS o SR • Medida de RS : mRS = 8 cm RS = 8 cmL • Cuando no se conoce la medida de un segmento de recta, se usan variables como en el Álgebra. • También se usan unidades arbitrarias de longitud, es decir, si no son centímetros, pulgadas, etc. se emplea la letra "∝" de unidades. PQ = 12 cm 12 cm QP "x" µ NM Puntos colineales Son puntos que pertenecen a una línea recta. "A", "B" y "C" son puntos colineales por que pertenecen a L y se pueden contar tres segmentos de recta. A B C L Segmentos consecutivos Son segmentos que tienen un extremo común y son de dos tipos: A C B C A B D Segmentos no colineales A B C A B C D Segmentos colineales Conceptos básicos
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 14 Segmento de recta Suma y resta entre longitudes de segmentos consecutivos y colineales. EH = 8 + 14 = 22 cm 8 cm E F H 14 cm AD = 6 + 10 + 14 = 30 cm 6 cm 10 cm A B C D 14 cm PQ = 36 - 12 = 24 cm P Q R 12 cm 36 cm LE = 23 - (13 + 7) LE = 3 cm 13 cm A L E J 7 cm 23 cm MP = a + b AN = x - y A x N y Q M a b N P 1 + 2 + 3 = 6 segmentos A B C D 1 + 2 = 3 segmentos P Q R 1 + 2 + 3 + 4 = 10 segmentos M EN F Q L L L Número máximo de segmentos de recta Suma y resta con variables Ten en cuenta
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    Central: 619-8100 15 2 Unidad I ConceptosbásicosAplicalo comprendido 10 x 5 50 1. Si: AC = 42 cm y BC = 31 cm, calcular "AB". A B C 2. Si: EH = 56u y FH = 14u, calcular "EF". E F H 3. Si: MN = 13u; NE = 8u y EF = 18u, calcular "MF". M EN F 4. Si: PR = 24 cm; QS = 36 cm y QR = 100 cm, calcular "PS". P RQ S 5. Si: AC = 58 cm; BD = 76 cm y BC = 32 cm, calcular "AD". A CB D 6. Si: EH = 41u; FN = 38u y EN= 52u, calcular "FH". E F NH 7. Si: PT = 22u; QU = 45u y PU = 59u, calcular "QT". P Q UT 8. Si: EL = 120 cm; EJ = 30 cm y KL = 70 cm, calcular "JK". E J LK 9. Si: AB = 17,2u; CD = 41,8u y AD = 80u, calcular "BC". A B DC 10. Si: PT = 56 cm, calcular "x". P Q 2x 5x T Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • El segmento de recta está formado por dos puntos.................................................................. ( ) • El segmento de recta tiene una cantidad indeterminada de puntos.......................................... ( ) 2. Completar las siguientes proposiciones con los términos del recuadro: • La menor ................................ entre dos puntos está representado por el ................................ de recta que los une. • Dos o más segmentos de ................................ se llaman colineales, si ................................ a una misma recta. plano - recta - perpendicular - distancia - pertenecen - segmento - secantes. Conceptos básicosAprende más...
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 16 Segmento de recta Resoluciónde problemas 6. En el gráfico: AC = 17 cm; BD = 22 cm y BC= 6 cm. Calcular "AD". A CB D 7. Si: PR = 19u; QS = 26u y QR = 4u, calcular "PS". P RQ S 8. Si: AF = 11u; EN = 19u y AN = 25u, calcular "EF". A FE N 9. Si: PQ = 2x; QE = 8u; EF = 5x y PF = 43u, calcular "x". P EQ F 10. Si: AB = x + a ; BC = 6x - a y AC = 63u, calcular "x". A B C 11. Si: AB = x; BC = 2x; CD = 5x y AD = 40u, calcular "x". A B C D 12. Si: PQ = 3k; RT = 7k; QR = 38u y PT = 118u, calcular "k". P Q R T Aplicación cotidiana • Un grupo de alumnos van de excursión partiendo de un punto "A", en una carretera recta, siendo su destino el punto "B". Pero tienen que hacer escala en los puntos "E" y "F". La distancia entre "A" y "F" es de 34 km, la distancia entre "E" y "B" es de 42 km y la distancia entre el punto de partida y el punto de destino es 63 km. A FE B 13. Calcular la distancia entre "A" y "E". 14. Calcular la distancia entre "E" y "F". 15. Calcular la distancia entre "F" y "B". 3. Completar los siguientes recuadros, de acuerdo a la teoría hecha en clase: E P Q EQ = .......... + ......... P M N PM = ......... – ......... 4. Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC, tal que: AB = 2 cm y BC = 3 cm. Luego mide la longitud del segmento AC. (Usar regla calibrada en centímetros) 5. Usando una regla calibrada en centímetros, graficar los segmentos consecutivos no colineales: PQ = 3 cm y QR = 5 cm. Luego mide la longitud de PR.
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    Central: 619-8100 17 2 Unidad I ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 1. Si: AC = 46u y BC - AB = 14u, calcular "AB" A B C 2. Si: PQ = 2(QR) y PR = 36u, calcular "QR". P Q R 3. Si: AC + BD = 53u y AD = 30u, calcular "BC". A CB D 4. Si: PQ + PR = 65 cm y QR = 3(PQ), calcular "PQ". P Q R 5. Si: BC = 3(AB) y CD = 5(AB), calcular "AB". A B C D 135 cm 1. En una recta, marcar a los puntos consecutivos "A", "B" y "C". ¿Cuántos segmentos como máximo se determinan? 2. Si: AB = 72u, calcular "x". A E x 8x B 3. Si: AC = 120 cm, calcular "x". A B 3x 7x C 4. Si: MQ = 124u y NQ = 80u, calcular "MN" QNM 5. Si: EF=20u; MH=30u y MF=16u, calcular "EH". HM FE 6. Si: PR=16u; QT=23u y QR=9u, calcular "PT". TQ RP 7. Si: EN = 24u; MH = 43u y EH = 57u, calcular "MN". HM NE 8. Si: AE = 96 cm, calcular "x". A B C D 2x x 4x 5x E 9. Si: AP = 60u, calcular "AB". A B 2x 8x P 10. Si: EF = 16u; TQ = 22u y EQ = 53u, calcular "FT". QF TE 11. Si: PR = 21u, calcular "RT". P Q R 4a 3a 10a T 12. En el problema anterior, calcular "PT" 13. Si: AL = 4x; LE = 6x y AJ = 24x, calcular "x". A L E 28 cm J 14. Si: MT = 98u, calcular "x". M N Q 5x 26u 7x T 15. ¿Cuántos segmentos se cuentan como máximo en la siguiente figura? A CB ED Conceptosbásicos ¡Tú puedes!
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    18 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Punto medio delsegmento de recta En este capítulo aprenderemos: • A ubicar los puntos medios de los segmentos, conociendo sus medidas. • A usar variables para representar segmentos congruentes. • A usar el compás para ubicar el punto medio del segmento de recta. CAPITULO 3 En nuestro país, las unidades de longitud más usadas son: • 1 metro = 100 centímetros • 1 kilómetro = 1000 metros En las carreteras, para señalar las distancias entre las ciudades se usan los kilómetros. Por ejemplo, en Norte América se usan: pulgadas; pies; yardas y millas. 1 yarda = 3 pies1 pie = 12 pulgadas 1 milla = 1760 yardas Partiendo de que 1 pulgada es aproximadamente 2,54 centímetros, se calcula que 1 milla es aproximadamente 1,6 kilómetros
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    19 Geometría Unidad ICentral: 619-8100 Saberesprevios Conceptos básicos • r B O A O: r: mAO = mOB Circunferencia • Trazar con el compás una circunferencia de 2,5 cm de radio. • AC = ......... + ......... CD = ......... – ......... AD =......... + .........CBA D ya b Definición del punto medio de un segmento de recta Es el punto que pertenece al segmento y tiene igual distancia a los extremos; es decir, que divide al segmento en dos segmentos congruentes (congruentes: medidas iguales) Q M aa R A P 19 cm 38 cm 19 cm B • "P" es punto medio de AB • AP es congruente con PB (AP ≅ PB) • mAP = mPB • Si no se conoce la medida se usan variables iguales: QM = MR = a • "M" es punto medio de QR Ubicación del punto medio del segmento usando el compás Dado el segmento RG y tomando como centro a cada extremo se trazan circunferencias con el mismo radio. Luego se unen los puntos de intersección de las curvas ("E" y "F") y el punto de corte entre RG y EF es el buscado punto medio "M" de RG. F G MR E
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 20 Punto medio yel segmento de recta Conceptos básicosAprende más... Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Grafica un segmento de recta AB de 4,2 cm y ubica a su punto medio, usando el compás. (Usar regla calibrada en centímetros) 2. Grafica un segmento de recta PQ de 5,7 cm y ubica a su punto medio, usando el compás. (Usar regla calibrada en centímetros) 3. Si: AB = 15 cm; BC = 42 cm y "M" es punto medio de BC, calcular "AM". CB MA 4. Si: PQ = 48u; QR = 14u y "N" es punto medio de PR, calcular "NQ". RN QP 5. Si: EF = 23u; NG = 25u y "F" es punto medio de EN, calcular "EG". GF NE 6. Si: AB = 21u y BC = 65u, hallar "MN", si "M" y "N" son puntos medios de AB y BC. A M B N C 7. Si: AM = 79u; MF = 31u y "E" y "N" son puntos medios de AM y MF respectivamente, calcular "EN". FNMEA 8. Si: RB = 70u; "A" es punto medio de RM y "C" es punto medio de MB, calcular "AC". R A a ba b M C B 9. Si: PR = 55u, calcular "MN"; siendo "M" y "N" puntos medios de PQ y QR. RN yx yx QMP 10. Si: EF = 118 cm, calcular "AB", siendo "A" y "B" puntos medios de EK y KF respectivamente. FA K BE Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • Cada segmento de recta tiene solo un punto medio.................................................................( ) • El punto medio de un segmento de recta equidista de los extremos de dicho segmento..........( ) 2. Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro. • Dos ..........................de recta que tienen igual longitud se denominan segmentos .......................... • El .......................... medio de un segmento de recta .......................... a éste en otros dos segmentos congruentes. iguales - semejantes - congruentes - punto - recta - segmentos - divide - determina 3. Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC que miden 3,2 cm y 2,5 cm (usar regla calibrada en centímetros). Luego ubicar a los puntos medios de AB y BC con el uso del compás.
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    Central: 619-8100 21 3 Unidad I Resoluciónde problemas 6. Si: AB = 31u; BC = 75u y "M" es punto medio de AC, calcular "BM". CB MA 7. Si: EQ = 86u; FQ = 32u y "N" es punto medio de EF, calcular "NQ". QN FE 8. Si: MQ = 33u; MN = 97u y "P" es punto medio de QN, calcular "MP". NQ PM 9. Si: AC = 40u; BD = 80u y BC = 10u, calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB y CD respectivamente. DB CM NA 10. Si: PR = 43u; QS = 47u; QR = 13u y "A" y "B" son puntos medios de PQ y RS, calcular "AB". SQ RA BP 11. Si: AB = 26u; BC = 58u; "M" y "N" son puntos medios de AB y BC y además "P" es punto medio de MN, calcular "BP". CB PM NA 12. Si: PQ = 72u; QR = 28u y "E", "F" y "M" son puntos medios de PQ, QR y EF respectivamente, calcular "MQ". RM QE FP 4. Grafica a los segmentos consecutivos y colineales PQ y QR, tal que: PQ = 2,8 cm y RP = 3,6 cm (usar regla calibrada en centímetros). ¿Cuánto mide QR y qué observa? 5. Grafica al segmento EF que mide 6 cm y a los segmentos consecutivos no colineales EA y AF de cualquier medida. Luego ubica a los puntos medios de EA y AF con el uso del compás. ¿Cuánto mide el segmento de recta que une dichos puntos medios? (Usar regla calibrada en centímetros) Aplicación cotidiana • Un edificio está compuesto por siete pisos, tal que el primer piso tiene una altura de 3 metros y el resto de los pisos 2 metros de altura. 13. ¿Qué altura tiene el edificio? 14. ¿Qué altura sube una persona que vive en el cuarto piso? 15. ¿Qué altura sube una persona que vive en el sexto piso?
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.peCEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 22 Punto medio yel segmento de recta Conceptos básicos¡Tú puedes! Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. Sobreunarectasetienenlospuntosconsecutivos "A", "B", "C" y "D". Si: AB = CD y AD + BC = 16, calcular "BD". 2. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B" y "C". Si: AB + AC = 28, calcular "AM", siendo "M" punto medio de BC. 3. Sobreunarectasetomanlospuntosconsecutivos "A", "B", "C" y "D". Calcular "AD", si: AC = 12µ y AD + CD = 28µ. 4. Sobreunarectaseubicanlospuntosconsecutivos "A", "B", "C" y "D". Si: AC + BD = 64µ, calcular "PQ", siendo "P" y "Q" puntos medios de AB y CD respectivamente. 5. En una recta se ubican los puntos consecutivos "P", "Q", "R" y "S". Si "M" es punto medio de PS, PQ + RS = 17 m y QM - MR = 3 m, calcular "RS". 1. Si: AC = 40 cm; BD = 60 cm y AD = 90 cm, hallar "BC". DB CA 2. Si: AB = 11 cm; BD = 28 cm y "C" es punto medio de BD, hallar "AC". DB CA 3. Si: PM = 58; TM = 34 y "Q" es punto medio de PT, hallar "QM". MQ TP 4. Si: AC = 24; CB = 50 y "M" es punto medio de AB, hallar "CM". BC MA 5. Si: AB = 18; BC = 32, "M" y "N" son puntos medios de AB y AC , hallar "MN". CBM NA 6. ¿Cuántos segmentos hay? QFE TP 7. Si: AB = 42; BC = 19; CD = 64 y "M" y "N" son puntos medios de AB y CD, hallar "MN". DBM C NA 8. Si: AE = 26; EF = 32; FH = 48 y "M" es punto medio de EF, hallar "MH - AM". HE M FA 9. Si: PE = MT = 38; EF = 11 y PT = 127, hallar "FM". TE F MP 10. Si: AB = 7u y BC = 19u, hallar "PQ", siendo "P" y "Q" puntos medios de AB y BC. CP B QA 11. Si: AR = 27 cm; TQ = 32 cm y TR = 18 cm, hallar "AQ". QT RA 12. Si: EN = 48; EM = 26 y "N" es punto medio de MF, hallar "EF". FM NE 13. Si "E" es punto medio de AF y AG = 60u, calcular "x". A E F G 3xx 14. Si "R" es punto medio de PT y PT = 70u, calcular "PQ". P Q R T 2x 3x 15. Si "C" es punto medio de AD y AD = 160 cm, calcular "x". A B C D 5x 3x
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    Central: 619-8100 23 4 Unidad ICentral:619-8100 Comunicación matemática • Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") 1. Por un punto pasan infinitas rectas.............................................................................. ( ) 2. Por dos puntos solamente pasa una recta..................................................................... ( ) 3. Dos rayos con el mismo origen y en sentidos opuestos forman una recta.................... ( ) 4. Si un punto tiene igual distancia a los extremos de un segmento de recta, entonces es. necesariamente el punto medio................................................................................... ( ) 5. Los puntos que pertenecen a una misma recta se llaman colineales............................. ( ) • Completar las siguientes proposiciones correctamente, usando los términos del recuadro mostrado: 6. Los elementos ................................... son tres y no tienen ................................... 7. El punto ................................ de un segmento de ........................... pertenece a dicho segmento y ........................ igual distancia a los ................................. del segmento. 8. Dos segmentos de recta son ................................... y colineales si ................................... a una misma recta y tienen un ................................... en común. extremos - medio - plano - congruentes consecutivos - geométricos - calculan punto - pertenecen - tiene - recta - medida • Completar correctamente los recuadros adjuntos a cada gráfico: 9. BC < ............... CA B 3 cm 1 cm 10. AC = ............... CB 3 cm 1 cm A Conceptos básicosAprende más... Recordando lo aprendido
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 24 Recordando lo aprendido Conceptosbásicos¡Tú puedes! Resolución de problemas 11. Calcular el máximo número de puntos de corte entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes. 12. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos rectas paralelas y tres rectas secantes. 13. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos circunferencias y tres rectas paralelas. 14. Si: AB = 28u; BC = 12u y "P" y "Q" son puntos medios de AC y BC respectivamente, calcular "PQ". CP B QA 15. Si "M" y "N" son puntos medios de EN y EQ respectivamente, calcular "MN", si además: EQ = 60u QM NE 16. Si: PE = 78u; PR = 32u; QE = 60u y "M" es punto medio de QR, calcular "MR". ERQ MP 17. Si: AB = DE = x ; BC=3x; CD = 5x y AE = 130u, calcular "AC". EDB CA 18. Si: AB + AC = 96u y BC = 54u, calcular "AB" CBA 19. Si: PQ - QR = 31u y PR = 59u, calcular "QR". RQP 20. Si: EQ = 80u; PF = 140u y EF = 170u, calcular "MN", si además "M" y "N" son puntos medios de EP y QF. FQ NM PE 1. En una recta se marcan los puntos consecutivos "A", "B", "C", "D", "E", "F", "G" y "H". Calcular el máximo número de segmentos determinados. 2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B" y "C", tal que: AC + BC = 68u y "M" es punto medio de AB. Calcular "MC". 3. Se tienen los puntos colineales "P", "Q" y "R" (PQ > QR) tal que: PQ - QR = 18u. Calcular "MQ", siendo "M" punto medio de PR. 4. Se tienen 10 rectas secantes. Calcular el máximo número de puntos de corte. 5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre 12 rectas paralelas y 10 rectas secantes.
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    Central: 619-8100 25 4 Unidad I ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 1. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos triángulos. 2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas secantes. 3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes. 4. ¿Cuántos puntos de corte hay entre el triángulo ABC y la circunferencia? B CA 5. ¿Cuántos puntos de corte hay entre las circunferencias y las rectas paralelas? 6. Si: AD = 58 cm, calcular "x". A B C x 18 cm 3x D 7. Si: AB = 11u; BC = 39u y "M" y "N" son puntos medios de AB y BC respectivamente, calcular "MN" A M B N C 8. Si: PF = 59u y EF = 21u, calcular "MF", siendo "M" el punto medio de PE. P M E F 9. Si: AD = 48u y BC = 15u, calcular: a + b A B C D a b 10. Si: AB = 12u; BC = 10u; CD = 18u y "M" es punto medio de BD, calcular "AM". A B C DM 11. Si: AM = 38u; MP = 54u; PQ = 22u y "N" es punto medio de AQ, calcular "NP". A M N QP 12. Si: AD = 72u, calcular "y" A B C y 16u 7y D 13. Si: AC + AB = 72u y BC = 50u, calcular "AB" A CB 14. Si: QR - PQ = 16u y PR = 60u, calcular "PQ" P RQ 15. Si: AB=24u; BC=30u y "M" y "N" son puntos medios de AB y BC respectivamente, calcular "MN" A B CM N
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    AprendiZajes esperados UNIDAD 1 E xistentres sistemas de medición angular y el sistema que usaremos es el sexagesimal. Para la elaboración de estos sistemas se tomó como referencia a la circunferencia. ¿Cómo se mide un ángulo? Todo sobre ángulos UNIDAD 2 • Uso del transportador y compás para la medida angular y trazo de la bisectriz. • Resolver ejercicios sin usar el transportador. • Relacionar ángulos de acuerdo a su medida, tomando como referencia al ángulo recto y al ángulo llano. • Resolución de problemas gráficos con variables y ecuaciones sobre ángulos consecutivos. • Interpretar enunciados para la elaboración de gráficos sobre segmentos y ángulos. • Elaborar propiedades a partir de ejercicios numéricos. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe
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    Identificando y midiendo ángulos Antigüamente;al tomar como base la división del año en 360 días se dividió al círculo en 360 partes, dando como origen al sistema sexagesimal para la medición angular, que posteriormente sirvió para la elaboración del reloj. Las antiguas civilizaciones de Mesopotamia observaron que el Sol parecía desplazarse hacia el Oeste en el firmamento de una manera regular, con el paso de los días. Este era un descubrimiento sofisticado: primero crearon un mapa de las estrellas, luego observaron que cada día el Sol salía y se ponía en un intervalo breve; pero discernible, contra el fondo de las estrellas para completar un circuito completo de todo el campo de estrellas. Los egipcios sabían que el Sol tardaba aproximadamente 360 días, por eso fue que se dividió el círculo en 360º donde "cada grado representaba la distancia recorrida por el Sol contra el fondo de estrellas en un día". Sin embargo, los egipcios sabían que el año verdadero tenía 365 días y no 360, el asunto se complicaba más por el uso de un calendario de 12 meses de 30 días sin añadirles nada. Hasta los avances de la Aritmética, el año oficial egipcio duraba 360 días y simplemente se declaraban que los restantes cinco no existían, al menos oficialmente. Este periodo era dedicado a festejos y banquetes con animales especialmente sacrificados para este periodo. ¿Por qué una vuelta mide 360º? 1º: un grado sexagesimal 360º 1º 12 6 11 5 10 1º 4 9 3 8 2 7 1 En este capítulo aprenderemos: • A diferenciar entre ángulo, medida angular y región angular. • A clasificar a los ángulos de acuerdo a su medida. • A usar el transportador para graficar y/o medir ángulos. • A trazar la bisectriz de un ángulo con el uso del compás y con el uso del transportador. CAPITULO 27 1 Central: 619-8100 Unidad II
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    28 Identificando y midiendoángulos CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Clasificación de ángulos Ángulo agudo Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 0º y menor de 90º. θº 0º<θº<90º Ángulo recto Es el ángulo que mide 90º y a los lados que lo forman se llaman perpendiculares A O B m AOB = 90º OA OB Los rayos OA y OB son perpendiculares Observación Saberes previos Conceptos básicos • O A OA es un ............................. • Algunas letras griegas: α = Alpha β = Beta θ = Tetha • Dos rayos opuestos con el mismo origen forman una ........................................ A O B Definición de ángulo El ángulo es la reunión de dos rayos a través de su origen. La medida del ángulo está dado por la abertura entre sus lados. αº A B O Región angular Vértice : O Lados : OA y OB Medida : αº Elementos Ángulo AOB : AOB; BOA; AOB; BOA. Medida del AOB: m AOB = αº Notación
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    29 1 Unidad IICentral: 619-8100 Clasificaciónde ángulos Ángulo agudo Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 0º y menor de 90º. θº 0º<θº<90º Ángulo recto Es el ángulo que mide 90º y a los lados que lo forman se llaman perpendiculares A O B m AOB = 90º OA OB Observación Los rayos OA y OB son perpendiculares Ángulo obtuso Se denomina así a los ángulos que sus medidas varían entre 90º y 180º. αº 90º<αº<180º Ángulo llano Es el ángulo que mide 180º, es decir, que sus lados están en sentidos opuestos. m AOB = 180º A BO 180ºRecta Ángulo no convexo Es aquel cuya medida varía entre 180º y 360º. 180º<βº<360º βº O M N
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 30 Identificando y midiendoángulos ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Uso del transportador Se ubica el transportador coincidiendo el vértice del ángulo con el centro del transportador y a uno de los lados con uno de los ceros y el otro lado señala el valor del ángulo. 110º O M F E • Con cualquier abertura se traza el compás obteniéndose los puntos "E" y "F" . • Luego, tomando como centros a estos puntos "E" y "F", se trazan circunferencias con el mismo radio; obteniéndose el punto "M". • Finalmente, el rayo OM es la bisectriz del ángulo. 1. Mide los siguientes ángulos mostrados y clasifícalos.
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    Central: 619-8100 31 1 Unidad II ConceptosbásicosAprende más... 2. Trazar una recta a perpendicular a la recta mostrada L y que pase por el punto "E". E L 3. Medir los siguientes ángulos y clasifícalos. 4. Traza la bisectriz del siguiente ángulo con el uso del compás. 5. Traza la bisectriz del ángulo mostrado. 6. Grafica un ángulo de 120º y traza su bisectriz con el transportador. 7. Grafica un ángulo de 70º y traza su bisectriz con el transportador. 8. Grafica un ángulo de 60º y traza su bisectriz con el uso del transportador. 9. Grafica un ángulo de 140º y traza su bisectriz con el uso del transportador. 10. Grafica un ángulo de 200º y traza su bisectriz con el uso del transportador. Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • El ángulo de una vuelta mide 360º.....................................................................................( ) • El ángulo llano mide 90º....................................................................................................( ) 2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro. • La ................................... de un ángulo divide a éste en ................................... iguales. • Dos ángulos que ................................... igual medida se llaman ángulos ................................... rayo - recta - congruentes - iguales - tienen - bisectriz - medidas - ángulos 3. Grafica los ángulos congruentes AOB y PMQ que miden 80º. 4. Grafica los ángulos congruentes MON y APB que miden 130º. 5. Grafica el ángulo AOB, tal que: m AOB = 230º.
