El documento explica las identidades trigonométricas fundamentales, incluyendo las identidades pitagóricas, inversas, del cociente y otras. Demuestra 23 identidades trigonométricas utilizando propiedades como las definiciones de las funciones trigonométricas, el teorema de Pitágoras y operaciones algebraicas.

1. En el gráfico anterior, observamos un círculo con radio de longitud 1; en el mismo gráfico,
un triángulo rectángulo con un ángulo agudo α el cual tiene como cateto opuesto el lado
Y, como cateto adyacente el lado X e hipotenusa de longitud 1. En consecuencia podemos
denominar las funciones trigonométricas de cualquier ángulo agudo como sigue:
Senα = y cosα= X tanα =
𝑦
𝑥
=
Senα
cosα
cotα =
𝑥
𝑦
=
cosα
Senα
secα =
1
𝑥
=
1
cosα
cscα =
1
𝑌
=
1
Senα
Además: por el teorema de Pitágoras:
𝑋2
+ 𝑌2
= 1 de donde podemos deducir que 𝑠𝑒𝑛2
α + 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 = 1
Y
1 Y
α X X

2. Una identidad trigonométrica es una igualdad en la que intervienen las diferentes funciones
trigonométricas. Por Ej.:
𝑠𝑒𝑛2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X = 1
Esta igualdad es válida todo el tiempo. Para cualquier valor que le demos al ángulo X, el seno
cuadrado del ángulo X sumado con el coseno cuadrado del mismo ángulo siempre será igual a la
unidad.
Partimos de las identidades fundamentales que son las siguientes:
Identidades inversas:
Sen X =
1
𝑐𝑠𝑐𝑋
Cos X =
1
𝑠𝑒𝑐𝑋
tan X =
1
𝑐𝑜𝑡𝑋
Cot X =
1
𝑡𝑎𝑛𝑋
sec X =
1
cos 𝑋
csc X =
1
𝑠𝑒𝑛𝑋
Identidades pitagóricas:
𝑠𝑒𝑛2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X = 1
𝑠𝑒𝑛2
X = 1 - 𝑐𝑜𝑠2
X 𝑐𝑜𝑠2
X = 1 - 𝑠𝑒𝑛2
X 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 = 𝑐𝑠𝑐2
𝑋 - 1
𝑐𝑜𝑡2
𝑋 = 𝑐𝑠𝑐2
𝑋 - 1 𝑠𝑒𝑐2
𝑋 = 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 + 1 𝑐𝑠𝑐2
𝑋 = 𝑐𝑜𝑡2
𝑋 + 1
Identidades del cociente:
tanX =
SenX
cosX
cotX =
cosX
SenX
senX = tanX. cosX cosX = cotX.senX

3. DEMOSTRAR LAS IDENTIDADES SIGUIENTES:
1.- 𝑠𝑒𝑛2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X = 1
Demostración:
𝑠𝑒𝑛2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X = 𝑠𝑒𝑛2
X + 1 - 𝑠𝑒𝑛2
X = 1 sustituimos 𝑐𝑜𝑠2
X por 1 - 𝑠𝑒𝑛2
X
El seno cuadrado de X se anula con el seno cuadrado de X y únicamente queda el 1, por lo tanto
𝑠𝑒𝑛2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X = 1
2.- 𝑠𝑒𝑛2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X = tanX. cotX
𝑠𝑒𝑛2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X = tanX. cotX
1 - 𝑐𝑜𝑠2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X =
1
𝑐𝑜𝑡𝑋
. cotX
1 = 1
3.- 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 + 𝑠𝑒𝑛2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X = 𝑐𝑠𝑐2
𝑋
𝑡𝑎𝑛2
𝑋 + 𝑠𝑒𝑛2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X = 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 + 1
=
𝑠𝑒𝑛2X
𝑐𝑜𝑠2X
+
𝑐𝑜𝑠2 X
𝑐𝑜𝑠2 X
=
𝑠𝑒𝑛2X + 𝑐𝑜𝑠2X
𝑐𝑜𝑠2 X
=
1
𝑐𝑜𝑠2 X
= 𝑐𝑠𝑐2
𝑋
4.- 𝑐𝑜𝑡2
𝑋 + 1 =
1
𝑠𝑒𝑛2X
𝑐𝑜𝑡2
𝑋 + 1 =
𝑐𝑜𝑠2 X
𝑠𝑒𝑛2X
+ 1
=
𝑐𝑜𝑠2 X
𝑠𝑒𝑛2X
+
𝑠𝑒𝑛2X
𝑠𝑒𝑛2X
=
𝑠𝑒𝑛2X + 𝑐𝑜𝑠2X
𝑠𝑒𝑛2X
=
1
𝑠𝑒𝑛2X

