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UMSA-FACULTAO DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245
CAPITULO 1
"PRESIONES"
1.1 INTRODUCCION.
La presión de fluido, (P) está definida como la cantidad de fuerza, (F), que se ejerce sobre
un área unitaria, (A), de una sustancia. La presión de fluidos se calcule a partir de:
IP-~1
1.2 PRESION ABSOLUTA Y MANOMETRICA
Cuando se realizan cálculos que implican la presión de un fluido, se debe hacer la
medición en relación con alguna presión de referencia. Normalmente, la presión de
referencia es la de la atmósfera y la presión resultante que se mide se conoce como presión
absoluta. La presión que se mide en relación con el vacío perfecto se conoce como presión
manométrica.
Una sencilla ecuación relaciona los dos sistemas de medición de presión:
Donde:
Pabs - Presión absoluta
Pman - Presión manométrica
Patm - Presión atmosférica
1.3 RELACION ENTRE PRESION Y ELEVACION
Cuando uno se sumerge cada vez más en un fluido como en una piscina, la presión
aumenta. Existen muchas situaciones en las que es importante saber exactamente de
qué manera varía la presión con un cambio de profundidad o de elevación.
El cambio de presión en un líquido homogéneo en reposo debido al cambio en elevación
se puede calcular a partir de:
DONDE:
lip - Cambio de presión
y - Peso especifico del liquido
h = Cambio de elevacion
Nota: La ecuación es válida para un líquido homogéneo en reposo.
Gula Aux. José Luis Huanca P. Página 1
UPLOADED BY JORGE BLANCO CHOQUE

PROBLEMAS RESUELTOS
P-1.1 Un líquido de peso especifico l.2S [g/cm
3
], llena parcialmente el reservorio esférico
de la figura . ¿Cuál será la intensidad de la presión en un punto situado a O.SS [m] debajo
del punto C (punto D)?
SOLUCION:
B
o.38 lmJ
y1= 1.25 [g/cc]
y2=13.6 [g/cc]
(2)y(3) en......(1)
Re ernplazando :
101325 ~ - 0.38111*(13600 *9.81) ~ =P0 - 0.55111 *(1250 *9.81) ~
m m m
P0 = 57.37 KPa presion. absoluta
P-1.2 Calcular la diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2 de la tubería de la figura
por la que circula agua, el líquido en el piezómetro tiene una densidad relativa de 2.96,
(Tome como datos adicionales h=0.6m, z=O.Sm)

h : 0.6 m
X
BH,~
z
A
SOLUCION:
Balance entre los puntos A y B
P4 =P¡ + Yu-o *X..........(l)
Po = Pi +rN,O * Y..........(2)
Restando (1) - (2):
PA- Po =Pi + rfl,O *X - Pi - rfJ,o * y
P¡ - P2 = PA- PB - YN,O*(X - Y)...........(3)
La diferencia de presiones entre A y B: PA- P8 =r*Z ..........(4)
Delagrafica: X = Z + Y + h ➔ X - Y = Z + h..........(5)
Reemplazamos (4) y (5) en (3):
P¡ - P2 =r*Z - r11, 0 *(Z + h)
Reemplazando valores se tiene:
P¡ - P2 = (2960*9.81)
1
~ *0.5111- (1000*9.81) ~ *(0.5 + 0.6)n1.
,n rn.
IP¡ - P2 =3.73 ~1

P-1.3 Para el tanque que muestra la figura calcular el valor de H.
SOLUCION: (+!,-i )
p ag,w +<)ªS"". g. 0.2 - <)Hg . g. /-J +Ó. g. 0.3 =~,ceite
30cm
t
Aceite
16(kPa)
H =P,,guil- p aceil, +(8ª8"" •0.2 +() •0.3)g
81/g • g
H = 40- 16+(9810 ·0.2+9810·0.92·0.3) = O. l
743
(ni)
13.6·9810
1
H =l7.43(1n)1
Agua
40(kPa)
20cm
mercurio
P-1.4 Encontrar la diferencia de presiones entre los puntos M y N en función de z, s,h;
( s = r' l
r
SOLUCION:
r
Balance entre los puntos M y B
P.11 =PB - Y* m.....(1)
Balance entre los puntos C y N
M
-·1•· z
,n
Balance entre los puntos By C h +
_
________
P8 =P
e + y'*z .......(3) N
---•--
(1) + (2)
P = P -y*m
]
M B ⇒ P + P = P - y* ,n+ P - r* n
P, - P _ * M e s ,v
C - N Y n,
r'
Por geometría: h-,n = n-z➔ h+ z= 1n+n. .....(5)
r

~1 - PN =r'*z- r*(h+ z)
r'
Pero: s = - ➔ r'=s*r ⇒ P.w -PN=s*r*z - r*(h +z)
r
PM -P
N =r* [s*z- (h+ z)] ⇒
P-1.S Un piezómetro conectado a un tanque contenido agua como se muestra en la figura,
el liquido en el piezómetro es mercurio (Dr= 13.6). Cuando la superficie del tanque esta
en A, el valor de Hes 0.6(m). Hallar el valor de H cuando la superficie del agua en el
tanque esta en B=S(m) sobre A.
SOLUCION:
Inicialmente en el nivel D se cumple:
Patrn +y* z=Patn1 - y*Ji
r• 13.6 . o6 8 6
z= - *h= --"' . = .l (1
n)
r l
Luego en la situación final cuando el
nivel del agua en el tanque esta en B. el
punto D baja una distancia Y, lo mismo
ocurre con el punto C por lo tanto en el
nivel D se cumple.
z
8
A
1-- -·-------·
-
h=0.6 (m)
- -------------------- 1- -- ~ -·

UMSA-FACULTAO DE INGENIERIA
8
t -
- ,-
z
h
Df 1----- -
--------------------- - --
Di
Cf
GJ
OPERACIONES UNITARIAS PET-245
Pahn +y *5 +r * z+ y* y = Pahn +r' *(y +h+y)
r*5+r*z-r' *h=2*r' * y- y*y
r*(S+z) - r ' *h 1*(5+8.16) - 13.6*0.6
(2 *r' - r) = y ➔ y = (2*13.6- 1)
y = 0.19083 (rn)
Pero de la grafica:
Hf=h+y+y=.6+2 *0.19083=0.982(m)
P-1.6 En el sistema de manómetros, mostrado en la figura. Determinar al diferencia de
presiones en el punto A y B, es decir (A-B).
Yz ......__
M N
- -
- •
•
H2
- •
H1
Y1 A '
A H3
8
•
.
Y3 -
SOLUCION:
Del gráfico: PM = PN.............. a

pA= Y1 H1 +Y2 H2 + PM
Ps = y3 H3+ PN
REEMPLAZANDO (1) Y (2) EN*:
PA-Yl H1 -rzH2= Ps-Y3 H3
R.- (PA -PB=r1 H1+ r2 H2 -r3H3(
* Otra forma:
Empezamos del bolo izquierdo:
PA- Hl- H2 + H3 = PB
R. -!PA-PB =ylHl+ y2H2- y3 H
31
PM = PA- Yl H1 -rz Hz........................ (1)
PN = Ps - y3 H3.................................. (2)
P-1.7 En el sistema mostrado en la figura. Determinar la diferencia de presiones entre los
puntos A y B.
Y
1
B
A
y2
SOLUCION:
(+) (-)

P-1.8 Un liquido A tiene un peso especifico de 9.4 KN/m3 y el liquido B tiene un peso
especifico de 11.4 KN/m3. El líquido manométrico es mercurio. Si la presión de B es de
210 KPa, halle la presión en A:
SOLUCION:
kN kN kN
P¡ = P8 - 6l.56- , = 210- , - 61.56- , =148.44kPa
,n- ,n- m-
Donde:
9.4tNhn3
~
400mm
2m
P6 P5
♦
( A (Hg)=13.6
----------
___,/
3 m
'11.4kNhn3
Por otra parte se tiene P3:
____________
{B_
Donde:
P1 = Pi +11.4 k~ *0.4,n =l48.44kPa +4.56kJ)a =153kJ)a
m
Se tiene P5 bajo la siguiente relación:
~ =P; +13.6*9.81 kN_ *0.4rn
mº
kN k1V kN
P; =~ - 53.37 ~ =153- 2
- 53.37~ =99.63kPa
rn rn m
Sabiendo que:
La presión en el manómetro A es:
PA=Pr, +9.4 ktv_ *2.4m
mº
PA= 99.63k~ +22.56k~ =122.19 [kPa]
nr rn-
IPA=122.19 [kPa]I
Gula Aux. José Luis Huanca P.
J
Página 8

CAPITULO 2
"FUERZA SOBRE AREAS PLANAS"
2.1 INTRODUCCION.
En el presente capítulo se presenta los métodos de análisis utilizados para calcular la
fuerza ejercida sobre un área plana. También se analizarán las fuerzas sobre superficies
curvas.
En la figura de abajo se muestra la distribución de presión sobre el muro de contención
vertical. Como se indicó en la ecuación t.p=yh, la presión varía linealmente (como una
línea recta) con respecto de la profundidad en el fluido. La longitud de las fechas
punteadas representa la magnitud de la presión de fluido en diferentes puntos sobre la
pared. Debido a esta variación lineal en la presión, la fuerza resultante total puede ser
calculada con la ecuación:
Donde:
1FR = P,,,0m *A 1
Pprom = es la presión promedio y
A = es el área total del muro que se encuentra en contacto con el fluido.
Pero la presión promedio es la que se encuentra en la parte media del muro y puede
calcularse mediante la ecuación:
En la que hes la profundidad total del fluido.
- /
- /
/
h /
- / P prmtU!dii,
2 2 I
- h I
3 /
/
J,
I
/
I
I Centro de
1 I
- /¡ I preswnes
3 I
/

Por tanto, tenemos:
.(h)
FR=r* 2 *A
.2.2 PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA FUERZA SOBRE UNA PARED
RECTANGULAR:
l . Calcule la magnitud de la fuerza resultante, F., empleando la siguiente ecuación:
DONDE:
y =
h =
Peso especifico del fluido
Profundidad total del fluido
A = Área total de la pared
2. Localice el centro de presión a una distancia vertical de h/3 a partir del pie de la
pared ó en su caso a 2/3 h desde la superficie libre del fluido.
3. Muestre la fuerza resultante que actúa en el centro de presión en forma
perpendicular a la pared.
2.3 PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA FUERZA SOBRE UNA PARED RECTANGULAR
INCLINADA:
/¡
Gula
2
- h
3
1
-h
3
'iJ
-
-
-
h
2
"--.e.R
Aux. José Luis Huanca P.
,
'
'
,
,
' '
cg¡
/
cp¡
,__ Centro de
presiones
Página 10

l. Calcule la magnitud de la fuerza resultante, FR, empleando la siguiente ecuación:
FR =r*(~)*A
• Para calcular el área de la cortina, se necesita la altura de su cara, denotada
con "Y" como se observa en la figu ra anterior.
h
sen0 = - ⇒
y
h
Y = - -
sen0
• Entonces el área de la cortina es:
A = Y* L
2. Localice el centro de presión a una distancia vertical de h/3 o medido a partir del
pie de la pared sobre el largo de la superficie de la cortina.
y
Ycp= Y - -
3
3. Muestre la fuerza resultante que actúa en el centro de presión en forma
perpendicular a la pared.
2.4 AREAS PLANAS SUMERGIDAS GENERAL
El procedimiento que se analizara en esta sección se aplica a problemas que involucra
áreas planas, ya sean verticales o inclinadas, completamente sumergidas en el fluido.
Como en problemas anteriores, el procedimiento nos capacitara para calcular la magnitud
de la fuerza resultante sobre el área y la localización del centro de presión, en donde
podemos suponer que actúa la fuerza resultante.
En la figura se muestra un tanque que tiene una ventana en una pared inclinada. Los
símbolos utilizados en el procedimiento que se describirá mas adelante, se muestran en la
figura yse definen a continuación:

-
-
hcg
' '
h
' '
' ' '
'
'
'
'
'
'
' ' '
'
' '
' '
'
'
' '
' '
U11~r d.-
r4!fornrdt1
Vl,·t, pru.vn:1,ub.t drl
11r~t sOhll Ju t:ut1/ .~I'
Donde:
FR = Fuerza resultante sobre el área, debida a la presion de fluido
0 = Ángulo de inclinación del área.
hcg = Profundidad del fluido desde la superficie libre hasta el centroide del área.
Ycg = Distancia existente desde la superficie libre del fluido al centroide del área,
medida a lo largo, del ángulo de inclinación del area.
y = Peso especifico del fluido.
Mx = Momento de primer orden con respecto a su centro de gravedad.
lcg = Momento de Inercia respecto al centro de gravedad de la superficie ó
momento de segundo orden.
,
A = Area de la compuerta que se encuentra en contacto con el fluido.
La magnitud de la fuerza resu ltante, FR, se calcula empleando la siguiente ecuación:
1FR =r *hcg *A 1
2 .SCENTRO DE PRESIÓN
Es aquel punto sobre un área en el que se puede suponer que actúa la fuerza resultante
para tener el mismo efecto que la fuerza distribuida sobre el área entera, debida a la
presión del fluido.