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 32 Identificando y midiendoángulos Resolución de problemas 6. Medir los ángulos internos "A", "B" y "C" usando el transportador. A C B 7. Medir los ángulos en los vértices "A", "B", "C" y "D" usando el transportador. D A B C 8. Medir los: AOB; BOC y AOC usando el transportador. O C BA 9. Medir los: AOB; BOC; COD y AOD usando el transportador. A D C B O 10. Medir los: AOB; BOC y COD usando el transportador. C B D O A Recta 11. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 100º y m BOC = 60º. ¿Cuánto mide el ángulo AOC? (Usar el transportador) 12. Graficar los ángulos consecutivos PQM y MQN talque:m PQM=70ºym MQN=50º. ¿Cuánto mide el ángulo PQN? (Usar el transportador) 13. Usando el compás, trazar la bisectriz del ángulo AOB. Luego ubicar a un punto "P" de dicha bisectriz y medir las distancias de "P" a los lados OA y OB O A B Aplicación cotidiana • Las agujas del reloj (horario y minutero) son observadas por Anita que entusiasmada con el tema de ángulos encuentra que: 14. Al escuchar la campanita del reloj siendo las 8 a.m en punto, las agujas forman un ángulo de: 15. Luego de dos horas vuelve a escuchar la campanita y las agujas del reloj forman un ángulo de: http://es.123rf.com
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    Central: 619-8100 33 1 Unidad II ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Graficar un ángulo no convexo de 240º y luego trazar su bisectriz usando el transportador. 2. Graficar un ángulo no convexo cualquiera y luego trazar su bisectriz con el uso del compás. 3. Graficar a los ángulos consecutivos AOB y BOC que miden 120º y 100º respectivamente. Luego trazar la bisectriz OM del ángulo AOC. 4. En el problema anterior, calcular: m MOB. 5. Trazar las bisectrices de los ángulos AOB y BOC, usando el compás. Luego mide el ángulo formado por dichas bisectrices. A O C B • Graficar y clasificar a los siguientes ángulos (usa el transportador) 1. 35º 2. 65º 3. 104º 4. 170º 5. 28º 6. 126º 7. 58º 8. 220º • Graficar a los ángulos consecutivos AOB y BOC. Luego, calcular m AOC. (Usa el transportador) 9. m AOB = 30º y m BOC = 60º 10. m AOB = 40º y m BOC = 80º 11. m AOB = 20º y m BOC = 70º 12. m AOB = 80º y m BOC = 70º 13. m AOB = 110º y m BOC = 90º 14. m AOB = 130º y m BOC = 80º 15. m AOB = 100º y m BOC = 50º
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 34 Ordenamiento lineal ycircular Se cree que el alfabeto griego deriva de una variante del fenicio, introducido en Grecia por mercaderes de esa nacionalidad. El fenicio, como los alfabetos semíticos posteriores, no empleaba signos para registrar las vocales; para salvar esta dificultad, que lo hacía incompleto para la transcripción de la lengua griega, los griegos adaptaron algunos signos utilizados en fenicio para indicar aspiración para representar las vocales. Este aporte puede considerarse fundamental; la inmensa mayoría de los alfabetos que incluyen signos vocálicos se derivan de la aportación original griega. Además de las vocales, el griego añadió tres letras nuevas al final del alfabeto: fi y ji, para representar sonidos aspirados que no existían en fenicio, y psi. En el Álgebra se usan variables como "x", "y" y "z" para señalar valores numéricos, en general trabajando básicamente con las operaciones. En Geometría para señalar valores angulares no conocidos se utilizan letras griegas como: "α";"β";"θ" y "δ"; etc Operaciones con ángulos En este capítulo aprenderemos: • A relacionar ángulos por sus lados • A graficar ángulos sin el uso del transportador comparando al ángulo recto y ángulo llano. • A sumar y restar medidas de ángulos consecutivos. 2 A α alfa N ν ni B β beta Ξ ξ xi r γ gamma O o ómicron ∆ δ delta ∏ π pi E ε épsilon P p ro Z ζ dseta ∑ σ sigma H η eta T τ tau Θ θ zeta ϒ υ ipsilon I ι iota Φ ϕ fi K κ kappa X χ ji Λ λ lambda Ψ ψ psi M µ mi Ω ω omega
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    Geometría Central: 619-8100 35 Unidad II Saberesprevios Conceptos básicos • Rectas .................................................. • Rectas................................................... • Una vuelta mide................................... • El ángulo POQ mide............................. P QO • El ángulo llano AOB mide.................... OA B Ángulos opuestos por el vértice Son los ángulos que se forman al trazar dos rectas secantes. M αº αº N F E A Vértice Los ángulos MAN y EAF son opuestos por el vértice m MAN = m EAF = αº θº B P Q A C Vértice θº Los ángulos PBQ y ABC son opuestos por el vértice m PBQ = m ABC = θº
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 36 Operaciones con ángulos Ángulosconsecutivos Son dos, tres o más ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común respectivamente. En el gráfico: m AOC = 40º + 60º = 100º40º 60º O C B A AOB y BOC son consecutivos o adyacentes En el gráfico: m POR = 50º + 70º = 120º m QOS = 70º + 20º = 90º O S Q R 20º 70º 50º P POQ; QOR y ROS son consecutivos En el gráfico: m POR = 35º + 65º = 100º m ROS = 180º - 100º = 80ºO S Q R 65º 35º P Recta POQ; QOR y ROS son consecutivos. Suma y resta de ángulos consecutivos usando variables. B βºαº A C O yº yº = αº + βº βº αº αº + βº = 90º
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    Central: 619-8100 37 2 Unidad II ConceptosbásicosAplicalo comprendido 10 x 5 50 xº = bº – qº O θº βºxº A B C m AOB = 180º - θº A O C B 180º – θº θº xº 90º – xº Q RO P m QOR = 90º - xº O αº βº θº αº+ βº + θº = 180º αº+ βº + θº + ωº = 360º ωº βº αº qº 1. Calcular "xº", si: m AOF = 18º O E B F A 2xº xº 2. Si: m EOF = 130º; m EON = 100º y OM es bisectriz del ángulo NOF, calcular: m EOM O M F N E 3. Si OM es bisectriz del ángulo AOB y m BOC = 32º, calcular: m MOC. COA M B 4. Si: m MOA = 48º y m MOQ = 142º, calcular: m NOQ, si OA es bisectriz del ángulo MON QO A M N
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 38 Operaciones con ángulos ConceptosbásicosAprende más... 5. Calcular "xº" 4xº xº 6. Si: m AOB = 38º; m BOC = 72º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular "θº". O A B θº M C 7. Si: m AOB = 28º; m BOC = 102º y ON es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON O A B N C 8. Si: m EOF = αº y m FOH = 5αº, calcular "αº" F E O H 9. Calcular "αº". αº 8αº 10. Calcular "αº". 80º 4αº αº Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • La medida de un ángulo llano es el doble de la medida de un ángulo recto.......................... ( ) • La bisectriz de un ángulo es un rayo que divide en medidas iguales a dicho ángulo.............. ( ) 2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado: • Dos ángulos .......................................... por el vértice, tienen sus .......................................... en sentidos opuestos y sus medidas son ........................................... • Dos rectas secantes y .......................................... forman cuatro ángulos ...................................... consecutivos. perpendiculares - paralelas - llanos - rectos - opuestos - iguales - consecutivos - lados - ángulos
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    Central: 619-8100 39 2 Unidad II Completar las relaciones, según los gráficos: 3. m AOE = ........ − ........ A O βº E B 4. m FOM = ........ − ........ E O M F αº 5. αº + βº + θº + ωº = ........ θº βº αº ωº Resolución de problemas 6. Si: m COD = 23º, calcular: m AOB. A O C B D 7. Si: m AOC = 74º; m BOC = 22º y OM es bisectriz del ángulo AOB, calcular: m MOC. A M B O C 8. Si: m AOB=42º; m BOC=90º y ON es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON. O A B N C 9. Calcular "αº" 2αº 4αº 3αº αº A B C D O
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 40 Operaciones con ángulos Conceptosbásicos¡Tú puedes! 10. Calcular "xº", si: m AOD = 148º. A O C B Dxº 68º3xº 11. Si OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcular: m BOC A M B C N 26º DO 34º 12. OM y ON son bisectrices de AOt B y COt D. Si: m AOB=36º, calcular: m MON A B M C N100º DO 13. Si OE y OF son bisectrices de AOt C y BOt C, calcular: m EOF A F B E 30º C O Aplicación cotidiana • Una puerta metálica levadiza de la cochera de una casa está decorada y asegurada por varillas que forman ángulos consecutivos congruentes. 14. ¿Cuántos ángulos consecutivos, congruentes y menores se han formado? 15. ¿Cuánto mide cada ángulo menor? 1. Si: m BOC = 80º; OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcular la m MON. DA M B C N O 2. Calcular "xº", si: m AOC + m BOD = 130º. xº A B C DO
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    Central: 619-8100 41 2 Unidad II ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 3. Se tiene dos ángulos consecutivos POQ y QOR. Se traza OM bisectriz del ángulo POQ. Si: m POR + m QOR =140º, calcular la m MOR. 4. Si: m AOB - m BOC = 70º, calcular la m MOB. Además OM es bisectriz del ángulo AOC. B C M A O 5. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC de tal manera que el ángulo AOB mide 50º. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y BOC. 1. Si: m AOB = 20° y m AOC = 100°, calcule: m BOC. B C O A 2. Si:m AOD=120º,m BOC=70ºym COD=30º, calcule: m AOB. OA B C D 3. Calcule "α°" 32º αº 4. Calcule "x°" 4xº xº 5. Calcule "x°", si: m AOD = 110°. 50º 2xº xº O A B C D 6. Calcule "x°" 120º 3xºxº
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.peCEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 42 Operaciones con ángulos 7. Si: m AOC=120°, m BOC=20° y OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule: m MOC. C O B M A 8. Si: m POQ=100°, m QOR=40° y OM es bisectriz del ángulo POR, calcule: m MOQ. P M Q O R 9. Si OM es bisectriz del ángulo AOC y ON es bisectriz del ángulo BOC, calcule: m MON, si además: m BOC=40º. A M B N C O 10. Si: m AOB=36°, OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcule: m MON. A O D N C B M 11. Calcular: m BOC. A B C D 5xº3xº 2xº O 8xº 12. Calcule "xº", si: m AOC=158º y OM es bisectriz del ángulo BOC 64º xº A B M C O 13. Si OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule "θ°". O A M 48º θº 5θº B C 14. Calcule "β°" A B C 38º βº 64º Recta DO 15. Si: m AOB = 30° y m BOC = 80º y además OM es bisectriz del AOt C, calcule m BOM. O A B M C
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    Central: 619-8100 UnidadIICentral: 619-8100 Conceptos básicos 3 43 ¿Qué es generalizar? ¿Qué es para ti una fórmula? 1 2 3 n ........ "n" puntos segmentos ( )n n 2 1- 1 2 3 3 puntos 3 segmentos 4 puntos 6 segmentos 1 2 3 4 En la Aritmética, estudiamos a los números haciendo operaciones que resuelven problemas diversos de la vida cotidiana como compra, venta, edades, etc. En el Álgebra, el concepto de cantidad es mucho más amplio utilizando letras para representar a las cantidades conocidas y desconocidas. Una fórmula algebraica surge justamente de la generalización que implica la representación de cantidades por letras. En nuestro curso de Geometría, empleamos claramente estos conceptos básicos y en estos dos capítulos es importante entenderlo y dominarlo para aplicarlo en capítulos más complejos. Solo con enunciados En este capítulo aprenderemos: • A interpretar un enunciado con términos geométricos de segmentos de recta y ángulos. • A graficar problemas para su resolución conociendo sus valores o usando variables. • A representar mediante una ecuación la suma y resta de segmentos y ángulos. • "Q" es punto medio de AN A Q N a a • Puntos y segmentos consecutivos y colineales. A B C a yb D AB = a – b AD=a+y Recuerda que...
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    44 Solo con enunciados CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe • • Suma y resta de ángulos consecutivos. m AOB = θº - βº m AOD = θº + αº O A B C βº θº αº D E F A αº αºO OF es bisectriz del ángulo AOE 1. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos "A", "B" y "C" tal que: AC = 25u. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y BC. Resolución: Se ubican arbitrariamente a los puntos medios "M" y "N" de AB y BC respectivamente. Como no se conocen los valores de AB y BC se ponen letras. A M B 25u N C a a b b • Del gráfico: 2a + 2b = 25u, simplificando: a + b = 12,5u • Nos piden: MN = a + b ∴ MN = 12,5u Ejemplos 2. Se tienen dos ángulos consecutivos AOB y BOC; tal que: m AOC = 128º. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y BOC. Resolución: O P A B xº Q αº θº θº αº C • Se trazan las bisectrices OP y OQ, siendo el ángulo POQ el pedido en el ejercicio. • Sumando ángulos consecutivos: 2θº + 2αº = m AOC 2θº + 2αº = 128º θº + αº = 64º • Finalmente: m POQ = xº y del gráfico: xº = αº + θº ∴xº = 64º Recuerda que...
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    45 3 Central: 619-8100 UnidadII ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Conceptos básicosAprende más... 1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A"; "B" y "C" tal que: AB = 32u y AC = 46u. Calcular "AM", siendo "M" punto medio de BC. 2. Se tienen los puntos colineales "P"; "Q" y "R", tal que: PQ = 56u y QR = 38u. Calcular "MQ", siendo "M" el punto medio de PR. 3. AE y EF son segmentos colineales y consecutivos tal que: AE=36u y AF=78u. Calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AE y EF respectivamente. 4. PQ y QR son segmentos colineales y consecutivos tal que: PQ = 84u y QR = 62u. Calcular "EQ", siendo "E" el punto medio de PR. 5. Sobreunarectaseubicanlospuntosconsecutivos "A", "B", "C" y "D" tal que: AB=20u; BC=16u y CD=34u. Calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB y CD respectivamente. 6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 76º y m BOC = 48º. Calcular m BOM, siendo OM bisectriz del AOt C. 7. Se tienen los ángulos consecutivos POQ y QOR, tal que: m POR=140º y m POQ=110º. Calcular m POE, siendo OE bisectriz del QOR. 8. Dados los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD, tal que: m AOB=m BOC=m COD y m AOD=144º. Calcular: m BOD. 9. Dados los ángulos consecutivos POQ y QOR, tal que: m POQ=2 m QOR y m POR=126º. Calcular: m QOR. 10. Dados los ángulos consecutivos MON y NOE, tal que: m MON=3 m NOE y m MOE=128º. Calcular: m NOE. Comunicación matemática 1. Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado: • Dos segmentos de ..................................... y dos ángulos se ..................................... congruentes si tienen sus ..................................... iguales respectivamente. • La menor ..................................... entre dos puntos en el espacio está representado por la ........... .......................... del segmento de recta que ..................................... a dichos puntos. distancia - medidas - recta - punto une - plano - denominan - longitud 2. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • El ángulo de una vuelta mide 360º....................................................................................... ( ) • El ángulo no convexo es mayor de 90º y menor que 180º.................................................... ( ) • Los ángulos opuestos por el vértice suman 180º................................................................... ( ) 3. Trazar dos rectas perpendiculares y luego las rectas bisectrices de los ángulos rectos formados con el transportador. ¿Qué observas? 4. Graficar un ángulo agudo cualquiera, luego con el uso del compás traza su bisectriz. Mide las distancias de un punto cualquiera de la bisectriz hacia los lados del ángulo. ¿Qué observas? 5. Grafica un segmento de recta de cualquier longitud, luego ubica a su punto medio con el uso del compás. ¿Qué se obtiene al dividir la longitud de uno de los segmentos obtenidos entre la longitud del segmento inicial?
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    46 Solo con enunciados CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Conceptosbásicos¡Tú puedes! Resolución de problemas 6. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B" y "C" tal que: AB = 86u y BC =58u. Siendo "M" punto medio de AC, calcular "BM". 7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "P", "Q" y "R" tal que: PR=68u y PQ=22u. Calcular la distancia entre "P" y el punto medio de QR. 8. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D" tal que: AB=18u, BC=24u y CD=30u. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD. 9. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D" tal que: AC = 36u, BD = 48u y BC = 10u. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD. 10. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: m AOB=68º y m AOC=138º. Calcular la medida del ángulo formado por OA y la bisectriz del ángulo BOC. 11. Se tienen los ángulos consecutivos POQ y QOR que miden 100º y 50º respectivamente. Calcular el ángulo formado por OQ y la bisectriz del ángulo POR. 12. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD que suman 180º. Si: m AOB=38º y m COD=76º, calcular: m BOC. 13. En el ejercicio anterior, calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOt B y COt D. Aplicación cotidiana • Alejandrita es aficionada a la carpintería ya que ayuda a su papá en la elaboración de un mueble para su cuarto. El papá le dice a Alejandrita que corte con una sierra la madera mostrada de 2 metros de longitud en tres partes, tal que la menor parte mida 40 cm y la mayor parte exceda a la parte intermedia en 20 cm. 1. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D" tal que: AC=42u; BD=78u y CD=3(AB). Calcular "AB". 2. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R" y "S" tal que: PR + QS = 124u. Calcular: PS + QR. 3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: m BOC - m AOB = 48º. Calcular la medida del ángulo formado por OB y la bisectriz del ángulo AOC 4. Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 90º. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BOC y AOC. 5. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD que forman un ángulo llano. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD. Además: OB OC. 14. ¿Cuántos cortes realiza Alejandrita? 15. ¿Cuánto miden las otras dos partes? 2 metros
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    47 3 Central: 619-8100 UnidadII Conceptosbásicos Practica en casa 18:10:45 1. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si: AC = 21u; BD = 28u y AD = 30u, calcular "BC". 2. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si: AC = 19u; BD = 24u y AD = 27u, calcular "BC". 3. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R", "S" y "T". Si: PQ = QR; RS = ST; PR = 12u y RT = 20u, calcular "QS". 4. Calcular "PM", siendo "M" punto medio de QR. P 18u 22u 30u RQ S 5. Calcular "x", si: AM = MD; AC = 5m y AD = 16m. A C M D x 6. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos "P", "Q", "R" y "S" tal que "Q" es punto medio de PR. Si: PR=30 m y RS=10 m, hallar "QS". 7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "P", "Q", "R" y "S", tal que: PR=10 m; QS=12 m y QR=4 m. Calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de PQ y RS. 8. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si: AB=BC; AC=CD y AD=48u, calcular "BC". 9. Del gráfico mostrado, calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AC y BD respectivamente. 18u 12u 8u A CB D 10. Calcular "xº". 2xº 40º 11. Calcular "xº". 3xº 2xº 12. Calcular "xº". 3xº + 5º 4xº - 10º 13. Calcular "xº". 2xº - 15º 2xº + 15º 60º 14. Calcular "xº". 2xº - 10º 3xº + 10º 15. Calcular "xº". 4xº A B C xº + 10º O
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 48 Complemento y suplementode un ángulo Complemento y suplemento de un ángulo En este capítulo aprenderemos: • A comparar la medida de un ángulo con el ángulo recto y el ángulo llano. • A relacionar gráficamente y algebraicamente el complemento y suplemento de un ángulo. • A identificar a dos ángulos complementarios y suplementarios. Torre de Pisa La torre de Pisa (Italia) se construyó verticalmente, pero por lo débil de los cimientos de la torre se produjo una ligera inclinación dejando la torre en tres pisos. Después de 100 años aproximadamente se reinició la construcción de los cuatro pisos restantes con la finalidad de corregir la inclinación pero la torre se inclinó más. Desde el 2001 se reabrió el acceso al público ya que no existe riesgo alguno. Actualmente se hacen edificaciones con inclinaciones gracias a la tecnología, lo cual le da un aspecto de modernidad. • ¿Qué ángulo está inclinada la torre de Pisa? • ¿La inclinación de la torre de Pisa fue adrede? http://www.viajesmag.com CAPITULO 4
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    Geometría Central: 619-8100 49 Unidad II Conceptosbásicos Saberes previos • El ángulo recto AOB mide ...................... O A B • Una recta se grafica idénticamente a un ángulo 180º • 5 – [12 + (8 - 2)] = ........................................... 16 – [24 – (12 – 5)] = ........................................... 2x – [6x + 10x – (6x – 3x)] = ........................................... 18a – [12a – 3(4a – a)] = ........................................... ............................................. Definición de ángulos complementarios Son aquellos dos ángulos cuyas medidas suman 90º. O A αº B E H F θº αº + θº = 90º Los ángulos AOB y EFH son complementarios. Definición de ángulos suplementarios Son aquellos dos ángulos cuyas medidas suman 180º. Φº + ωº = 180º P ωº R Q Φº N M O Los ángulos MON y RPQ son suplementarios
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 50 Complemento y suplementode un ángulo Complemento de un ángulo Es el ángulo que le falta a un ángulo dado para que mida 90º Complemento de 30º = 90º - 30º Complemento de 30º = 60º C30º = 60º 30º Complemento de 50º = 90º - 50º Complemento de 50º = 40º C50º = 40º 50º qº Cqº Complemento de "qº": Cqº = 90º – qº Suplemento de un ángulo Es el ángulo que le falta a un ángulo dado para que mida 180º. Suplemento de 40º = 180º - 40º Suplemento de 40º = 140º S40º = 140º 40º Suplemento de 60º = 180º - 60º Suplemento de 60º = 120º S60º = 120º 60º Suplemento de 100º = 180º - 100º Suplemento de 100º = 80º S100º = 80º 100º Suplemento de 130º = 180º - 130º Suplemento de 130º = 50º S130º = 50º 130º Suplemento de ωº = Sωº = 180º - ωº ωº Sωº Los ángulos de referencia son los de 90º y 180º de tal manera que al conocer un ángulo agudo u obtuso se pueden relacionar con dichos ángulos. Ten en cuenta
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    Central: 619-8100 51 4 Unidad II ConceptosbásicosAplicalo comprendido 10 x 5 50 Para combinar operaciones con el complemento y suplemento de un ángulo se usan términos prácticos como por ejemplo: 1. Si nos piden: • Calcular el complemento de 40º y luego el suplemento del resultado. La solución es: C40º = 90º - 40º = 50º S50º = 180º - 50º = 130º Respuesta: 130º • En forma práctica: Calcular el suplemento del complemento de 40º. La solución es: SC40º = 180º - (90º - 40º) SC40º = 180º - 50º ∴ SC40º = 130º 2. Si nos piden: • Calcular el complemento del resultado del suplemento de 110º. La solución es: S110º = 180º - 110º = 70º C70º = 90º - 70º = 20º Respuesta: 20º • En forma práctica: CS110º = 90º - (180º - 110º) CS110º = 90º - 70º CS110º = 20º 1. Calcular el complemento de 53º. 2. Calcular el suplemento de 81º. 3. Calcular la suma entre el complemento de 10º y el suplemento de 100º. 4. Calcular la suma entre el complemento de 30º y el suplemento de 70º. 5. Calcular la diferencia entre el suplemento de 70º y el complemento de 50º. 6. Calcular la diferencia entre el suplemento de 50º y el complemento de 50º. 7. Calcular la suma entre el suplemento y el complemento de 60º. 8. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 80º. 9. Calcular el complemento del suplemento de 125º. 10. Calcular el suplemento del complemento de 75º. Ten en cuenta
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 52 Complemento y suplementode un ángulo Conceptos básicosAprende más... Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • Dos ángulos complementarios tienen que ser consecutivos..................................................( ) • Tres ángulos que miden 30º; 40º y 110º son suplementarios................................................( ) 2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, con los términos del recuadro mostrado: • Para que un ángulo tenga ................................., tiene que ser menor o ................................. a 90º y para que un ................................. tenga suplemento ................................. que ser ................... .............. o igual a 180º. • El complemento de un ángulo ................................. es cero y el ................................. de un ángulo llano también es ................................. ángulo - recto - suplemento - complemento consecutivos - cero - igual - tiene - mayor menor - llano - centro 3. Graficar dos ángulos consecutivos y complementarios. 4. Graficar dos ángulos consecutivos y suplementarios. 5. Completar los recuadros, según los gráficos: θº ...... − ...... ...... − ...... αº Resolución de problemas 6. Calcular el complemento del suplemento de 124º. 7. Calcular el suplemento del complemento de 72º. 8. Calcular la suma entre el suplemento y el complemento de 68º. 9. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 57º. 10. Calcular la diferencia entre el complemento de 14º y el suplemento de 158º. 11. Calcular el suplemento del suplemento de 131º. 12. Calcular la medida de un ángulo, si su complemento es 35º. 13. Calcular la medida de un ángulo, si su suplemento es 128º. 14. Si "xº" es la medida de un ángulo y el complemento de "xº" es 39º, calcular "xº". 15. Si "θº" es la medida de un ángulo y el suplemento de "θº" es 63º, calcular "θº".
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    Central: 619-8100 53 4 Unidad II ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Si el complemento de "xº" es igual al doble de "xº", calcular "xº". 2. Si el suplemento de "θº" es el cuádruple de "θº", calcular "2θº". 3. Calcular la medida de un ángulo, si la suma de su complemento y su suplemento es 200º. 4. Si el suplemento de un ángulo es el cuádruple de su complemento, calcular la medida de dicho ángulo. 1. Calcular el complemento de 26º. 2. Calcular el suplemento de 83º. 3. Calcular el complemento de 72º. 4. Calcular el suplemento de 100º más el complemento de 50º. 5. Calcular el suplemento de 80º menos el complemento de 60º. 6. Calcular el complemento de 70º más el suplemento de 130º. 7. Calcular el complemento del suplemento de 170º. 8. Calcular el complemento del suplemento de 118º. 9. Calcular el complemento del complemento de 39º. 10. Calcular el suplemento del suplemento de 111º. 11. Calcular el complemento del complemento de 83º. 12. Calcular el suplemento del suplemento de 141º. 13. Calcular la suma del complemento y el suplemento de 25º. 14. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 65º. 15. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 45º
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 54 Ordenamiento lineal ycircular Conceptos básicosAprende más... Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Repaso bimestral 1. Si: BC = 3 (AB) y AC = 72u, calcular "AB". A B C 2. Si: PQ = 5 (QR) y PR = 54u, calcular "QR". P Q R 3. Si: AB=36u; BC=42u y CD=54u, calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB y CD. A C DB 4. Calcular "αº" 42º αº 2αº 5. Calcular "xº". 5xº - 26º 2xº + 19º 6. Calcular "2θº" 74º 3θº θº 7. Si: m AOC = 104º; m BOD = 118º y m BOC = 60º, calcular: m MON. (OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD.) O D C B A 8. Calcular el suplemento del complemento de 70º más el complemento de 60º. 9. Calcular el complemento del suplemento de 160º más el suplemento de 95º. 10. Calcular el complemento del suplemento de 115º menos el complemento de 85º. Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • El complemento de 100º es -10º........................................................................................... ( ) • El suplemento de 200º es -20º............................................................................................... ( ) • El suplemento de 300º es 60º................................................................................................ ( ) • Los ángulos que miden 20º; 30º y 40º son consecutivos....................................................... ( ) 5
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    Geometría Central: 619-8100 55 Unidad II Resoluciónde problemas 6. Se tienen los puntos colineales "A", "B" y "C" tal que: BC = AB + 12u y AC = 32u. Calcular "AB". 7. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R" y "S" tal que: PQ = 6u; QR = 14u y RS = 36u. Calcular "QM", si "M" es punto medio de PS. 8. Se tienen los ángulos consecutivos y suplementarios AOB y BOC tal que: m BOC=2 m AOB. Calcular: m AOB. 9. Se tienen los ángulos consecutivos y complementarios AOB y BOC tal que: m AOB = 4 m BOC. Calcular: m BOC. 10. Calcular la diferencia entre el suplemento del complemento de 65º y el complemento de 55º. 11. Calcular la diferencia entre el complemento del suplemento de 98º y el complemento de 86º. 12. Si el suplemento de un ángulo es igual a 116º, calcular el complemento de dicho ángulo. 13. Calcular el máximo número de segmentos que se determinan en una recta al ubicar 21 puntos. 2. Completar las siguientes relaciones gráficas: x y A B C BC = ...... − ...... m MOE = ....... − ....... αº θº N E M m AOB = ........ − ........ 2ωº A C B 3. Graficar dos ángulos opuestos por el vértice agudos. 4. Graficar dos ángulos consecutivos y complementarios, tal que uno de ellos mida 50º. 5. Graficar dos ángulos consecutivos y suplementarios, tal que uno de ellos mida 105º. O O Aplicación cotidiana • En un encuentro de fútbol el delantero Waldy lanza un balón de larga distancia al arquero Ronaldo; pero antes de llegar al arco, el balón da un rebote de tal manera que el ángulo del trayecto del balón antes del rebote con el campo es el triple del ángulo del trayecto de rebote con el campo y el ángulo que forman estas trayectorias mide 105º. http://www.futbolred.com 14. Calcular las medidas de los ángulos mencionados. 15. Calcular el complemento del menor de los ángulos anteriores.
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 56 Repaso bimestral Conceptos básicos¡Túpuedes! Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. En AC se ubica el punto "B", tal que: AB - BC = 10u. Calcular la distancia de "B" al punto medio de AC. (AB>BC) 2. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos "G", "M", "A" y "B". Calcular "GB", si: GA = 20u y GB + AB = 50u. 3. Calcular "xº", si: βº = 20º. xº 2βºβº 4. Si: m AOC + m BOD = 250º, calcular la m BOC. OA D C B 5. Si el suplemento del suplemento del suplemento del complemento del complemento de un ángulo es 80º, calcular la medida de dicho ángulo. 1. Calcular "x", si: AB = 52. EA F B x 12 3x 2. Si: PM = 33; MN = 45 y PQ = 98, calcular "NQ". MP N Q 3. Calcular "x". EA F D 17 x 78 49 4. Si: AB = 14; BC = 16 y CD = 26, calcular "MN", si "M" y "N" son puntos medios de AB y CD. M B CA N D 5. Si: m AOC = 148º y m BOC = 82º, calcular el complemento del ángulo AOB. B CO A 6. Si: m AOB = 42º, m BOC = 104º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM. M B CO A 7. Calcular "xº". xº 3xº 2xº 4xº
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    Central: 619-8100 57 5 Unidad II 8. Calcular el complemento de "αº". C B DA O 2αº 100º αº 139º 9. Calcular el complemento de 16º más el suple- mento de 128º. 10. Si: AQ = 48 cm; NP = 72 cm y AP = 96 cm, calcular "NQ". N Q PA 11. Calcular "MN", si: AB=18; BC=40 y "M" y "N" son puntos medios de AB y AC. M B NA C 12. Calcular "BE", si: AC = 18. B CA x 2x 4x E 13. Si: m AOB = 46º; m BOC = 72º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM. B M CO A 14. Calcular el suplemento de "αº". 48º 2αº αº 15. Si: m AOB = 44º; OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y AOC, calcular: m MON. C N O B M A
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    AprendiZajes esperados UNIDAD 1 L abase económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos. ¿Cuál es la etimología de Geometría? ¿Qué estudia la Geometría? ¿Qué es postulado? Conociendoalageometría UNIDAD 1 • Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos. • Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte. • Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables. • Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás. • Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables.