4. 5.- senX. Sec X = tanX
senX. Sec X = sen X .
1
cos 𝑋
=
SenX
cosX
= tan X
6.- 𝑠𝑒𝑛2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X = sen X . csc X
𝑠𝑒𝑛2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X = sen X . csc X
1 - 𝑐𝑜𝑠2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X =
1
𝑐𝑠𝑐𝑋
. csc X
1 = 1
7.
1
𝑐𝑠𝑐2 𝑋
+ 𝑐𝑜𝑠2
X = 1
1
𝑐𝑠𝑐2 𝑋
+ 𝑐𝑜𝑠2
X = 𝑠𝑒𝑛2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X = 1
8. 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 + sen X . csc X = 𝑠𝑒𝑐2
𝑋
𝑡𝑎𝑛2
𝑋 + sen X . csc X =
𝑠𝑒𝑛2X
𝑐𝑜𝑠2 X
+ sen X .
1
𝑠𝑒𝑛 𝑋
=
𝑠𝑒𝑛2X
𝑐𝑜𝑠2 X
+ 1
=
𝑠𝑒𝑛2X
𝑐𝑜𝑠2 X
+
𝑐𝑜𝑠2 X
𝑐𝑜𝑠2 X
=
1
𝑐𝑜𝑠2 X
= 𝑠𝑒𝑐2
𝑋
9.-
𝑐𝑜𝑠2 X
𝑠𝑒𝑛2X
+ 1 = 𝑐𝑠𝑐2
𝑋
𝑐𝑜𝑠2 X
𝑠𝑒𝑛2X
+ 1 =
𝑐𝑜𝑠2 X
𝑠𝑒𝑛2X
+
𝑠𝑒𝑛2X
𝑠𝑒𝑛2X
=
𝑠𝑒𝑛2X + 𝑐𝑜𝑠2 X
𝑠𝑒𝑛2X
=
1
𝑠𝑒𝑛2X
= 𝑐𝑠𝑐2
𝑋
10.- 𝑠𝑒𝑛2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X = cos X. sec X
𝑠𝑒𝑛2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X = cos X. sec X
1 - 𝑐𝑜𝑠2
X + 𝑐𝑜𝑠2
X =
1
sec 𝑋
. sec X
1 = 1

5. 11.- 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 + tan X . cot X = 𝑠𝑒𝑐2
𝑋
𝑡𝑎𝑛2
𝑋 + tan X . cot X = 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 + tan X .
1
tan 𝑋
= 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 +
tan 𝑋
tan 𝑋
=
𝑠𝑒𝑛2X
𝑐𝑜𝑠2 X
+ 1
=
𝑠𝑒𝑛2X
𝑐𝑜𝑠2 X
+
𝑐𝑜𝑠2 X
𝑐𝑜𝑠2 X
=
𝑠𝑒𝑛2X + 𝑐𝑜𝑠2 X
𝑐𝑜𝑠2 X
=
1
𝑐𝑜𝑠2 X
= 𝑠𝑒𝑐2
𝑋
12.-
𝑠𝑒𝑛2X
𝑐𝑜𝑠2 X
+ 1 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑋
𝑠𝑒𝑛2X
𝑐𝑜𝑠2 X
+ 1 =
𝑠𝑒𝑛2X
𝑐𝑜𝑠2 X
+
𝑐𝑜𝑠2 X
𝑐𝑜𝑠2 X
=
𝑠𝑒𝑛2X + 𝑐𝑜𝑠2 X
𝑐𝑜𝑠2 X
=
1
𝑐𝑜𝑠2 X
= 𝑠𝑒𝑐2
𝑋
13.- 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 +
1
𝑠𝑒𝑐2 𝑋
= 1
𝑠𝑒𝑛2
𝑋 +
1
𝑠𝑒𝑐2 𝑋
= 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 = 1
14.- 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 . cos X + cos X = csc X
𝑡𝑎𝑛2
𝑋 . cos X + cos X =
𝑠𝑒𝑛2X
𝑐𝑜𝑠2 X
. cos X + cos X
=
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
cos 𝑋
+ cos X
=
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
cos 𝑋
+
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
cos 𝑋
=
𝑠𝑒𝑛2 𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
cos 𝑋
=
1
cos 𝑋
= csc X
15.-
𝑆𝑒𝑛 𝑋+cos 𝑋
𝑆𝐸𝑁𝑋
= 1 +
1
tan 𝑋
𝑆𝑒𝑛 𝑋+cos 𝑋
𝑆𝐸𝑁𝑋
=
𝑠𝑒𝑛 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
+
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
= 1 + cot X = 1 +
1
tan 𝑋