Jcg
Yc¡J = -~- +Ycg
Ycg* A
NOTA. El momento de Inercia va difiriendo de la forma que presenta la superficie como se
puede demostrar en el siguiente Ejemplo, de base "b" y de altura "h" respecto a un eje
que pasa por el centro de gravedad y sea paralelo a la base:
.!.,. I !
2 · - · - · - ·• · - - · - . "
1 1 '
- !t 1
1 '
I◄ ►I
b
A = b* h
b*ll
I = - -
,, 12
Ce111roide
:I -··-· -·-·
I◄ b
A = b*h
2
l,*lr'
I =- -
,, 36
2.6 FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
Centroide
d
.
·-·-·-·~-·-·-
'
'
,
,r*d·
A=- -
4
7l *ti''
I,, = 64
ti
2
En la figura se muestra un muro de contención que contiene un líquido y cuya parte
superior está expuesta a la atmósfera, cuya superficie abe es una cuarta circunferencia y si
vemos con la profundidad es un segmento de un cilindro. En este caso interesa la fuerza
que actúa sobre la superficie curva debida a la presión del fluido.
w
.__ x_ --t.r-7
h F11
2.6.1 COMPONENTE HORIZONTAL
/
/
I
a
e
La pared solida vertical que se encuentra a la derecha ejerce fuerzas horizontales sobre el
fluido que esté en contacto con ella, como reacción a las fuerzas debidas a la presión del

fluido y se encuentra ubicada a una distancia h/3 del pie de la pared.
La magnitud de FH, y su posición se puede encontrar utilizando los procedimientos
desarrollados en superficies planas. Esto es:
A = h * L..........................................(2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
-------~
h
FH =y *2* (h* L)
Su centro de presión desde la superficie libre líquido será:
2.6.2 COMPONENTE VERTICAL
2
hcp =-h
3
La componente vertical de la fuerza ejercida por la superficie curva sobre el fluido puede
encontrarse sumando las fuerzas que actúan en dirección vertical. Únicamente el peso del
fluido actúa hacia abajo y solamente la componente vertical, Fv actúa hacia arriba.
Entonces, el peso y el fluido deben ser iguales entre sí en magnitud. El peso es
simplemente el producto de su peso específico por el volumen del cuerpo del fluido
aislado. El volumen es el producto del área de la sección transversal, que se muestra en la
figura anterior (a,b,c) y la longitud de interés es "L". Donde la Fv es:
Fv =W= y* V
Su centro de presión desde la superficie del muro será:
4R
X =--
3 7r
La fuerza total resultante, FRes:
La fuerza resultante actúa formando un ángulo 0; con respecto de la horizontal, y se le
puede calcular por medio de la ecuación:

0 = tag- l(t )
2.6.3 RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA FUERZA EN UNA SUPERFICIE
CURVA SUMERGIDA.
Dada una superficie curva sumergida en un líquido estático, se puede utilizar el siguiente
procedimiento para calcular la magnitud, dirección y localización de la fuerza resultante
sobre la superficie:
l. Aislar el volumen del fluido que está por encima de la superficie.
2. Calcular el peso del volumen aislado.
3. La magnitud de la componente vertical de la fuerza resultante es igual al peso del
volumen aislado. Actúa en línea con el centroide del volumen aislado.
4. Dibuje una proyección de la superficie curva en un plano vertical y determine su al
tura, en este caso representado por la letra "s".
S. Calcule la profundidad del centroide del área proyectada con la ecuación:
hcg =h +!....
2
6. En la que hes la profundidad de la parte superior del área proyectada.
7. Calcule la magnitud ce la componente horizontal de la fuerza resultante, a partir de
de:
.'
FH = r *A*hcg = r * (s*L)* (h +- )
. 2
8. Calcule la profundidad de la linea de acción de la componente horizontal con la
••
ecuac1on: 3
L * s
- ,
l s-
hcp= .< + hcg = 12 + hcg =- - -+ hcg
hcg* A hcg * (L* s) 12*hcg
9. Calcule la fuerza resultante con la ecuación:
¡,~ =.J¡,~ 2 + ¡,-;,1
10. Calcule el ángulo de inclinación de la fuerza resultante con respecto de la
horizontal, utilice la ecuación: ( F. )
0 =tag -
1
F:
11. Muestre la fuerza resultante que actúa sobre la superficie curva en la dirección de
tal forma que su línea de acción pase por el centro de curvatura de la superficie.

PROBLEMAS RESUELTOS
P-2.1 Cuál es el empuje que se ejerce por el agua en una compuerta vertical de 3 x 4 [m]
cuyo tope se encuentra a S[m] de profundidad.
[
/(9]
YHzO =1000 m3
S[m] S[m]
ji
eg_____ __
CP" ··---- ---------------------------------------------------.iJ
SOLUCIÓN:
4[rn]
En el problema: h = y= 1.S[m] + 5.0(m] =6.S(m]
A= (3 x 4)[m] = 12(m2
)
E = yhA = 1000 [~[ ] x 6.S(m] x 12 (m2
]
1
E = 78000[Kgr ]
1
Cp
P-2.2 Determine la posición del centro de presiones para el caso de la compuerta del
problema anterior.
- fo
Yp=y + yA ... ... ... ... ... ... .... (a)
Donde: f0 = momento de inercia con respecto al centro de gravedad
1 1
/ 0 =
12
bh3
=
12
(4m)(3m)3
= 9[m4
] .. ....... ... ...... ......... ... (/3)
{3 en a
9[m4
]
Yp = 6.S[m] + ( )( 2 )
6.Sm 12m
P-2.3 Determine la coordenada del centro de presion (Cp) de las siguientes áreas situadas
en planos verticales y la magnitud de la fuerza F

a) Paralelogramo
h
SOLUCIÓN:
Sabemos:
' '
:◄ b ►: ( supe1ficie)
,:...----..,
'
'
- h
F =yhA y h = y =-
______ 2
Entonces:
f = y h bh2
2
b) Rectángu lo
•
H
•
b
'
Cp
b
F=yM ✓
1
F = -ybh2
2
•
y
- h
h=y=-+H
2
h
.
,
.
,
2 (H - h)3
- H3
F = y(
2+H)bh
Yp =3 (2H +h)h

P-2.4 Un dique con 4[m] de altura y lO[m] de ancho presenta un perfil parabólico aguas
arriba. Calculé se la resultante de la acción del fluido. (Solución numérica).
SOLUCIÓN:
H,0
/¡ =4n1I F,,
--+--+---
1.5,n
Componente Horizontal:
h
FH =y. - . b. h
2
X
F
' N
'
►
IFy
1
A 1-
2.511'1
F11 Fx
[
Kgf] 2
Fv =1000 m3 •
3·1.S[m] · 4[m] · lO[m]
F,, =40000 [Kgf] *
[
Kgf] 4
Flf = 1000 m3
•
2
[m] · 4[m] · lO[m] Donde se aplica: (x)
5 5
i = Xp =
8
· r =
8
· 1.S[m]
Donde se aplica: Xp =0.94[m]
2 2
Yp = 8
• h; Yp = 8
• 4[m] Para la resultante {R)
Yp =2. 67 [m] *
Componente Vertical: R = Jcaoooo)2 + (400000)2
Fv = y ·Aso · b = y · (!r · h) · b
R = 89442. 7 [Kgf] *

P-2.5 La compuerta de la figura .Tiene 3 [m] de longitud. Calculé se la magnitud y
ubicación de los componentes de la fuerza que actúan sobre ella.
,,..._, ,,..._, ,,..._,
,,..._, ,,..._, ,,..._,
A w e
,,..._, ,,..._, ,,..._,
Solución: Calculo de la Fuerza
Horizontal.
Fh =y. h. AAB
FH = (~)- b · h
2
Yp = 3
· 2[m]
Yp = 1.33[m] *
Calculo de la fuerza Vertical:
Fv =y· V
Fv =y· AAB · b
[
Kgf] 2
FH =1000 m3 •
2
[1n] · 3[1n] · 2[1n] (
rr. h
2
)
Fv =y·
4
· b
F1t = 6000[Kgf] *
Calculo de Yp:
l
Yp =Ycg +y; . A
cg CB
h b · h3
Yp =2+ 'h
12 · (2) · b · h
h h
Yp =2 + 6
2
Yp =3·h
Gula
Fv =9424.B[Kgl] *
Calculo del lugar donde se aplica (x)
4 · h
x=--
3n
_ 4 · 2[m]
x=---
3n
X = Xp = 0. 849[m]
Aux. José Luis Huanca P. Página 19

UMSA-FACULTAD DE lNGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245
P-2.6 El depósito de la figura contiene aceite y agua. Encontrar la fuerza resultante sobre
la pared ABC, que tiene 1.2m de anchura.
SOLUCION:
La fuerza total sobre ABC es igual a (PAs +P6c), Hay que encontrar
cada una de las fuerzas, situar su posición y aplicar el principio de
momentos y por ultimo hallar la posición de la fuerza total
resultante sobre la pared ABC.
3111
Aceile
(Dr = 0.8)
¡l.8111 Agua
A
B
e
a) PAs =(0.800 x 1000)(1.5)(3 x l .2)=4320 kg, que actúa en el punto (2/3)(3) m de A, o
sea, 2 m por debajo. Puede obtenerse este mismo aplicando la formula conocida,
como sigue:
1.2(33
)/12
Ycp =1.5(1.2 x 3) +1.5 =0.5 + 1.5 =2. 00 m de A
b) El agua actúa sobre la cara BC y la acción del líquido superior puede tenerse en
cuenta por la altura o profundidad de agua equivalente. Se emplea en este
segundo cálculo la superficie de agua imaginaria (IWS), situando la IWS por cambio
de los 3 m de aceite en los 0.800 x 3 = 2.40 m de agua. Por tanto,
P8 c = 1000(2.4 + 0.9)(1.8 x 1.2) = 7128 kg, que actúa en el centro de presión
1.2(1.83
)/12 .
Ycp = 3
_
3
(
1
_
2
x
1
_
8
) + 3.3 = 3.38 m de O o bien 0.6 + 3.38 =3.98 m de A
La fuerza resultante total = 4320 + 7228 = 11.448 kg, que actúa en el centro de presión
que corresponde al área total. El momento de esta resultante= la suma de los momento
de las dos fuerzas parciales anteriores. Tomando momentos respecto de A,
11.448 Ycp =4320 X 2 +7128 X 3.98
Ycp = 3.23 mdeA
Pueden emplearse para este cálculo otros métodos, pero el presentado aquí reduce los
errores tanto en el planteamiento como en los cálculos.
Guía Aax. José Luis Huanca P. Página 20