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    Central: 619-8100 Geometría 59 www.trilce.edu.pe 1 Ángulos determinadosentre dos rectas paralelas y una secante En este capítulo aprenderemos: • A definir y graficar dos rectas paralelas. • A reconocer los ángulos alternos internos entre dos rectas paralelas. • A plantear las propiedades correspondientes a los ángulos alternos internos. • A reconocer los ángulos correspondientes determinados entre dos rectas paralelas. • A plantear las propiedades relacionadas a los ángulos correspondientes. • A desarrollar diversos problemas. El Partenón El diseño del Partenón estuvo condicionado inicialmente para albergar la imagen de oro y marfil de Atenea Parthenos, esculpida por Fidias. La colosal estatua de doce metros de altura precisaba de una inmensa cella de más de 18 metros de anchura, dividida en tres naves mediante una doble columnata conformada por dos órdenes superpuestos de estilo dórico. La nave central medía diez metros de anchura. Dentro de la cella del lado este, la columnata se dispuso en forma de "U" y estaba compuesta por nueve columnas con un entrepaño entre cada una de ellas, en los lados largos de la "U". Tres columnas con dos entrepaños formaban el lado corto. En la zona oeste, al fondo del interior de la columnata de cuatro columnas, existía el basamento de la estatua, para el culto a Atenea Parthenos con un amplio estanque, poco profundo, que producía un efecto de brillo mediante el agua frente a ésta. Ambas cellas estaban cerradas por puertas de bronce. La cella del este estaba dedicada a Atenea Polías (protectora de la ciudad), y la cella del oeste estaba dedicada a Atenea Párthenos, "la virgen", por lo cual todo el edificio acabó siendo conocido como el Partenón. La decoración escultórica del Partenón es una combinación única de las metopas (esculpidas en altorrelieve extendiéndose por los cuatro lados externos del templo), los tímpanos (rellenando los espacios triangulares de cada frontón) y un friso (esculpido en bajorrelieve abarcando el perímetro exterior de la cella). En ellos se representan varias escenas de la mitología griega. Además, las diversas partes del templo estaban pintadas de colores vivos. El Partenón es, sin duda, el máximo exponente del orden dórico, como se puede apreciar en el diseño del friso o sus columnas. • Desde la antigüedad ya se conocía el concepto de paralelismo , ¿las columnas del Partenón son paralelas? http://oyukimacias.files.wordpress.com/2010/06/partenon.jpg CAPITULO
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 60 Ángulos determinados entredos rectas paralelas y una secante Conceptos básicos Saberes previos • Ángulos opuestos por el vértice • Ángulos suplementarios aº qº aº + qº =180º aºaº L1 L2 • En la bisectriz: qº qº A O B bisectriz del BAOB • En un triángulo: aº qº bº aº + qº + bº =180º También: Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si están en un mismo plano y no tienen puntos en común, es decir no tienen puntos de corte. Se lee: "La recta L1 es paralela a la recta L2". L1 L2 Gráfico: Notación: !! L1 // !! L2 aº bº L2 L3 L1 • !! L1 // !! L2 . • !! L3 es la recta secante a !! L1 y !! L2 • "aº" y "bº" son las medidas de los ángulos alternos internos. aº = bº Entonces: fº qº L2 L3 L1 qº = fº Entonces: • !! L1 // !! L2 Ángulos alternos internos Son los pares de ángulos que se encuentran entre dos rectas paralelas y en lados diferentes de la recta secante.
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    Central: 619-8100 61 Unidad III 1 ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Ángulos correspondientes Son los pares de ángulos que se encuentran a un mismo lado de la recta secante y a un mismo lado de cada recta paralela. aº = bº Entonces: L1 L2 L3 aº bº • !! L1 // !! L2 • !! L3 es la recta secante a !! L1 y !! L2 • "aº" y "bº" son las medidas de los ángulos correspondientes. También: qº fº • !! L1 // !! L2 qº = fº Entonces: L1 L2 L3 1. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 L1 L2 72º aº+10º 2. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 62º qº+5º L1 L2 3. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº" L1 L2 qº+20º 142º 4. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº" L1 L2 135º qº+40º 5. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "aº" L1 L2 48º 2aº+10º 6. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 140º 7qº
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 62 Ángulos determinados entredos rectas paralelas y una secante Conceptosbásicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones. • Las rectas paralelas son aquellas que al ser prolongadas no tienen ningún punto en común ................................................................................................( ) • En el gráfico: (L1 // L2) L1 L2 aº qº Se muestran dos ángulos alternos internos..................................................................( ) • Dos rectas paralelas !! L1 y !! L2 se denotan como: !! L1 // !! L2 ............................................... ( ) 2. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico: aº=.......... L1 L2 aº qº • Si: !! L1 // !! L2 • Si: !! L1 // !! L2 L1 L2 aº bº aº=.......... 7. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "aº" L1 L2 3aº 54º 8. Si: !! a // !! b, calcular "aº" a b 94º 4aº+10º 9. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 L1 L2 5qº 145º 10. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 L1 L2 154º xº+35º
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    Central: 619-8100 63 Unidad III 13. Grafica haciendo uso de la regla: • Dos rectas horizontales paralelas !! L1 y !! L2 y una recta secante a ellas oblicua !! L3 . 4. Relaciona mediante flechas, si: !! L1 // !! L2 L1 L2 aº qº L1 L2 bº wº • Ángulos correspondientes • Ángulos alternos internos 5. De acuerdo al gráfico, plantea la ecuación. • Si: !! L1 // !! L2 L1 L2 qº aº Ecuación: aº+.......... = ........... Resolución de problemas 6. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº" L2 L1 145º 5qº+10º 7. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 3qº+10º L2 76º 8. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "xº" L1 L2 xº+5º 78º 9. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 L1 L2 138º xº+35º
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 64 Ángulos determinados entredos rectas paralelas y una secante Conceptos básicos¡Tú puedes! Aplicación cotidiana El sol Los rayos solares del sol emiten haces de luz como lo muestra la figura. El "haz 1" es paralelo al "haz 2" y forman los ángulos mostrados "aº"; "bº" y "qº" 14. Si un alumno observa que: aº = 46º, calcular "bº". 15. Con las condiciones anteriores, calcular "qº". 1. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº". L1 L2 2qº 58º 2. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 xº 50º 65º 3. Si: !! L1 // !! L2 // !! L3 , calcular "xº" L1 L2 L3 70º 45º xº 4. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "xº". L1 L2 72º xº 60º 10. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . 124º 2xº+10º L2 L1 11. Calcular "aº", si: !! m // !! n m n 3aº 70º–2aº 12. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2. L1 L2 4xº 132º 13. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2. L1 L2 135º 3qº aº bº qº haz "1" haz "2"
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    Central: 619-8100 65 Unidad III 1 ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 1. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 75º xº 2. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . 120º 3xº L2 L1 3. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 3qº 72º 4. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 45º 3qº 5. Calcular "xº", si: !! a // !! b . 150º 3xº a b 6. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 66º 6qº 7. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 5aº+30º 145º 8. Calcular "bº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 65º 5bº+20º 5. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº". L1 L2 120º 40º qº
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 66 Ángulos determinados entredos rectas paralelas y una secante 9. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 3qº+27º 162º 10. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 3aº+mº 171º+mº 11. Calcular "bº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 nº+5bº 70º+nº 12. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 146º xº 13. Calcular "yº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 108º 4yº 14. Calcular "xº", si: !! m // !! n . 3xº–1º n m 71º 15. Si: !! a // !! b , calcular "qº". 2qº–1º 139º a b ...................................................... ( )
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    Central: 619-8100 Geometría 67 www.trilce.edu.pe Geometría 67 Operaciones entreángulos determinados por rectas paralelas En este capítulo aprenderemos: • A aplicar las propiedades dadas a ángulos alternos internos. • A aplicar las propiedades dadas a ángulos correspondientes. • A desarrollar diversos problemas sobre ángulos determinados por rectas paralelas. • En las vallas mostradas, ¿observarás objetos paralelos? Postes paralelos La valla es un elemento superficial vertical que se utiliza para delimitar terrenos y protegerlos contra intrusos. Suelen ser de madera o metálicas. Las vallas se colocan alrededor de un terreno o jardín y tienen la función de impedir la entrada al mismo o de proteger la intimidad de sus habitantes. Las vallas se instalan en granjas, terrenos agrícolas o en otros espacios privados como, por ejemplo, los jardines de las viviendas unifamiliares. Una valla clásica está formada por una serie de tablones o estacas de madera colocados en vertical y terminados en punta o de forma redondeada. Los tablones se clavan al terreno y se unen por medio de otras tablas horizontales que se clavan a las anteriores. Existen también vallas metálicas que consisten en una malla de alambre, denominada alambrada. También se encuentran vallas confeccionadas con materiales naturales como cañas o brezo. En este caso, las piezas se trenzan con alambre conformando una superficie tupida. CAPITULO 2
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 68 Operaciones entre ángulosdeterminados por rectas paralelas Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Saberes previos • Ángulos opuestos por el vértice aº aº • Ángulos alternos internos Si: !! a // !! b. qº qº a b • Ángulos consecutivos y suplementarios bº aº aº+bº= 180º • Ángulos correspondientes Si: !! m // !! n . qº qº m n 1. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº". 144º 3qº L1 L2 2. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "xº". L1 L2 126º 9xº 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 xº+40º 35º 4. Si: !! a // !! b , calcular "qº". 4qº a b 20º
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    Central: 619-8100 69 Unidad III 2 ConceptosbásicosAprende más... 5. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 5aº 60º 6. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . xº 40º 65º L1 L3 L2 7. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . xº 42º L1 L3 L2 48º 8. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 xº 62º 58º 9. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3L2 xº35º 125º 10. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . qº L1 L3 L2 135º 52º Comunicación matemática 1. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico: aº+ ...... = ....... L1 L2 bº aº • Si: !! L1 // !! L2 . • Si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . xº= ..... + .....xº bº L1 L3 L2 aº
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 70 Operaciones entre ángulosdeterminados por rectas paralelas Resolución de problemas 6. Calcular "qº", si: !! a // !! b. 3qº 126º a b 7. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . 3qº+70º 5qº+40º L1 L2 2. Plantea la ecuación correcta de acuerdo al gráfico, en términos de "aº"; "bº" y "qº" ( !! L1 // !! L2 // !! L3 ) Ecuación: ......=.........+......... L1 L3 L2 qº aº bº 3. Graficar haciendo uso de la regla: • Tres rectas paralelas verticales !! a ; !! b y !! c . 4. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda. a b aº qº • En el gráfico, donde: !! a // !! b Tenemos que: aº = qº ................. ( ) qº yº xº a b c • En el gráfico, donde: !! a // !! b // !! c Tenemos que: qº = xº – yº ............... ( ) 5. Completa el gráfico, de acuerdo al enunciado. • Unir mediante segmentos los puntos "A"; "B" y "C". L1 L3 L2 A B C
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    Central: 619-8100 71 Unidad III 2 Aplicacióncotidiana La reja de la ventana Por seguridad Julio coloca rejas en la ventana del frontis de su casa como lo muestra la figura. Si todas las rejas horizontales son paralelas entre sí y las rejas oblicuas también son paralelas entre sí. Calcular: 14. ¿Cuál es la relación que cumple "aº" y "bº" de acuerdo a las condiciones dadas? 15. ¿Qué relación cumple "aº" y "qº" de acuerdo a las condiciones brindadas? aº qº bº 8. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 6qº 2qº–20º 9. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! c . xº 53º 28º a b c 10. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 120ºxº 62º 11. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 xº 51º 38º 12. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! c . xº a c b 134º 128º 13. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 xº 138º 62º
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 72 Operaciones entre ángulosdeterminados por rectas paralelas Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. Si: !! a // !! b , calcular "xº". 2qº 50º xº qº a b 2. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . 150º 120º xº L1 L2 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . 70º L1 L2 125º xº 4. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 xº 23º 58º 5. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 bº bº aº aº xº 1. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . 2xº 50º L1 L2 2. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 50º xº 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 62º xº 4. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 126º xº
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    Central: 619-8100 73 Unidad III 25. Calcular "aº", si: !! a // !! b . 129º a b 3aº 6. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! c . xº a c b 43º 22º 7. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3L2 qº72º 141º 8. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 xº 120º 135º 9. Si: !! L1 // !! L2 // !! L3 , calcular "qº". qº L1 L3 L2 64º 10. En la figura, calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 2qº 34º 11. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L2 L3 L1 82º aº 132º 12. Calcular "aº", si: !! a // !! b // !! c . a c b 25º aº 93º 13. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . 100º aº 40º L2 L3 L1 14. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 qº 62º 15. Calcular "xº + yº", si: !! a // !! b // !! c a c b yº xº 130º 34º
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 74 3 Aplicaciones de ángulosentre rectas paralelas En este capítulo aprenderemos: • A reconocer los ángulos alternos internos dados entre dos rectas paralelas. • A aplicar las propiedades dadas a los ángulos alternos internos. • A reconocer los ángulos correspondientes entre dos rectas paralelas. • A aplicar las propiedades dadas en los ángulos correspondientes. • A conocer nuevas propiedades y desarrollar diversos problemas. • ¿El concepto de paralelismo se usaba para la construcción de templos? Los cuatro postes El templo pudiera haber tenido origen en el Megaron, sala rectangular precedida por un pórtico de columnas (stylos), existente en la casa Micénica y que era la habitación más importante de la casa griega y santuario de los dioses familiares, tal como lo describe Vitrubio. En las invasiones y guerras, los ganadores derruían el palacio del rey vencido, pero respetaban el Megaron puesto que era la casa del dios de la región. Así, el templo más antiguo era el In-antis, que tiene todo el aspecto de ser una habitación que ha perdido la casa que tenía alrededor. Son construcciones arquitrabadas que se alzan sobre una plataforma con gradas (krepis o krepidoma), llamándose estilóbato al último escalón. La planta definitiva del templo griego constaba de un local llamado cella, un espacio interior, de forma rectangular, que constituye el núcleo de la construcción. Tiene una sola abertura, la puerta, sin ventanas. A veces el templo tiene dos cellas, con las puertas en las fachadas principales, las más cortas, y en este caso cada cella suele estar dedicada a una divinidad distinta. 3CAPITULO
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    Geometría Central: 619-8100 75 Unidad III Conceptosbásicos Saberes previos L1 L2 d d L1 // L2 • Rectas paralelas qº qº • Ángulos opuestos por el vértice bº aº aº + bº = 90º • Ángulos complementarios • Ángulos consecutivos y suplementarios aº bº aº + bº = 180º • Si: !! L1 // !! L2 // !! L3 , calcular "xº" en términos de "aº" y "bº". L1 L3 L2 aº bº xº Resolución: L1 L3 L2 aº aº bº bº xº xº = aº + bº • Trasladamos los ángulos alternos internos (ángulos de igual medida) "aº" y "bº" • Por adición de ángulos: Recuerda que...
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 76 Aplicaciones de ángulosentre rectas paralelas ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 • En general: xº L1 L2 bº aº Si: !! L1 // !! L2 Entonces: xº = aº + bº 1. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 5qº+10º 4qº+60º 2. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 4qº+5º 65º 3. Calcular "xº", si: !! a // !! b . a b 58º 2xº 4. En la figura , calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 9qº 72º 5. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! m. xº 30º 45º a m b 6. Calcular "aº", si: !! m // !! n . m n 63º 7aº Recuerda que...
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    Central: 619-8100 77 Unidad III 3 ConceptosbásicosAprende más... 7. Calcular "qº", si: !! a // !! b . 5qº+20º 75º a b 8. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . xº L1 L2 38º 45º 9. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 46º aº 10. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 148º xº Comunicación matemática 1. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico. aº +.....=...... bº aº+qº a b • Si: !! a // !! b . • Si: !! m // !! n . zº xº+yº m n zº =.....+...... 2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda, en los siguientes enunciados. • En el gráfico: L1 L2 aº bº xº Tenemos que: xº=aº+bº, si: !! L1 // !! L2 .............................................................................( ) • En los ángulos opuestos por el vértice, las medidas de los ángulos son diferentes ..........( )
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 78 Aplicaciones de ángulosentre rectas paralelas Resolución de problemas 6. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 5aº 65º 7. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 3xº+20º xº+80º 8. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 80º 5qº+15º 9. Calcular "xº", si: !! a // !! b . 5xº xº a b 3. Completa el gráfico, según el enunciado: • Une mediante segmentos de recta los puntos "A" con "B" y "A" con "C". A B C 4. Relaciona con flechas, si: !! a // !! b . a b aº aº • Ángulos correspondientes • Ángulos alternos internos qº qº a b 5. Plantea la ecuación de acuerdo al gráfico, en términos de "xº"; "yº" y "zº" Si: !! a // !! b a b xº+zº yº Ecuación: .........................=.........
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    Central: 619-8100 79 Unidad III 3 Conceptosbásicos¡Tú puedes! 10. Calcular "xº", si: !! m // !! n // !! r . xº 70º 65º m n r 11. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 4xº+5º 65º 12. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 xº 62º 65º 13. Calcular "xº", si: !! a // !! b . 100º 48º xº a b Aplicación cotidiana El vaso de agua Un vaso contiene agua hasta cierta medida. Un alumno lo inclina 40º como muestra la figura y se originan los ángulos "aº" y "bº". 14. Calcular la medida del ángulo "aº". 15. Calcular la medida del ángulo "bº". 40º bº aº 1. Si: !! a // !! b , calcular "xº". xº a b 130º+mº 150º–mº 2. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 2qº xº 8qº
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 80 Aplicaciones de ángulosentre rectas paralelas Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 48º 6qº 2. Calcular "aº", si: !! a // !! b . 55º 5aº a b 3. Calcular "qº", si: !! a // !! b . 2qº 58º a b 4. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 5aº 60º 5. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L12aº 80º 6. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 5xº+20º 60º 3. Calcular "bº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 qº qº bº 60º 25º 4. Calcular "mº – nº", si: !! a // !! b 120º nº mº a b 5. Calcular "xº+yº", si: aº+bº=50º y además: !! L1 // !! L2 . L2 L1 yº aº aº xº bº bº
  • 81.
    Central: 619-8100 81 Unidad III 3 7. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 140º 7xº 8. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 3xº 75º 9. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 3xº–10º 50º 10. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 75º 7qº+ 5º 11. Calcular "xº", si: !! a // !! b . a b65º 40º xº 12. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . 60º L1 L2 33º aº 13. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 aº 114º 150º 14. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 75º 80º xº 15. Calcular "aº+qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 130º 40º 60º 2aº aº qº
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 82 4 Saberes previos Recordando loaprendido En este capítulo aprenderemos: • A reconocer las propiedades aprendidas anteriormente. • A diferenciar los tipos de problemas para resolverlos de manera adecuada. • A aplicar las propiedades ya sea en los ángulos correspondientes o en alternos internos, etc. Carpintería metálica Carpintería metálica se denomina al taller, al oficio y al producto elaborado del carpintero que emplea metales para la fabricación de muebles, puertas, ventanas, accesorios, etc. Se conoce como empresas de carpintería metálica a las que utilizan profesionales que se dedican a la fabricación y comercialización de productos metálicos, como acero y aluminio, para los mercados de la construcción, industria y decoración, así como la gama de productos orientada al cerramiento integral de la vivienda: puertas, ventanas, persianas laminadas, extrusionadas, de seguridad, cajones de registro laminados, extrusionados, y de rotura de puente térmico, contraventanas de lamas orientables, mosquiteras, accesorios de accionamiento, rejas de hierro y forjado artístico, etc. • En el gráfico, ¿puedes observar líneas paralelas? qº qº • Ángulos opuestos por el vértice aº bº aº + bº = 180º • Ángulos consecutivos suplementarios aº bº aº+bº=90º • Ángulos consecutivos complementarios CAPITULO 4
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    Geometría Central: 619-8100 83 Unidad III ConceptosbásicosAplicalo comprendido 10 x 5 50 1. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 60º 2xº+10º 2. Calcular "qº", si: !! a // !! b . 8qº 152º a b 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 7xº 63º 4. Calcular "xº", si: !! m // !! n . m n 14xº 70º 5. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 aº 157º 6. Calcular "bº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 61º bº 7. Calcular "qº", si: !! a // !! b . qº 152º a b 8. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L2 L3 L1 xº 42º 53º 9. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! c . xº 50º 60º a b c 10. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 xº 34º 125º
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 84 Recordando lo aprendido ConceptosbásicosAprende más... Comunicación matemática 1. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico: L2 L1 xº yº xº+ ......=........ • Si: !! L1 // !! L2 xº= ......+..... a b xº yº+ zº • Si: !! a // !! b 2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda en los siguientes enunciados. • En los ángulos correspondientes, sus medidas son de diferente medida ..........................( ) • En los ángulos alternos internos, sus medidas suman 180º .............................................( ) 3. Comparar la columna "A" con la columna "B", usando los signos ">"; "<" ó "=". Columna A Signo Columna B qº aº "aº+qº" Si: !! a // !! b . qº wº a b "qº+wº" 4. Nombra cada figura: m n qº qº 5. Indicar que rectas son paralelas entre sí: L2 L3 L4 L1 45º 45º • ............................................................... • ...............................................................
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    Central: 619-8100 85 Unidad III 4Resoluciónde problemas 6. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 3xº–1º 71º 7. Calcular "bº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 78º 4bº–2º 8. Calcular "xº", si: !! a // !! b . 56º 5xº – 4º a b 9. Calcular "xº", si: !! m // !! n . m n 3xº 15º – 2xº 10. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 132º 2qº 11. Si: !! m // !! n , calcular "aº". m n 2aº 58º 12. Calcular "bº", si: !! a // !! b . 4bº 5bº a b 13. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 168º152º qº Aplicación cotidiana El poste Un alumno está ubicado en la posición indicada. Al ser encendido el poste emite un haz de luz como se indica en la figura, originando los ángulos "aº" y "bº". Dato: PQ // BC. 14. Si: m BABC=62º, calcular la medida del ángulo "bº". 15. ¿Cuál será la medida de "aº"? bº P Q C B Haz de luz aº A
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 86 Recordando lo aprendido ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. Si: !! L1 // !! L2 y !! L3 // !! L4 , calcular "qº". L1 L2 L4 L3 4qº 6qº 2. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! c . 72º xº qº 2qº a b c 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 60º xº 4qº qº 4. Calcular "xº", si: !! a // !! b . a b qº 2qº 2aº xº aº 5. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "xº". L1 L2 xº 126º qº aº 2qº 2aº 1. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 5aº 65º 2. Calcular "qº", si: !! a // !! b . a b 24º 12qº 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 16xº 80º 4. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 139º qº
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    Central: 619-8100 87 Unidad III 45. Calcular "qº", si: !! a // !! b . a b qº 137º 6. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L2 L3 L1 xº 60º 135º 7. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! c . b c a xº 50º 80º 8. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 2qº–110º qº 9. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1aº 32º 85º 10. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 60º 4qº 11. Calcular "qº+ aº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L2 L3 qº aº 55º 12. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L3 L2 L1 142º 125º aº 13. Calcular "xº", si: aº+bº=85º y !! L1 // !! L2 . L1 L2 bº aº xº 14. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . 60º xº qº 2qº L2 L3 L1 15. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1qº qº aº aº 35º xº
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 88 5 Triángulos En este capítuloaprenderemos: • A definir y graficar un triángulo. • A conocer la clasificación de los triángulos. • A reconocer los elementos de un triángulo. • A identificar y aplicar las propiedades fundamentales en el triángulo. • A reconocer la diferencia entre ángulos internos y externos del triángulo. • Los veleros son embarcaciones para uso recreativo y deportivo , en su estructura. ¿Puedes observar algún triángulo? El velero Los egipcios fueron los primeros constructores de barcos de vela de los que se tiene noticia. Hace al menos cinco mil años que los fabricaban para navegar por el Nilo y más tarde por el Mediterráneo. Las embarcaciones de vela fueron los primeros medios de transporte a través de largas distancias de agua (ríos, lagos, mares). Actualmente tienen un uso de carácter recreativo, deportivo o educativo. Sin embargo, en algunas zonas del Océano Índico siguen utilizándose con un sentido comercial. Las embarcaciones de vela también tuvieron un uso militar, especialmente en naciones con un fuerte desarrollo colonial transoceánico (Inglaterra, España, Holanda, Francia), hasta el siglo XIX. Hay muchos tipos, pero todas tienen ciertas cosas básicas en común. Todas las embarcaciones de vela tienen un casco protegido por la quilla, aparejo, al menos un mástil para soportar las velas y una orza para no derivar y compensar la fuerza lateral del viento. CAPITULO5
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    Geometría Central: 619-8100 89 Unidad III Conceptosbásicos Saberes previos L1 L2 qº qº • Ángulos opuestos por el vértice. • Ángulos alternos internos ( !! a // !! b ) • Ángulos correspondientes ( !! m // !! n ) • Ángulos consecutivos y suplementarios. aº qº aº+qº=180º qº qº a b aº aº m n Definición Un triángulo es aquella figura geométrica formada por la unión de tres puntos no colineales mediante segmentos de recta. Clasificación El triángulo se clasifica de acuerdo a las longitudes de los lados y a la medida de sus ángulos interiores. De acuerdo a sus lados Triángulo escaleno Tiene lados de diferentes medidas Triángulo isósceles Tiene dos lados de igual medida qº qº base Triángulo equilátero Presenta sus tres lados de igual medida. 60º 60º 60º bº aº qº A B C Elementos: • Vértices: A; B; C • Lados: AB; BC; AC. • Medida de ángulos internos: aº; bº; qº. Notación: triángulo ABC ( ABC)
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 90 Triángulos De acuerdoa sus ángulos bº aº qº Triángulo acutángulo Todos sus ángulos internos son agudos qº Triángulo obtusángulo Un ángulo interno es obtuso qº aº Triángulo rectángulo Un ángulo interno es recto bº aº qº aº+bº+qº=180º Ángulos determinados Propiedades fundamentales Suma de ángulos internos: La suma de medidas de los ángulos internos en todo triángulo es 180º. Medida del ángulo exterior: En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes a él. zº yº xº aº bº qº Medida de los ángulos: • Internos: aº; bº; qº • Externos: xº; yº ; zº xº=bº+qº bº qºxº zº=aº+bº bº aº zº También:
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    Central: 619-8100 91 Unidad III 5 ConceptosbásicosAplicalo comprendido 10 x 5 50 1. Calcular "xº" y clasifica el triángulo PQR. 85º 76º xº P Q R 2. Calcular "qº". 62º 20º qº 3. Calcular "fº" y clasifica el triángulo ABC. fº 33º A B C 4. Calcular "bº" 24º 32º bº 5. Calcular "xº" y clasifica el triángulo ABC. xº 124º A B C 6. Calcular "bº". 32º 48º 2bº 7. Calcular "qº" y clasifica el triángulo PQR. qº 48º 102º P Q R 8. Calcular "xº" y clasifica el triángulo ABC. 3xº xº 80º A B C 9. Calcular "fº", si: AB = BC. 34º fº A B C 10. Calcular "xº" 5xº 14xº
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 92 Triángulos Conceptos básicosAprende más... Comunicaciónmatemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda en los siguientes enunciados. • El triángulo es la figura geométrica que resulta de la unión de tres puntos consecutivos .....( ) • En un vértice, un ángulo interior y un ángulo exterior suman 180º ....................................( ) 2. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico: xº aº bº xº= .... + .... qº aº aº=........ aº qº bº aº +.... + ....= ....... 3. Relaciona mediante flechas. Triángulo equilátero 80º 60º 40º •• Triángulo acutángulo •• Triángulo isósceles 60º 60º 60º •• 4. Grafica haciendo uso de la regla: • El triángulo rectángulo PQR tal que: mBQ=90º. • El triángulo isósceles ABC, de base AC, donde: AB=BC. 5. Completa el gráfico: • Haciendo uso de la regla, une mediante segmentos de recta los puntos no consecutivos "P"; "Q" y "S". ¿Qué figura resulta? .................................... Q P S
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    Central: 619-8100 93 Unidad III 5Resoluciónde problemas 6. Calcular "qº" y clasifica el triángulo ABC. 2qº 45º 3qº A B C 7. Calcular "xº" xº 4xº 130º 8. Calcular "xº", si: AB = AC 24º xº A B C 9. Calcular "qº" y clasifica el triángulo EDU. qº 20º 18º E D U 10. Calcular "xº" 40º 20º xº 15º 11. Calcular "xº" 32º 118º xº 85º 12. Calcular "qº" y clasifica el triángulo qº qº 2qº 13. Calcular "xº" 30º 50º 60º xº Aplicación cotidiana El globo aerostático Un globo aerostático se encuentra suspendido como se muestra en el gráfico y es sostenido por tres cables: AP; PB y PC. 14. Si la mBBPC=20º, calcular: mBAPB. 15. El triángulo formado por los cables AP; PB y el suelo AB, ¿qué clase de triángulo es? P
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 94 Triángulos Conceptos básicosPractica encasa 18:10:45 1. De la figura, calcular "aº+bº" bº 3bº 2aº 3aº40º 2. Calcular "xº". 2xº 5xº 6xº 3. Calcular "xº". 2xº 125º xº 100º 4. Calcular "xº", si: !! L // AC. 70º 130º xº A B C L 5. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 qº qº qº 30ºxº L1 L2 120º 1. Calcular "qº" y clasifica el triángulo ABC. 132º 40ºqºA B C 2. Calcular "aº". 60º 50º aº 3. Calcular "xº" y clasifica el triángulo PQR 82º 73º xº P Q R 4. Calcular "qº" y clasifica el triángulo qº Conceptos básicos¡Tú puedes!