6. 16.-
cos 𝑋
cot 𝑋
= sen X
cos 𝑋
cot 𝑋
=
cos 𝑋
1
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
=
cos 𝑋
1
.
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
= sen X
17.-
tan 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
= sec X
tan 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
=
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
1
=
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
.
1
𝑠𝑒𝑛 𝑋
=
1
cos 𝑋
= sec X
18.-
csc 𝑋
cot 𝑋
= sec X
csc 𝑋
cot 𝑋
=
1
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
=
1
𝑠𝑒𝑛 𝑋
.
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
=
1
cos 𝑋
= sec X
19.- 𝑠𝑒𝑛4
𝑋 =
1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑐𝑠𝑐2 𝑋
1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑐𝑠𝑐2 𝑋
=
1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
1
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
=
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
1
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
= 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 . 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 = 𝑠𝑒𝑛4
𝑋
20.- sec X ( 1 - 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 ) = cos X
sec X ( 1 - 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 ) =
1
cos 𝑋
. 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 = cos X
21.- tan X. cos X . csc X = 1
Tan X . cos X . csc X =
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
. cos X .
1
𝑠𝑒𝑛 𝑋
= 1
22.- sen X . sec X = tan X
Sen X . sec X = sen X .
1
cos 𝑋
=
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
= tan X
23.-
1
sec 𝑋 + tan 𝑋
= sec X - tan X
1
sec 𝑋 + tan 𝑋
=
1
sec 𝑋 + tan 𝑋
.
sec 𝑋−𝑡𝑎𝑛𝑋
sec 𝑋 − tan 𝑋
=
sec 𝑋 − tan 𝑋
𝑠𝑒𝑐2 𝑋 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑋
=
sec 𝑋 − tan 𝑋
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
−
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
=
sec 𝑋 − tan 𝑋
1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
=
sec 𝑋 − tan 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
sec 𝑋 − tan 𝑋
1
= sec X - tan X
24.-
𝑠𝑒𝑛 𝑋 + cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
= 1 +
1
tan 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋 + cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
=
𝑠𝑒𝑛 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
+
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
= 1 + cot X = 1 +
1
tan 𝑋

7. 25.- 1 - 2 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 =
1 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑋
1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑋
1 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑋
1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑋
=
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
−
𝑠𝑒𝑛 𝑒 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
+
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
=
𝑐𝑜𝑠2 𝑋 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
=
𝑐𝑜𝑠2 𝑋 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
.
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑋
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 = 1 - 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 = 1 - 2 𝑠𝑒𝑛2
𝑋
26.-
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cot 𝑋
= sec X - cos X
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cot 𝑋
=
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
= sen X .
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
=
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
cos 𝑋
=
1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
cos 𝑋
=
1
cos 𝑋
-
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
cos 𝑋
= sec X - cos X
27.-
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑋
(sec 𝑋 − tan 𝑋)2 = 1 + sen X
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑋
(sec 𝑋 − tan 𝑋)2 =
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑋
𝑠𝑒𝑐2 𝑋 − 2sec 𝑋 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑋
=
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑋
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
− 2.
1
cos 𝑋
.
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
+
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
=
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑋
1 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑋 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
=
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑋
(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑋 )2
1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑋
=
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑋
(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑋)(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑋)
(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑋)(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑋)
=
=
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑋
1
.
1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑋
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑋
= 1 + sen X
28.- 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 = (1 + sen X)(1 - sen X)
(1 + sen X)(1 - sen X) = 1 - 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 = 𝑐𝑜𝑠2
𝑋
29.-
𝑠𝑒𝑛 𝑋 + cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋 − cos 𝑋
=
sec 𝑋 + csc 𝑋
sec 𝑋 − csc 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋 + cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋 − cos 𝑋
=
1
csc 𝑋 + 1
sec 𝑋⁄⁄
1
csc 𝑋 − 1
sec 𝑋⁄⁄
=
sec 𝑋 + csc 𝑋
sec 𝑋 .csc 𝑋
sec 𝑋 − csc 𝑋
sec 𝑋 .csc 𝑋
=
sec 𝑋 + csc 𝑋
sec 𝑋 .csc 𝑋
.
sec 𝑋 .csc 𝑋
sec 𝑋 − csc 𝑋
=
sec 𝑋 + csc 𝑋
sec 𝑋 − csc 𝑋
30.- 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 . 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 + 𝑐𝑜𝑠4
𝑋 = 1 -
1
𝑐𝑠𝑐2 𝑋
𝑠𝑒𝑛2
𝑋 . 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 + 𝑐𝑜𝑠4
𝑋 = (1 - 𝑐𝑜𝑠2
𝑋)(𝑐𝑜𝑠2
𝑋) + 𝑐𝑜𝑠4
𝑋
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 − 𝑐𝑜𝑠4
𝑋 + 𝑐𝑜𝑠4
𝑋
= 1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 = 1 −
1
𝑐𝑠𝑐2 𝑋