P-2.7 Refiriéndose en la figura, calcular la fuerza de presión que ejerce el fluido de
benceno sobre la compuerta y localice la fuerza de presión. Muestre la fuerza resultante
sobre el área y señale claramente su localización.
SOLUCION:
Benceno
0.80111
(SG= 0.88)
,
Ubicando su punto de acción de la FR
I
hcp = h +hcg =>
A* cg
hcp
sen702 =--
Ycp
=>
,
,
,
,
Calculo de la Fuerza Resultante :
FR = SOBEN *YH20 * hcg *A ......(ec. 1)
Donde:
hcg =(0.80m +sen70º * 0.501n +:; * sen70º)
(
4 * 0.75m )
hcg = 0.80m +0.47m + 3
rr * sen70º
hcg =1.569m
Sustituyendo en (1)
FR = 0.88 * 9.81 :~ * 1.569 * (rr*
8
D
2
)
KN (rr* (1.5m)
2
)
FR = 0.88 * 9.81 m 3
* 1.569 *
8
FR =11.97KN
(6.86 * 10- 3
) * D4
hcp = 0 8 2 9
+ 1.569m
. 84m * 1.56
hcp = 1. 594m
hcg 1.569
Ycp = ---= ---= 1.67m
sen70º sen70º
Ycp = 1.67m

P-2.8 Para el tanque de agua que se muestra en la figura, calcule la magnitud de la fuerza
de presión que ejerce el fluido de agua sobre la compuerta y localice la fuerza de presión
SOLUCION:
Calculo de la Fuerza Resultante:
FR =sg8 eN *YHzo * hcg *A ... ... (ec. 1)
Donde su centro de gravedad es:
18" 20'"
hcg = (1.Spie + cos50º * O.Spie +!1.67pie
* cos50º)
hcg = 2.533pie
, hcg hcg
losSOº = y => Ycg = C SOº
cg os -
=3.94pie
Por otra parte el área se obtiene:
2.533pie
CosSOº
b * h 2.Spie * 1.67pie 2
Area =
2 2
= 2.083pie
Sustituyendo hcg y el área de la compuerta en (1):
lb
FR = 62.4 . 3
* 2.533pie * 2.083pie2
= 329. 24 lb
pie
Ubicando la fuerza resultante:
Yr ¡1
AGUA
b * h3
2.Spie * (l.67pie)3
,
,
,
1 36 36 .
Ycp=y A+Ycg=y A + Ycg=
094
.
2083
. 2 + 3.94pte
cg * cg * . pie * . pie
Ycp =3.98pie
,
P-2.9 Determine el peso específico de una esfera que flota entre dos líquidos de
densidades: 0,8 y l. La línea de separación de los líquidos pasa por el centro de la esfera:
30'"

UMSA-FACULTAD DE lNGENIERIA
SOLUCIÓN:
w
mg = Y1 (~) + Y2 (~)
1 1
Y3 = 2 CY1 + Y2) = 2 (8000 -1000)
:. Y3 =0.99[/ cm3
...-..._,,r··.
¡,
E2 l,'2
P-2.10 Un tronco cilíndrico tiene un diámetro de 450 mm y una longitud de 6.75 m.
Cuando el tronco está flotando en agua dulce con su eje más largo horizontal, 110 mm de
su diámetro está por encima de la superficie. ¿Cuál es el peso específico de la madera del
tronco?
110 m
X X
115 m e e
450 mm
R=250 m
SOLUCION:
w= F ·y V = y V
b ' ~
vood T ~
v d
Guía Aax. José Luis Huanca P.
0=Arcsen(150/225)=3O.742
B=
Página 23

UMSA-FACULTAD DE lNGENIERIA
1l'D2 1r(450f 3
Vy = 4 · L = 4 ·6.750 =1.074111
[
;rr/)2 fJ ] ]
Vt1 = - ·-+-(2xx115
) L
4 360 2
V = [ ¡z-(0.4
5
)2 . 2415
+ .!_(0.!934y0.l 15)]6.75rn3
= 0.8703ni3
J 4 360 2 ~
Yum>d =(9.8lkNI 1
n
3
xo.8703/1.074)=7.95kN/ 1
n
3
Ywotul =7.95kN/ ,n3
P-2.11 En la siguiente figura, un cilindro de 2,4 m de diámetro cierra un agujero
rectangular en un depósito de 0,9 m ¿Con que fuerza queda presionado el cilindro contra
el fondo di deposito por la acción de los 2.7 m de profundidad de agua?
2 .1 m
FIGURA
Pv =fuerza hacia abajo sobre CDE - fuerza hacia arriba CA y BE
= 1000*0.9[(21*24 - .!_.ir*12
2
) - 2(21 * O162 + -
1
;r *12
2
- .!_*O6*l 038)]
' ' 2 ' ' ' 12 ' 2 ' '
=2500-810=1690 [ kg hacia abjo ]

CAPITULO 3
"TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS"
3.1 INTRODUCCION.
Un fluido puede estar animado de un movimiento de traslación o rotación, sometido a
una aceleración constante, sin movimiento relativo entre sus partículas. Esta es una de las
condiciones del equilibrio relativo y el fluido está libre de tensiones cortantes. En general
no existirá movimiento entre el fluido y el recipiente que lo contiene. Son aplicables aún
los principios de la estática, modificados para tener en cuenta los efectos de la
aceleración.
3 .2 MOVIMIENTO HORIZONTAL
En el caso de un movimiento horizontal la superficie libre del líquido adopta una posición
inclinada y plana. La pendiente del plano se determina mediante:
a (aceleracion lineal del recipiente,ni / s2
)
~0= . ,
g (acelerac,on de la gravedad,111/s-)
3 .3 MOVIMIENTO VERTICAL
Para el movimiento vertical la presión (kgf/m
2
o Pa) en un punto cualquiera del líquido
viene dada por:
en la que el signo positivo se aplica cuando la aceleración es hacia arriba y el negativo
cuando la aceleración constante es hacia abajo.
3 .4 ROTACION DE MASAS FLUIDAS
• RECIPIENTES ABIERTOS
La forma de la superficie libre de un líquido que gira con el recipiente que lo contiene es
un paraboloide de revolución. Cualquier plano vertical que pasa por el eje de revolución
corta a la superficie libre según una parábola. La ecuación de esta parábola es:
Guía
2
ú) ?
y= - x-
2g
Aax. José Luis Huanca P. Página 25

donde x e y son las coordenadas, en metros, de un punto genérico de la superficie,
medidas con el origen en el vértice situado en el eje de revolución, y "w" la velocidad
angular constante, medida en radianes por segundo. La demostración de esta fórmula se
da más adelante.
• RECIPIENTES CERRADOS
En los recipientes cerrados aumenta la presión al girar los recipientes. El aumento de
presión entre un punto situado en el eje y otro a una distancia de x metros del eje, en el
mismo plano horizontal, es:
(j)2 ?
p = y- x-
2g
y el aumento de la altura de presión (m) será
que es una ecuación análoga a la aplicable a recipientes abiertos en rotación. Como la
velocidad lineal v=x*w, el término x
2
w
2
/2g = v
2
/2g da la altura de velocidad, en m, como
se verá más adelante.
PROBLEMAS RESUELTOS
P-3.1 Problema: Un vaso de 1.22[m] de diámetro está abierto y lleno de un liquido como
muestra la figura . Determinar el volumen derramado del liquido cuando el cilindro gira
sobre su eje vertical simétrico.
SOLUCIÓN:
w
1
4 y ~
,
D = 1.22[m]
Guía
H =1.83[m]
.
..
Aax. José Luis Huanca P.
w =60rpm
2n 1S
w =60rpm* - - *-
60rpn, l m
w = Zn[rad]
2
Y =~ *x2
2•g
y= Q.75[m] Altura del paraboloíde
Página 26

H =y+ h ~ h = H - y= (1.83 - 0.75)[m]
h =l .08[n1..]
Vderra,nado =Vparaboloide de rebolucion
1
Vparaboloide de reboluclon = 2
Vcilindro circunscrito
1 2
Vderraniado = 2
(n:r )y
1 2 3
Vderr,m11td o =
2(n:0.61 )0.75 m
Vderramado =O. 44m
3
Rpta.
P-3.2 Un vaso cilíndrico abierto está lleno de líquido. ¿A qué velocidad deberá girar sobre
un eje vertical para el liquido deje descubierto en el fondo un circulo en el fondo de radio
(3R/4) del cilindro. ¿Cuál será el volumen del líquido derramado con esta relación? El vaso
tiene 1.6 (m) de diámetro y 2(m) de altura:
SOLUCIÓN:
w2 z
H =Zg(R ) ... ... ... (1) Y =;; (!R)
2
...... . .. ........... (2)
pero H = 2(m) +Y ... ...... (3) remplazando (l )y (2)en (3)
w
2
R
2
w
2
(3 )2
w
2
R
2
( 9)
- - =2+ - - R - - 1 - - =2
2g 29 4 29 16
w2R2(!_) - 2_6+g
29 16
- 2 W -
7
R2 con10 R = 1,6(m) y 9 = 9,81 m/s2
.
.. W=
64 * 9,81cm/s2)
7 * (1,6(m))2
rad
W =5.92-
s
para el volumen: Vderra,nado =Vparabota
1 2 1 2
Vderramado1 =
2rcR H =
2n:(0,8) * 4.SS(m) = 4.574(m) ......... (1)
1 3 2
Vderramado2 =
2rc (¡* 0.8) * 2.SS(m) = 1.442(m3
) ............... (2)
Vderramado(Total) = Vdl - Vd2 = (4.574 - 1.442)(rn3
)
Vderramculo(Total) = 3. 13 (m3
)

P-3.3 Un paraboloide de revolución cuyo diámetro es "d" la base es igual a su altura, flota
con su eje vertical y vértice hacia abajo, determine la densidad relativa mínima del
paraboloide con respecto al líquido para que la flotación sea estable.
SOLUCIÓN:
Paraboloide AOB
rr 2 rr (D)2
rr 2
VAoB = zR H = z z H =
8
D H
siH = D
rr 3
VAOB =8H ... ............ ...... ... ... ... ..... (1)
Paraboloide EOF
rr 2 rr (d)2
re 2
VEOF =zr h=z 2 h =ad h ...... ...... ... ......... (2)
pero: W = E VYAoB = VYEoF ............ ... ...... (3)
(2)y (3)
' n 3 n: 2
Y* - H =y* - dh
8 8
y' d 2 h
-= ~ ............. (4)
y H
tambien Y= Kx2
ecuacionde laparabola
si : X = R cuando Y = H
H = K R2
... ... ... .... (5)
si: X =r cuando Y= h
h - Kr ......... .... 6
. - 2 ( )
(5)
(6)
H R2
(i)
2
h - r Z - (~)2
H H2
pero D = H -= -
h d2
2
D
h2
d 2
=H*h ... .............. (7) (7)en(4)
fo=~
y
y H2
:. h = ~* H ... ....... . (8)
✓r -
paraque sea estable metacentro
1
CGCF = MG = -
Vd
0=4
A,.,.____-111------aB
H
h
- -
Cg
2H/s
~
2h s
Página 28

de tablas:
- I (;4)d2
1d2
MG = Vd = ?!. = 8h ........... (9)
8
2 2 2
CG CF =S H - S h = S (H - h) ............. (10)
si la flotaciones estable MG =CG CF igualando (9)y (10)
2 d2
S = (H - h) = Sh ... ........ (11)
2 H * h 5
S (H - h) = Sh 2H - 2h =
8
H
11
h =
16
1-1 ................... (12) igualando
11 (i
16H= ✓Y*H
•
l'
:. - =0,473
l'
y' _ (11)
2
- - -
y 16
(7)en (11)
11
-H = 2h
8
(8)y (12)