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    Central: 619-8100 95 Unidad III 55. Calcular "qº". 62º 50º 54ºqº 6. Calcular "xº" y clasifica el triángulo. 54º 4xº 2xº 7. Calcular "xº" 135º 3xº 2xº 8. Calcular "xº" y clasifica el triángulo ABC. xº 40º A B C 9. Calcular "qº". 38º 41º 50º qº 10. Calcular "aº". 4aº aº 46º 44º 11. Calcular "xº". 30º 125º 82º xº 12. Calcular "xº" y clasifica el triángulo PQR. xº2xº 3xº P Q R 13. Calcular "xº", si: AB= BC. 30º 40º xº A B CP Q 14. Calcular "xº" y clasifica el triángulo ABC. xº A B CM 15. Calcular "xº". 54º xº
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    AprendiZajes esperados UNIDAD 1 E xistentres sistemas de medición angular y el sistema que usaremos es el sexagesimal. Para la elaboración de estos sistemas se tomó como referencia a la circunferencia. ¿Cómo se mide un ángulo? Todo sobre ángulos UNIDAD 2 • Uso del transportador y compás para la medida angular y trazo de la bisectriz. • Resolver ejercicios sin usar el transportador. • Relacionar ángulos de acuerdo a su medida, tomando como referencia al ángulo recto y al ángulo llano. • Resolución de problemas gráficos con variables y ecuaciones sobre ángulos consecutivos. • Interpretar enunciados para la elaboración de gráficos sobre segmentos y ángulos. • Elaborar propiedades a partir de ejercicios numéricos.
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    Central: 619-8100 Geometría 97 www.trilce.edu.pe 1 Líneas notablesen el triángulo I En este capítulo aprenderemos: • A definir y graficar la bisectriz en el triángulo. • A definir y graficar la mediana en el triángulo • A reconocer la diferencia entre la bisectriz y la mediana en el triángulo. • A desarrollar diversos problemas. • Hay construcciones que presentan estructuras triangulares , un ejemplo es la cabaña mostrada en el gráfico. En uso moderno, una cabaña es una vivienda, típicamente en un área rural, o semi-rural fabricada con materiales humildes (aunque hay viviendas de estilo de cabaña en las ciudades). Originalmente en la Edad Media, las cabañas albergaron a trabajadores agrícolas y a sus familias. Así, las cabañas eran unidades campesinas más pequeñas. En un período temprano, una referencia documental a una cabaña significaría habitualmente no una vivienda independiente pequeña como hoy, sino una vivienda y una granja completas (no obstante, pequeñas). Así en la Edad Media, la palabra cabaña (lat cotagium) parece haber significado no solo una vivienda, sino al menos una vivienda (domus) y un granero (grangia), así como, generalmente, un terreno vallado de tierra cerrado por una puerta (portum). Algunos ejemplos de esto se pueden encontrar en los rollos de los juzgados del siglo XV. La vivienda de tipo cabaña acuñó el nombre latino: domum dicti cotagii, mientras que el granero de la cabaña fue llamado grangia dicti cotagii. Casa triangular CAPITULO
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 98 Líneas notables enel triángulo I Saberes previos Conceptos básicos qº aº aº+qº=180º aº+bº+ qº =180º aº bº qº • La bisectriz: • Ángulos suplementarios: • En el triángulo: • Punto medio del segmento: a a A P B "P": Punto medio del segmento AB A O B Bisectriz del ángulo AOBqº qº Mediana Es el segmento de recta que tiene por extremos a un vértice y al punto medio del lado opuesto de dicho vértice. Bisectriz Bisectriz interior: Es el segmento que divide a un ángulo interno en medidas iguales. A B CP qº qº BP: Bisectriz del triángulo ABC relativa a AC. P Q N R aº aº PN: Bisectriz del triángulo PQR relativa a QR. A B CM BM:Medianadeltriángulo ABC relativa a AC. P Q N R PN: Mediana del triángulo PQR relativa a QR.
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    Central: 619-8100 99 Unidad IV 1 ConceptosbásicosAplicalo comprendido 10 x 5 50 Bisectriz exterior: Es el segmento que divide a un ángulo externo en medidas iguales. BE: Bisectriz exterior del triángulo ABC relativa a AC. aº aº A B C E RS: Bisectriz exterior del triángulo PQR relativa a PQ. P Q R S bº bº 1. Si BN es mediana y NC=13 cm, calcular "x". A B CN 2x – 1 2. Si PE es mediana y QE=12 cm, calcular "x". P Q R E 2x – 4 3. Si CM es mediana y AB=18 cm, calcular "y". A B C M 3y – 3 4. Si CE es bisectriz interior, calcular "qº". A C BE 80º qº 30º 5. Calcular "xº", si PS es bisectriz interior. P Q R S xº 40º 80º 6. Calcular "qº", si BR es bisectriz exterior del triángulo ABC. 60ºqº A B C R
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 100 Líneas notables enel triángulo I Conceptosbásicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico: P Q S R qº aº qº=........... • QS: bisectriz interior A B C M x y x = ........... • AM: mediana 2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda en los siguientes enunciados. • La mediana relativa a un lado divide a dicho lado en dos partes iguales ...........................( ) • La bisectriz exterior divide al ángulo exterior en tres partes de igual medida ................................( ) 3. Relaciona mediante flechas: • Bisectriz interior • qº qº • Mediana • • Bisectriz exterior • aº aº 7. Calcular "bº", si BM es bisectriz exterior del triángulo ABC. A B C M 80º bº 8. Calcular "xº", si QS es bisectriz exterior del triángulo PQR. P Q R S 40º 62º xº 9. Calcular "aº", si QF es bisectriz interior del triángulo PQR. 42º aº 88º P Q RF 10. Calcular "bº", si RS es bisectriz exterior del triángulo PQR. R 30º P Q S bº
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    Central: 619-8100 101 Unidad IV 14. Completar los siguientes enunciados con las palabras del recuadro. • La ....................... divide al lado opuesto en.............................. iguales. • La .................................. divide al ángulo .................................. en dos ángulos de igual medida. dos partes - bisectriz exterior - mediana - externo 5. Grafica haciendo uso de la regla: • El triángulo ABC y traza la mediana CE relativa al lado AB. • El triángulo PQR y traza la bisectriz interior PE relativa al lado QR. Resolución de problemas 6. Si QN es mediana, calcular "y", si: NP=18. E P Q Ny+24 7. Calcular "qº", si BN es bisectriz interior. A B CN 75º qº+ 20º 8. Calcular "bº", si MN es bisectriz exterior del triángulo ATM. 40º A T M N bº 100º 9. Calcular "x", si AM es mediana. A B C M 3x+1 13 10. Calcular "xº", si BF es bisectriz interior. 35º 65º A B C F xº 11. Calcular "xº", si RE es bisectriz exterior del triángulo ARQ. 35º 95º xº A R Q E 12. Calcular "qº", si QF es bisectriz interior. P Q F R 30º 80ºqº 13. Calcular "xº", si CP es bisectriz exterior del triángulo ABC. 54º A B C P 86º xº
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 102 Líneas notables enel triángulo I Conceptos básicos¡Tú puedes! Aplicación cotidiana Tiro al blanco Rubén, Julio y Eduardo están practicando tiro al blanco, para lo cual se colocan de manera alineada sobre la línea AC. Rubén y Eduardo se encuentran en los extremos "A" y "C". 14. Si la distancia entre Rubén y Eduardo es de 14 m y se observa que en el triángulo AMC, MB es mediana, calcular "x". 15. Julio desea calcular la mBAMC y observa que mBAMB=50º y MB es bisectriz interior del triángulo AMC. A B C x+6 M 1. Si AE y CF son bisectrices interiores, calcular "qº". A B qº C EF 70º 2. Calcular "BC", si AM es mediana. A B C M x2+16 8x 3. Calcular "xº", si BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. xº 60º 155º A B C E 4. Calcular "AM", si BM es mediana y el perímetro del triángulo ABC es 28 m. A B CM 7 m 9 m 5. Calcular "qº", si AP es bisectriz interior. A B C P qº 72º 35º
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    Central: 619-8100 103 Unidad IV 1 ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 1. Calcular "AC", si BM es mediana. A B C M 6 cm 2. Calcular "xº", si BM es bisectriz interior. A B CM 2xº 30º–xº 3. Calcular "qº", si BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. qº A B C E 80º 4. Calcular "PR", si QS es mediana. P Q R S 12 5. Calcular "aº", si BM es bisectriz interior. A B C M 82º 30º aº 6. Calcular "bº", si UM es bisectriz exterior del triángulo EDU. 82º bºE D M U 7. Calcular "qº", si QS es bisectriz interior. 70º 50º qº P Q R S 8. Calcular "aº", si BM es bisectriz exterior del triángulo ABC. 50ºaº A B C M 9. Si AE es bisectriz interior, calcular "qº". A B E C qº 75º 25º 10. Si AE es bisectriz interior, calcular "qº". 32º qº A B C E
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 104 Líneas notables enel triángulo I 11. Calcular "qº", si BP es bisectriz exterior del triángulo ABC. qº 35º 85º A B C P 12. Calcular "x", si BM es mediana y AM+AC=42 cm. A B CM x 13. Calcular "qº", si AP es bisectriz interior. A B P C qº 60º 32º 14. Calcular "xº", si BM es bisectriz exterior del triángulo ABC. 60º 80º xº A B C M 15. Calcular "qº", si BP es bisectriz exterior del triángulo ABC. qº32º A B C P
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    Central: 619-8100 Geometría 105 www.trilce.edu.pe 2 Central: 619-8100 Líneasnotables en el triángulo II En este capítulo aprenderemos: • A definir y graficar la altura en el triángulo. • A definir y graficar la mediatriz en el triángulo • A reconocer la diferencia entre la altura y la mediatriz. • A desarrollar diversos problemas. • En la estructura del puente Centenario de Panamá, se observa una simetría en la estructura. El puente Centenario El puente Centenario es el segundo puente permanente en cruzar el canal de Panamá, el primer puente fue el "Puente de las Américas". Otros puentes de menor tamaño fueron construidos en las compuertas de las esclusas de Miraflores y Gatún, pero estos puentes solo se pueden usar cuando las puertas de las compuertas están cerradas y además tienen un límite de capacidad muy estricto. El puente Centenario se ubica a 15 kilómetros (9 millas) al norte del "Puente de las Américas" y cruza el Corte Gaillard cerca de las esclusas de Pedro Miguel. Las nuevas secciones de la autopista que conectan a Arraiján con el este a Cerro Patacón en la vía este del puente, alivian significativamente la congestión con el "Puente de las Américas". El puente tiene un diseño atirantado con un largo total de 1 052 m (3 451 pies) su arco principal mide 320 m (1 050 pies) y con una elevación de 80 metros (262 pies) sobre el canal de Panamá permitiendo que los grandes buques pasen por debajo de este. El puente esta apoyado por dos torres de 184 m (604 pies) de alto. Tiene la capacidad de albergar 6 carriles de tráfico a través del canal. El puente fue diseñado para soportar los temblores los cuales son registrados con frecuencia en la zona del canal. La torre oeste del puente fue construida con 50 metros tierra adentro para permitir la ampliación del canal de Panamá. CAPITULO
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 106 Líneas notables enel triángulo II Conceptos básicos Saberes previos L1 L2 aº qº bº aº+bº+qº=180º • Rectas perpendiculares: • Distancia de un punto a una recta: • Punto medio: • En el triángulo: P L d "d": distancia de "P" a !! L P A B m m "P": punto medio del segmento AB • En la figura: A P B El punto "P" equidista de los puntos "A" y "B" Altura Es el segmento trazado desde un vértice en forma perpendicular al lado opuesto de un triángulo. En el triángulo acutángulo A B C H BH: altura del triángulo ABC relativa a AC. En el triángulo obtusángulo A B CH BH: altura del triángulo ABC relativa a AC. En el triángulo rectángulo A B C AB: altura del triángulo ABC relativa a AC.
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    Central: 619-8100 107 Unidad IV 2 ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Mediatriz Es la recta perpendicular en el punto medio de un segmento de recta. L A B !! L : mediatriz de AB P Q m !! m: mediatriz de PQ. Mediatriz en el triángulo: A B C L !! L: mediatriz del lado AC. Q P R m !! m: mediatriz del lado PQ. !! n : mediatriz relativa al lado BC del triángulo ABC. A B C n 1. Calcular "xº", si BQ es altura. A B C Q xº 30º 2. Calcular "qº", si BH es altura. 30º 10º qº A B CH 3. Calcular "x", si !! L es mediatriz de AB y AB=12 cm. A B CL x 4. Calcular "qº", si !! m es mediatriz de PF. P E F m qº 65º
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 108 Líneas notables enel triángulo II Conceptosbásicos Aprende más... 5. Calcular "aº", si !! L es mediatriz de PR. P R L Q 60º 100º aº 6. Calcular "qº", si AH es altura. A B C H qº 45º 7. Calcular "aº", si !! L es mediatriz de AC. A B C L 95º 60º aº 8. Calcular "qº", si QP es la altura relativa a PR. qº 32º P Q R 9. Calcular "x", si !! L es mediatriz de BC y BC=22 cm. A B C L 3x – 1 10. Calcular "qº", si !! L es mediatriz de BC. 30º qº 25º A B C L Comunicación matemática 1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico. x = ............ L P Q x y • !! L : mediatriz de PQ. xº = .......... A B C H xº • AH: altura 2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda en los siguientes enunciados: • La altura es una recta que divide al lado opuesto en dos partes iguales ............................... ( ) • La mediatriz en un triángulo equilátero coincide con la altura ............................................ ( )
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    Central: 619-8100 109 Unidad IV 23. Relaciona mediante flechas. Bisectriz interior • • Mediatriz qº qº • • Altura • • 4. Completar los siguientes enunciados con las palabras del recuadro. • La .......................... es la ........................ perpendicular a un .......................... en su punto medio. • La ....................... es siempre perpendicular al lado .............................. altura - mediatriz - recta - lado - opuesto 5. Grafica haciendo uso de la regla. • En el triángulo ABC mostrado, traza la mediatriz relativa a AB. A B C Resolución de problemas 6. Calcular "aº+bº", si BH es altura. aº 60º 70º bº A B CH 7. Calcular "aº", si BH es altura. A B CH 45º 15º aº 8. Calcular "x", si !! L es mediatriz de AC. A B C L 2x+1 13 9. Calcular "qº", si BH es altura. A B C qº 35º H
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 110 Líneas notables enel triángulo II Conceptosbásicos ¡Tú puedes! Aplicación cotidiana El puente Un puente es sujetado mediante cables en los puntos "A"; "B"; "C"; "D"; "E" y "F"; para darle mayor estabilidad. Dato: AB=BC=CQ=QD=DE=EF. 14. Si el cable: AP=15 km y PF=3x – 6, calcular "x". 15. Un ingeniero observa que mBQPD=20º. Calcular "qº". 1. Calcular "xº", si !! L es mediatriz de AC: 2qº qº A B P C L 60º xº 2. Calcular "qº", si BH es altura. A B C H qº 5qº – 80º 10. Calcular "aº", si !! L es mediatriz de PR. P Q R L 65º aº 11. Calcular "qº", si !! m es mediatriz de BC. 70º 80º A B C m qº 12. Calcular "xº", si BH es altura. A B CH 62º xº 13. Calcular "qº", si !! n es mediatriz de BC. 5qº 3qº qº A B C n A B D E F P QqºC
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    Central: 619-8100 111 Unidad IV 2 ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 1. Calcular "qº", si BH es altura. A B CH qº 50º 2. Calcular "aº", si CP es altura. A B C P 70º aº 3. Calcular "qº", si BH es altura. A B C H qº 55º 4. Calcular "xº", si !! L es mediatriz de PR. P Q R L 75º 80º xº 5. Calcular "qº", si !! n es mediatriz de QR. Q P R n qº 25º 6. Calcular "x", si !! L es mediatriz de AB y además AB = 14 cm y AP= 2x –1. A B P C L 3. Calcular el ángulo formado por AH y CP. 30º 40º A B C H P 4. Calcular "x", si !! L es mediatriz de AC A B C L 3aº aº P 80º xº 5. Si !! m y !! n son mediatrices de BC y AC, calcular "xº". A B C 120º 130º xº n m
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 112 Líneas notables enel triángulo II 7. Calcular "qº", si !! m es mediatriz de CB. 40º qº 15º A B C m 8. Calcular "qº", si QH es altura. qº 36º P Q R H 9. Calcular "xº", si FM es altura. A M F E 42º 36º xº 10. Calcular "xº", si !! n es mediatriz de AB. A B n C xº 54º 68º 11. Calcular "xº–yº", si AH es altura. A E H N yº xº 80º 70º 12. Calcular "qº", si !! L es mediatriz de AC. 25º 100º qº A B C L 13. Calcular "qº", si BH y AP son alturas. A B P C H 3qº qº 14. Calcular "qº", si BH y CP son alturas. A C B H P qº 45º 30º 15. Calcular "xº", si !! L es mediatriz de AB. 30º 32º A B C L xº
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    Central: 619-8100 Geometría 113 www.trilce.edu.pe 3 Central: 619-8100 • En el gráfico mostrado, ¿puedes observar triángulos? Pitágoras nació en la isla de Samos en el año 582 a. C. Siendo muy joven viajó a Mesopotamia y Egipto (también, fue enviado por su tío, Zoilo, a Mitilene a estudiar con Ferécides de Siros y tal vez con su padre, Badio de Siros). Tras regresar a Samos, finalizó sus estudios, según Diógenes Laercio con Hermodamas de Samos y luego fundó su primera escuela durante la tiranía de Polícrates. Abandonó Samos para escapar de la tiranía de Polícrates y se estableció en la Magna Grecia, en Crotona alrededor del 525 a. C., en el sur de Italia, donde fundó su segunda escuela. Las doctrinas de este centro cultural eran regidas por reglas muy estrictas de conducta. Su escuela (aunque rigurosamente esotérica) estaba abierta a hombres y mujeres indistintamente, y la conducta discriminatoria estaba prohibida (excepto impartir conocimiento a los no iniciados). Sus estudiantes pertenecían a todas las razas, religiones, y estratos económicos y sociales. Tras ser expulsados por los pobladores de Crotona, los pitagóricos se exiliaron en Tarento donde se fundó su tercera escuela. Poco se sabe de la niñez de Pitágoras. Todas las pistas de su aspecto físico probablemente sean ficticias excepto la descripción de una marca de nacimiento llamativa que Pitágoras tenía en el muslo. Es probable que tuviera dos hermanos aunque algunas fuentes dicen que tenía tres. Era ciertamente instruido, aprendió a tocar la lira, a escribir poesía y a recitar a Homero. Había tres filósofos, entre sus profesores, que debieron de haber influido a Pitágoras en su juventud. El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el método pitagórico para la purificación y perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como armonía; en virtud de ésta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico, y si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las cosas. Pitágoras CAPITULO Repaso bimestral
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 114 Repaso bimestral Conceptos básicosAplicalo comprendido 10 x 5 50 1. Calcular "bº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 10bº 70º 2. Calcular "xº", si: !! a // !! b. a b 35º 2xº – 1º 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3. L2 L3 L1 xº 50º 62º 4. Calcular "xº". 3xº 54º 5. Calcular "xº" xº 80º 112º 6. Calcular "qº", si BE es bisectriz interior. A B C E qº 82º 40º 7. Calcular "qº", si QM es bisectriz exterior del triángulo PQR. 62º P Q R M qº 8. Calcular "x", si BM es mediana. A B CM 3x – 4 11 9. Calcular "aº", si QS es altura. P Q R 41º S aº 10. Calcular "qº", si !! n es mediatriz de AC. A B C n 42º 60º qº
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    Central: 619-8100 115 Unidad IV 3 ConceptosbásicosAprende más... Comunicación matemática 1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico. qº aº xº xº= ..... + ..... aº qº aº+qº= ........ qº wºA B C M qº=........... AM: bisectriz 2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda en los siguientes enunciados. • En un triángulo rectángulo, la suma de sus ángulos agudos es 90º ................................... ( ) • La mediatriz es una recta perpendicular en el punto medio de un segmento ................... ( ) 3. Relaciona mediante flechas. Ángulos alternos internos • • qº qº Mediatriz• • Altura• • 4. Completa los enunciados. • El triángulo que tiene sus tres lados de igual medida se llama .......................................... • El triángulo que presenta un ángulo obtuso se llama ........................................................ 5. Grafique haciendo uso de la regla. • Trace la altura BH y la mediana BM, luego sombrea el triángulo HBM. A B C • Traza la mediatriz relativa a AC y que corta a BC en "Q", sombrea el triángulo ABQ. A B C
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    116 Repaso bimestral CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Resolución deproblemas 6. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2. L1 L2 150º 3xº 7. Calcular "xº", si: !! a // !! b. 85º 5xº – 15º a b 8. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3. L1 L3 L2 xº 60º 140º 9. Calcular "yº". 40º 120º yº 10. Calcular "xº" 80º 70º xº60º 11. Calcular "x", si AM es mediana. A B C M 3x+10 5x – 4 12. Calcular "aº", si BP es bisectriz exterior del triángulo ABC. 48º 112º aº A B C P 13. Calcular "qº", si !! m es mediatriz de BC. 12º 30º qº A B C m Aplicación cotidiana El helicóptero Un helicóptero de reconocimiento trata de detectar loscuartelesdeabastecimientodelastropasenemigas. Al ser detectado por los radares del enemigo, el cañón "A" y el cañón "B" le disparan misiles con ángulos de inclinación "aº" y "bº"; como se muestra en la figura. 14. Si en un determinado momento: aº=54º y bº=67º, se pide calcular: mBAHB. 15. Para las condiciones anteriores, un observador desea calcular la mBBHP. aº bºA B P H
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    117 Unidad IV 3 Central: 619-8100 ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Calcular "xº", si: !! a // !! b. a b 2xº 3xº 3xº xº 2. Calcular "xº", si: a+b =270º. xº aº bº 3. Si !! m es mediatriz de AC y AS es bisectriz interior, calcular: mBABC. A B C S 130º 60º m 4. Calcular "xº" 62º qºqº aº aº xº A B C 5. Calcular "AB", si !! m es mediatriz de AC y además: PC=13 cm. A B P C m aº 2aº 1. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2. 42º 3xº+6º L1 L2 2. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2. L1 L2 143º aº 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3. L2 L3 L1 xº 120º 132º 4. Calcular "aº". 80º aº+30º aº+16º
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    118 Repaso bimestral CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 5. Calcular"qº". 62º qº 6. Calcular "qº" 85º 60º 45º qº 7. Calcular "aº", si CH es altura. 86º aºA B C H 8. Calcular "x", si BM es mediana. A B CM 2x – 4 18 9. Calcular "y", si QS es mediana. Q P R S 30 y2 – 6 10. Calcular "qº", si BP es bisectriz exterior del triángulo ABC. A B C P qº 60º 80º 11. Calcular "bº", si RM es bisectriz exterior del triángulo PQR. P Q R M 40º bº 12. Calcular "qº", si !! L es mediatriz de AC. A B C L 60º qº 13. Calcular "bº". 42º 65º bº 14. Calcular "qº". P Q M R 40º qº 15. En la figura, calcular "xº". P Q 36º xº A B C
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    AprendiZajes esperados UNIDAD 1 L abase económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos. ¿Cuál es la etimología de Geometría? ¿Qué estudia la Geometría? ¿Qué es postulado? Conociendoalageometría UNIDAD 1 • Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos. • Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte. • Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables. • Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás. • Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables.