8. 31.- tan X + tan Y = tan X. tan Y(cot X + cot Y)
tan X. tan Y(cot X + cot Y) = tan X . tan Y . cot X + tan X . tan Y . cot Y
= tan X . tan Y .
1
tan 𝑋
+ tan X . tan Y .
1
tan 𝑌
= tan X + tan Y
32.- 2𝑠𝑒𝑛2
𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 = 1 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑋
2𝑠𝑒𝑛2
𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 = 2𝑠𝑒𝑛2
𝑋 + 1 - 𝑠𝑒𝑛2
𝑋
= 2 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 + 1
= 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 + 1 = 1 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑋
33.- tan X + cot X = sec X . csc X
tan X + cot X =
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
+
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
=
𝑠𝑒𝑛2 𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋 .cos 𝑋
=
1
𝑠𝑒𝑛 𝑋 .cos 𝑋
=
1
𝑠𝑒𝑛 𝑋
.
1
cos 𝑋
= csc X . sec X = sec X . csc X
34.- 1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 = 𝑠𝑒𝑐3
𝑋 . cos 𝑋
1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 =
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
+
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
=
𝑠𝑒𝑛2 𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
=
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
=
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
.
cos 𝑋
cos 𝑋
=
1
𝑐𝑜𝑠3 𝑋
. cos X
= 𝑠𝑒𝑐3
𝑋 . cos 𝑋
35.- 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 . 𝑐𝑜𝑡2
𝑋 = 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑋
𝑡𝑎𝑛2
𝑋 . 𝑐𝑜𝑡2
𝑋 = 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 .
1
𝑡𝑎𝑛2 𝑋
=
𝑡𝑎𝑛2 𝑋
𝑡𝑎𝑛2 𝑋
= 1 = 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑋
36.- 2 tan X + 1 =
cos 𝑋 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
cos 𝑋 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
=
cos 𝑋
cos 𝑋
2 𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
= 1 + 2
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
= 1 + 2 tan X
37.- 3 sen X . cos X = 3𝑠𝑒𝑛2
𝑋 . cot 𝑋
3𝑠𝑒𝑛2
𝑋 . cot 𝑋 = 3 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 .
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
=
3 𝑠𝑒𝑛 𝑋 .𝑠𝑒𝑛 𝑋 .cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
= 3 sen X . cos X

