La aceleración de un cuerpo depende de su posición x o velocidad v. Para encontrar la relación entre la velocidad y la posición, se integran las ecuaciones de movimiento. En el primer problema, la velocidad es función cuadrática de la posición; en el segundo, la velocidad y posición son funciones exponenciales del tiempo.

1. PROBLEMAS DE CINEMATICA
1. Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta .Su aceleración
está dada por a = -2x, donde x esta en pies y a en pies 𝑠−2
.
Encontrar la relación entre la velocidad y la distancia
suponiendo de cuando x=0, v=4pies 𝑠−1
.
 a = -2x ………… (1)

𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −2𝑥

𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= −2𝑥
 ∫ 𝑑𝑣. 𝑣 =∫ −2𝑥𝑑𝑥

𝑣2
2
= -
2𝑥2
2
+ c……….. (2)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑥 = 0 , v = 4.
42
2
= −02
+ 𝑐
8 = c……..*
 𝑣2
= −2𝑥2
+ 16 … … … … … 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎

2. 2. La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una
línea recta está dada por a = −𝑘𝑣2
, donde k es una
constante y suponiendo que cuando t = 0, v = 𝑣0. Encontrar la
velocidad y el desplazamiento en función del tiempo.
Encontrar también x en función de t y v en función de x.
 a = −𝑘𝑣2
…………….. (1)

𝑑𝑣
𝑑𝑡
=−𝑘𝑣2
 ∫ 𝑑𝑣. 𝑣−2
= ∫ −𝑘𝑑𝑡
 −𝑣−1
= −𝑘𝑡 + 𝑐 … … … (2)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒
𝑡 = 𝑜, 𝑣 = 𝑣0
−1
𝑣 𝑜
= −𝑘(0) + 𝑐
−1
𝑣 𝑜
= c…….. *
 𝑣 =
𝑣0
𝑣0 𝑘𝑡+1
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑣0
𝑣0 𝑘𝑡 + 1
∫ 𝑑𝑥 = ∫
𝑣0 𝑑𝑡
𝑣0 𝑘𝑡 + 1
𝑡
0
𝑥
𝑥0

3.  𝑥 − 𝑥0 = 𝑣0 ∫
𝑑𝑡
𝑣0 𝑘𝑡+1
𝑡
0
𝑚 = 𝑣0 𝑘𝑡 + 1
𝑑𝑚 = 𝑑𝑡
 𝑥 − 𝑥0 = 𝑣0 ∫
𝑑𝑚
𝑚
𝑡
0
 𝑥 − 𝑥0 = 𝑣0 ln( 𝑚)
 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 ln( 𝑣0 𝑘𝑡 + 1) … … … … … .∗
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝑘𝑣2

𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝑘
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 ∫
𝑑𝑣
𝑣
𝑣
𝑣0
= ∫ −𝑘𝑑𝑥
𝑥
𝑥0
 ln( 𝑣 − 𝑣0) = −𝑘( 𝑥 − 𝑥0) + 𝑐
 ln (
𝑣
𝑣0
) = −𝑘( 𝑥 − 𝑥0) + 𝑐

𝑣
𝑣0
= 𝑒−𝑘(𝑥−𝑥 𝑜)
. 𝑒 𝑐
*𝑒 𝑐
= ℎ
 𝑣 = 𝑒−𝑘(𝑥−𝑥 𝑜)
.𝑣0. ℎ … … … … … … … … . .∗

4. Escriba aquí la ecuación.