CAPITULO 4
"FLUJO DE FLUIDOS Y LA ECUACION DE BERNOULLI"
4.1 RAPIDEZ DE FLUJO DE FLUIDO
Es la cantidad de flujo que fluye en un sistema por unidad de tiempo, se puede expresar
mediante los tres términos que definimos a continuación.
La Rapidez de Flujo Volumétrico (Q), es el volumen de flujo de fluido que pasa por una
sección por unidad de tiempo y esta es la más importante entre los tres términos que se
menciona y se calcula empleando la siguiente ecuación:
Donde:
A = es el área de la sección
V = es la velocidad promedio del fluido
4.2 LA RAPIDEZ DE FLUJO DE PESO (W), es el peso de fluido que fluye por una sección
por unidad de tiempo y está relacionada con Q mediante la ecuación:
DONDE:
W= r *Q
IW = r* A *v ]
W = es el peso específico del fluido
Q = es la rapidez de flujo de volumen
4.3 LA RAPIDEZ DE FLUJO DE MASA (M), es la masa de fluido que fluye por una
sección por unidad de tiempo y está relacionada con Q mediante la ecuación:
M=p * Q
IM= p * A *v i
Donde:
p = es la densidad del fluido
Q = es la rapidez de flujo de volumen

4.4 E(:UACION DE CONTINUIDAD
Esto es, la cantidad de fluido que pasa por cualquier sección en un cierto tiempo dado, es
constante. En este caso decimos que se tiene un flujo constante, entonces la masa de fluido que
pasa por la sección 2 en un tiempo dado, debe ser la misma que la que fluye por la sección 1, en el
mismo tiempo. Lo anterior se puede expresar en términos de la rapidez de flujo de masa como:
Considerando que el fluido que se encuentra en tubo es un líquido que puede ser incomprensible,
entonces los términos p1 y p2, son iguales, entonces la ecuación anterior resulta :
1 AL* v1= ~ * v2 I
Esta ecuación de continuidad es aplicada a líquidos; establece que para un fluido estable, la
rapidez de flujo de volumen "Q" es la misma en cualquier sección.
4.5 CONCERVACION DE LA ENERGIA - ECUACION DE BERNOULLI
En un problema de flujo en conductos toma en cuenta la energía del sistema. En física us ted
aprendió que la energía no puede ser creada ni destruida, sino que puede ser transformada de un
tipo a otro. Este es el enunciado de la "ley de conservación de la energía".
Cuando se analizan problemas de flujos en conductos, existen tres formas de energía que siempre
se tiene que tomar en consideración. Tome un elemento de fluido, como en el que se muestra en
la figura adjunta. Puede estar localizado a una cierta elevación"z", tener una cierta velocidad "v" y
una presión "p". El elemento de fluido tendría las siguientes formas de energía:
4 .5.1. ENERGÍA POTENCIAL {PE}: Es debido a su elevación, la energía potencial del elemento
con respecto de algún nivel de referencia es:
PE = m *g *z.............(l)
Reemplazando (2) en (1) w = m* g....................(2)
IPE=w*z l
4.5.2 . ENERGÍA CINÉTICA (KE}: Es debido a su velocidad, la energía cinética del fluido es:

Reemplazando (2) en (1)
1 ?
KE =-,nv- ...............(1)
2
w
,n=-.......................(2)
g
2
KE=w v
2*g
4.5.3. ENERGÍA DE FLUJO (FE): En ocasiones conocida corno energía de energía de presión o
trabajo de flujo, está presentada por la cantidad de trabajo necesario para mover el
elemento de fluido a través de una cierta secci6n en contra de la presión "p". La energía
de flujo se abrevia FE (Flow Energy) yse calcule a partir de la siguiente ecuación:
Trabajo = 0 FuERZA> *4L0Nc;rruo1········<l)
¡.;
P 1PRES!ON) =-¡ ➔ F =p *A..........(2)
Sustituyendo (2) en (1)
Trabajo = P* A*L ..........................(3)
V(volurnen) = A* L..........................(4)
Reemplazando (4) en (3)
Trabajo =p *V................................(5)
J,V
r =- ...............................................(6)
V
Sustituyendo (6) en (5)
r:-'Erb· p
r. = ra a10= - w
r
La cantidad total de energía de estas tres formas que posee el elemento de fluido será la suma,
representada con E.
E=FE+PE+KE
P
v2
E=w-+wz +w-
r 2g
Considerando en la siguiente figura que el fluido se mueve de la sección 1 a la sección 2.
Los valores de p, z yv son diferentes en las dos secciones.

Bemenro ,te Fluiilo
2
Elemt'1i~ ,le FfuiiW
,
En la sección 1, la energía total es: En la sección 2, la energía total es:
p V
2
JJ,, v,,
2
EJ = w- 1
+ wz1
+w- i
-
r 2g
E,, = w-- + i,vz,,+i,v -
- r - 2g
Si no se agrega energía al fluido o se pierde entre las secciones 1 y 2, entonces el principio
de conservación de la energía requiere que:
2 2
w Pi+ wzi+w~ = w P2 + i,vz,,+w v2
r 2g r - 28
El peso del elemento, w, es común en todos los término.s y se le puede cancelar. Le ecua-
ción, entonces, resulta:
2 2
Pi V¡ JJ,, V2
- +z1+- = - - +z2+-=--
r 2g r 28
A ésta se la conoce como ecuación de Bernoul/i.
4.6 INTERPRETACION DE LA ECUACION DE BERNOULLI
Cada término de la ecuación Bernoulli es el resultado de dividir una expresión de la energía
entre el peso de un elemento del fluido. Las unidades de cada término pueden ser
newton-metro por Newton (N-m/N) en el Sistema Internacional y libras-pies por libra (lb-
pie/lb) en el Sistema Británico de Unidades. Pero la unidad de peso, el newton (N) o la
libra (lb), pueden cancelarse, dejando solamente una unidad de longitud, el metro (m) o el
ple.

Por tanto, los términos de la ecuación de Bernoul!i se conocen, a menudo como
"cabezas"; refiriéndose a una altura por encima de un nivel de referencia. El término "p/y"
se conoce como cabeza de presión; a "z" se le llama cabeza de elevación; y al término
"V
2
/2g" se le conoce como cabeza de velocidad. La suma de las tres se conoce como
cabeza total. Observe que debido a la suposición de que no se pierde o se agre.ga energía,
la cabeza total permanece a un nivel constante, por consiguiente la altura relativa de cada
término varía según lo establecido por la ecuación de Bernoulli.
Línea de alturas totales
Línea de alturas piezométricas
,'.z
-
1
=Cc,he:., d« velocidad
2g
z,= 'abe,11 de elevacion
D
►
Flujo
Plano de referencia
V'
.2.... =Cabeza ,le velocü/ad
2g
P, =Cabe;.a de presián
r
-
1
=Cabeza de elev,1cio11
D
En la figura adjunta usted verá que la cabeza de velocidad en la sección 2 será menor que
en la sección l. Esto se puede mostrar mediante la ecuación de continuidad:
A* v - A*v
1 1 - l 2
A
V = J *- 1
2 1 Ai
Puesto que A1<A2, V2 debe ser menor que V1, y como la velocidad está al cuadrado en el
término correspondiente a la cabeza de velocidad, V2
2
/2g es mucho menor que V1
2
/2g.
Consiguientemente, cuando el tamaño de la sección se expande como lo hace en la figura
anterior, la cabeza de presión aumenta debido a que disminuye le cabeza de velocidad.
Sin embarco el cambio real también se ve afectado por el cambio en la cabeza de
elevación.
En resumen, la ecuación de Bernoulli explica el cambio en las cabezas de elevación, de
presión y de velocidad entre dos puntos, en un sistema de flujo de fluido. Se supone que

no existen pérdidas o ganancias de energía entre los dos puntos, de modo que la cabeza
total permanece constante.
4.7 RESTRICCIONES A LA ECUACION DE BERNOULLI
Aunque la ecuación de Bernoulli es aplicable a una gran cantidad de problemas prácticos,
existen limitaciones que deben tenerse en cuenta con el fin de aplicar la ecuación de
manera correcta. Entre estas limitaciones se tiene las siguientes:
• Es válida solamente para fluidos incomprensibles, puesto que el peso específico
del fluido se tomó como el mismo en las dos secciones de interés.
• No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que pu-
dieran agregar o eliminar energía del sistema, ya que la ecuación establece que la
energía total del fluido es constante.
• No puede haber transferencia de calor hacia dentro o fuera del fluido.
• No puede haber pérdidas de energía debido a la fricción.
En realidad, ningún sistema satisface todas estas restricciones. Sin embargo, existen
muchos sistemas para los cuales solamente se tendrá un error despreciable cuando se les
aplica la ecuación de Bernoulli. Por otro lado, el uso de tal ecuación puede permitir una
rápida estimación de un resultado, cuando eso es todo lo que se necesita.

PROBLEMAS RESUElTOS
P-4.1. En la siguiente figura, están circulando 0.370m3
/s de agua de Aa B, existiendo en A
una altura de presión de 6.6 m. Suponiendo que no existen perdidas de energía entre A y
B determinar la altura de presión en B. Dibujar la altura de líneas totales.
o
Línea de altura•
s totales
- =0.09111

Vb"
-,:----.-------"'------ - - - - - -- - 2g
"· 6.6111
y
z,, 3.0111
Línea de alturas piezométricas _ , _ . - . - · - · - · - · - · -
.- -- -- ·- ·- ·-·- · P. -3.41111
-------r----..,..Jh. 3.41111
r
B60cm
A30cm
Plano de referencia z. =7.5111
o
FIGURA
(P
.
4 V
2
30 z )-(Pu V-,o z )
- +- -+ A - - + - - + 8
r 2g r 2g
Donde: V30 = O/ A30 = 0,370[{1!4)ll'0.32
]=5,24m/sy
V60 = (~)
2
{5,24)= l,3lrn/.v.Sustituyendo,
( 6,6+ (5,24)
2
+OJ=(Pu + (1,31)
2
+ 4,sJ y
2g r 2g
P
u= 3,41m de agua
r
Puede representarse la energía total en una sección cualquiera como altura sobre un
plano horizontal de referencia. Utilizando en este caso el plano que pasa por D-D.
Altura total en A =P,1/r+ V
2
30/2g +zA = 6,6+ l,4 + 3,0 = ll,O,n
Altura total en B = p 8 / Y + V 2
6-0/2g + Z8 = 3,41 + 0,09 +7,5= 11,0,n

Nota: Se observa que tiene lugar la transformación de una forma de energía en otra
durante el flujo. En el caso presente, parte de la energía de presión y de la energía cinética
en Ase transforma en energía potencial en B.
P-4.2 Según la figura mostrada determinar el caudal y la presionen el punto A. (Sin tomar
en cuenta las perdidas menores) D1=150mm D2=SOmm
Datos:
D1=150mm
D2=50mm
y=9810[N/m
3
]
Incógnitas:
a) Q?
b) PA=?
Guía
- _
e ------
-
H ,O 2,4111
•
----·-
D 3,6111
♦D,
1
•A e B
t
SOLUCION:
a) La velocidad de las partículas en Ces tan pequeña que puede
despreciarse. Para calcular el caudal Primero:
Ecuación de energía entre C y B:
P. v1 P. v 2
_í + e + Z = -1!.. + - 8
- +Z
r 2g e r 2g 8
?
O+(desprec.) +(3,6 + 2,4) = 0 + v8
- +O(nivel de referencia)
2g
Despejando la velocidad en el punto B
VB=.J2g *(3,6 + 2,4) = .J2 *9.81*(3,6 + 2,4) =L0.85[:
1
]
Según la siguiente ecuación se calculara el caudal en la tubería:
1r , rn 1r , rn3
Q8
= V * A = V * -D8
- = 10.85-*-(0.0Srn)- = 0.021-
4 s 4 s
3
Q = 0.021 'n
s
b) Para cálculo de la presión analizando la variable Ps/y=O (da a la
atmosfera).
Ecuación de energía entre los puntos A y B

p V 1 V 2
----1. + A + 0 = 0 + 8
+ O
r 2g 2g
Despejando P
A/'Y V *A =V *A
A A B B
Reemplazando 2 en 1 se tiene:
150
r 2g
10,85
2
*[1-(50
)
4
- - - - - - - ~ = 5.93,n
2 *9.81
P4 = 5.93,n*9810 N1
= 58173.3 ~
n1.· ni.-
IP
A= 58,17[KPaJI
P-4.3. Un tubo de pitot con un coeficiente de 0,98 se utiliza para medir la velocidad v del
H20 en el eje en una tubería, la altura de presión de estancamiento es 5,67 (m) y la altura
de presión estática de la tubería es de 4,73(m). lCuál es la velocidad del flujo?
SOLUCIÓN:
De la ecuación de Bernoulli entre el punto 1
y2
, ,
P. v,- = P2 V1 (*)
+ + .................
r 2g r 2g
Supongamos como un fluido ideal sin
rozamiento en (*):
,
v¡ Pi - P.
- -
2g r
.. 2g(F.i - P.)
r
4.73
V
. 1
. - - -
Piezómetro
=S,67
T1d10 Pitot
.....-
1 2
Página 38