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 120 Ordenamiento lineal ycircular 1 • Tan grandes fueron los incas que lo demostraron en su arquitectura. ¿Observas algún polígono en la figura? Piedra de los doce ángulos, en la calle Hatum Rumiyoc, Cusco Estudiando las figuras de más de tres lados En este capítulo aprenderemos a: • Definir e identificar al polígono y su clasificación. • Reconocer los elementos del polígono. • Graficar al polígono con sus respectivos elementos. http://condor2008.wikispaces.com L a arquitectura desarrollada en el incario se caracteriza por la sencillez de sus formas, su solidez, su simetría y por buscar que sus construcciones armonicen el paisaje. A diferencia de sociedades costeñas, como la Chimú, los incas utilizaron una decoración bastante sobria. El principal material utilizado fue la piedra, en las construcciones más simples era colocada sin tallar, no así en las más complejas e importantes. Los constructores incas desarrollaron técnicas para levantar muros enormes, verdaderos mosaicos formados por bloques de piedra tallada que encajaban perfectamente, sin que entre ellos pudiera pasar ni un alfiler. Muchas veces esos bloques eran tan grandes que resulta difícil imaginar su colocación, las mejores muestras de esta habilidad se encuentran en la zona del Cusco. Se sabe que los mejores talladores de piedra eran collas, provenientes del Altiplano y que muchos de ellos fueron llevados al Cusco para servir al estado. La arquitectura en el Incanato 1
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    Geometría Central: 619-8100 121 Unidad V Conceptosbásicos Saberes previos A B C D • Puntos no colineales "A"; "B"; "C" y "D" son puntos no colineales A B C Lado Lado Lado "A"; "B" y "C": vértices • En el triángulo A B • Menor distancia entre dos puntos qº aº • Dos ángulos suplementarios aº + qº =180º A B C D E Región interior Elementos • Vértices : "A"; "B"; "C"; "D"; "E" • Lados : AB; BC; CD; DE; AE Notación: Polígono ABCDE. Definición Polígono es aquella figura geométrica que se forma al unir tres o más puntos no colineales de un mismo plano mediante segmentos de recta.
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 122 Estudiando las figurasde más de tres lados • Diagonales : AC; BD; ... • Medida de ángulos internos : "aº"; "bº"; "qº"; "wº"; "fº" • Medida de ángulos externos : e1; e2; e3; e4; e5 A B C D E e1 e2 e3 e4 e5 bº aº qº fº wº • 1 B interior + 1 B exterior = 180º Ejemplo: aº + e1 =180º wº + e4 = 180º Elementos asociados Clasificación Según su región interior Polígono convexo Polígono no convexo Según las medidas de sus elementos Polígono equilátero: Es aquel polígono que tiene todos sus lados de igual medida. Polígono equilátero no convexo Polígono equilátero convexo Polígono equiángulo: Es aquel que tiene todos sus ángulos internos de igual medida. qº qº qº qº qºqº Ten en cuenta
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    Central: 619-8100 123 Unidad V 1 ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Número de lados Nombre 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octágono 9 Nonágono 10 Decágono 11 Endecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono Polígono regular: Es aquel polígono que es equilátero y equiángulo a la vez. Cuadrado 60º 60º 60º Triángulo equilátero Según su número de lados 1. Según su región y número de lados, nombra el polígono mostrado. A B C D E 2. Según su número de lados, nombra el polígono mostrado. A B C D E G F
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 124 Estudiando las figurasde más de tres lados 3. En la figura, traza las diagonales AD y AC. A B C D E 4. En la figura, traza todas las diagonales del polígono. ¿Cuántas son? AB C D E F 5. En la figura, traza todas las diagonales posibles del vértice "B". A B C D E F 6. Según su número de lados y región, nombra el polígono mostrado. A B C D E F 7. En la figura, traza todas las diagonales posibles del vértice "P". A B C D E P 8. Según su número de lados y región, nombra el polígono mostrado y traza cuatro de sus diagonales. A B C D E H F G 9. En la figura, se han trazado dos de sus diagonales, ¿cuántas faltan trazar? AB C D E F 10. Según su región y número de lados, nombra el polígono mostrado.
  • 125.
    Central: 619-8100 125 Unidad V 1 ConceptosbásicosAprende más... Comunicación matemática 1. Nombra los elementos del siguiente polígono: A B C D E aº bº wº fº qº • Vértices : ........................................ • Lados : ........................................... • Ángulos internos : ........................... 2. Nombra los polígonos mostrados, según su número de lados: ............................................................................ 3. Identifica al polígono convexo y al no convexo. .............................................. .............................................. 4. Traza las diagonales del siguiente polígono: A B CD 5. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: • Un triángulo es un polígono convexo................................................................................( ) • Un cuadrado es un polígono no convexo .........................................................................( ) • Una diagonal es un segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono........( ) • Un triángulo equilátero es un polígono regular..................................................................( ) • Los polígonos, de acuerdo a su región, pueden ser convexos o no convexo......................( )
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 126 Estudiando las figurasde más de tres lados Resolución de problemas 6. Según su región, nombra los polígonos mostrados. A B C A B C D E F 7. Según su número de lados, nombra los polígonos mostrados. A B CD 8. Grafica un heptágono convexo ABCDEFG y traza todas las diagonales posibles del vértice "A". 9. Grafica un pentágono no convexo y traza dos de sus diagonales. 10. Grafica un cuadrilátero convexo y traza todas sus diagonales. 11. Según su número de lados, nombra los polígonos mostrados. 12. Traza las diagonales del vértice "P". A B C D P 13. Traza las diagonales de los vértices "A" y "B". A B C D E Aplicación cotidiana Cercando el terreno Eduardo compró un terreno de forma hexagonal equilátera, como se muestra en la figura. 14. Si el lado AF = 10 m, calcula el perímetro del terreno de Eduardo. 15. Si Eduardo coloca estacas como en la figura mostrada y cerca su terreno con un cerco metálico, ¿cuánto gastará en dicho cerco, si el costo por metro es de S/. 20? A B C D E F 10m
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    Central: 619-8100 127 Unidad V 1 ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Grafica un endecágono. 2. Según su número de lados y región, nombra el polígono mostrado. 3. ¿Cuántas diagonales faltan trazar en la figura? A B C D E F G 4. Grafica un dodecágono. 5. Si el polígono mostrado es equilátero y su perímetro es "13x + 18", calcula "x". x+3 1. Nombra el polígono, de acuerdo a su región. 2. Nombra el polígono, de acuerdo a su número de lados. 3. Grafica las diagonales del vértice "P". P 4. En la figura, traza todas las diagonales de los vértices "Q" y "R". ¿Cuántas son? R Q 5. En la figura, grafica todas las diagonales trazadas desde "P". P 6. Grafica un cuadrilátero convexo y traza todas sus diagonales.
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 128 Estudiando las figurasde más de tres lados 7. En la figura, ¿cuántas diagonales faltan trazar? 8. ¿Cómo se llama el polígono mostrado, de acuerdo a su número de lados? 9. Grafica un pentágono convexo y desde uno de sus vértices traza todas las diagonales posibles. 10. Grafica un pentágono no convexo y traza todas sus diagonales. 11. Grafica un hexágono convexo y traza desde dos vértices consecutivos todas las diagonales posibles. 12. ¿Cómo se llama el polígono de 20 lados? 13. ¿Qué polígonos son convexos? I) II) III) IV) 14. Grafica un heptágono convexo y traza todas sus diagonales desde un solo vértice. 15. Grafica un octógono convexo en el que un ángulo interno mida 120º.
  • 129.
    Central: 619-8100 Geometría 129 www.trilce.edu.pe 2 Central: 619-8100 • Maqueta de una cúpula geodésica. ¿Observas algún polígono en la figura? ¿Cuál será la suma de ángulos internos? En este capítulo aprenderemos a: • Calcular la suma de ángulos internos usando las diagonales del polígono. • Mencionar y aplicar la propiedad de la suma de ángulos internos. • Desarrollar diversos problemas sobre la propiedad de suma de ángulos internos. L as caras de una cúpula geodésica pueden ser triángulos, hexágonos o cualquier otro polígono. Los vértices deben coincidir todos con la superficie de una esfera o un elipsoide (si los vértices no quedan en la superficie, la cúpula ya no es geodésica). El número de veces que las aristas del icosaedro o dodecaedro son subdivididas, dando lugar a triángulos más pequeños, se llama frecuencia de la esfera o cúpula geodésica. Para la esfera geodésica se cumple el teorema de poliedros de Euler, que indica: C + V − A = 2 Las cúpulas geodésicas, a diferencia de las cúpulas conformadas por celosías tridimensionales, pueden sufrir pandeo global sin que ninguna de las barras comprimidas que las forman haya sufrido pandeo local. Eso implica que un cálculo como estructura lineal convencional, y comprobación posterior de pandeo local, puede no ser adecuado en muchos casos, y para grandes luces se requiere de un cálculo no-lineal, con el fin de determinar sus cargas críticas y asegurarse de que no se producen fenómenos de inestabilidad elástica. http://bioantu.ning.com
  • 130.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 130 ¿Cuál será lasuma de ángulos internos? Conceptos básicos Saberes previos A B C D E aº qº aº + qº = 180º • En el triángulo • Diagonal de un polígono • En el gráfico AC y AD : Diagonales trazadas del vértice "A" aº + bº + qº = 180º aº bº qº A B C En todo polígono Número de lados = Número de vértices = n A B C D Número de lados = 4 Número de vértices = 4 ⇒ n= 4 A B C D E F Número de lados = 6 Número de vértices = 6 ⇒ n= 6 A B C D E F G H Número de lados = 8 Número de vértices = 8 ⇒ n= 8 Ejemplo Ejemplo
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    Central: 619-8100 131 Unidad V 2 ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Suma de ángulos internos (Si ) aº qº bº mº nº pº Si=180º×2=360º En el cuadrilátero aº bº qº yº zº xº mº pº nº Si=180º×3=540º En el pentágono Si=180º×4=720º En el hexágono En un polígono de "n" lados Si = 180º (n – 2) 1. En la figura, traza las diagonales del vértice "A". ¿Cuántos triángulos se forman? A B C D E 2. En la figura, traza todas las diagonales del vértice "P". ¿Cuántos triángulos se forman? P 3. Traza todas las diagonales del vértice "B" y calcula la suma de ángulos internos del polígono. A B C D E F 4. Traza todas las diagonales del vértice "R". R 5. Calcula la suma de ángulos internos del polígono. A B C D E 6. Calcula la suma de ángulos internos del nonágono. 7. Calcula la suma de ángulos internos del pentadecágono. 8. Calcula la suma de ángulos internos del icoságono.
  • 132.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 132 ¿Cuál será lasuma de ángulos internos? Conceptosbásicos Aprende más... 9. En la figura, calcula la suma de ángulos internos del polígono. 10. En la figura, calcula "xº" A B C D E xº xº 100º 120º 120º Comunicación matemática 1. En las figuras, trazando diagonales desde un vértice, ¿cuántos triángulos se forman en cada caso? Número de triángulos Número de triángulos 2. Completa de acuerdo con el enunciado. • Pentágono n= • Octógono n= • Pentadecágono n= • Icoságono n= 3. ¿Cuántos vértices tienen las figuras mostradas? Número de vértices = Número de vértices = Número de vértices = 4. Completa en cada caso, la suma de ángulos internos (Si). • Pentágono Si= • Dodecágono Si= • Cuadrilátero Si= • Heptágono Si=
  • 133.
    Central: 619-8100 133 Unidad V 25. Completa en cada caso: • aº bº qº aº + bº + qº = • En todo polígono: Si =180º( – ) donde: "Si" es la suma de ángulos internos. Resolución de problemas 6. En la figura, traza las diagonales del vértice "P". ¿Cuántos triángulos se forman? P 7. En la figura, traza las diagonales del vértice "R" y calcula la suma de ángulos internos del polígono. R 8. Calcula la suma de ángulos internos de un polígono de trece lados. 9. Calcula el número de lados del polígono cuyos ángulos internos suman 900º. 10. Calcula el número de vértices del polígono cuyos ángulos internos suman 1 260º. 11. Calcula el número de lados del polígono cuyos ángulos internos suman 2 520º. 12. En el gráfico, calcula "aº". 40ºaº aº aº aº A B C D E 13. En la figura, calcula "xº". A B C D E F G xº xº xº xº 140º 100º 120º Aplicación cotidiana La ronda Unos niños están sujetando cuerdas, como se muestra en la figura regular ABCDEF. 14. Si AF=4 m, calcula la longitud total de la cuerda usada en este juego. 15. Calcula el ángulo formado por el niño que está en la posición "D". A B C D E F
  • 134.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 134 ¿Cuál será lasuma de ángulos internos? Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. En la figura, calcula "xº". xº xº xº 120º 120º 2. En el gráfico, calcula "xº", si: aº + qº = 180º xº xº xº aº qº 3. Calcula la suma de ángulos internos del polígono mostrado. 4. En la figura, calcula "xº" xº xº xº 60º 70º 50º 5. En el gráfico, calcula "mº + nº" A B C D E F 140º mº nº 130º 110º 120º qº qºaº aº 1. En la figura, al trazar las diagonales del vértice "A", ¿cuántos triángulos se forman? A 2. En la figura, trazando las diagonales del vértice "P", ¿cuántos triángulos se forman? P 3. Traza las diagonales del vértice "R" y calcula la suma de ángulos internos del polígono. R 4. Calcula la suma de ángulos internos del octógono. 5. Calcula la suma de ángulos internos del decágono. 6. Calcula la suma de ángulos internos del endecágono.
  • 135.
    Central: 619-8100 135 Unidad V 27. Calcula la suma de ángulos internos del polígono de catorce vértices. 8. Calcula la suma de ángulos internos del polígono de dieciocho lados. 9. Calcula la suma de ángulos internos del polígono mostrado. 10. Si la suma de ángulos internos de un polígono es 5 400º, calcula el número de lados. 11. Calcula el número de lados del polígono cuyos ángulos internos suman 4 320º. 12. Calcula el número de vértices del polígono cuyos ángulos internos suman 2 160º. 13. En la figura, calcula "xº". xº 2xº xº xº 140º A B C D E 14. En la figura, calcula "xº". 2xº xº xº 150º 100º 15. Calcula el número de lados de un polígono, si el número de lados más la suma de ángulos internos es 364.
  • 136.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 136 Ordenamiento lineal ycircular 3 • Las velas de muchas embarcaciones, en la antigüedad, presentaban formas trapezoidales. ¿Observas alguna vela con dicha forma? Estudiando las figuras de cuatro lados En este capítulo aprenderemos a: • Definir un cuadrilátero. • Reconocer y diferenciar un trapezoide y un trapecio. • Graficar un trapecio y un trapezoide. • Reconocer y aplicar las propiedades en un trapezoide y un trapecio. E l velero de mástiles altos o gran velero es un barco tradicional equipado con velamen y aparejos aptos para la navegación propulsada por el viento. Entre estos populares barcos de mástil alto se encuentran las goletas, brics (tipo bergantín con velas trapeciales, además de la mesana, que tiene velas alineadas proa-popa), fragatas y bergantines. Los aparejos tradicionales de este tipo de barcos pueden incluir velas cuadradas y velas aúricas con mástil y gavia separados. Estos aparejos son por lo general más complejos que los encontrados en los barcos de vela modernos, los cuales utilizan materiales contemporáneos, como el aluminio y acero, que les permiten tener mástiles más altos y ligeros, con menos pero más versátiles velas. El término "velero de mástil alto" se popularizó a partir de la segunda mitad del siglo XX con el desarrollo de las carreras de veleros de mástiles altos. http://www.plataformaarquitectura.cl 3
  • 137.
    Geometría Central: 619-8100 137 Unidad V Conceptosbásicos Saberes previos A B C D Cuadrilátero convexo P Q S R Cuadrilátero no convexo aº bº qº fº A B C D aº + bº + qº + fº = 360º Definición El cuadrilátero es el polígono de cuatro lados. Tipos de cuadriláteros convexos Trapezoide Es el cuadrilátero que no tiene lados paralelos. aº qº aº + qº = 180º • En la figura aº qº L1 L2 aº + qº = 180º • En el gráfico (L1 // L2) d L1 L2 • Distancia entre rectas (L1 // L2) • Triángulo isósceles qº qº Base d : distancia entre "L1" y "L2"
  • 138.
    138 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Estudiando las figurasde cuatro lados A B C D Base menor Altura Lado lateral Base mayor • BC // AD A B C D a b En la figura: • BC // AD • a ≠ b Trapecios Es el cuadrilátero que tiene solo un par de lados opuestos paralelos, a los que se les llama bases. Clasificación de trapecios Trapecio escaleno Es aquel que tiene sus lados laterales de diferente longitud. En la figura: • BC // AD A B C D a a aº aº qºqº En la figura: • BC // AD A B C D Trapecio isósceles Es aquel que tiene sus lados laterales de igual medida. Trapecio rectángulo Es aquel que tiene dos de sus ángulos interiores consecutivos rectos. En la figura: • BC // AD A B C D bº aº fº qº aº + bº = 180º qº + fº = 180º Propiedad de todo trapecio
  • 139.
    Central: 619-8100 139 Unidad V 139 3 ConceptosbásicosAplicalo comprendido 10 x 5 50 1. En la figura, calcula "xº". A B C D 3xº 4xº 2xº xº 2. En la figura, calcula "xº". xº 140º 60º 3. En el trapecio ABCD (BC // AD), calcula "xº". A B C D xº 80º 4. En el trapecio ABCD (BC// AD), calcula "xº". A B C D 5xº 4xº 5. En el trapecio isósceles (AB=CD), calcula "xº". A B C D xº 65º 6. En el trapecio rectángulo, calcula "xº". A B C D 110º xº+10º  7. En la figura (AB // CD), calcula "xº". A B C D 78º xº 8. En el trapezoide, calcula "xº". xº 85º 75º 9. En el trapezoide, calcula "qº". 60º 80º qº 10. En la figura, calcula "aº". 80º 140º aº
  • 140.
    140 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Estudiando las figurasde cuatro lados Conceptos básicosAprende más... Comunicación matemática 1. Completa, dependiendo de cada gráfico. bº aº qº fº aº+bº+qº+fº= aº qº A B C D aº+ = Si: BC // AD bº qº A B C D bº+ = Si: BC // AD 2. Para el trapecio mostrado (BC // AD), marca "V" o "F" según corresponda: qºbº aº fº A B C D • BC y AD son las bases ................................................................................................ ( ) • A AB se le llama lado lateral ....................................................................................... ( ) • En la figura: aº+qº=180º........................................................................................... ( ) • En la figura: aº=fº...................................................................................................... ( ) 3. En el trapecio mostrado, completa los elementos de la figura: A B C D 4. Grafica un trapezoide convexo ABCD y traza todas sus diagonales. 5. Marca "V" o "F", según corresponda: • Un trapezoide es un cuadrilátero que no presenta lados opuestos paralelos................ ( ) • La suma de ángulos internos de un trapezoide es 360º................................................ ( ) • En la figura: aº qº  aº+qº=90º............................................................................... ( ) • Los trapezoides son un tipo de trapecios..................................................................... ( )
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    Central: 619-8100 141 Unidad V 141 3Resoluciónde problemas 6. En la figura, calcula "xº". xº xº 80º 70º A B C D 7. En la figura, calcula "xº". xº 130º xº A B C D 8. En la figura, calcula "qº", si: AB=CD. A B C D 2qº+20º qº+40º 9. Si: BC // AD, calcula "xº". A B C D xº+40º xº+10º 10. En la figura, calcula "aº". 3aº 2aº 11. De la figura, calcula "xº". 10xº 12xº 6xº 8xº 12. En la figura, calcula "xº". 20º 50º 120º xº 13. En la figura (CD // AB), calcula "xº+yº". 2xº 4xº 3yº 6yº A B C D Aplicación cotidiana La repisa Un florero está apoyado en una repisa de forma trapecial. (BC // AD). 14. Si: bº=2aº, calcula "aº". 15. Si: AB=CD, calcula "qº". aº bº qº A B C D Base mayor Base menor
  • 142.
    142 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Estudiando las figurasde cuatro lados Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. Calcula "xº". xº 70º 130º 65º 2. Si: BC // AD, calcula "xº". A B C D xº aº aº qº qº 3. Calcula "xº". 50º 2xº 3xº 70º 4. En la figura, calcula "xº". 140º aº aº qº qº xº 5. En el gráfico, calcula "xº". xº 130º 60º 70º A B C D E FG H 1. Calcula "xº". xº 80º 85º 2. Calcula "xº", si: AB // CD. D A B C 120º xº 3. En el trapecio isósceles, calcula "qº". 3qº qº 4. En la figura, calcula "xº". 125º 5xº  5. En la figura, calcula "xº".
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    Central: 619-8100 143 Unidad V 143 3 xº85º 120º 6. En la figura, calcula "qº" 135º qº 7. En la figura, calcula "qº". 145º 85º qº 80º 8. En la figura, calcula "xº". 138º 82º xº 9. En el trapecio isósceles, calcula "xº". 3xº xº 10. En la figura, calcula "qº" (BC // AD). 5qº 4qºA B C D 11. Calcula "xº". 140º 60º 70º xº 12. Calcula "qº". 4qº 2qº 13. Calcula "xº". 2xº 45º xº 14. En el trapecio, calcula "xº" (AB // CD). D A B C 125º 5xº 15. En la figura, calcula "qº". 6qº 2qº 4qº 3qº
  • 144.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 144 4 • Muchos jardinespresentan formas rectangulares – Jardines de Bahai - Israel Conociendo los paralelogramos En este capítulo aprenderemos a: • Definir de manera correcta un paralelogramo. • Conocer y aplicar las propiedades básicas de todo paralelogramo. • Reconocer los diferentes tipos de paralelogramos. • Graficar correctamente cualquier tipo de paralelogramo. U n jardín (del francés jardín, huerto), es una zona del terreno donde se cultivan especies vegetales, con posible añadidura de otros elementos como fuentes o esculturas, para el placer de los sentidos. En castellano se llamaba antiguamente "huerto de flor" para distinguirlo del huerto donde se cultivan hortalizas. La adopción de la palabra francesa hizo más fácil la distinción entre uno y otro vocablo. Hacer estos huertos sin finalidad económica, únicamente por goce estético, arrastra una larga tradición, y ya eran famosos los Jardines colgantes de Babilonia, considerados como una de las maravillas del mundo antiguo, lo que denota que estos espacios de ocio tienen desde entonces una larga tradición, o los jardines de Bahai, que demuestran perfección en sus formas tanto rombales como rectangulares. http://www.cs.technion.ac.il 4
  • 145.
    Geometría Central: 619-8100 145 Unidad V Saberesprevios Conceptos básicos aº qº L1 L2 • En el gráfico: (L1 // L2) • En todo triángulo • En la figura • En un cuadrilátero convexo aº bº qº aº + qº = 180º xº = aº + qº aº + bº + qº = 180º aº + bº + qº + fº = 360º aº qº xº qº fºaº bº Paralelogramos Definición Es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. En la figura: AB // CD y BC // AD A B C D Propiedades • En todo paralelogramo, los lados opuestos son paralelos e iguales. En la figura: AB // CD y AD // BC A B C D a a b b
  • 146.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 146 Conociendo los parelelogramos • En todo paralelogramo, los ángulos opuestos son de igual medida. Además: A B C D aº aºqº qº En la figura: AB // CD y AD // BC aº+ qº = 180º Clasificación de paralelogramos Cuadrado Es el paralelogramo de lados y ángulos de medidas iguales. a a a a A B C D Rombo Es el paralelogramo cuyos lados son de igual medida. Rectángulo Es el paralelogramo cuyos ángulos internos miden 90º y sus lados son de diferente medida. Romboide Es el paralelogramo cuyos lados consecutivos son diferentes y cuyos ángulos internos no miden 90º. a a a a A B C D aº aºbº bº b a A B C D A B C D aº aº qº qº b a
  • 147.
    Central: 619-8100 147 Unidad V 4 ConceptosbásicosAprende más... ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Si ABCD es un paralelogramo, calcula "x". A B C D 17 2x+3 2. Si ABCD es un paralelogramo, calcula "xº". A B C D 2xº–30º xº+20º 3. Grafica un cuadrado ABCD de lado 3 cm. 4. Grafica un rectángulo ABCD, donde: AB=3 cm y BC=5 cm. 5. En el rombo ABCD mostrado, calcula "x". A B C D 2x+40 4x–10 6. En el gráfico, ABCD es un romboide, calcula "xº" A B C D 3xº+20º 2xº 7. En el cuadrado ABCD, calcula "x". 4x–18 2x+10 A B C D 8. GraficaelromboideABCD,talque:m ABC=120º; AB=3 cm y BC=5 cm. 9. Grafica un rombo ABCD cuyo lado mida 5 cm y uno de sus ángulos, 40º. 10. En el romboide ABCD, calcula "xº". A B C Dxº 70º Comunicación matemática 1. De acuerdo con el gráfico mostrado, completa la relación correcta. A B x y C D x = Rombo a a xº = Cuadrado x m x = Rectángulo A B C D aº qº aº+ = Romboide xº
  • 148.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 148 Conociendo los parelelogramos 2. Marca verdadero (V) o falso (F), según corresponda: • El rombo es el paralelogramo que tiene todos sus ángulos internos iguales ................... ( ) • El cuadrado presenta todos sus ángulos internos de igual medida .................................. ( ) • En todo paralelogramo, sus ángulos opuestos son de igual medida................................. ( ) • El romboide es un paralelogramo equilátero................................................................... ( ) 3. Grafica, de acuerdo con el enunciado: • Un romboide ABCD, tal que: AB=3,5 cm y AD=5 cm. • Un rectángulo ABCD, tal que: AB=3 cm y BC=6 cm. 4. Completa el gráfico, de acuerdo con el enunciado. • En el cuadrado PQRS, traza las diagonales PR y QS. • En el romboide ABCD, traza las diagonales . AC y BD. A B C D P Q R S 5. Relaciona con líneas: • a a • Rectángulo • a b qº qº aº aº • Cuadrado • b a • Romboide
  • 149.
    Central: 619-8100 149 Unidad V 4Resoluciónde problemas 6. En el romboide ABCD, calcula su perímetro. A B C D 5 6 7. En la figura, ABCD es un paralelogramo. Calcula "qº". A B C D 65º qº+25º 8. En el gráfico, PQRS es un paralelogramo. Calcula "qº". P Q R S 70º qº qº 9. En la figura, ABCD es un romboide. Calcula "x". A B C D 6 11 3y x+y 10. Grafica el rombo ABCD, donde: AD=6 cm. 11. Grafica el cuadrado ABCD, tal que: AB=6 cm. 12. Grafica el rectángulo PQRS, tal que: RS=4 cm y QR=5 cm, y traza las diagonales. 13. En la figura, calcula "qº", si PQRS es un romboide. P Q R S 2qº 3qº Aplicación cotidiana La pizarra A P B Q C R D S Borde de aluminio 150 cm 400 cm En el colegio Trilce hay una pizarra ABCD, cuyas longitudes están mostradas (en cm) y presenta un borde de aluminio de espesor constante de 5 cm. Calcula: 14. El perímetro de la pizarra ABCD. 15. El perímetro de la figura interna PQRS.
