Este documento presenta las transformaciones trigonométricas de suma-diferencia a producto y viceversa. Incluye ejemplos de aplicación de estas transformaciones para simplificar expresiones trigonométricas. Se proporcionan las fórmulas básicas de transformación y ejemplos resueltos paso a paso para comprender mejor su aplicación.

1. CURSO : TRIGONOMETRÍA – TEMA : TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS
Transformación de suma o diferencia a producto
Sen A + Sen B = 2 Sen A+B Cos A-B
2 2
Sen A - Sen B = 2 Cos A+B Sen A-B
2 2
Cos A + Cos B = 2 Cos A+B Cos A- B
2 2
Cos A – Cos B = 2 Sen A+B Sen A-B
2 2
Transformación de producto a suma o diferencia
2Sen A Cos B = Sen ( A+B) + Sen(A-B)
2Cos A Sen B = Sen ( A+B) – Sen ( A-B)
2Cos A Cos B = Cos (A+B) + Cos (A-B)
2 Sen A Sen B = Cos (A+B ) – Cos (A-B)

2. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS
1.- Simplificar la siguiente expresión
A = 2 Sen 5x Cos 3x - Sen 8x
Resolución
Se sabe :
2Sen A.CosB = Sen (A+B)+Sen(A-B)
A = 2 Sen 5x Cos 3x - Sen 8x
A = Sen (5x+3x) + Sen (5x-3x) - Sen8x
A = Sen 8x + Sen 2x - Sen 8x
A = Sen 2x Rta.
2.- Reducir la expresión
E = Sen 36° + Sen 24°
Resolución
Se sabe :
Sen A + Sen B = 2Sen A + B . Cos A-B
2 2
Remplazando
Sen 36° + Sen 24° = 2Sen 36°+24° Cos 36°-24°
2 2
= 2Sen 30°Cos 6°
= 2 x 1 Cos 6°
2
= Cos 6° Rta.

3. Resolución
P = Sen 50° + Sen 10° + 2Sen 70°
Cos 20°
Se sabe
Sen A+ Sen B = 2Sen A+B Cos A-B
2 2
P = 2Sen (50°+10°).Cos (50°-10°) + 2Sen70°
2 2
Cos 20°
P = 2Sen 30°Cos 20° + 2Sen 70°
Cos 20°
3.- Simplificar :
P = Sen 10° + Sen 50° + 2Sen 70°
Cos 20°
P = 2Sen 30°Cos 20° + 2Sen 70°
Cos 20°
P = 2( 1) .Cos 20° + 2 Sen 70°
2 Cos 20°
P = Cos 20° + 2Sen 70°
Cos 20°
Se sabe que cuando se tiene funciones
complementarias se cumple
Sen A = Cos B se debe cumplir A+B = 90°
Por tanto Sen 70° = Cos 20°
Remplazando en la expresión P
P = Cos 20° + 2Cos 20°
Cos 20°
P = 3Cos 20° P = 3 Rta
Cos 20°

4. 4.- Transformar a producto A
A = Sen2x + Sen 4x + Sen6x + Sen8x
Resolución
Agrupamos
A = Sen8x + Sen 2x + Sen 6x + Sen4x
Se sabe
A = Sen8x +Sen2x + Sen 6x + Sen 4x
A= 2Sen 8x+2x Cos 8x-2x + 2Sen 6x+4x Cos 6x-4x
2 2 2 2
A =2Sen5xCos 3x + 2Sen 5x Cos x
Factorizando
A = 2Sen5x ( Cos3x + Cos x )
A = 2Sen5x ( Cos3x + Cos x )
Se sabe :
Cos A + Cos B = 2Cos A+B Cos A-B
2 2
A = 2Sen 5x ( Cos3x + Cos x )
A =2Sen5x 2Cos (3x+x) Cos (3x-x)
2 2
A = 2Sen 5x (2cos 2x Cos x)
A = 4 Sen 5x Cos 2x Cos x Rta.

5. 5.- Simplificar la siguiente expresión
Q = Sen 3x + Sen 5x + Sen 5x
Cos 8x - Cos 2x
Resolución
Agrupamos
Q = Sen7x + Sen3x + Sen 5x
Cos 8x - Cos 2x
Se sabe:
Sen7x+Sen3x = 2Sen (7x+3x) Cos(7x-3x)
2 2
= 2Sen 5x Cos 2x
Se sabe :
Cos 8x - Cos 2x = 2Sen ( 8x+2x)Sen( 8x-2x)
2 2
Cos 8x - Cos 2x = 2Sen 5xSen 3x
Remplazando en Q
Q = 2Sen5xCos2x + Sen 5x
2Sen5x Sen 3x
Factorizando
Q = Sen5x ( 2Cos 2x + 1 )
2Sen5x.Sen3x
Q = 2Cos2x+1
2Sen3x
Q = (2Cos2x +1)
2Senx(2Cos2x+1)
Q = 1 ; Q = 1. 1 ; Q = 1 Csc x
2Sen x 2 Senx 2
A
Senx .Csc x = 1
Csc x = 1
Senx

6. 6.- Simplificar
N = 2 Sen 40°Cos 20° - Sen 20°
Resolución
Se sabe
N = 2 Sen 40° Cos 20° - Sen 20°
N = Sen(40°+20°) + Sen(40°-20°) - Sen 20°
N = Sen 60° + Sen 20° - Sen 20°
N = sen 60°
N = 3/ 2 Rta
ALUMNOS QUE INGRESARON TARDE A LA CLASE

7. TAREA DE TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Pagina 80
2Sen A.CosB = Sen (A+B)+Sen(A-B)
A= 2SEN5XCOSX –SEN6X-SEN4X
=SEN6X + SEN4X –SEN6X – SEN4X
=0
Sen A+ Sen B = 2Sen A+B Cos A-B
2 2
P= sen40°+sen20°+sen 80°
cos10°
P=2 sen30°cos10°+sen80°
cos10°
P=2(1)cos10°+cos10°
2 cos10°
=2cos10° = 2
cos10°

8. Pagina 80
A= Sen7x + senx+sen5x+sen3x
A= 2 sen4xcos3x + 2 sen 4x.cosx
A=2sen4x (cos3x+cosx)
A=2sen4x(2cos2x.cosx)
A=4sen4xcos2xcosx
Cos A + Cos B = 2Cos A+B Cos A-B
2 2
Q=sen6x+sen2x+sen4x
cos7x – cosx
Q= 2sen4xcos2x +sen4x
cos7x-cosx
Q= 2sen4xcos2x+sen4x
2sen4xsen2x
Q=sen4x(2cos2x+1) =2cos2x+1
sen4x (2sen2x) 2sen2x