2(9.81rn/2 )(5.67m - 4.73rn)
V
_ I s
.- 1
Para la velocidad del agua será:
vi( /) =0,98*4.291
,nlJ--
► v i(,"'''') = 4,2J. _rri/
.r .
,w, · [¡ 8 • -/s
P-4.4. En el venturímetro la lectura del manómetro diferencial, en el fluido es 35,8 (cm)
determine el caudal de agua a través del venturímetro si se desprecia las pérdidas entre
los puntos A y B.
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación de Bernoulli
p 12 p 12
__i_+ - "
- + z =_IL+ _E_ + z
r 2g A r 2g º
'
~~,¡
' ' 1
1 ' •
. ' '
. ' .
' '
A
Q=?
Z8 =0,75~11]
? ?
~ :====:::::;-,
P,1 v;¡ - Po Vñ O ( )
- + - - - +- + t75 ...................... 1
r 2g r 2g
Sabemos que: P,.. =P0
p
Pe = __i_+ h + 0.358
r
p
PD= 0,75 + h+ 0.358*13,6 + _1L
r
Entonces:
'
'
B
•
''•
p p
__i_+ h +0.358 = 0,75 + h+ 0.358 *13,6 + _lL
r r
PA= 5,2608+ Po .................................... (2)
r r
(2) en (1)
p 11
2 p 11
2
5 26Q$ + _IL + _A
_ = _IL + - 8
- + () 75
' . ,
r 2g r 2g
2 2
VA Vo
- =- - 4,7.l ......,................................ (3)
2g 2g
De la ecuación de conductividad tenemos: AA*VA = A8 * V 8
T
)Sc11,
h
t
I
Página 39

Entonces:
Vo=
(~;)
2
*
VA=
(~~)
2
* VA
V 8 =4 VJI
V~ =(4v,1)2- 4 71
'
2g 2g
VA =2,43r;{J
Por lo tanto
P-4.S Para el sistema se presenta en la figura calcule a) la rapides de flujo de volumen de
aceite que sale de la boquilla y b) la presionen los puntos A y B
- s
- -------- -------·
- '.
-
Aceite
SG = 0.85 3ni
3.Smm
,/.h1.11
e¡ it11
l(IOmm ,¡,. - -----B-...-------
di..11J1i'IJ~ I rntµ·
. t
)111
---- --- --• 1t ------------ --
SOLUCION:
a) Aplicando Bernoulli en los puntos Sy C
Guía
2 2
Ps Vs P
e Ve
- +zs +- = - +ze+ -
YAc 2g YAc 2g
V¡= o. Pi = o
Considerando PS=PC=O y despejando la velosidad en C:
Ve =✓29(zs - Ze) = 2 (9.81 ~) (3m) = 7.67 7
rr(0.35)2 7.67m _3
m3
Q = A2V2 =
---*
--=
7.38* 10 -
4 s s

b) Empleando Bernoulli en los puntos Sy A:
Ps v] PA vl
-+z5 +-= -+zA+- Pc= O
YAc 29 YAc · 29 '
Despejado la presión en A
[
v
2
- v
2
]
PA = s
29
A+ (zs- zA) *YAc ... •·········(1)
Donde la VAse la obtiene empleando la ecuación de continuidad:
rr * (0.035m)2
7 6 7
m 3
Ac * Ve 4 * · s . m
QA = QB => VA = A,, = rr * (0.lm)Z = 0.904 s
Sustituyendo VA en (1):
O- (0.94 rn)2
----"-~-
1
-+ (4m - O
)
2*9.812
s
Empleando Bernoulli entre los puntos Sy B:
4
kN
* 0.85 * 9.81 3 = 32. 98 kpa
m
Ps v] P8 vJ
- +zs+ - = -+ zB +-
Y11c 29 YAc 29
Considerando Ps=O y despejando Ps:
Vs - VB
[
2 2 ]
PB = 29
+ (zs - zB) * YAc •·· •·· •·· •·· ...... (2)
Sustituyendo la V8 en (2) se tiene:
o - (0.947)2
P8 = m + (3.0ni - O
)
2 *9.81 2 9
s
m
" 0.85 * 9.81(2)
s
P-4.6 Para el sifón que se muestra en la figura calcule a) la rapidez de flujo de volumen de
aceite del tanque y b) la presión en los puntos A, B, C, D.

t
/ +a
3.0m
1
1
--- + +
--- A. e
-
---
Aceite
(sg =0.86)
10.0m 50mm
- de di:1mctro
SOLUCION:
a)
T - - '
n1
V 2 = -J2g(z1 - Z2) = V2 * 9.81 * 10 =14.01 -
S
donde
V2
VA =VB = Ve =Vv =-4
.._
n(0.25)2
_
3
nt3
Q=A2 v2 = 4
* 14.01 = 6.88 * 10
5
interior
+ D
[ v}] ( 3.502
2
)
PA = Y
0 - - = 0.86 * 9.81 - - - - = - 5.27 kpa
· 2g 2 *9.81
25 mmde
dlámetro
interior
1
f
---
- -
PB =Yo [cz1- ZB)- ;;] = 8.437 * (- 3 - 0.625) = - 30. 58 kpa
Pe =PA = - 5.27Kpa
2 2
P1 V1 Pv Vv
- + Z1 + - = - + Zv + -pl = 0 , V1 = 0
Yo 2g Yo 2g
Po= Y
0 [(z1 -z0 )- ;;] = 8.437 * (10 - 0.625) = 79.1 kpa
2
m
VA= 3.502-
S
P-4.7 En la figura se muestra un manómetro que se utiliza para indicar la diferencia de
presión entre dos puntos de un sistema de conductos. Calcule la rapidez de flujo de
volumen del agua del sistema si la desviación en el manómetro es h de 250 mm (A este

dispositivo se le conoce como medidor Venturi, que se utiliza a menudo para mediciones
de flujo).
SOLUCION:
A
Díreccion de Hujo
B
...-
,,..
---_-_--;-, t-___.......____
~ mm 0$ 11am~
- - - + - 1 ll'll!!r10r
h
Mercurio
p 2 [.> 2
_ A + Z + VA = -1!.. + z + v /J ·Z = Z
A 2g /J 2g ' .4 /J
r.,, r.,.
~ ~
PA-PB - Va- - vA- [vA(AAIA8)]
2
- vA
2
= [vA(DAID8J f- vA
2
r,,, 2g 2g 2g
2g 2g
Del manómetro:
PA+r,,,Y+r,,,h - rHgh - r..,y =PB
PA-P8 =rH
gh- r.,,h =h(rHg - r11
.) =1i(13.54r.,. - r..,)=1i(12.s4r.,.)
?
PA- P8 _ 15vA-
r.. 2g
12.S4r ,,,h _ 15vA
2
-
r.,, 2g
2g ·12.54 ·h
V - - - - - - -
A - 15 -
2·9.81,n/s 2
•12.54•0.250m
2025 1
,___________ = . ,n s
15

UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245
CAPITULO 5
ECUACION GENERAL DE LA ENERGIA
Y
PERDIDAS MAYORES
Algunas de las restricciones que se establecieron por el uso de la ecuación de Bernoulli, se
pueden eliminar al expandir la ecuación a lo que se conoce como ecuación general de
energía.
5.1 PÉRDIDA Y ADICION DE ENERGIA
Cuando se desarrollo la ecuación de Bernoulli se mencionaron cuatro restricciones para
esa ecuación:
 Es válida solamente para fluidos incomprensibles.
 No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés.
 No puede haber transferencia de calor hacia el fluido o fuera de éste.
 No puede haber pérdidas de energía debida a la fricción.
Para el sistema de flujo como el que se presenta en la figura posterior, existen
definitivamente algunas pérdidas y adiciones de energía entre las dos secciones de
interés. Para sistemas como éste, ya no es válida la ecuación de Bernoulli.
5.2 NOMENCLATURA DE PÉRDIDAS Y ADICIONES DE ENERGIA
Para las pérdidas y las adiciones de energía utilizaremos: la letra h, cuando se hable
de pérdidas y adiciones de energía. Específicamente los términos siguientes se
usaran:
hA = Energía añadida o agregada al fluido mediante un dispositivo mecánico como puede ser
una bomba.
hR = Energía removida o retirada del fluido mediante un dispositivo mecánico, podría ser un
motor de fluido.
hL = Pérdida de energía por parte del sistema, debida a fricción en los conductos, o
pérdidas menajes debidas a la presencia de válvulas y conectores.

2
1 E
h
h
h
E L
R
A 


























 2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
Z
g
v
P
H
H
H
Z
g
v
P
L
R
A


5.3 ECUACION GENERAL DE LA ENERGIA
La ecuación general de la energía, es simplemente una expansión de la ecuación de
Bernoulli, que hace posible resolver problemas en los que se presentan pérdidas y
adiciones de energía. La interpretación lógica de la ecuación de la energía se puede ver en la
figura adjunta, que presenta un sistema de flujo. Los términos El y E2 denotan la energía que
posee el fluido por unidad de peso en las secciones 1 y 2 respectivamente. También se
muestran las adiciones, remociones y pérdidas de energía hA, hR, hL. Para tal sistema, la
expansión del principio de conservación de la energía es:
La energía que posee el fluido por unidad de peso es:
Reemplazando se obtiene:
Las unidades en el SI son N*m/N o metros. Las unidades en el Sistema Británico de
Unidades Ib*pie/lb ó pie.
Es de suma importancia que la ecuación general está escrita en la dirección de flujo, es
decir desde el punto de referencia, en la parte izquierda de la ecuación y el punto
correspondiente, en el lado derecho. Los signos algebraicos juegan un papel crítico,
debido a que el lado izquierdo de la ecuación establece que un elemento de Fluido que
+
Válvula de
compuerta
Flujo
1
¡_____ ___JI

Q
h
Pott Bomba *
*


 Q
h
Pott Bomba *
*

;
356
.
1
1 W
s
pie
lb


;
500
1
s
pie
lb
hp

 W
hp 7
.
745
1 
tenga una cierta cantidad de energía por unidad de peso en la sección 1, puede tener una
adición de energía (+hA), una remoción de energía (-hR) o pérdida de energía (-hL), antes
de que alcance la sección 2. En tal punto contiene una cantidad diferente de energía por
unidad de peso según lo indican los términos de la parte derecha de la ecuación.
5.4 POTENCIA REQUERIDA POR BOMBAS
La potencia se define como la rapidez con que se realiza un trabajo. En la mecánica de
fluidos podemos modificar este enunciado y considerar que la potencia es la rapidez con
que la energía está siendo transferida. La unidad de potencia en el SI es el watt (W), que
es equivalente a 1.0 N*m/s y en el sistema Britanico es lb-pie/s, en la práctica es común
referirse a la potencia en caballos de fuerza (hp-Horse Power). Con el fin de calcular la
potencia transferida, debemos determinar cuántos newton de fluido están fluyendo por
la bomba en un intervalo de tiempo. A esto se le conoce como rapidez de flujo de peso.
La potencia se calcula multiplicando la energía transferida por la rapidez de flujo de peso.
Es decir:
Considerando el rendimiento
5.5 NUMERO DE REYNOLDS
El flujo de un liquido en una tubería puede ser despacio, flujo laminar (también conocido
como flujo viscoso). En este tipo flujo las capas o láminas no causan turbulencia. Dado que
cuando el caudal aumenta, la velocidad aumenta el flujo puede cambiar de laminar a
turbulento esto puede ser debido a la inyección de flujo a la tubería. Un importante
parámetro adimencional es el número de Reynolds que es usado para clasificar el tipo de
flujo en la tubería. El número de Reynolds es calculado mediante la siguiente ecuación:
Donde:

V = Velocidad media, m/s, ft/s
D = Diámetro interno de la tubería, m, ft
ρ = De sidad del li uido, kg/ , slugs/ft
= Vis osidad A soluta, N-s/m2, lb-s/ft2
R = Numero de Reynolds, adimencional
Dado que la viscosidad i e ati a es: = /ρ el u e o de Re olds puede se e p esado
de la siguiente forma:
Donde:
= Vis osidad Ci e ati a, /s, ft /s
Se debe tener cuidado en las unidades usadas en la ecuación debido a que el Numero de
Reynolds es adimensional.
5.6 REGÍMENES DE FLUJO
El flujo a través de una tubería está clasificado dentro tres regímenes de flujo, y pueden
ser distinguidos de la siguiente manera:
1. Laminar: Numero Reynolds <2000
2. Critico: Numero Reynolds >2000 y Numero Reynolds <4000
3. Turbulento: Numero Reynolds >4000
Como el líquido fluye a través de la tubería, la energía es pérdida debido a la fricción entre
la superficie de la tubería y el líquido y debido también a la interacción entre las moléculas
del líquido. De esta forma se refiere a la energía por fricción perdida como perdida de
presión debido a la fricción, La perdida de presión por fricción depende del caudal, del
diámetro de la tubería, de la rugosidad, la gravedad especifica del liquido y de la
viscosidad. Además la pérdida de presión por fricción también depende del número de
Reynolds y el régimen de flujo. El objetivo es calcular la pérdida por fricción dado por la
fricción, propiedades del líquido y regímenes de flujo.
5.7 PERDIDAS MAYORES
La pérdida de presión debido a la fricción en una longitud de tubería, expresada en metros
o pies de líquido puede ser calculada usando la ecuación de Darcy-Weisbach:
-1

Donde:
f = Factor de fricción de Darcy, adimencional, usualmente el número varía entre 0.008 y
0.10
L = Longitud de la tubería, ft
D = Diámetro interno de la tubería, ft
V = Velocidad media del liquido, ft/s
g = Aceleración debido a la gravedad, 32.2 ft/s2
en unidades inglesas
En un flujo laminar, el factor de fricción f solo depende del número de Reynolds. En un
flujo turbulento f depende del diámetro de la tubería, de la rugosidad de la tubería y
del número de Reynolds, como se mostrara.
5.8 FACTOR DE FRICCIÓN
Para flujo laminar, con un número de Reynolds R<2000, el factor de fricción de Darcy es
calculado mediante la siguiente relación:
Para un flujo laminar el factor de fricción solo depende del número de Reynolds y es
independiente de las condiciones internas de la tubería.
Para un flujo turbulento, Cuando el numero de Reynolds es R > 4000, el factor de fricción
f no solo depende del número de Reynolds, sino también del la rugosidad en el interior de
la tubería. Dado que la rugosidad incrementa, así también los hace el factor de fricción.
Por eso una tubería lisa tiene menor factor de fricción comparada con una tubería rugosa.
Mas correctamente, el factor de fricción depende de la rugosidad relativa (e/D) donde e
es la rugosidad absoluta de la tubería.
Existen varias relaciones para hallar el valor del factor de fricción f . Estos están basados
en experimentos realizados por científicos e ingenieros en los últimos 60 años. Una buena
ecuación propuesta para un flujo turbulento (donde R>4000) es la ecuación de Colebrook-
White:
[
√
]
Donde:
f=Factor de fricción de Darcy, adimensional
D=Diámetro interno de la tubería, in.
e=Rugosidad absoluta de la tubería, in.
R=Numero de Reynolds, adimesional
Todos los términos en la ecuación son adimensionales

Esta ecuación puede verse que el cálculo no es fácil, dado que el factor de fricción f
aparece en ambos lados de la ecuación. Para lo cual se debe resolver con un error. Se
puede empezar a asumir un valor de f (0.02) y sustituir en el lado derecho de la ecuación.
Esto llevara a una segunda aproximación de f, la cual puede ser usada para re calcular el
valor de f por sucesiva iteración. Generalmente, de tres a cuatro iteraciones pueden dar
un valor satisfactorio de f. (correcto con 0.001 decimales)
Durante las dos últimas décadas varias formulas del factor de fricción para flujo
turbulento han sido propuestas por varios investigadores. Todas estas facilitan el cálculo
del factor de fricción comparada con la ecuación de colebrook-White estas requieren un
error y son llamadas ecuación de Churchill y Swamee-Jain.
En la zona critica, donde el numero de Reynolds está entre 2000 y 4000, Generalmente la
formula no es aceptada, esto es debido a que es una zona inestable y por eso el factor de
fricción es indeterminado. Pero es más comúnmente calculado como si fuera flujo
turbulento.
Para denotar mejor, la zona de flujo turbulento (R>4000) actualmente consiste en tres
diferentes zonas:
 Flujo Turbulento en tubería lisa
 Flujo Turbulento en tubería totalmente rugosa
 Flujo de Transición en una tubería lisa y rugosa
5.8.1 Para flujo turbulento en tubería lisa, La rugosidad en la tubería tiene un efecto
despreciable en el factor de fricción f. Por eso, el factor de fricción en esta región solo
depende del número de Reynolds como sigue:
[
√
]
5.8.2 Para Flujo Turbulento en tubería totalmente rugosa, el factor de fricción f parece
depender menos del numero de Reynolds como la rugosidad aumento de valor. En este
caso solo dependerá de la rugosidad y el diámetro. Y este puede ser calculado mediante la
siguiente ecuación:
[ ]
5.8.3 Para la zona de transición entre un Flujo turbulento en tubería lisa y un flujo
turbulento en tubería rugosa, el factor de fricción f es calculado usando la ecuación de
Colebrook-White dado anteriormente:

[
√
]
La ecuación discutida arriba puede ser graficada sobre un Diagrama de Moddy. La
rugosidad relativa es definida como e/D, y es el resultado de simplemente dividir la
rugosidad absoluta entre el diámetro interno de la tubería. Los términos de la rugosidad
relativa son adimencionales. El diagrama de Moddy refleja un mapa completo para la zona
de flujo laminar y turbulento dentro la tubería. El diagrama de Moddy no es confiable
debido a que se usa un error para resolver la ecuación para el cálculo del factor de fricción
f. Para usar el diagrama de moddy, para
Figura Diagrama de Moody para el factor de fricción.
determinar el factor de fricción f. Primero se debe calcular el número de Reynolds R, luego
localizar en el eje horizontal el valor del numero de Reynolds y dibujar una línea vertical
hasta interceptar con la apropiada curva de rugosidad relativa (e/D). Desde este punto de
intersección sobre (e/D), leer el valor del factor de fricción f sobre el eje vertical de la
izquierda.
0.1
1,..
o
.....
u
ro
l.L
e
o
t,
·e V
lL e: Q)
o e
N o
1- N
l'O
e l'O
.E (J
:¡:¡
ro ·e
...J u
2000 4000

Turbulent Zone __.,..
Complete Turbulence

, Rough Pipes
._
Reynolds Number
o.os
~
Q)
e
.e
O'I
::,
ii
(l,J
>
:¡:;
ro
~

UMSA-FACULTAD
DE
INGENIERIA
OPERACIONES
UNITARIAS
PET-245
Aux.
José
Luis
Huanca
P.
Página
51
Antes
de
salir
de
la
discusión
del
factor
de
fricción,
se
debe
mencionar
un
término
adicional:
El
factor
de
fricción
de
Fanning.
Algunos
usan
este
factor
de
fricción
en
vez
del
factor
de
fricción
de
Darcy.
El
factor
de
fricción
de
Fanning
está
definido
como
sigue:
Donde:
f
f
=Factor
de
fricción
de
Fanning
f
d
=
factor
de
fricción
de
Darcy
PROBLEMAS
RESUELTOS
Numero
de
Reynolds
P-5.1
Un
conducto
de
4
pulgadas
de
diámetro
lleva
0.20
pies3/s
de
glicerina
(SG=1,26)
a
100ºF.
¿Es
el
flujo
Laminar
o
Turbulento?
DATOS:
SOLUCION:
D
=0,333pies
µ
(100ºF)
=7,45*10
-3
Lb*s/pie
2
(Tabla)
SG=
1,26
Q=0.20
pie
3
/s
INCOGNITAS:
N
R
=?
Q
Flujo
D
Diametro
t

P-5.2 Calcule la rapidez de flujo de volumen máximo de aceite combustible a 45ºC a la cual
el flujo seguirá siendo laminar en un conducto de 100mm de diámetro. Para el aceite
utilice SG= 0,895 y una viscosidad dinámica de 4,0 *10-2
Pa-s.
DATOS:
D =100 mm
µ (45ºc)=4,0*10-2
Pa*s
SG= 0,895
INCOGNITAS:
NR=?
SOLUCION:
Considerando flujo laminar NR < 2000
Calculo del caudal empleando la ecuación de continuidad:
[ ]
[ ]
P-5.3 Aire con un peso especifico de 12,5 N/m3
y una viscosidad dinámica de 2,0*10-5
Pa*s,
fluye a través de la parte sombreada del ducto de la figura, con una rapidez de 150 m3
/h.
Calcular el número de Reynolds del flujo.
DATOS:
= , * -5
Pa*s
γ= , N/ 3
Q =150 m3
/h
INCOGNITAS:
NR=?
SOLUCION:
Superficie del área sombreada:
r
50mm
l - - SO mm ----1

{[ ( )] }
Velocidad de flujo promedio:
Perímetro mojado:
√
Calculo del radio hidráulico para sección irregular, para ello se reemplaza los valores de
área y perímetro mojado en la siguiente relación:
Calculo del NR empleando la siguiente relación:
[ ]
P-5.4 En el sistema mostrado en la Figura la bomba BC debe producir un caudal de 160 l/s
de aceite, Dr = 0,762, hacia el recipiente D. Suponiendo que la pérdida de energía entre A
y B es de 2,50 m y entre C y D es de 6,50 m, a) ¿qué potencia en HP debe suministrar la
bomba a la corriente? b) Dibujar la línea de alturas totales.
A
B C
D
cm
D 30

cm
D 30

Figura
m
3
m
60
m
15























 D
D
D
perd
B
A
A
A
Z
g
v
P
H
H
Z
g
v
P
2
2
2
2


   
60
.
0
)
5
,
6
5
,
2
(
15
.
0 






 desprec
H
desprec B
m
HB 0
.
54

  W
m
s
m
m
N
H
Q
Watt
Potencia BOMBA 9
,
64585
0
,
54
*
)
16
.
0
(
*
)
81
.
9
*
1000
*
762
.
0
(
*
*
3
3


 
HP
W
HP
W
HP
Potencia 58
.
86
746
1
*
9
,
64585
)
( 

HP
Potencia 58
.
86

DATOS: SOLUCION:
Q=160 [l/s]
Dr=0,762
HA-B=2,5m
HC-D=6,5m
INCÓGNITAS:
a) Pott=?
b) Líneas de alturas
b)
P-5.5 Una tubería que transporta aceite crudo (SG=0.93) a 1200 l/min está hecha con
conducto de acero de 6 plg, Calibre 80. Las estaciones de Bombeo están espaciadas 3,2
Km entre sí. Si el aceite esta a 10 ºC, Calcule: (a) La caída de presión entre estaciones y (b)
La potencia requerida para mantener la misma presión en la entrada de cada bomba.
a) La velocidad de las partículas en A y D es tan pequeña que puede
despreciarse las alturas de velocidad.
Ecuación de energía entre A y D:
A
B C
D
Figura
m
60
m
3
m
15
m
5
.
66
m
5
.
12