  • 150.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 150 Conociendo los parelelogramos ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. En el romboide ABCD, calcula "qº", si: AM=MN. A B C D M 80º qº N 2. Si ABCD es un romboide, calcula "x". A B C D 70º 55º x 6 5 E 3. En el paralelogramo ABCD, calcula "BP". A B C D aº aº 12 x 7 P 4. Calcula la medida del lado menor de un rectángulo, si es 5 cm menor que el lado mayor y además su perímetro es 50 cm. 5. En la figura, PQRS es un romboide de perímetro 40 cm. Calcula "QR". P Q R S3x x 1. Calcula "x", si ABCD es un romboide. A B C D 2x–1 13 2. Si ABCD es un paralelogramo, calcula "xº". A B C D 3xº–20º 100º 3. Si PQRS es un rombo, calcula "x". P Q R S 3x 21 4. Si PQRS es un cuadrado, calcula "x". 30–x x–10 Q R P S
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    Central: 619-8100 151 Unidad V 45. Calcula "qº" en el romboide ABCD. 30º–qº A B C D qº 6. Grafica el rombo PQRS, tal que: PQ=3 cm. 7. Grafica el romboide PQRS, tal que: m PQR=130º, PQ=4 cm y QR=7 cm. 8. Calcula "xº" en el paralelogramo ABCD. A B C D xº 65º 9. Calcula "x" en el rectángulo ABCD. 3x–10 x+30 A B C D 10. Calcula "aº" en el cuadrado PQRS. Q R P S 9aº 11. Grafica un romboide PQRS, tal que m R=65º, QR=6 cm y RS=4 cm. 12. En el rombo ABCD, calcula "x". A B C D 3x+14 4x–1 13. Calcula "xº" en el romboide PQRS. 2xº 130º P Q R S 14. En la figura, calcula "xº", si PQRS es un romboide. 75º P Q R S xº M 15. En la figura, calcula "xº", si ABCD es un romboide. A B C D 20º xº
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 152 Ordenamiento lineal ycircular 5 • En la parte externa de esta cúpula, ¿observas alguna forma rectangular? Operaciones en el cuadrilátero En este capítulo aprenderemos a: • Reconocer las diferentes características y propiedades de los cuadriláteros. • Aplicar las propiedades vistas en los cuadriláteros a diferentes problemas. • Graficar correctamente un cuadrilátero con sus respectivos elementos. L a Deutscher Werkbund (Federación alemana del trabajo) fue el primer movimiento arquitectónico relacionado con el expresionismo producido en Alemania. Fundada en Múnich, el 9 de octubre de 1907, por Hermann Muthesius, Friedrich Naumann y Karl Schmidt, incorporó posteriormente a figuras como Walter Gropius, Bruno Taut, Hans Poelzig, Peter Behrens, Theodor Fischer, Josef Hoffmann, Wilhelm Kreis, Adelbert Niemeyer y Richard Riemerschmidt. Heredera del Jugendstil y de la Sezession vienesa, e inspirada en el movimiento Arts & Crafts, su objetivo era la integración de arquitectura, industria y artesanía a través del trabajo profesional, la educación y la publicidad, así como introducir el diseño arquitectónico en la modernidad y conferirle un carácter industrial. Las principales características del movimiento fueron: el uso de nuevos materiales, como el vidrio y el acero, y la importancia del diseño industrial y el funcionalismo decorativo, como los usados en las estructuras de las cúpulas. http://www.peruarki.com 5
  • 153.
    Geometría Central: 619-8100 153 Unidad V ConceptosbásicosAplicalo comprendido 10 x 5 50 1. Según la figura, calcula "qº". 130º 80ºqº 2. En el trapecio isósceles ABCD, calcula "aº". A B CD 2aº 100º 3. En el romboide PQRS, calcula "qº". P Q R S 120º 3qº 4. De la figura, calcula "xº". 4xº 2xº 5. En el trapecio rectángulo, calcula "qº". 4qº 60º 6. Si ABCD es un paralelogramo, calcula "x+y". 2y 3x 18 15 A B C D 7. En el rectángulo ABCD mostrado, de perímetro 120 cm, calcula "BC". x 4x A B C D 8. En el trapecio isósceles, calcula "xº". DA B C 110º 2xº 9. En el romboide ABCD mostrado, calcula "qº". A B C D 74º qº 10. En la figura, calcula "qº". 100º qº qº 80º
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 154 Operaciones en elcuadrilátero Conceptos básicosAprende más... Comunicación matemática 1. Nombra cada tipo de trapecio mostrado. qº qº 2. Nombra cada paralelogramo mostrado. a a a b a a a a 3. Completa cada relación, de acuerdo con: A B C D qº aº Si: BC // AD aº + = aº= Si: AB // CD y BC // AD aº qº A B C D 4. Marca verdadero (V) o falso (F), según corresponda. • Un romboide es un paralelogramo equilátero ..............................................................( ) • En un trapezoide convexo, la suma de sus ángulos internos es 540º ............................( ) • Un rombo es un paralelogramo de lados iguales .........................................................( ) • En todo cuadrilátero, la suma de ángulos internos es 360º ...........................................( ) 5. Grafica, según el enunciado. • Un trapezoide convexo PQRS. • Un rectángulo ABCD, tal que: AB=2 cm y BC=3 cm.
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    Central: 619-8100 155 Unidad V 5Resoluciónde problemas 6. Si ABCD es un cuadrado y CPD es un triángulo equilátero, calcula "qº". A B C D P qº 7. En el trapecio isósceles ABCD, calcula "xº" (AB // CD) A B C D 4xº 2xº 8. En el rombo ABCD mostrado, calcula "x". A B C D3x+10 4x–1 9. En la figura, ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero. Calcula "qº". A B C D qº P 10. Si ABCD es un rectángulo y CPD es un triángulo equilátero, calcula "xº". A B C D P xº 11. En el romboide ABCD mostrado, calcula "qº". A B C D 3qº 6qº 12. En la figura, ABCD es un trapecio (BC // AD) y ADR es un triángulo equilátero. Calcula "qº". A qº 110º B C D R 13. En la figura, ABCD es un romboide y ADEF es un cuadrado. Calcula "xº". A B C D EF xº 65º Aplicación cotidiana La mesa Juan se inscribe en un curso de carpintería y construye la mesa mostrada con las siguientes dimensiones, como se muestra en la figura. 14. Si las dimensiones están erradas, ya que el largo (BC) debe medir 20 cm más y el ancho (AB) debe medir 5 cm más, ¿cuál sería el perímetro de la mesa, haciendo las correcciones debidas? 15. Si no hubiera falla, ¿cuál sería el perímetro de la mesa? A B C D 150 cm 100 cm
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 156 Operaciones en elcuadrilátero Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. Si ABCD es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero, calcula "qº". A B C D E qº 2. Si ABCD es un trapecio isósceles (AB=CD) y CPD es un triángulo equilátero, calcula "xº". xº 110º A B C D P 3. En la figura, ABCD es un romboide, calcula "xº". 4xº A B C D H xº 4. Si ABCD es un cuadrado y BCQP es un rombo, calcula "xº". A B C D P Q 120º xº 5. En el romboide ABCD, AB=2 cm. Calcula "BC". P qº qº aº aº A B C D x 2 1. Calcula "xº". 100º 80ºxº 2. En el trapecio ABCD, calcula "xº" (BC // AD). A B C D 120º 2xº 3. En la figura, calcula "qº", si PQRS es un romboide. 80º 4qº P Q R S 4. Calcula "xº". 100º 80º 3xº xº
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    Central: 619-8100 157 Unidad V 55. Calcula "qº". 120º 3qº 3qº 6. En el trapecio isósceles ABCD, calcula "qº". A B C D 4qº 60º 7. Calcula "x", si ABCD es un romboide. A B C D 4x–1 2x+9 8. En el gráfico, calcula "qº". 4qº 2qº 9. Calcula "qº", si PQRS es un romboide. P Q R S 120º qº H 10. Calcula "xº", en el romboide ABCD. A B C D xº 72º 11. Calcula "qº", si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero. A B C D qº P 12. Si las figuras ABCD y CPD son polígonos regulares, calcula "qº+fº". A B C D P qº fº 13. Calcula "qº", si PQRS es un romboide. P Q R S qº 68º 14. Calcula "3qº". 5qº 60º4qº 15. En el rectángulo ABCD, calcula "x". A B C D 5x+1 3x+41
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    AprendiZajes esperados UNIDAD 1 L abase económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos. ¿Cuál es la etimología de Geometría? ¿Qué estudia la Geometría? ¿Qué es postulado? Conociendoalageometría UNIDAD 1 • Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos. • Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte. • Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables. • Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás. • Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables.
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    Central: 619-8100 Geometría 159 www.trilce.edu.pe 1 • Alas abejas se les considera los arquitectos de la naturaleza. En la parte superior se muestra una muestra de su trabajo, ¿qué forma poligonal observas? ¿Qué es perímetro? En este capítulo aprenderemos a: • Definir el concepto de perímetro. • Calcular el perímetro en diferentes regiones poligonales. • Desarrollar diferentes tipos de problemas sobre perímetro. L a miel tiene muchas propiedades terapéuticas (Havsteen 2002). Se puede usar externamente debido a sus propiedades antimicrobianas y antisépticas. Así, la miel ayuda a cicatrizar y a prevenir infecciones en heridas o quemaduras superficiales. También es utilizada en cosmética (cremas, mascarillas de limpieza facial, tónicos, etcétera) debido a sus cualidades astringentes y suavizantes. La miel también se emplea en la medicina tradicional. Es un excelente conservante natural. Sin embargo, no siempre es saludable. Debido a que procede de flores silvestres, hay algunos momentos y lugares en los que la miel producida por las abejas es altamente tóxica. Los rododendros y azaleas producen un néctar altamente venenoso para los humanos, aunque inofensivo para las abejas, que producen así una miel mortífera. En algunas regiones del mundo las colmenas se vacían inmediatamente después de la temporada de flores, eliminando cualquier residuo para evitar envenenamientos accidentales. Existen historias del uso de miel venenosa como arma de guerra en la antigüedad, pero no son corroborables. Dicha miel venenosa es muy difícil de encontrar. La forma de la flor de azalea hace que a las abejas le resulte difícil acceder al néctar, y en la época en la que florecen hay casi siempre otras flores más atractivas para las abejas , y así lo trabajen en su colmena que presenta la forma brindada en el gráfico. http://www.plataformaarquitectura.cl
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 160 ¿Qué es perímetro? Conceptosbásicos Saberes previos • Paralelogramos A B C D Cuadrado qº qº aº aº Rombo Rectángulo • Trapecios aº aº qº qº A B C D Trapecio isósceles Perímetro Longitud de perímetro Es la suma de las longitudes de todos los lados de una región poligonal. Notación del perímetro: (2p) En la figura: 2pFigura=AB+BC+CD+DE+EF+AF A B C D EF Región poligonal La palabra perímetro proviene del latín perímetros, que a su vez deriva de un concepto griego. Se refiere al contorno de una superficie o de una figura y a la medida de ese contorno. Perímetro = 16 cm4cm 4cm 4cm 4cm
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    Central: 619-8100 161 Unidad VI 1 ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 En otras palabras, en una figura, el perímetro es la suma de todos sus lados. De esta manera, el perímetro permite calcular la frontera de una superficie, por lo que resulta de gran utilidad. Conocer el perímetro de un campo, por ejemplo, permite definir que cantidad de material se necesita para alambrarlo. De igual forma, el perímetro es un dato esencial para diseñar la seguridad de una casa o de un barrio cerrado. Cabe destacar que, así como el perímetro es el dato que permite calcular los bordes de la superficie, el área es la que posibilita el conocimiento de su superficie interior. Así, el perímetro nos dirá cómo podemos alambrar un campo, mientras que el área aportará la información respecto a cómo podemos sembrar dicho campo o que cantidad de fertilizante utilizar. 1. En la figura, calcula el perímetro del siguiente polígono, si es regular. A B C 8cm 2. En el rectángulo mostrado, calcula su perímetro. 3 cm 7 cm 3. En el trapecio isósceles ABCD, calcula su perímetro. qº qº A B C D 7 3 11 4. Si la siguiente figura es un polígono regular, calcula su perímetro. 7 P Q R S 5. Si el polígono ABCDEF es regular, calcula su perímetro. 5 A B C D E F 6. Si el perímetro de la figura regular ABCDE es 70 cm, calcula "x". x A B C D E
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 162 ¿Qué es perímetro? ConceptosbásicosAprende más... 7. Si ABCD es un rombo y ADEF es un cuadrado, calcula el perímetro de la región ABCDEF. 5 A B C D EF 8. Si ABCE es un cuadrado y CED un triángulo equilátero, calcula el perímetro de la región ABCDE. 4A B C E D 9. Si ABEF es un cuadrado y FECD un rectángulo, calcula el perímetro de la región ABCD. 5 7 A B C D E F 10. Calcula el perímetro del hexágono no convexo ABCDEF. 24 22 12 6 A B C D E F Comunicación matemática 1. Indica los perímetros de las siguientes figuras. 2p = a c b d e 2p = a c bC B A 2. Marca verdadero (V) o falso (F), según corresponda: • El perímetro es la suma de las longitudes de todos los lados de un polígono .................. ( ) • Un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados de igual medida ........................ ( ) • El triángulo equilátero es el polígono regular más simple que hay .................................. ( )
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    Central: 619-8100 163 Unidad VI 1 Hexágonoregular Pentágono regular Triángulo equilátero 108º 108º 108º 108º 108º 120º 120º 120º 120º 120º 120º 60º 60º 60º Resolución de problemas 6. Calcula "x", si el perímetro de la siguiente figura regular es 24 cm. A B C 2x 7. En el rectángulo mostrado, calcula "x", si su perímetro es 48 cm. x 5x 8. En el hexágono regular de lado "x+2" y perímetro 60 cm, calcula "x". x+2A B C D E F 9. En la figura, calcula el perímetro del hexágono ABCDEF no convexo. 26 14 A B C D E F 3. Compara los perímetros de las figuras regulares con los signos ">", "<" o "=". 4 2p 3 3 2p 4. Grafica de acuerdo con los enunciados: • Un heptágono regular ABCDEFG cuyo lado mida 2 cm. • Un hexágono cóncavo equilátero. 5. Relaciona con líneas:
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 164 ¿Qué es perímetro? 10. Calculael perímetro del hexágono no convexo ABCDEF, si ABCF es un cuadrado y EFCD un trapecio isósceles (EF // DC). 12 5 7 A B C D E F 11. Calcula el perímetro del heptágono no convexo ABCDEFG, si ABCDG es un pentágono regular y DEFG es un cuadrado. 12 A B C D E F G 12. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero. A B C D P 7 13. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCDEF es un hexágono regular y PDEQ es un cuadrado. A B C D E F P Q 10 Aplicación cotidiana La losa de fulbito A B C D El gráfico muestra una losa deportiva. Juan observa que: AB=2(AD) y que el perímetro de la losa deportiva es 108 m. 14. Calcula la longitud de "BC". 15. Si: AB=3(AD) y el perímetro es 120 m, calcula "AD".
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    Central: 619-8100 165 Unidad VI 1 ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 4 5 7 8 3 2. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 5 10 6 460º 60º 3. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si AED es un triángulo equilátero y ABCD es un romboide. A B C D E 7 5 4. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 6 6 A BO 5. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si el triángulo DEF es equilátero. 4 cm E D F 1. Si la siguiente figura es un polígono regular, calcula su perímetro. P Q R 14 2. Dado el romboide PQRS, calcula su perímetro. 6 14 P Q R S 3. Dado el trapecio isósceles ABCD, calcula su perímetro. qº qº A B C D 5 4 3 4. Si la siguiente figura es un polígono regular, calcula su perímetro. 20
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 166 ¿Qué es perímetro? 5. Si la siguiente figura es un polígono regular, calcula su perímetro. A B C D E 20 cm 6. Si el perímetro del rombo ABCD es 48 cm, calcula "x". A B C D2x 7. Si el perímetro del cuadrado ABCD es 60 cm, calcula "x". 2x+1 A B C D 8. Si ABPQ es un cuadrado y PCDQ es un rectángulo, calcula el perímetro de ABCD. 10 4 A B C D P Q 9. Si ABCP es un rombo y CPD es un triángulo equilátero, calcula el perímetro de la figura ABCD. 25 A B C D P 10. Calcula el perímetro de la figura, si es un cuadrado. 50–x 30+x A B C D 11. Calcula el perímetro del siguiente polígono, si es regular. A B C D E F G H 10 12. Calcula el perímetro de un icoságono regular, si uno de sus lados mide 5 cm. 13. Calcula el perímetro de un pentadecágono regular, si uno de sus lados mide 3 cm. 14. Calcula el perímetro de un nonágono regular, si uno de sus lados mide 6 cm. 15. Calcula el perímetro de la siguiente figura sombreada. 20 14
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    Central: 619-8100 Geometría 167 www.trilce.edu.pe 2 Central: 619-8100 • En la arquitectura mostrada en la parte superior, ¿observas formas poligonales o algún polígono regular? Calculando el perímetro de diversas figuras En este capítulo aprenderemos a: • Calcular el perímetro de diferentes regiones poligonales. • Desarrollar diferentes problemas sobre el cálculo de perímetros. L a arquitectura practicada en las últimas décadas, desde la segunda mitad del siglo XX, puede ser entendida, desde las perspectivas denominadas potsestructuralistas o potsmodernas, como una reacción a las propuestas del movimiento moderno: unas veces los arquitectos actuales releen los valores modernos y proponen nuevas concepciones estéticas (lo que eventualmente se caracterizará como una actitud llamada arquitectura neomoderna); otras, proponen proyectos de mundo radicalmente nuevos, un ejemplo de los últimos son los trabajos de estructuras geodésicas. http://www.plataformaarquitectura.cl
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 168 Calculando el perímetrode diversas figuras Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Saberes previos • Polígonos regulares • Trapecios • Paralelogramos 60º 60º 60º Triángulo equilátero Cuadrado aº aº aº aº aº Pentágono regular qº qº qº qº qº qº Hexágono regular Trapecio isósceles aº aº qº qº Trapecio rectángulo a b Rectángulo a b aº aºqº qº Romboide a a a a Rombo 1. Calcula el perímetro de la región ABCDEF, si ABCF es un rombo y CFED es un cuadrado. 5 A B C D E F 2. Calcula el perímetro de la región ABCDE, si ABCE es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero. A B C E D 4
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    Central: 619-8100 169 Unidad VI 23. Calcula el perímetro de la región ABCDEF, si ABCF es un rectángulo y CDEF es un rombo. 12 5 A B C D E F 4. Calcula el perímetro de la región ABCDE, si ABCE es un rombo y CED es un triángulo equilátero. A B C DE 6 5. Calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero. A B C D P 7 6. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un rectángulo y ABP es un triángulo equilátero. A B C D P 10 2 7. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 8 2 3 10A B C D E F 8. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 20 2 2 14 8 9. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 16 12 10. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABCDEF es un hexágono regular y APQF es un cuadrado. 8A B C D E F P Q
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 170 Calculando el perímetrode diversas figuras Conceptos básicosAprende más... Comunicación matemática 1. Nombra las siguientes figuras: qº qº qº qº qº 60º 60º 60º qº qº aº aº 2. Grafica, de acuerdo con los enunciados: • Un hexágono regular ABCDEF y el triángulo equilátero APF, interior al hexágono. • Un cuadrado ABCD y el triángulo equilátero CPD, exterior al cuadrado. 3. De acuerdo con el enunciado, sombrea las figuras mostradas. A B C D P • La región interior al cuadrado ABCD y exterior al triángulo APD. • La región interna al pentágono ABCDE y externa al cuadrilátero BPQA. A B C D E P Q 4. Completa la relación correcta. A B C l 60º 60º Perímetro del triángulo= l Perímetro del cuadrado= 5. Marca verdadero (V) o falso (F), según corresponda. • El rombo es un polígono regular ...................................................................................... ( ) • El perímetro se calcula mediante la suma de los lados de un polígono, dividida entre dos ..( ) • Todo paralelogramo es un polígono regular ....................................................................( )
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    Central: 619-8100 171 Unidad VI 2Resoluciónde problemas 6. En la figura, ABCD es un cuadrado y CDQ es un triángulo equilátero. Si el perímetro de la región ABCQD es 20 cm, calcula "x". xA B C D Q 7. En la figura, calcula "x", si PQRS es un cuadrado, SMR es un triángulo equilátero y el perímetro de la región sombreada es 30 cm. P Q R S M x 8. Calcula el perímetro de la región ABCDEF, si ABEF es un cuadrado y BCDE es un rombo. 12 A B C D E F 9. Calcula el perímetro de la región sombreada. 8 20 35 8 10. Calcula el perímetro de la región sombreada. 40 50 11. En la figura, BPC es un triángulo isósceles y ABCD es un cuadrado. Calcula el perímetro de la región ABPCD. 15 12 qº qº A B C D P 12. Si el perímetro de la figura PQCD es 24 cm, calcula el perímetro del cuadrado ABQP. 2x x A B C DP Q 13. Si el perímetro de la figura ABCD es 48 cm, calcula el perímetro del triángulo equilátero APB. 3x x A B C P D
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 172 Calculando el perímetrode diversas figuras Conceptos básicos¡Tú puedes! Aplicación cotidiana El dormitorio 32 7 15 8 Dormitorio Sala El dormitorio de Luis presenta las siguientes medidas, de acuerdo a la figura mostrada. 14. Calcula el perímetro del dormitorio de Luis. 15. Calcula el perímetro de la sala de Luis 1. En la figura: a+b=32 cm. Calcula el perímetro de la figura sombreada. a b 2. En la figura, ABCD es un romboide y PCD es un triángulo equilátero. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 10 15A B P C D 3. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada. 40 50 4. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada. 20 36 1812 60º 60º 5. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un rectángulo y APD es un sector circular de centro "A". 60º A B C P D 4 8
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    Central: 619-8100 173 Unidad VI 2 ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 1. En la figura, ABCF es un cuadrado y FCDE es un trapecio isósceles. Calcula el perímetro de la figura ABCDEF. qº qº A B C D E F 8 15 5 2. Calcula el perímetro de la figura ABCDE, si ABCE es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero. A B C E D10 3. Si ABCF es un rombo y CDEF es un cuadrado, calcula el perímetro de la figura ABCDEF. A B C D E F 4. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABCD es un cuadrado y ARD un triángulo equilátero. A B C D R 15 5. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABCDE es un polígono regular y CMD es un triángulo equilátero. A B C D E M 11 6. Calcula el perímetro de la figura ABCED, si ABCD es un trapecio isósceles y CED es un triángulo equilátero. 12 6 5 A B C E D qº qº 7. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 11 3 3 14 8. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 11 27
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 174 Calculando el perímetrode diversas figuras 9. Si la figura es un polígono regular, calcula su perímetro. 31 A B C D E F 10. En la figura, calcula el perímetro del trapecio rectángulo. 3 4 6 11. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABCF es un rectángulo y CDEF es un rombo. 12 20 A B C D E F 12. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 35 10 13. Calcula el perímetro de la figura ABCDEFG, si ABCDG es una figura regular y FGDE es un cuadrado. 3 G A B C F E D 14. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABC es un triángulo equilátero y BEDC es un cuadrado. 5 A B C E D 15. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 60º 60º 19 14 8 8
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    Central: 619-8100 Geometría 175 www.trilce.edu.pe 175 3 Central: 619-8100 • En la estructura de los autos modernos observamos que los ingenieros usan muchas formas poligonales, como en este Lamborghini Gallardo. ¿Observas alguna forma geométrica estudiada? Repaso general En este capítulo aprenderemos a: • Repasar todo lo aprendido anteriormente. • Recordar y aplicar los conceptos aprendidos. Y a han salido a la luz las imágenes oficiales de lo último de Lamborghini, el sustituto del Gallardo, para aguantar en el mercado unos añitos hasta la llegada de su sustituto. Pero no se trata solo de eso, hay varios cambios: motor, tracción total permanente y nueva suspensión mejoran las prestaciones y la dinámica del superdeportivo italiano. La aerodinámica ha mejorado, a efectos de estabilidad y forma, en la estructura con formas poligonales: a altas velocidades (a más de 120 km/h) se libera el spoiler. También mejora la refrigeración del motor con tomas de aire más grandes. Se ha rediseñado el difusor trasero y los bajos. La eficiencia aerodinámica es un 31% superior al modelo previo, según la marca. http://www.sobrecoches.com
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 176 Repaso bimestral Conceptos básicosAplicalo comprendido 10 x 5 50 1. Según su región y número de lados, nombra el polígono mostrado. A B C D F E G 2. En la figura, traza todas las diagonales posibles del vértice "P". A R Q P 3. En la figura, calcula la suma de ángulos internos del polígono. A B C D E 4. En el trapecio rectángulo, calcula "qº". 57º qº 5. En el trapezoide, calcula "aº". 100º 2aº 2aº aº 6. En el romboide mostrado, calcula "qº". A B C D 45º 3qº 7. Calcula el perímetro del trapecio isósceles. aºaº A B C D 2 7 5 8. Calcula el perímetro del hexágono regular ABCDEF, de lado 12 u. A B C D E F 12 9. En la figura, calcula "x", si ABCD es un romboide de 40 cm de perímetro. x A B C D 4x 10. Calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCDE es un pentágono regular y ABP es un triángulo equilátero. A B C D E P 12
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    Central: 619-8100 177 Unidad IV 3 ConceptosbásicosAprende más... Comunicación matemática 1. De acuerdo con el gráfico, completa la relación correcta. aº fº qº bº aº+bº+qº+fº= aº+ = qº aº A B C D • Si ABCD es un trapecio: 2. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. • En un paralelogramo, los ángulos internos opuestos son de igual medida .................( ) • El rombo es un paralelogramo equilátero .................................................................( ) • Un polígono, de acuerdo con su región, puede ser convexo y no convexo ..............( ) • En todo cuadrilátero, la suma de ángulos internos es 540º ........................................( ) 3. De los polígonos mostrados, ¿cuáles son convexos? a) b) c) d) 4. Nombra las siguientes figuras. 60º 60º 60º aº aºqº qº aº aºqº qº 5. Grafica de acuerdo con el enunciado. • Un cuadrilátero no convexo ABCD. • Un rectángulo ABCD, tal que: AB=3 cm y BC=5 cm. Resolución de problemas 6. En el pentágono no convexo mostrado, traza todas las diagonales posibles del vértice "B". A B C D E 7. En la figura, calcula "xº". 60º 60º xº
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 178 Repaso bimestral 8. Enel trapecio isósceles ABCD (BC // AD), calcula "qº". 3qº 30º A B C D 9. Calcula el perímetro del romboide ABCD. 1–a A B C D 5+a 10. En el rombo ABCD mostrado, calcula "xº". A B C D 140º 2xº–10º 11. Calcula el número de lados de aquel polígono que cumple que sus ángulos internos sumen 1 080º. 12. Calcula el perímetro de la región ABCDEFG. 60º60º 8 5 12 18 A B C D E F G 13. Calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado, EFG es un triángulo equilátero y ADEG es un trapecio isósceles (AD=EG). 7 3 12A B C D E F G Aplicación cotidiana Las habitaciones En el gráfico se muestra el conjunto de habitaciones de Eduardo, conformado por una sala de estudio, un baño y un dormitorio. Si la sala de estudio y el baño son cuadrados y el dormitorio es un rectángulo, con las dimensiones dadas en el gráfico, analizar cada situación y luego calcula lo que se pide. 14. El perímetro de todo el conjunto de habitaciones. 15. Compara el perímetro de la sala de estudio con el del baño y el dormitorio, en conjunto. ¿Qué perímetro es mayor? 8 4 2 Sala de estudio Dormitorio Baño
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    Central: 619-8100 179 Unidad IV 3 ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. En el trapecio isósceles mostrado, calcula su perímetro. 18 6 8 qº qº 2. En el trapecio mostrado, calcula "xº". qº qº aº aº xº 140º 50º 3. En el polígono mostrado, calcula "xº". A B C D E F G H xº xº xº xº xº 100º 100º 140º 4. Calcula el perímetro de la figura sombreada. 14 cm 3 cm 16 cm 5. En la figura, calcula el perímetro del romboide ABCD. A B C DP 2,5 qº qº aº aº 1. Nombra el polígono, según el número de lados. 2. Traza las diagonales del polígono mostrado, desde el vértice "Q". Q 3. ¿Cuántos triángulos se forman, trazando las diagonales desde el vértice "R"? R 4. Calcula "qº", en el siguiente gráfico. qº 52º
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 180 Repaso bimestral 5. Enel rombo ABCD, calcula "aº". A B C D aº 224º–aº 6. En el hexágono regular ABCDEF, calcula el perímetro. A B C D EF 15 7. Calcula la suma de ángulos internos de un decágono. 8. Si el perímetro de la figura es 40 cm, calcula "x". x 9x 9. Calcula la suma de ángulos internos de un pentadecágono. 10. Calcula "qº" en el trapecio mostrado. 134º qº 11. Calcula "xº". 3xº 2xº 2xº xº 12. Calcula "xº". 70º 10º 15º xº 13. Calcula "x" en el rombo. A B C D 3x–10 2x+5 14. Calcula "qº" en el trapecio ABCD. 24º 4qº A B C D 15. Calcula "qº". 2qº 4qº
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    AprendiZajes esperados UNIDAD 1 L abase económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos. ¿Cuál es la etimología de Geometría? ¿Qué estudia la Geometría? ¿Qué es postulado? Conociendoalageometría UNIDAD 1 • Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos. • Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte. • Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables. • Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás. • Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables. Central: 619-8100
  • 182.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 182 Ordenamiento lineal ycircular 1 • ¿Puedes observar alguna región?. En estas regiones trabajadas de manera tan perfecta, nadie hasta el momento puede explicar su origen. ¿Perímetro es lo mismo que área? En este capítulo aprenderemos a: • Definir y diferenciar el concepto de región y área. • Reconocer la diferencia entre los conceptos de área y perímetro. • Conocer y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de un cuadrado y un rectángulo. • Desarrollar diversos problemas sobre el cálculo de áreas de un cuadrado y un rectángulo. http://www.taringa.net/posts/imagenes R eferente al fenómeno OVNI y su fenomenología, ufológos han postulado que el fenómeno OVNI habría sido probablemente ya conocida por distintas culturas indígenas y civilizaciones las cuales han relatado este tipo de sucesos de generación en generación por vía oral o incluso mediante dibujos y pinturas rupestres. En este traspaso de información de culturas a través de los siglos, postulan que sería posible reconocer la existencia de episodios relacionados a la presencia de OVNIS y seres asociados a la aparición de tales objetos y sus fenómenos asociados. Existen pinturas que exhiben ciertos objetos a nivel del cielo que pueden ser interpretados sugerentemente como OVNIS. En algunas pinturas rupestres incluso se descubren trazos que representan seres antropomorfos desconocidos, que pudieran ser confundidos con seres que en la actualidad se asocian a visitas de tripulantes OVNI (ovninautas) o seres extraños que se aparecen junto con la presencia de OVNIS. Algunos críticos argumentan, sin embargo, que las presuntas pruebas del fenómeno OVNI en la antigüedad, no deja de ser una explicación ad hoc, ya que las nubes y carros de fuego podrían ser metáforas empleadas en los relatos religiosos, y que estas representaciones pudieran ser producto de experiencias y trances chamánicos o representaciones de valor de cada tribu indígena. 1
  • 183.