9. 38.- 1 + 2 sen X . cos X = sen X . cos X (1 + cot X) (1 + tan X)
sen X . cos X (1 + cot X) (1 + tan X) = (sen X . cos X + sen X . cos X . cot X)(1 + tan X)
= sen X . cos X + sen X . cos X . tan X + sen X . cos X . cot X + sen X . cos X .cot X . tan X
= sen X. cos X + sen X . cos X .
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
+ sen X . cos X .
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
+ sen X . cos X .
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
.
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
= sen X . cos X + 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 + sen X . cos X
= 2 sen X . cos X + 1 = 1 + 2 sen X . cos X
39.- sen X + cos X = cos X(1 + tan X)
cos X(1 + tan X) = cos X + cos X . tan X
= cos X + cos X .
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
= cos X + sen X = sen X + cos X
40.- 2 tan X + cos X =
𝑐𝑜𝑠2 𝑋 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
=
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
cos 𝑋
+
2 𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
=
cos 𝑋 .cos 𝑋
cos 𝑋
+ 2
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
= cos X + 2 tan X = 2 tan X + cos X
41.-
1
𝑡𝑎𝑛2 𝑋
− 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 = 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 . 𝑐𝑜𝑡2
𝑋
1
𝑡𝑎𝑛2 𝑋
− 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 =
1
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
− 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 =
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
− 𝑐𝑜𝑠2
𝑋
=
𝑐𝑜𝑠2 𝑋 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑋 . 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
=
𝑐𝑜𝑠2 𝑋(1− 𝑠𝑒𝑛2 𝑋)
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
=
𝑐𝑜𝑠2 𝑋 .𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
=
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
. 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 = 𝑐𝑜𝑡2
𝑋 . 𝑐𝑜𝑠2
𝑋
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 . 𝑐𝑜𝑡2
𝑋
42.- sen X . sec X . cot X = 1
Sen X . sec X . cot X = sen X .
1
cos 𝑋
.
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
= 1
43.- 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 . 𝑐𝑠𝑐2
𝑋 . 𝑐𝑜𝑡2
𝑋 . 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 = 1
𝑡𝑎𝑛2
𝑋 . 𝑐𝑠𝑐2
𝑋 . 𝑐𝑜𝑡2
𝑋 . 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 =
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
.
1
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
.
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
. 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 = 1

10. 44.-
𝑠𝑒𝑛 𝑋 + tan 𝑋
cot 𝑋 + csc 𝑋
= 𝑠𝑒𝑛 𝑋 . tan 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋 + tan 𝑋
cot 𝑋 + csc 𝑋
=
𝑠𝑒𝑛 𝑋 +
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
+
1
𝑠𝑒𝑛 𝑋
=
𝑠𝑒𝑛 𝑋 .cos 𝑋 + 𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
cos 𝑋 + 1
𝑠𝑒𝑛 𝑋
=
𝑠𝑒𝑛 𝑋 (cos 𝑋 + 1)
cos 𝑋
.
𝑠𝑒𝑛 𝑋
(cos 𝑋 + 1 )
=
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
. 𝑠𝑒𝑛 𝑋 = tan 𝑋 . 𝑠𝑒𝑛 𝑋 = 𝑠𝑒𝑛 𝑋 . tan 𝑋
45.- 𝑐𝑜𝑡2
𝑋 ( 1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 ) = 𝑐𝑠𝑐2
𝑋
𝑐𝑜𝑡2
𝑋 ( 1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 ) = 𝑐𝑜𝑡2
𝑋 + 𝑐𝑜𝑡2
𝑋 . 𝑡𝑎𝑛2
𝑋 = 𝑐𝑜𝑡2
𝑋 + 𝑐𝑜𝑡2
𝑋 .
1
𝑐𝑜𝑡2 𝑋
𝑐𝑜𝑡2
𝑋 + 1 =
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
+
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
=
𝑠𝑒𝑛2 𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
1
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
= 𝑐𝑠𝑐2
𝑋
46.-
tan 𝑋 + cot 𝑋
tan 𝑋 − cot 𝑋
=
𝑠𝑒𝑐2 𝑋
𝑡𝑎𝑛2 𝑋 − 1
tan 𝑋 + cot 𝑋
tan 𝑋 − cot 𝑋
=
𝑠𝑒𝑐2 𝑋
𝑡𝑎𝑛2 𝑋 − 1
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
+
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
−
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
=
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
−
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
cos 𝑋 .𝑠𝑒𝑛 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
cos 𝑋 . 𝑠𝑒𝑛 𝑋
=
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
.
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
1
cos 𝑋 .𝑠𝑒𝑛 𝑋
.
cos 𝑋 .𝑠𝑒𝑛 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
=
1
𝑠𝑒𝑛2 𝑋 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
1
𝑠𝑒𝑛2 𝑋 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
=
1
𝑠𝑒𝑛2 𝑋 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
47.- 1 − 2𝑠𝑒𝑛2
𝑋 =
cot 𝑋 − tan 𝑋
tan 𝑋+ cot 𝑋
cot 𝑋 − tan 𝑋
tan 𝑋 +cot 𝑋
=
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
−
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
+
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
=
𝑐𝑜𝑠2 𝑋 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋 .cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋 .cos 𝑋
=
𝑐𝑜𝑠2 𝑋 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋 .cos 𝑋
.
𝑠𝑒𝑛 𝑋 .cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
=
𝑐𝑜𝑠2 𝑋 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑋
1
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑋
1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2
𝑋
48.-
tan 𝑋
1 − cot 𝑋
+
cot 𝑋
1 − tan 𝑋
= 1 + tan 𝑋 + cot 𝑋
tan 𝑋
1 − cot 𝑋
+
cot 𝑋
1 − tan 𝑋
=
tan 𝑋
1 −
1
tan 𝑋
+
1
tan 𝑋
1 − tan 𝑋
=
tan 𝑋
tan 𝑋 − 1
tan 𝑋
+
1
tan 𝑋
.
1
1 − tan 𝑋
=
tan 𝑋
1
.
tan 𝑋
tan 𝑋 − 1
+
1
tan 𝑋 (1 − tan 𝑋)
=
𝑡𝑎𝑛2 𝑋
tan 𝑋 − 1
+
1
tan 𝑥 (1 − tan 𝑋)
=
𝑡𝑎𝑛2 𝑋
tan 𝑋 − 1
−
1
tan 𝑋 (tan 𝑋 − 1)
=
𝑡𝑎𝑛3 𝑋 − 1
tan 𝑋 (tan 𝑋 − 1 )
=
(tan 𝑋 − 1)(𝑡𝑎𝑛2 𝑋 + tan 𝑋 + 1
tan 𝑋(tan 𝑋−1)
=
𝑡𝑎𝑛2 𝑋
tan 𝑋
+
tan 𝑋
tan 𝑋
+
1
tan 𝑋
= X + tan X + 1 + cot X = 1 + tan x + cot X