DATOS:
D (6plg)= 146.3 mm (Tabla)
µ (10ºC)= 1.5*10-1
N*s/m2
(Tabla)
SG= 0.93
Q= 1200 l/min
L= 3,2 Km
INCOGNITAS:
a ΔP=?
b) Pott=?
SOLUCION:
a) Caída de presión entre los puntos A y B
Aplicando la ecuación de energía en los puntos A y B:
Despejando de la ecuación de energía la diferencia de presión se tiene:
[ ]
Velocidad en el conducto:
[ ]
[ ]
Se sabe que la perdida de energía (hL) en el conducto es:
Numero de Reynolds:
Calculo de factor de fricción:
Q
Flujo
Bomba Bomba
m
3200
A B
A
P
esion
Pr B
P
esion
Pr
aC).i----------::-----On

Sustituyendo el factor de fricción f en (2):
Reemplazando la pérdida de energía en (1):
[ ] [ ]
[ ]
b) Calculo de la potencia de la bomba para mantener la misma presión a la entrada
de cada bomba.
P-5.6 A través de una tubería nueva de fundición esta circulan de agua a 20°C y a una
velocidad de 4,2(m/s), la tubería es de 150mm de diámetro y tiene una longitud de 400m.
Determine la perdida de carga debida a la fricción.
DATOS:
SOLUCIÓN:
 Calculo del Número de Reynolds:
Diametro D
Presion P
i() Temperatura T¡
( ) ~· esion P2
R ujo Q
1· ·I
Longitud L
0 0

 Calculo de la rugosidad relativa:
 Calculo del factor de fricción:
:











f
D
f Re*
51
.
2
*
71
.
3
log
*
2
1 
81
.
9
*
2
2
.
4
*
15
.
0
400
*
024
.
0
*
2
*
*
2
2
)
( 

g
v
D
L
f
H tuberia
L
m
H tuberia
L 54
.
57
)
( 
P-5.7 Desde un punto 2 de elevación o cota 66,66 m se está descargando gasolina a
través de una tubería, El punto 1, localizado a 965,5 m en la tubería a partir del punto 2,
tiene una cota de 82,65 m, y la presión es de 2,50 kPa. Si la tubería tiene una rugosidad
de.0,500 mm ¿qué diámetro de tubería es necesario para descargar un caudal de 0,10
m3
/s de gasolina (Peso especifico = 7,05 kN/m3
,µ = 2,92.10-4
Ns/m2
,ρ = 719 kg/m3
)?
DATOS: SOLUCION:
Z2=66,66m
L=965.5m
Z1=82.65m
P1=2,50 kPa
e=0.500mm
Q=0,10 m3
/s
γ = 7,05 kN/m3
µ = 2,92.10-4
Ns/m2
ρ = 719 kg/m3
INCÓGNITAS:
D=?
m
66
.
66
?

D
L
1
2
m
65
.
82
•






















 2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
Z
g
v
P
H
Z
g
v
P
perd


 
m
desprec
H
m
desprec
m perd 66
.
66
.
0
65
.
82
.
7050
2500
. 











m
Hperd 34
.
16
. 
);
......(
2
2
. 















g
v
D
L
f
H perd





























 2
2
5
4
2
2
.
*
*
8
*
*
*
8

 g
Q
D
L
f
D
g
Q
D
L
f
H perd
)
......(
*
*
4
4
2
2


 D
Q
D
Q
A
Q
v 


5
2
2
. *
*
8


















g
Q
H
L
f
D
perd
)
1
.....(
..........
*
81
.
9
1
.
0
*
8
34
.
16
5
.
965
5
2
2
















f
D
);
.......(
*
*
Re 

 D
V

)
2
.....(
..........
*
*
10
*
92
,
2
719
*
1
.
0
*
4
Re 4
D



)
......(
*
*
4
2

 D
Q
V 
D
Q
*
*
*
*
4
Re




)
3
.....(
..........
0005
.
0
D
m
D
e

 Aplicando la formula de Darcy-Weisbach
Re plaza do β e α:
Despeja do el diá et o D
Reemplazando valores:
 Calculo del Número de Reynolds:
Ree plaza do β e γ se tie e:
Reemplazando valores:
 Calculo rugosidad relativa:
a) La velocidad de las partículas en 1 y 2 es tan pequeña que puede
despreciarse, la presión P2/γ=0 (da a la atmosfera).
Ecuación de energía entre 1 y 2:
- - - - -
✓-
✓--

)
4
.....(
..........
Re
51
.
2
71
.
3
log
2
1











cal
cal f
D
e
f
]
[
26 cm
D 
Ecuación de Colebroock:
Este valor de f(supuesto) coincide con el valor de f(calculado). De aquí que el valor correcto de
D diá et o e ue ido es .
P-5.8 Para una tubería de acero de 4 pulgadas Calibre 80 de 25 pies de longitud está
fluyendo agua a 100ºF. Calcule la velocidad de flujo de volumen máxima permitida si la
pérdida de energía debido a la fricción de la tubería se limitará a 13.061 pies lb/lb.
Encontrando los valores:
4" 0.3188[ ]
D pies
 , 4
1.5 10 [ ]
pies
 
  , 6 2
7.37 10 [ ]
v pies s

 
SOLUCION:
 Despejando de Darcy la velocidad de flujo expresado en función de f:
2
f
2
L
L V
h
D g
   ⟹
2
f
L
h D g
V
L
 


2 2 2
13.061[ ] 0.3188[ ] 2 32.2[ ] 10.726[ ]
25[ ] f f
pies pies pies s pies s
V
pies
  
 

(1)
 Número de Reynolds en el conducto en función a la velocidad de flujo:
4
4 2
0.3188[ ]
4.326 10
7.37 10 [ ]
R
D V m V
N V
v pies s

 
    

(2)
 Rugosidad relativa:
f(supuesto) D ec. 1 Re ec. (2) e/D ec. (3) f(calculado) ec.(4)
0.020 0.24999 1251081.8 0.002000 0.024
0.024 0.25928 1209176.3 0.001928 0.024
Para el cálculo del diámetro se procederá:
. “e efe tuara el ál ulo por ta teo de u valor f(supuesto) fa tor de fri ió , deter i a do D por la
ecuación (1).
2. Se determinara Re y (e/D) para el valor de D o las e ua io es y .
. “e deter i ara el valor de f(calculado) e fu ió de Re y e/D o el diagra a de Moody o o la
ecuación de colebroock. En caso de que este valor coincida con el valor del supuesto este será el diámetro
us ado, e aso o trario será e esario efe tuar u uevo ta teo, supo ie do ahora el f al ulado.
/
F
✓-----/ ✓~-/
/

4
4
10
7059
.
4
]
[
3188
.
0
]
[
10
5
.
1 


 x
pies
pies
x
D

Con el NR y la rugosidad relativa se procede al procedimiento de iteración mediante la
ecuación de colebroock con valores de prueba inicial de f ó también del diagrama de
Moddy f 0.023
 y sustituyendo f en (1)
2 2
10.726[ ]
21.6[ ]
0.023
pies s
V pies s
 
El número de Reynolds se obtiene sustituyendo la velocidad de flujo en (2)
4 5
4.326 10 21.6 9.34 10
R
N     
Obteniendo el nuevo factor de f 0.0175
 y sustituyendo en (1)
2 2
10.726[ ]
24.76[ ]
0.0175
pies s
V pies s
 
Cálculo del nuevo número de Reynolds bajo la sustitución de V en (2)
4 5
4.326 10 25.12 1.087 10
R
N     
Obteniendo nuevo factor de f 0.017

En vista que el valor de f permanece inalterado que la anterior prueba por tanto se acepta
la velocidad de flujo de 25.12[ ]
pies s
Cálculo de la velocidad de flujo de volumen:
 
2
0.3188[ ]
25.12[ ]
4
pies
Q AV pies s
 
   ⟹
3
2.0[ ]
Q pies s

P-5.9 A través de una tubería de acero con un diámetro exterior de 2pulg y un grosor de
pared de 0.083 pulgadas se encuentra fluyendo un aceite hidráulico. Una caída de presión
de 68 kPa se observa entre dos puntos en la tubería situada a 30m entre si. El aceite tiene
una gravedad especifica de 0.90 y una viscosidad dinámica de 3.0×10-5
m. Calcule la
velocidad de flujo de aceite.
✓--/ /
✓--/ /
/
/
/ 1

4
5
10
7059
.
4
]
[
046584
.
0
]
[
10
3 


 x
m
m
x
D

DATOS: SOLUCION:
D=2 pulg
Espesor=0.083 plg
ΔP=68 KPa
LA-B=30m
GE=0.90
δ=3.0*10-5
m
INCÓGNITAS:
V=?
2 2
2 2
A A B B
A L B
REF REF
P V P V
Z h Z
g g
 
     
Despejando de la pérdida de energía:
2
2 2
.
( )
2
A B B A
L B A
AC H H O
P P V V
H Z Z
Sg g

 
 
   
 

 
 
Sustituyendo los valores y considerando 0
B A
Z Z
  y  
2 2
2 0
B A
V V g
 
2
3
68[ ]
7.702[ ]
0.9 9.81[ ]
L
kN m
H m
kN m
 
 
 

 
Despejando de Darcy la velocidad de flujo expresado en función de f:
2
f
2
L
L V
h
D g
   ⟹
2
f
L
h D g
V
L
 


2 2 2
7.702[ ] 0.046584[ ] 2 9.81[ ] 0.23465[ ]
30[ ] f f
m m m s m s
V
m
  
 

(1)
Calculo del Número de Reynolds en el conducto en función a la velocidad de flujo:
4
.
3
0.046584 0.9 1000
1.398 10
3.0 10
AC H
R
D V V
N V

 
    
    

(2)
Rugosidad relativa:
Con el NR y la rugosidad relativa se procede al procedimiento de iteración. Como valores
de prueba inicial de f se obtuvo del diagrama de Moddy f 0.03
Empleando la ecuación de la energía en A y en B
t ·-'A- 3
0m -=--=-..-1
8
,
/
/
/
F
✓------'---
/ ✓ /

2 2
0.23465[ ]
2.797[ ]
0.03
m s
V m s
 
El número de Reynolds se obtiene bajo el sustituto de la velocidad de flujo en (2)
4 4
1.398 10 2.797 3.91 10
R
N     
Obteniendo el factor nuevo de f del diagrama de Moddy f 0.024
 y remplazando en (1)
2 2
0.23465[ ]
3.13[ ]
0.024
m s
V m s
 
Cálculo del nuevo NR bajo el remplazo de V en (2)
4 4
1.398 10 3.13 4.38 10
R
N     
Obteniendo el factor nuevo de f del diagrama de Moddy f 0.0235
2 2
0.23465[ ]
3.16[ ]
0.0235
m s
V m s
 
Cálculo del nuevo NR bajo el remplazo de V en (2)
4 4
1.398 10 3.16 4.42 10
R
N     
Obteniendo el nuevo factor de f del diagrama de Moddy f 0.0235
 . En vista que el valor f
permanece inalterado que la anterior prueba por lo tanto se acepta la velocidad de flujo
de:
3.16[ ]
V m s
 .
P-5.10 En un sistema de procesamiento químico, el flujo de glicerina a 60ºF (sg=1.24) en
un tubo para que este permanezca laminar con un numero de reynolds aproximadamente
igual a 300, pero sin exceder este valor. Determine el tamaño de conducto que
transportara una rapidez de flujo de 0.90 s
pie / . Entonces, para un flujo de 0.90 s
pie /
3
en el tubo que usted ha calculado, calcule la caída de presión entre dos puntos separados
entre si a una distancia de 55.0pies, si el tubo está en posición horizontal.
Valor encontrado. 2
2
/
*
10
*
62
.
4 pie
s
lb



/ /
/ /
/ /
/ 1

DATOS: SOLUCION:
Sg=1.24
Re=300
v=0.90 pie/s
L=55.0 pie
2
2
/
*
10
*
62
.
4 pie
s
lb