    Geometría Central: 619-8100 Geometría 183 Unidad VII Conceptosbásicos Saberes previos • Polígono equilátero • Rectángulo • Paralelogramo • Cuadrado a A B C D E a aa b a aº aºbº bº a a D iagonal b a a Diagonal Región Es una parte de la superficie y está limitado por una línea cerrada llamada contorno o frontera. A la región se le denomina de acuerdo al contorno que presente, por ejemplo: Contorno triangular Región triangular Contorno cuadrangular Región cuadrangular Contorno pentagonal Región pentagonal Área Es la medida de una región y se expresa mediante un número positivo acompañado de unidades cuadráticas, por ejemplo: Área=28 cm2 Se interpreta: El área de la región cuadrangular es de 28 cm2 Área=36 km2 Se interpreta: El área de la región hexagonal es de 36 km2
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 184 Perímetro es lomismo que área Cálculo del área de una región cuadrada 1 cm 1 cm S= (1 cm) (1 cm) S= 1 cm2 2 cm 2 cm S= 4 cm2 S= (2 cm) (2 cm) 3 cm 3 cm S= 9 cm2 S= (3 cm) (3 cm) • En general: l l S: Área de la región cuadrada S=l2 Cálculo del área de una región rectangular a b S: Área de la región rectangular S=a . b 2 m 2 m • Perímetro del cuadrado = 2+2+2+2=8 m • Área del cuadrado = (2)2 = 4 m2 2 m 5 m • Perímetro del rectángulo = 2+2+5+5=14 m • Área del rectángulo = (2)(5)= 10 m2 En el cuadrado: En el rectángulo: No es lo mismo área y perímetro Ten en cuenta
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    Central: 619-8100 185 Unidad VII 1 ConceptosbásicosAplicalo comprendido 10 x 5 50 1. En la figura, el perímetro del cuadrado ABCD es 20 cm, calcula el área de la región cuadrada. A B C D 2. Si el perímetro del rectángulo es de 18 cm, calcula el área de la región rectangular PQRS. 2 cm P Q R S 3. Calcula el área de la región sombreada. 10 m 10 m 3 m 3 m 4. Calcula el área de la región sombreada. 2 m 7 m 4 m 7 m 5. Si el perímetro del rectángulo ABCD es 72 cm, calcula el área de la región rectangular. 2 x 4 x A B C D 6. Si el área de la región rectangular mostrada es 27 m2, calcula el lado mayor. x 3 x 7. Calcula el área de la región sombreada. 13 m 8 m 3 m 15 m 8. Si el cuadrado mostrado tiene igual área que la del rectángulo, calcula "x". x x 9 m 4 m 9. Calcula el área de la región cuadrada mostrada (en cm2). 2x – 5 3x – 12 10. En un cuadrado, su perímetro es numéricamente igual al área, calcula el lado del cuadrado.
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 186 Perímetro es lomismo que área Conceptos básicosAprende más... Comunicación matemática 1. Relaciona con líneas. Región cuadrangular Región triangular Región hexagonal •• •• •• 2. Indica el valor de verdad ("V" o "F") de las siguientes proposiciones: • Los conceptos de región y área son lo mismo.............................................................( ) • La región se nombra de acuerdo al contorno que presenta.........................................( ) • Los conceptos de área y perímetro son lo mismo........................................................( ) 3. Completa las relaciones mostradas de acuerdo al gráfico. l l Área= ( )2 Área= ( ) . ( ) a b 4. Sombrea de acuerdo al enunciado: • La región interna al rectángulo y externa al cuadrado. • La región externa al cuadrado e interna al pentágono. 5. Completa de acuerdo al gráfico. m m Perímetro=
  • 187.
    Central: 619-8100 187 Unidad VII 1Resoluciónde problemas 6. En el cuadrado ABCD, su área mide 81 cm2, calcula "y". y y A B C D 7. En el rectángulo PQRS mostrado de área 663 m2, calcula su perímetro. 17 a P Q R S 8. Calcula el área de la región sombreada, si PQRS es un cuadrado. 12 m 20 m 8 m 6mP Q RS A B C D 9. Si los perímetros de las figuras ABCD y PQRS son iguales, calcula: y x . 4x x A B C D 3y 2y P Q R S 10. Calcula el área de la región sombreada. 24 m 6 m 8 m 8 m 20 m 11. En el triángulo equilátero ABC de 5 cm de lado, calcula el área de la región cuadrada ACSR más el área de la región rectangular sombreada BPQC. 1A B C P Q R S 12. En el rectángulo mostrado, un lado es el triple del otro. Si el área de la región rectangular PQRS es 48 m2, calcula el perímetro del rectángulo. P Q R S 13. Si las áreas de las figuras mostradas son iguales, calcula "x". x x 8 x–2
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 188 Perímetro es lomismo que área Conceptos básicos¡Tú puedes! Aplicación cotidiana La puerta 210 cm 135 cm 40cm 1. En la figura, a2 – b2 = M. Calcula el área de la región rectangular mostrada . a – b a + b 2. Si ABCD es un cuadrado de perímetro 24 m, calcula el área de la región sombreada. A B C D 3. Calcula el área de la región rectangular ABCD en términos de "M" y "N". A B C D P M N 4. Calcula el área de la región cuadrada CDEF, si ABCD es un trapecio isósceles (BC // AD) de perímetro igual a 34 m. A B D F E C 13 m 5 m qº qº 5. Si las figuras mostradas son equivalentes, calcula: y x . 2x 2x 3y y Un carpintero desea hacer un agujero de forma cuadrada de 40 cm de lado. Si las dimensiones de la puerta son 210 cm de alto y 135 cm de ancho como se muestra en la figura: 14. Calcula el área de la puerta con el agujero ya realizado. 15. Calcula el perímetro de la puerta con el agujero ya realizado. R S
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    Central: 619-8100 189 Unidad VII 1ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 1. Calcula el área de la región cuadrada mostrada. 8 8 2. Si el área de la región rectangular es 63 cm2, calcula "y". y 9 3. Calcula "x", si PQRS es un cuadrado de área 169 cm2. x xP Q R S 4. Calcula "x", si ABCD es un rectángulo de área 48 cm2. x 16 cmA B C D 5. Calcula el perímetro de un cuadrado, si el área de su región es 81 cm2. 6. Calcula el área de una región rectangular, si un lado es el doble del otro y su perímetro es 24 cm. 7. Calcula el área de la región rectangular PQRS, si la base es el triple de la altura y el perímetro es 56 m. 8. En la figura, calcula "p", si el área de la región rectangular ABCD es 180 cm2. 12 A B C D p + 5 9. Calcula el área de la región sombreada. 12 15 3 5 10. Calcula "l", si ABCD es un cuadrado de área 1 600 m2. l lA B C D 11. Calcula el área de una región rectangular, si su perímetro es 160 cm y la base mide seis veces más que la altura. 12. Calcula el área de la región de un rectángulo, donde el lado mayor es el cuádruplo del menor y su perímetro es 140 cm. 13. Si las áreas del cuadrado y el rectángulo son iguales, calcula "x". x x 28 7 14. Calcula el área de la región no sombreada. 6 6 6 6 36 30 15. Calcula el área de la región de un cuadrado, si su área y su perímetro son numéricamente iguales.
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 190 Ordenamiento lineal ycircular 2 • Los Jardines en muchos casos presentan regiones de diferentes formas. Jardines de la catedral Santa Cécile - Albi – Francia Conociendo las regiones poligonales En este capítulo aprenderemos a: • Conocer y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de un triángulo rectángulo y un romboide. • Desarrollar diversos problemas sobre el cálculo de áreas de una región encerrada por un triángulo rectángulo y un romboide. L os Jardines tienen su origen entre los años 1630 y 1640, cuando el Conde-Duque de Olivares (Don Gaspar de Guzmán y Pimentel), valido de Felipe IV (1621–1665), le regaló al rey unos terrenos que le habían sido cedidos por el Duque de Fernán Núñez para el recreo de la Corte en torno al Monasterio de los Jerónimos de Madrid. Así, con la reforma del Cuarto Real que había junto al Monasterio, se inició la construcción del Palacio del Buen Retiro. Contaba entonces con unas 145 hectáreas. Aunque esta segunda residencia real iba a estar en lo que en aquellos tiempos eran las afueras de la villa de Madrid, no estaba excesivamente lejos del alcázar y resultó ser un lugar muy agradable por estar en una zona muy boscosa y fresca. http://www.all-free-photos.com 2
  • 191.
    Geometría Central: 619-8100 Geometría 191 Unidad VII Conceptosbásicos Saberes previos • Romboide • Triángulo rectángulo aº + qº = 180º aº aº qº qº a b Cateto Cateto Hipotenusa • Rectángulo b b a a I II Región I = Región II Cálculo del área de la región de un triángulo rectángulo b a A B C D Área del rectángulo ABCD = S (a).(b) = S b a A B C D S/2 S/2 Área del triángulo rectángulo ACD = S 2 Área del triángulo rectángulo ACD = .a b 2 Trazamos una diagonal del rectángulo (AC).
  • 192.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 192 Conociendo las regionespoligonales Cálculo del área de una región romboidal b a A B C D Área del rectángulo ABCD = S (a).(b) = S • En general: Trazamos una paralela a la diagonal AC que pase por "B". Área = ( )( )x y 2 x y b a A B C D S/2 S/2 P b b a A B C D S/2 P S/2 Trasladamos la región ACD a la región PBA por ser regiones iguales. Área del romboide PBCA = S S 2 2 + Área del romboide PBCA = S Área del romboide PBCA = a . b
  • 193.
    Central: 619-8100 193 Unidad VII 2 ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 • En general: h b Área =b . h Área =m . hh m 1. En cada caso, calcula el área de la región sombreada. 6 u 4 u A= 12 u5 u A= 2. Calcula el área de la región sombreada de cada romboide. A= 12 u 5 u A=7 u 10 u 3. Calcula el área de la región sombreada. 6 8 5 4. Calcula el área de la región sombreada. 6 u 6 u 10 u Observación
  • 194.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 194 Conociendo las regionespoligonales Conceptos básicosAprende más... 5. Calcula el área de la región sombreada. 15m 8m 8m 14m 6. Calcula el área de la región sombreada. 5m12m 13m13m 13m 7. Calcula el área de la región sombreada. A B C D P 12 6 7 8. Calcula el área de la región sombreada. A B C D M 18 6 10 9. Calcula el área de la región sombreada. M 10u 6u 4u 2uP Q R SN 10. Calcula el área de la región sombreada. P 3m A B C D Q 14m 8m 6m Comunicación matemática 1. Sombrea la región pedida de acuerdo al enunciado. • La región interna al cuadrado PQRS y externa al triángulo ABS. P Q R S A B • La región externa al rectángulo BPQR e interna al romboide ABCD. A B C D P Q R
  • 195.
    Central: 619-8100 195 Unidad VII 2 • En el romboide: m H Área =( )( ) • En el triángulo rectángulo: Área = ( ) ( ).( ) m n 3. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. • Para calcular el área de un triángulo rectángulo se necesita los dos catetos .................... ( ) • Para calcular el área de un romboide se necesita un lado y una diagonal ....................... ( ) • La región cuadrangular es aquella que está limitada por un triángulo rectángulo ............ ( ) 4. Completa los enunciados usando los términos del recuadro mostrado. • El área de un rectángulo se calcula como el ....................... de la ...................... por la ...................... • El área de un ................... rectángulo se calcula como el ............................ de los .................. semiproducto – altura – base – catetos – producto – triángulo 5. Menciona que figuras componen las regiones compuestas. La región heptagonal esta compuesta por: • • • a b c La región pentagonal esta compuesta por: • • a b 2. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico mostrado.
  • 196.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 196 Conociendo las regionespoligonales Resolución de problemas 6. Calcula el área de la región sombreada. 17 4 158 7. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un romboide y ED=5 m. A B C D E 16 m 8. Si el área de la región del romboide ABCD es 260 cm2, calcula "h". A B C D h 26 cm 9. Si el área de la región del triángulo rectángulo es la mitad del área de la región del romboide, calcula "x". 6 8 x 6 10. Calcula el área de la región sombreada. 12 m 12 m 6 m 7 m P F 11. Calcula el área de la región sombreada. 26 m 8m 14 m 10 m qº qº A B C D 12. Calcula el área de la región sombreada. 12 cm 10 cm 5 cm 6 cm P RQ S N M 13. Calcula el área de la región sombreada, si: BC=6 cm y CD=8 cm. 2 cm A B C D E 18 cm Aplicación cotidiana La cochera En la figura se muestra el plano de una cochera 14. ¿Cuál es el área designada para la cochera? (en m2) 15. Si Eduardo desea comprar la cochera y el costo por metro cuadrado es de $20, ¿cuál será el monto que pagará Eduardo por la cochera? 10 4 4 8 8 8 A B C D P Q R S Habitación Cochera
  • 197.
    Central: 619-8100 197 Unidad VII 2 ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Si el área de la región del triángulo rectángulo es 48 cm2, calcula el cateto mayor. 2 k 3 k 2. Si el área de la región rectangular es 60 cm2, calcula el área de la región triangular APD. A B C D P 3. En el rectángulo ABCD: AB+AD=120 cm, calcula el área de la región rectangular. 3 k 5 k A B C D 4. Calcula el área de la región sombreada. 10m 2m 18 m 4 m qº qº 5. El área de la región de un triángulo rectángulo es 30 cm2. Si un cateto se duplica y el otro cateto se triplica, ¿cuál será su nueva área? 1. Calcula el área de la región sombreada. 4 cm 7 cm 2. Calcula el área de la región sombreada ABCD. 5 cm A B C D 9 cm 3. Calcula el área de la región sombreada, si ABDE es un cuadrado. 5 m 4 m3m A B C D E 4. Calcula el área de la región sombreada. 8 cm 8 cm 4 cm qº qº
  • 198.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 198 Conociendo las regionespoligonales 5. Calcula el área de la región sombreada. 8 m 10 m 4 m 6. Calcula el área de la región sombreada. 5cm 5 cm 2cm 12cm 7. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un romboide. 7 cm 4 cm 2 cm 5 cm A B C E D 8. Calcula el área de la región sombreada. 4 cm 7 cm 5 cm 9. Calcula el área de la región sombreada. 8 cm 4 cm 6 cm 6 cm 5 cm8 cm 10. Calcula el área de la región sombreada. 25 m 4 m 10 m 8 m 11. Calcula el área de la región sombreada. 24 m 10m 12m 4m 12. Calcula el área de la región sombreada. 10m 6m 8m 13. Calcula el área de la región sombreada, si PQRS es un romboide. 12m 10m P Q R S H 14. Si las áreas de las regiones del romboide y del triángulo rectángulo son iguales, calcula "x". 6 m 4m 8 m x 15. Calcula la diferencia de las áreas entre las regiones del romboide y el triángulo rectángulo. 5 m 6m 10 m 4 m
  • 199.
    Central: 619-8100 Geometría 199 www.trilce.edu.pe 199 3 Central: 619-8100 • ¿Qué tipo de regiones puedes observar en la habitación del Hotel Royal de Dubai? Calculando el área de regiones triangulares En este capítulo aprenderemos a: • Conocer y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de regiones triangulares cualquiera. • Conocer y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de regiones trapeciales cualquiera. • Desarrollar diversos problemas sobre el cálculo de áreas de un trapecio y un triángulo cualquiera. U n hotel es un edificio planificado y acondicionado para otorgar servicios de alojamiento a las personas temporalmente y que permite a los visitantes sus desplazamientos. Los hoteles proveen a los huéspedes de servicios adicionales como restaurantes, piscinas y guarderías. Algunos hoteles tienen servicios de conferencias y animan a grupos a organizar convenciones y reuniones en su establecimiento. El hotel de 4 estrellas Manor House Hotel en Castle Combe, Wiltshire, Inglaterra, fue construido en el siglo XIV, el hotel tiene 48 habitaciones y 1,5 km² de jardines. Los hoteles están normalmente, clasificados en categorías según el grado de confort, posicionamiento y el nivel de servicios que ofrecen. En cada país pueden encontrarse las categorías siguientes: • Estrellas (de 0 a 7 ) • Letras (de E a A) • Clases (de la cuarta a la primera) • Diamantes y "World Tourism". Estas clasificaciones son exclusivamente nacionales, el confort y el nivel de servicio pueden variar de un país a otro para una misma categoría y se basan en criterios objetivos: amplitud de las habitaciones, cuarto de baño, televisión, piscina, etc. A nivel empresarial, al hotel se le puede considerar una empresa tradicional, se utiliza a menudo el término "industria hotelera" para definir al colectivo, su gestión se basa en el control de costos de producción y en la correcta organización de los recursos (habitaciones) disponibles, así como en una adecuada gestión de las tarifas, muchas veces basadas en cambios de temporada (alta, media y baja) y en la negociación para el alojamiento de grupos de gente en oposición al alojamiento individual. http://tm.maniazones.com
  • 200.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 200 Calculando el áreade las regiones triángulares Conceptos básicos Saberes previos • Altura • Trapecio • Distancia mínima de un punto a una recta • En un paralelogramo A B C H "H": Altura relativa a AC Base menor Altura Base mayor "H": Altura relativa a PRH P Q RM Distancia mínima P L S S Cálculo del área de la región de un triángulo acutángulo A B C D h b Área del romboide ABCD = S b . h = S Trazamos la diagonal BD. A B C D h b S 2 S 2 Área del triángulo ABD= S 2 Área del triángulo ABD= .b h 2
  • 201.
    Central: 619-8100 201 Unidad VII 3 Trazamos la diagonal BD. • En general: Cálculo del área de la región de un triángulo obtusángulo Área del romboide ABCD = S b . h = S A B C D h b A B C D h b S 2 S 2 Área del triángulo ACD= S 2 Área del triángulo ACD= .b h 2 A B C h b Área = .b h 2 • En general: Cálculo del área de la región de una región trapecial A B C h b Área = .b h 2 Área del trapecio ABCD=S b a A B C D h
  • 202.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 202 Calculando el áreade las regiones triángulares Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Trazamos la diagonal AC. • En general: Área =( )( )a b h 2 + b a A B C D h b a A B C D h h Área del trapecio ABCD=S Área del triángulo ABC + Área del triángulo ACD=S .a h 2 .b h 2+ =S ( )a b h 2 + =Área del trapecio ABCD 1. Calcula el área de la región triangular en cada caso. A B C 5 m 8 m A= A= Q P R 3 m 4 m 2. Calcula el área de la región del trapecio mostrado. 9 m 3 m 7 m 3. En la figura, calcula el área de la región del triángulo mostrado, si: BC = 8 m. A B C H 7 m 4. En la figura, si: a + b = 17 m, calcula el área de la región del trapecio. b a 12 m 5. En la figura, calcula la diferencia de áreas entre las regiones triangulares ABC y PQR. P Q R 3m 4m7cm 6cm A B C
  • 203.
    Central: 619-8100 203 Unidad VII 3 ConceptosbásicosAprende más... 6. En la figura, calcula "h", si el área de la región triangular ABC es 36 cm2. A B C h 9 cm 7. Calcula "h", si el área de la región del trapecio PQRS es 50 cm2. 14 m 6 m h P Q R S 8. Calcula el área de la región triangular sombreada, si ABCD es un cuadrado. 8 cm 8 cm A B C D P 9. Calcula "x", si el área de la región del trapecio ABCD es 22 cm2. 7 m x 4 m A B C D 10. Calcula el área de la región sombreada. 2 m 5 m qº qº aº aº Comunicación matemática 1. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. • En el romboide mostrado: b h Su área se calcula como "b . h" ........................................................................................... ( ) • En un triángulo rectángulo, su área se calcula como el semiproducto de catetos ................ ( ) • En un trapecio, su área se calcula como la semisuma de bases multiplicado por su altura ... ( )
  • 204.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 204 Calculando el áreade las regiones triángulares • La región externa al triángulo rectángulo APQ e interna al trapecio ABCD. • La región externa al trapecio rectángulo PQRS e interna al romboide ABCD. A B C D P Q A P B Q C R D S 3. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico mostrado. b a h Área =( )( )+ • En el trapecio. • En el triángulo rectángulo. Área = ( )( ) 2 n m 4. Completa los enunciados usando los términos del recuadro mostrado. • El área de un .................... se calcula como la ..................... de las ........................ multiplicado por la altura. • El ................ de un ......................es igual a su ......................... elevado al cuadrado. trapecio - semisuma - área - cuadrado - lado - bases 2. Sombrea la región pedida de acuerdo al enunciado. 5. Completa la ecuación de acuerdo a la condición dada. • El área del triángulo rectángulo es la tercera parte del área del trapecio. Ecuación: ............................................ b a h y x • El área del trapecio es igual al área del triángulo rectángulo Ecuación: ............................................
  • 205.
    Central: 619-8100 205 Unidad VII 3Resoluciónde problemas 6. Calcula la diferencia de áreas de las regiones triangulares mostradas. 8 m 5 m 9 m 4 m 7. Calcula la suma de áreas de las regiones trapeciales mostradas. 9 m 3 m 6 m 7 m 2 m 8 m 8. Calcula el área de la región sombreada. 43 8 9 5 9. Calcula el área de la región sombreada. 8cm 5cm 20cm 20cm 10. Calcula "x", si el área de la región triangular ABC es 25 cm2. 10 cm x A B C 11. Calcula "x", si el área de la región triangular ABC es 28 cm2. A B C x 8cm 12. Calcula "x", si el área de la región del trapecio es la tercera parte del área de la región del triángulo. 7 m 4 m x 11 m 6 m 13. Calcula el área de la región sombreada. 6m 15m qº qº aº aº Aplicación cotidiana El frontis de la casa En el gráfico se muestra el frontis de la casa de un alumno. Si su padre lo envía a pintar dicho frontis, calcula: 14. El área del frontis mostrado. 15. Si un balde de pintura rinde 6,1 m2; ¿cuántos baldes de pintura se necesitarán para pintar dicho frontis? 4m 3m 2,5m 5m 5m2m
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 206 Calculando el áreade las regiones triángulares Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. Si el área de la región triangular ABC es 20 m2, calcula "x". x+3 x A B C 2. Calcula el área de la región sombreada en términos de "m". m m A B C D P 3. Si el área de la región del trapecio PQRS es 80 m2, calcula "a". 3a a 8 P Q R S 4. Calcula el área de la región sombreada (PQRS es un trapecio). 10 8 4 P Q R S M N 5. Si el área de la región del trapecio ABCD es 60 m2, calcula el área de la región sombreada, si "P" es punto medio. A B C D P 1. Calcula el área de la región sombreada. 6 m 7 m 2. Calcula el área de la región sombreada. 9 m 5 m 3m 3. Calcula el área de la región sombreada. 12 cm 5 cm 4. Calcula el área de la región sombreada. 6 m 5 m
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    Central: 619-8100 207 Unidad VII 35. Calcula la diferencia de áreas de las regiones triangulares. 7 m 8 m 14 m 4 m 6. Calcula la diferencia de áreas entre las regiones de los trapecios. 8 m 4 m 7 m 6 m 3m 6 m 7. Calcula "x", si el área de la región triangular ABC es 20 m2. 8 m x A B C 8. Calcula "x", si el área de la región del trapecio ABCD es 42 cm2. 10 cm x 7 cm A B C D 9. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado. 12cm A B C D 10. Calcula el área de la región sombreada. 4 m 8 m8 m 3 m 12 m 11. Si el área de la región del trapecio y el área de la región del triángulo rectángulo son iguales, calcula "h". 8 m 16m 12 m 4 m h 12. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado. 14m A B C D 8m 13. Calcula el área de la región sombreada del triángulo. 18 m 8 m 14. Calcula el área de la región sombreada, si BPQC es un cuadrado y ABCD es un trapecio. 17 m 12 m 3m A B C D P Q 15. Si el área que encierra el rectángulo ABCD es 60 m2, calcula el área de la región sombreada. 4 m 10 m A B C D P
  • 208.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 208 Ordenamiento lineal ycircular 4 • Las piscinas son una forma de recreación encontradas por el hombre, que pueden tener diferentes formas. Calculando el área de diversas regiones L a palabra piscina proviene del latín y originalmente se utilizaba para designar pozos para peces de agua dulce o salada. También se utilizó para designar los depósitos de agua conectados a los acueductos. Los primeros cristianos utilizaron la palabra piscina para designar la pila bautismal. Existe una larga tradición de construcciones artificiales dedicadas al baño, entre las que destacan los numerosos yacimientos de termas romanas, como los encontrados en la ciudad inglesa de Bath. Hoy en día las piscinas han experimentado un significativo avance tecnológico, sobre todo en términos de depuración del agua. Se emplean derivados de cloro para mantenerlas limpias, y se controla su pH y en ocasiones incluso la temperatura del agua, asimismo, existen varias modalidades, como las fijas, las portátiles y las desmontables. Y de distintos materiales, como poliéster, de concreto, recubiertas de mosaico, etc. http://www.piscinaspremium.com En este capítulo aprenderemos a: • Repasar lo aprendido en los capítulos anteriores. • Recordar las fórmulas para aplicarlas luego. 4
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    Geometría Central: 619-8100 Geometría 209 Unidad VII ConceptosbásicosAplicalo comprendido 10 x 5 50 1. Calcula el área de la región triangular ABC. 10cm 12cm A B C 2. Calcula el área de la región triangular PQR. 12 m 9 m P Q R 3. Calcula el área de la región cuadrada ABCD, si su perímetro es 24 cm. A B C D 4. Calcula la diferencia de las áreas entre las regiones del rectángulo y del romboide. 15m 10m 9 m 13 m 5. Calcula el área de la región sombreada. 8 m 4 m 4 m 13 m 6. Si ABCD es un rombo, calcula el área de su región. 5 m 4m A B C D 7. Si las regiones tienen áreas iguales, calcula "x". 20 m 6 m 30 cm x 8. Si ABCD es un cuadrado, calcula el área de la región sombreada. A B C D P 7 m 15 m 9. En la figura, calcula el área de la región sombreada. 20 m 5 m 14 m 4 m 10. Calcula el área de la región sombreada. 12 m 6 m 9 m 6 m
  • 210.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 210 Calculando el áreade diversas regiones Conceptos básicosAprende más... Comunicación matemática 1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico: n m Área= En el triángulo: Área= m n En el romboide: Área=( )( ) m x n En el trapecio: 2. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. • Una región se nombra de acuerdo a su contorno ........................................................( ) • El área es un valor que puede ser negativo .................................................................( ) • El área y el perímetro en un cuadrado son conceptos iguales ......................................( ) 3. Nombra las regiones mostradas, de acuerdo a su número de lados. 4. Sombrea la región pedida de acuerdo al enunciado • La región externa al rectángulo PQRS e interna al romboide ABCD. A B C D P Q R • La región interna al trapecio rectángulo ABCD y externa al triángulo rectángulo PQR. A B C D P Q R S 5. Grafica (haciendo uso de la regla) un trapecio isósceles ABCD (BC // AD), traza la diagonal BD y la mediana BE del triángulo ABD y sombrea el triángulo BED.