11. 49.- 2𝑠𝑒𝑛2
𝑋 − 1 = 𝑠𝑒𝑛4
𝑋 − 𝑐𝑜𝑠4
𝑋
𝑠𝑒𝑛4
𝑋 − 𝑐𝑜𝑠4
𝑋 = (𝑠𝑒𝑛2
𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑋)(𝑠𝑒𝑛2
𝑋 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑋)
= 1 ( 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑋) = 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 − (1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑋) = 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 − 1 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑋
= 2𝑠𝑒𝑛2
𝑋 − 1
50.-
1
sec 𝑋 − 1
+
1
sec 𝑋 + 1
= 2 csc X . cot X
1
sec 𝑋 − 1
+
1
sec 𝑋 + 1
=
1
1
cos 𝑋
− 1
+
1
1
cos 𝑋
+ 1
=
1
1 − cos 𝑋
cos 𝑋
+
1
1 + cos 𝑋
cos 𝑋
cos 𝑋
1 − cos 𝑋
+
cos 𝑋
1 + cos 𝑋
=
cos 𝑋 (1 + cos 𝑋) + cos 𝑋 ( 1 − cos 𝑋 )
1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
=
cos 𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑋 + cos 𝑋 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
=
2 cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
=
2
𝑠𝑒𝑛 𝑋
.
cos 𝑋
𝑠𝑒𝑛 𝑋
= 2 csc 𝑋 . cot 𝑋
51.-
1
1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑌
−
1
1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑋
= 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑌
1
1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑌
−
1
1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑋
=
1
1 +
𝑠𝑒𝑛2 𝑌
𝑐𝑜𝑠2 𝑌
−
1
1 +
𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
=
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑌 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑌
𝑐𝑜𝑠2 𝑌
−
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑋 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑋
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
=
𝑐𝑜𝑠2 𝑌
1
-
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
1
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑌 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑋 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑌 − (1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑋)
= 1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑌 − 1 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 = 𝑠𝑒𝑛2
𝑋 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑌
52.- sec X + tan X =
cos 𝑋
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
1− 𝑠𝑒𝑛 𝑋
=
cos 𝑋
1− 𝑠𝑒𝑛 𝑋
.
1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑋
1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑋
=
cos 𝑋 (1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑋)
1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑋
=
cos 𝑋 ( 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑋 )
𝑐𝑜𝑠2 𝑋
=
cos 𝑋 ( 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑋 )
cos 𝑋 .cos 𝑋
=
1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
=
1
cos 𝑋
+
𝑠𝑒𝑛 𝑋
cos 𝑋
= 𝑠𝑒 𝑐 𝑋 + tan 𝑋