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    Central: 619-8100 211 Unidad VII 4Resoluciónde problemas 6. Calcula "b", si el área de la región triangular PQR es 84 m2. b 14m P Q R 7. Calcula el área de la región sombreada. 8u 6u 10u A B C D P Q 20u 8. Si PQRD y ABCD son cuadrados, calcula el área de la región sombreada. 8m 6m A B C DP Q R6m 9. Calcula el área de la región no sombreada. 6 8 5 7 A B C D 10. Calcula el área de la región triangular CMD. 6 8 14 A B M C D 11. Calcula el área de la región sombreada. 10cm 6cm 6cm 6cm 12. Si el área de la región rectangular ABCD es 72 m2, calcula "x". x 2xA B C D 13. En el trapecio rectángulo ABCD: AD=3(BC), calcula el área de su región. 4 6 A B C D Aplicación cotidiana La sombra Un foco al ser encendido refleja la sombra de una tabla rectangular de medidas 30 cm × 20 cm, como se muestra en la figura. 14. Calcula el área en (cm2) de la tabla rectangular que esta siendo proyectada. 15. Si la sombra reflejada en el suelo es un rectángulo cuya área es el triple del área de la tabla, calcula "x". Foco Suelo Tabla de 30 × 20 cm 25 cmSombra x
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 212 Calculando el áreade diversas regiones Conceptosbásicos Practica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. En la figura, calcula el área de la región sombreada. 3m 5 m 9 m 2. En la figura, calcula el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD es 6 m. 3m 4mA D B C 3. Las diagonales de un rombo miden 18 y 8 u, calcula el área de la región limitada por el rombo. 4. Calcula el área de la región sombreada en términos de "a". 5a 2a 8a 5. En la figura, calcula el área de la región rectangular ABCD, si: CD= 6 cm y APDR es un cuadrado. A B C DR P 1. Calcula el área de la región sombreada. 5m 4m 2. Calcula el área de la región sombreada. 4 u 6 u 3. Calcula el área de la región sombreada. 12 m 5 m 4. Calcula "x", si el área de la región triangular PQR es 48 cm2. x 12 cm
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    Central: 619-8100 213 Unidad VII 45. En el trapecio rectángulo, calcula "x" si el área de la región del trapecio es 80 m2. 13 m 7 m x 6. Si el área de la región rectangular ABCD es 36 m2, calcula "x". x 4xA B C D 7. Calcula el área de la región sombreada. 5m 9m 4m 2m 4m 8. Calcula el área de la región sombreada. 8cm 14cm 10cm 16cm 9. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y BEDF es un romboide. 6cm 6cm 4cm A B C D E F 10. En la figura, calcula el área de la región sombreada, si: AB=CD=10 m. A B C D 11. Calcula el área de la región sombreada. 18m 20 m 12. Calcula el área de la región sombreada. 12m 25 m 16 m 16 mA B C D 13. Calcula el área de la región rectangular PQRS. 8m P Q R S A qº qº B aº aº 2m 14. Calcula el área de la región sombreada. 20m 6m 10m A B C D E 15. Calcula el área de la región sombreada. 4 m2 m 6 m 7 m 9 m 12 m A B C D
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    AprendiZajes esperados UNIDAD 1 L abase económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos. ¿Cuál es la etimología de Geometría? ¿Qué estudia la Geometría? ¿Qué es postulado? Conociendoalageometría UNIDAD 1 • Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos. • Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte. • Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables. • Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás. • Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables.
  • 215.
    Central: 619-8100 Geometría 215 www.trilce.edu.pe 1 • Laspirámides de Egipto son un claro ejemplo de poliedros. En una de estas pirámides, ¿cuál es la cantidad de caras que presenta? Reconociendo los elementos del poliedro En este capítulo aprenderemos a: • Definir correctamente a un poliedro. • Conocer y diferenciar los elementos de un poliedro. • Definir y diferenciar un hexaedro regular y un paralelepípedo. • Graficar correctamente un poliedro. L as pirámides muestran, para su época, el gran conocimiento de los técnicos egipcios y la capacidad organizativa necesaria para erigir tales monumentos con medios muy simples; pero nada parece indicar que hiciera falta una tecnología superior a la que disponían los egipcios representada por "ingenios" de madera, trineos e, hipotéticamente, usando la rueda, en forma de rodillos de madera y rampas. No se sabe con certeza cómo se construyeron las pirámides, pues no han perdurado documentos de su época que lo describan. Además, se utilizaron diversos materiales (piedra escuadrada, piedra sin tallar, adobe) y variadas técnicas en la construcción de sus núcleos (apilamiento de bloques, muros resistentes conformando espacios rellenos de cascotes, etc.). La hipótesis más aceptada es la siguiente: previamente se procedía a aplanar el terreno rocoso, y excavar canales para inundarlos de agua y así poder marcar líneas de nivel con las que preparar una superficie horizontal. Después se rellenaban los surcos. A continuación se excavaba la cámara subterránea y se comenzaba la edificación. La mayoría de los bloques de piedra eran cortados en canteras próximas al lugar de construcción. Se transportaban otros de las canteras del sur del país con ayuda de gigantescas barcazas. Los bloques se colocaban a continuación sobre trineos y se arrastraban hasta su emplazamiento definitivo. http://www.taringa.net
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 216 Reconociendo los elementos Conceptosbásicos Saberes previos 60º 60º 60º Triángulo equilátero Cuadrado b a A = a .b l l A = l2 • Polígonos regulares • Área de un rectángulo • Área de un cuadrado Definición de poliedro Son los sólidos geométricos que están formados por polígonos planos que tienen lados comunes y encierran un determinado espacio cuya medida representa el volumen del poliedro. Al lado común a dos caras se le denomina arista y al punto de concurrencia de las aristas, vértice. Cara Vértice Arista Hexaedro regular o cubo Es el poliedro formado por seis cuadrados iguales. a a a Nº caras 6 Nº vértices 8 Nº aristas 12
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    Central: 619-8100 217 Unidad VIII 1 a a a a a a a a a a Paralelepípedorectangular o rectoedro Es el poliedro formado por seis rectángulos. b c a Nº caras 6 Nº vértices 8 Nº aristas 12 Desarrollo del paralelepípedo rectangular b c a a a b b c c a a Desarrollo del hexaedro regular
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 218 Reconociendo los elementos ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Indicar el número de caras, vértices y aristas del sólido mostrado. 2. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene el sólido mostrado? 3. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene el sólido mostrado? 4. Indicar el número de caras, vértices y aristas del sólido mostrado. 5. Indicar el número de vértices más el número de caras del sólido mostrado. 6. Indicar la diferencia entre el número de caras y vértices del sólido mostrado. 7. Indicar el número de vértices, aristas y caras del sólido mostrado. 8. Indicar el número de caras, vértices y aristas del sólido mostrado. 9. Haciendo uso de la regla, grafica un hexaedro regular de 4 cm de arista. 10. Haciendo uso de la regla, grafica un paralelepípedo rectangular de aristas 2; 4 y 6 cm.
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    Central: 619-8100 219 Unidad VIII 1 ConceptosbásicosAprende más... Comunicación matemática 1. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. • Los elementos del poliedro son: los vértices, aristas y las caras .......................................( ) • En un poliedro, el punto de concurrencia de las aristas se denomina vértice ..................( ) • El cubo es el poliedro cuyas caras son todos cuadrados diferentes ..................................( ) 2. Nombra los elementos del poliedro en cada caso. 3. Completa de acuerdo al gráfico. Nº caras Nº vértices Nº aristas 4. Grafica un paralelepípedo cuyas aristas midan 5; 6 y 4 cm (grafica haciendo uso de la regla). 5. Completa los enunciados, usando los términos del recuadro mostrado. • El ............................. es el poliedro formado por seis ....................... iguales. • Al lado común de dos ...................... se le denomina ....................... hexaedro regular - caras - arista - cuadrados Resolución de problemas 6. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene el poliedro mostrado? 7. Calcule la diferencia de caras y vértices en un paralelepípedo rectangular. 8. Indicar el número de caras, vértices y aristas del sólido.
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 220 Reconociendo los elementos 9. Indicar el número de caras, vértices y aristas del sólido. 10. Indicar el número de caras, vértices y aristas del sólido mostrado. 11. Indicar el número de caras, vértices y aristas del sólido mostrado. 12. Indicar el número de vértices, aristas y caras del sólido mostrado. 13. Indicar el número de caras, vértices y aristas del sólido mostrado. Aplicación cotidiana La casa de mi mascota En la figura se muestra el hogar de la mascota de Eduardo. Si él desea pintar la casa de su mascota: 14. ¿Cuántas caras del hogar de la mascota pintará Eduardo? 15. Si por cada cara, él emplea 1/8 de galón de pintura, ¿cuántos galones usará en pintar el hogar de su mascota?
  • 221.
    Central: 619-8100 221 Unidad VIII 1 ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Calcula el número de caras (C), aristas (A) y vértices (V) luego, halla "C+V–A". 2. Si la suma de las medidas de todas las aristas de un hexaedro regular es 48 cm, calcula la medida de una arista. 3. Si las aristas de un paralelepípedo rectangular son 4; 7 y 3 cm, calcula el área total de la superficie del sólido. 4. Si la diagonal de una cara de un hexaedro regular es 8 2 cm, calcula la suma de las medidas de todas sus aristas. 5. En un paralelepípedo rectangular, ¿cuántas diagonales en total presenta el sólido? 1. Suma el número de caras, vértices y aristas en el sólido. 2. Suma el número de caras, vértices y aristas en el sólido. 3. Suma el número de caras, vértices y aristas en el sólido. 4. Suma el número de caras, vértices y aristas en el sólido. 5. En el poliedro, suma el número de caras, vértices y aristas. 6. En el poliedro, suma el número de caras y aristas en el sólido.
  • 222.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 222 Reconociendo los elementos 7. Suma el número de caras, vértices y aristas en el sólido. 8. En el rectoedro mostrado, calcula la suma del número de caras y aristas. 9. Grafica un hexaedro regular de 5 cm de arista. 10. Calcula la diferencia entre el número de caras y vértices de un hexaedro regular. 11. Calcula la diferencia entre el número de caras y vértices de un paralelepípedo rectangular. 12. Calcula el número de caras del sólido 13. Calcula el número de caras del poliedro. 14. Suma el número de caras, vértices y aristas del sólido. 15. Calcula el número de caras del poliedro.
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    Central: 619-8100 Geometría 223 www.trilce.edu.pe 2 Central: 619-8100 • Las "torres gemelas", ¿qué forma tenían?, ¿la de un hexaedro o la de un paralelepípedo rectangular? ¿Área es lo mismo que volumen? En este capítulo aprenderemos a: • Reconocer y diferenciar los conceptos de área y volumen en un poliedro. • Calcular el área y el volumen de un hexaedro regular y de un paralelepípedo rectangular. • Desarrollar diversos problemas sobre el cálculo de áreas y volúmenes. L a palabra edificio quiere decir hacer fuego (del indoeuropeo æde, fuego y del latín facere, hacer), lo que no debe extrañar cuando se sigue diciendo hogar a la vivienda. Se trata de una obra de fábrica, dedicado a albergar distintas actividades humanas: vivienda, templo, teatro, comercio, etc. Del origen del nombre parece desprenderse que los edificios primitivos sirvieron para albergar el fuego, evitando que lo apagasen la lluvia o el viento, pues no era sencillo encenderlo. La inventiva humana fue mejorando las técnicas de construcción y decorando las diversas partes, hasta hacer de la actividad de edificar una de las bellas artes: la Arquitectura. http://www.taringa.net
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 224 ¿Área es lomismo que volumen? Saberes previos Conceptos básicos • Área de un cuadrado • Área de un rectángulo • En un poliedro l l Área = l2 b a Área = a . b Longitud de la arista En el hexaedro regular Área de la superficie total (At) 1cm 1cm 1cm ATotal = 6×(1cm)2 ATotal = 6 cm2 2cm 2cm 2cm ATotal = 6×(2cm)2 ATotal = 24 cm2 3cm 3cm 3cm ATotal = 6×(3cm)2 ATotal = 54 cm2 • En general: a a a At = 6(a)2
  • 225.
    Central: 619-8100 225 Unidad VIII 2 Volumen (V) 1cm 1cm1cm V= (1 cm)3 V= 1 cm3 2cm 2cm 2cm V= (2 cm)3 V= 8 cm3 3cm 3cm 3cm V= (3 cm)3 V= 27 cm3 En el paralelepípedo rectangular • En general: Área de la superficie total (At) Volumen (V) No olvidar que las caras opuestas del rectoedro son rectángulos iguales a a a V = a3 V = a . b . c a a c b At = 2(a.b) + 2(a.c) + 2(b.c) At = 2(a.b+ b.c + a.c)
  • 226.
    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 226 ¿Área es lomismo que volumen? Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. En el cubo mostrado, calcula el área y el volumen del sólido. 4cm 4cm 4cm 2. En el cubo mostrado, calcula el área y el volumen del sólido. 5 u 5 u 5 u 3. En el paralelepípedo rectangular mostrado, calcula el área y el volumen del sólido. 5cm 4cm 10cm 4. En el rectoedro mostrado, calcula el área y el volumen del sólido. 12cm 6cm 4cm 5. Calcula el volumen del rectoedro mostrado. 2cm 5cm8 cm 6. Calcula la diferencia de volúmenes entre los cubos mostrados. 2cm 2cm 2cm6cm 6cm 6cm 7. Calcula la diferencia de volúmenes entre el cubo y el paralelepípedo. 3u 3u 3u 2u 9u 3u 8. En el cubo mostrado, la suma de las aristas es 36 cm. Calcula el volumen del sólido. 9. Si el área de la superficie del cubo mostrado es de 96 cm2, calcula el volumen del cubo. 10. Calcula el volumen del rectoedro mostrado. 15u 6u 5u
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    Central: 619-8100 227 Unidad VIII 2 ConceptosbásicosAprende más... Comunicación matemática 1. Marca verdadero "V" o falso "F" según corresponda. • Un cubo cuya arista mide 4 cm tiene un volumen de 60 cm3 ........................................( ) • Un paralelepípedo rectangular también es llamado ortoedro ..........................................( ) • Un paralelepípedo presenta doce aristas y seis vértices ..................................................( ) 2. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico. m m m AT = ............ • En el hexaedro mostrado, el área total de la superficie es: V = ................ m p n • En el rectoedro mostrado, el volumen es: 3. Grafica un hexaedro regular, cuya arista mida 5 cm. 4. Completa los enunciados, usando los términos del recuadro mostrado. • El ........................ también es llamado .............................. • Un ...................... rectangular también es llamado ................................ hexaedro - rectoedro - paralelepípedo - cubo 5. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico mostrado. m p n Atotal =2 ( ....... + ........ + .......) Resolución de problemas 6. Calcula el volumen del hexaedro mostrado. 9 cm 9 cm 9 cm 7. Calcula el volumen del rectoedro mostrado. 2 u 5 u 10 u
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 228 ¿Área es lomismo que volumen? 8. En el cubo mostrado, calcula su área, si el volumen del cubo es 216 cm3. 9. Calcula el área del cubo mostrado, si la suma de aristas del sólido es 96 cm. 10. En el rectoedro, el área de la cara sombreada es 50 cm2. Calcula el volumen del sólido. 5 cm 12 cm 11. En el rectoedro mostrado, el área de la cara sombreada es 60 m2. Calcula el área de la superficie del sólido. 8 cm 5 cm 12. Si los volúmenes de los sólidos son iguales, calcula "x". x x x 1cm 3 cm 9 cm 13. Calcula "x", si el volumen del rectoedro mostrado es 720 cm3. 10cm x 8 cm Aplicación cotidiana El juego Un alumno del colegio Trilce tiene cubos para colocar de manera exacta dentro de una caja rectangular de 4; 16 y 12 cm. Los cubos a colocar son todos iguales a 2 cm de arista. 2cm 2cm 2cm 12cm 4cm 16cm Calcula: 14. El volumen del cubo y el volumen de la caja que va a participar en el juego. 15. Si el juego consiste en llenar al tope la caja de los cubos, ¿cuántos cubos podrá colocar el alumno dentro de la caja para cumplir con la condición del juego?
  • 229.
    Central: 619-8100 229 Unidad VIII 2 ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Calcula "qº" en el gráfico, si el sólido mostrado es un cubo. qº 2. Calcula la suma de las aristas de un hexaedro regular, si su volumen es numéricamente igual al triple de su área. 3. El volumen de un rectoedro es 24 cm3. Si el largo es el triple del ancho y el ancho es igual a la altura, calcula el área lateral del sólido. 4. Si el sólido mostrado es un cubo de arista 3 cm, calcula "AB". A B 5. Las áreas de las tres caras indicadas del rectoedro mostrado son: 12; 15 y 20u2. Calcula el volumen del sólido. 20u2 15u2 12u2 1. Calcula el volumen del cubo mostrado. 2cm 2. Calcula el área total de un cubo, cuya arista mida 8 cm. 3. Calcula el volumen de un rectoedro de 5; 2 y 3 cm de aristas. 4. Para el problema anterior, calcula el área total del sólido. 5. Calcula el volumen y el área total del rectoedro mostrado. 5cm 8cm 16cm 6. La suma de aristas de un cubo es 120 cm, calcula el volumen del sólido. 7. La suma de aristas de un cubo es 72 cm, calcula el área total del sólido. 8. En el gráfico, calcula el volumen del cubo. 8cm
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 230 ¿Área es lomismo que volumen? 9. Calcula el área total del rectoedro de 8; 7 y 10u de aristas. 10. Calcula el volumen de un cubo cuya área es 216 m2. 11. Calcula la suma de aristas de un cubo, si su área es 384 m2. 12. Calcula "x", si el volumen del rectoedro es 144 cm3. 6cm 12cm x 13. Calcula "x", si el volumen del cubo es 64 cm3. x x x 14. Calcula la diferencia de volúmenes de los sólidos mostrados. 3m 3m 3m 5m 10m 3m 15. Calcula "x", si el volumen del rectoedro es 560 m3. 7m x 10m
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    Central: 619-8100 Geometría 231 www.trilce.edu.pe 231 3 Central: 619-8100 • Las Torres Petronas de Malasia son unas de las más altas del mundo y presentan una superficie total de 350 000 m2 compuestas de vidrio. Recordando lo estudiado L as Torres Petronas fueron diseñadas por el arquitecto argentino César Pelli y terminadas en el año1998. Con 88 pisos, de estructura mayoritariamente de hormigón y vidrio, evocan motivos tradicionales del arte islámico, haciendo honor a la herencia musulmana de Malasia. Pelli utilizó un diseño geométrico islámico en su planta al entrelazar dos cuadrados, de tamaño gradualmente decreciente en la parte superior, la cual está basada en un motivo muy tradicional en la cultura islámica: una estrella de 12 picos incluyendo un círculo en cada intersección. La construcción de las torres comenzó en el año 1994. La estructura básica se tomó de un proyecto no realizado para una torre en Chicago. En su construcción se involucró a trabajadores de distintas naciones que aportaron con su conocimiento y trabajo. En la construcción de ambas torres se diseñó una estrategia que permitió acelerar el trabajo. Se crearon dos equipos, uno conformado por trabajadores coreanos y el otro por japoneses, uno a cargo de cada torre, de modo que hubo una gran competencia por lograr el mejor y más rápido trabajo. Las torres se encuentran unidas por una pasarela de doble altura aérea entre los pisos 41 y 42, que forma un portal. El skybridge, como es llamado, es el punto más alto accesible para los visitantes. Las visitas son gratuítas, pero limitadas a 1 200 personas diarias. En su interior las torres se encuentran compuestas por oficinas, entre las que destacan las de la compañía petrolera Petronas y la sede en Malasia de la empresa Microsoft. Al pie de la torre se encuentra el Kuala Lumpur Convention Center (KLCC) y el popular centro comercial Suria kentuki. http://upload.wikimedia.org En este capítulo aprenderemos a: • Repasar lo aprendido anteriormente. • Recordar y aplicar los conceptos aprendidos.
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 232 Recordando lo estudiado Sintesisteórica A= .b h 2 b hh b l l A=l2 A=a.b a b A=b.h b h CÁLCULO DE ÁREAS b a h A = ( )( )a b h 2 + Área de regiones triangulares Área de paralelogramos • Aplicable a todo tipo de trapecios Área de trapecios
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    Central: 619-8100 233 Unidad VIII 3 ConceptosbásicosAplicalo comprendido 10 x 5 50 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Cara Arista Vértice Elementos del poliedro a a a At = 6a2 V = a3 Hexaedro o cubo b c a V = a.b.c At = 2(a.b + b.c + a.c) Paralelepípedo rectangular o rectoedro 1. Calcula el área de la región sombreada. 5m12m A B C D 13m 4m 2. Calcula el área de la región sombreada. 4u 12u 5u 10u 3. Si el área de la región del trapecio es 160 m2, calcula "x". 12 m 8 m x 4. Calcula el área total del paralelepípedo. 5u 4u 11u
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 234 Recordando lo estudiado ConceptosbásicosAprende más... 5. Calcula el volumen del cubo mostrado. 11m 11m 11m 6. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado. 2 m 8 m 6 m 3 mA B C D 7. Calcula el volumen del rectoedro mostrado. 10 m 7 m 3 m 8. Calcula el número de caras, vértices y aristas del poliedro mostrado. 9. Calcula la diferencia de volúmenes en los sólidos mostrados. 3m 3m 3m 1m 10m 3m 10. En la figura, las áreas de las regiones sombreadas son iguales, calcula "x". 10m 8 m x 5 m Comunicación matemática 1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico. Volumen = ( )3 m m m • En el cubo Área = ( ) . ( ) h A B C D n • En el romboide ABCD
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    Central: 619-8100 235 Unidad VIII 3 • Traza la diagonal PQ del cubo. P Q A B P Q • Traza las diagonales AB y PQ. 2. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. • Un cubo de 6 cm de arista tiene un volumen de 216 cm3 ...........................................( ) • El área del rectángulo se calcula como el producto de la base por la altura .................( ) • El perímetro es lo mismo que el área ...........................................................................( ) 3. Sombrea de acuerdo al enunciado. • La región externa al romboide ABCD e interna al trapecio rectángulo. A B C D 4. Nombra los elementos del poliedro mostrado. 5. Grafica con regla de acuerdo al enunciado. Resolución de problemas 6. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un romboide. 4cm A B C D 6cm 4cm 7. Calcula el área de la región sombreada. 5u 4u 20u 12u 8. Si el área de la región del rectángulo ABCD es 80 m2, calcula "x". x 5 x 9. Calcula el volumen del cubo mostrado. 5 m 5 m 5 m
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 236 Recordando lo estudiado Conceptosbásicos¡Tú puedes! 10. Calcula el volumen del rectoedro. 9 cm 6 cm 3 cm 11. Si el volumen del cubo y del rectoedro son iguales, calcula "x". 9m 6m 4m x x x 12. Calcula el área de la región del trapecio. 12 m 5 m 6 m 13. Calcula la diferencia entre el número de caras y el número de vértices en el poliedro mostrado. Aplicación cotidiana El cubo mágico Un curioso alumno de Trilce desea saber de manera exacta algunas medidas de un cubo mágico. Si una cara está compuesta por nueve cuadrados iguales de 4 cm2 de área, calcula: 14. El área total del cubo mágico. 15. El volumen del cubo mágico. 1. Calcula el área sombreada en términos de "m" y "n". n m 2. Calcula la altura del rectoedro mostrado, si el volumen del rectoedro y el volumen del cubo son iguales. 16m x 18m 12m x 12m 12m
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    Central: 619-8100 237 Unidad VIII 3 ConceptosbásicosPractica en casa 18:10:45 1. Calcula el área total del cubo. 3m 3m 3m 2. Calcula el área de la región sombreada. 3 m 5 m 3. Calcula el área de la región sombreada. 5m 4m 5 m 4. Calcula "x", si el área de la región sombreada es 300 cm2. x 3x 5. Calcula el área total del rectoedro. 4cm 5cm 10cm 6. Calcula la diferencia de volúmenes. 8 m 3 m 5 m 4 m 4 m 4 m 7. Calcula el área de la región sombreada. 4 m 4 m 8. Calcula el área de la región del triángulo rectángulo. 14m 5m 3. Calcula "H", si: a+b=20 m y el área del trapecio es 240 m2. a b H 4. Las longitudes de las aristas de un rectoedro están en la relación de 1; 2 y 3. Si la suma de sus aristas es 24 cm, calcula el volumen del rectoedro. 5. Calcula el área total del sólido. 3 m 2 m 4 m 5 m
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    CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 238 Recordando lo estudiado 9. ¿Cuántas aristas tiene el tetraedro mostrado? 10. Calcula el área de la región sombreada. ABCD : trapecio. 10m 16 m 6 m A B C D 11. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un romboide. A B C D P 5 m 12 m 12. Calcula el volumen del paralelepípedo. 15m 7m 8m 13. Si el área de la región triangular es 105 m2, calcula "x". x 21m 14. Calcula el área del rectángulo ABCD, si: AC=10 cm. 8 cm A B C D 15. Calcula el volumen del cubo, si: AB=6 2 m. A B