INCÓGNITAS:
ΔP=?
4
*
* 2
D
Q
A
Q
v
v
A
Q




 ……………………… E -1)
Numero de Reynolds:

GLIC
R
v
D
N
*
*
 …………….. E -2)
Sustituyendo (2) en (1)y despejando D:



GLIC
R
D
Q
D
N
*
4
*
* 2
 =
D
Q
D
Q
GLIC
GLIC
*
*
*
4
*
*
4










*
*
*
4
R
GLIC
N
Q
D  ……….. E -3)
Reemplazando los valores en 3:
pies
pie
s
lb
pie
slugs
s
pie
D 199
.
0
*
)
*
10
*
62
.
4
(
*
300
/
24
.
1
*
/
9
.
0
*
4
2
2
3
3




Sustituyendo valores en (1) se tiene la velocidad de flujo:
s
pies
pies
s
pie
v 94
.
28
4
)
199
.
0
(
*
9
.
0
2
3



Empleando la ecuación de la energía en A y B:
g
V
Z
P
h
g
V
Z
P B
B
GLIC
B
L
A
A
GLIC
A
2
2
2
2








Despejando la diferencia de presiones:
GLI
L
A
B
A
B
B
A h
Z
Z
g
V
V
P
P 
*
)
(
2
2
2











 ……………. E -4)
Calculo de la perdida de energía L
h en el conducto empleando Darcy:
g
V
D
L
f
hL
2
*
*
2
 ………. E -5)
Expresando la velocidad de flujo en función del diámetro:
55 pies
--&-•---------------------------------• o----
/

Calculo de f empleando la siguiente relación (flujo laminar):
2133
.
0
300
64
64



R
N
f
Sustituyendo el factor f en 5 y se obtiene la pérdida de energía:
pies
s
pie
s
pie
pie
pies
hL 68
.
766
2
.
32
*
2
)
94
.
28
(
*
199
.
0
55
*
2133
.
0 2
2


Se obtiene la diferencia de presiones bajo el sustituto de los valores en (4):
  3
2
.
64
*
24
.
1
*
68
.
766
0
0
pie
lb
P
P B
A 



2
2
2
lg
96
.
411
lg)
12
(
1
*
63
.
59322
pu
lb
pu
pie
pie
lb
P
P B
A 


P-5.11 En la figura se muestra una bomba que hace circular 300gal/min de aceite de
lubricación para maquina, herramientas pesadas a 104ºF (sg=0.890) con el fin de probar la
estabilidad de aceite (pesado) y cuya viscosidad cinemática es de 2.15* s
pie /
10 2
2

. La
longitud total del conducto de 3 pulgadas es de 75 pies. Calcule la potencia transmitida
por la bomba de aceite.
SOLUCION:
Encontrando valores:
pies
D 2557
.
0
3  (Tabla)
pies
D 3355
.
0
4  (Tabla)
 Empleando la ecuación de la energía en los puntos (1) y (2):
g
V
Z
P
h
h
g
V
Z
P
AC
A
L
AC 2
2
2
2
2
2
2
1
1
1









Bomba
22 pies
Flujo
15 pies
6pies
Línea de
descarga
conducto
de acero de
’’. Calibre
40
Línea de
succión de
a e o de ’’
calibre 40
/
/
11----1
-
l

Despejando la energía añadida ( A
h ):
L
AC
A h
g
V
V
Z
Z
P
P
h 






2
)
(
2
1
2
2
1
2
1
2

…………….. E .-1)
 La velocidad en el conducto de impulso es:
s
pie
pies
s
m
pie
L
m
gal
L
gal
V 015
.
13
4
)
2557
.
0
(
*
60
min/
1
*
)
3048
.
0
/(
1
*
1000
/
1
*
1
/
785
.
3
min*
300
2
3
3
3
2 


Velocidad en el conducto de succión es:
s
pie
pies
s
m
pie
L
m
gal
L
gal
V 56
.
7
4
)
3355
.
0
(
*
60
min/
1
*
)
3048
.
0
/(
1
*
1000
/
1
*
1
/
785
.
3
min*
300
2
3
3
3
2 


 Calculo de la perdida de energía en el conducto de succión:
g
V
D
L
f
hL
2
*
*
2
4
4
4
 …………………. E .-2)
 Numero de reynolds:
1180
10
*
15
.
2
56
.
7
*
335
.
0
*
2
2
4
4


 
s
pies
s
pies
pies
v
V
D
NR
 Factor de fricción:
0542
.
0
1180
64
64



R
N
f
Sustituyendo valores en (2) y se obtiene L
h :
pies
s
pie
s
pie
pie
pie
hL 584
.
3
2
.
32
*
2
)
55
.
7
(
*
3355
.
0
25
*
0542
.
0 2
2
4 

 Calculo de la perdida de energía en el conducto de impulsión:
g
V
D
L
f
hL
2
*
*
2
3
3
3
3  ………….E .-3
 Numero de Reynolds:
1548
10
*
15
.
2
015
.
13
*
2557
.
0
*
2
2
3
3


 
s
pies
s
pies
pies
v
V
D
NR
 Factor de fricción:
0413
.
0
1148
64
64



R
N
f
Sustituyendo valores en (3) y se obtiene 4
L
h :
/
/
/
/
/
/
/
/

pies
s
m
hL 863
.
31
2
.
32
*
2
)
13005
(
*
2557
.
0
75
*
0413
.
0 2
2
3 

Se tiene 4
h bajo el sustituido de los valores en (1):
pie
s
pie
s
pie
pie
hA )
863
.
31
584
.
3
(
2
.
32
*
2
0
)
015
.
13
(
0
1
0 2
2







pies
h
pie
pie
pie
h A
A 08
.
39
45
.
35
63
.
2
1 




 Calculo de la potencia de la bomba
A
A h
Q
P *
*

pies
ie
lb
s
pies
PA 08
.
39
*
4
.
62
*
890
.
0
*
6683
.
0 3
2

Hp
s
pie
lb
HP
s
pie
lb
PA 637
.
2
*
550
1
*
*
44
.
1450 

P-5.12 Va a fluir agua a 60° F por gravedad entre dos puntos ubicados a 2 millas uno del
otro a una velocidad de 13500 gal/min. El extremo superior es 130 pies más alto que el
extremo interior. ¿Cuál es el tamaño de tubería de concreto que se requiere?
Asuma que la presión en ambos extremos de la tubería es despreciable.
DATOS:
v = 1,21*10-5
pies2
/s
= , * -4
pies
SOLUCION:
A
B
2 millas
Flujo
130 pies
/
/
/

 Empleando la ecuación de la energía en A y B.
Despejando la perdida de energía (hL) y considerando VA= VB y (PA – PB) = 0
[ ]
 Expresando la perdida de energía en términos de velocidad, utilizando la ecuación de
Darcy:
Expresando la velocidad en términos de caudal y el diámetro de la tubería:
Sustituyendo la velocidad de flujo en la ecuación de Darcy ó (3) en (2)
Despejando el diámetro del conducto:
⁄
Sustituyendo los valores:
⁄
⁄
 Expresando el número de Reynolds en términos del diámetro:
Sustituyendo los valores:
1. Asumiendo un valor de prueba inicial f = 0,0200.
2. Calculo del diámetro del conducto bajo el sustituto de f en (4)
⁄

3. El numero de Reynolds se obtiene bajo el reemplazo de D en (5)
4. Rugosidad relativa:
5. Obteniendo de nuevo valor de fricción f del diagrama de Moddy (f = 0,0208).
6. Compare el nuevo valor de f con el que se asumió en el paso 1 y repita los
pasos 1 a 6 hasta que no pueda detectar un cambio significativo en f.
Calculo del nuevo diámetro del conducto sustituyendo f en (4)
⁄
 Donde en nuevo NR se tiene bajo la sustituto de D en (5)
 Nueva rugosidad relativa:
 Obteniendo el nuevo valor de fricción f del diagrama de Moddy (f = 0,0233).
 Calculo del nuevo diámetro del conducto bajo la sustitución de f en (4)
⁄
 El nuevo NR se tiene reemplazando D en (5)
 Nueva rugosidad relativa:
 Determinado el nuevo valor de fricción f del diagrama de Moddy (f = 0,0233)
Comparando el nuevo valor de f con el anterior se ve que existe cambios, por lo tanto se
acepta el diámetro calculado (D = 2,123 pies).
 
pie
D 123
.
2











g
v
K
hL
2
2
CAPITULO 6
PERDIDA“ MENORE“
En este capítulo se tratara sobre las pérdidas menores debido a la presencie de válvulas,
junturas, cambios en el tamaño de la trayectoria de flujo y cambios en la dirección.
6.1 FUENTES DE PÉRDIDAS MENORES
En la mayor parte de los sistemas de flujo, la pérdida de energía primaria se debe a la
fricción del conducto, como se describió anteriormente. Los demás tipos de pérdidas de
energía son pequeñas en comparación, y por consiguiente se hace referencia a ellas como
pérdidas menores. Las pérdidas menores ocurren cuando hay un cambio en la sección
cruzada de la trayectoria de flujo o en la dirección de flujo, o cuando la trayectoria de flujo
se encuentra obstruida, como sucede con una válvula. La energía se pierde bajo estas
condiciones debido e fenómenos físicos bastantes complejos.
6.2 COEFICIENTE DE RESISTENCIA
Las pérdidas de energía son proporcionales a la cabeza de velocidad del flujo al fluir éste
alrededor de un codo, a través de una dilatación o contracción de la sección de flujo, o a
través de una válvula. Los valores experimentales de pérdida de energía generalmente se
reportan en términos de un coeficiente de resistencia K, de la siguiente forma:
Donde:
hL = Pérdida de energía menor
K = Coeficiente de resistencia (adimensional)
V = Velocidad de flujo promedio en el conducto en la vecindad donde
se presenta la perdida menor.
En algunos casos, puede haber más de una velocidad de flujo, como las dilataciones o en
las contracciones. Es muy importante que usted sepa qué velocidad se debe utilizar del
conducto menor.
6.2.1 DILATACIÓN SÚBITA
Al fluir un ruido de un conducto menor a uno mayor a través de una dilatación súbita, su










g
v
K
hL
2
2
1
velocidad disminuye abruptamente ocasionando una turbulencia que genera una pérdida
de energía. Por consiguiente, la cantidad de pérdida de energía depende del cociente de
los tamaños de los dos ductos.
La pérdida menor se calcula empleando la siguiente ecuación:
Donde: v1 es la velocidad de flujo promedio en el conducto menor que está delante de la
dilatación. Las pruebas han demostrado que el valor del coeficiente de perdida K depende
de la proporción de los tamaños de los dos conductos como de la magnitud de la
velocidad de flujo. La tabla 1 muestra los valores del coeficiente de resistencia.
Tabla 1. COEFICIENTES DE RESISTENCIA-DILATACION SUBITA
D2/D1
Velocidad 1
0.6 m/s
2 pie/s
1.2 m/s
4 pie/s
3 m/s
10 pie/s
4.5 m/s
15 pie/s
6 m/s
20 pie/s
9 m/s
30 pie/s
12 m/s
40 pie/s
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
1.2 0.11 0.10 0.09 0.09 0.09 0.09 0.08
1.4 0.26 0.25 0.23 0.22 0.22 0.21 0.20
1.5 0.40 0.38 0.35 0.34 0.33 0.32 0.32
1.8 0.51 0.48 0.45 0.43 0.42 0.41 0.40
2.0 0.60 0.56 0.52 0.51 0.50 0.48 0.47
2.5 0.74 0.70 0.65 0.63 0.62 0.60 0.58
3.0 0.83 0.78 0.73 0.70 0.69 0.67 0.65
4.0 0.92 0.87 0.80 0.78 0.76 0.74 0.72
5.0 0.96 0.91 0.84 0.82 0.80 0.77 0.75
10.0 1.00 0.96 0.89 0.86 0.84 0.82 0.80
- 1.00 0.96 0.91 0.86 0.86 0.83 0.81
Fuente: HW. King E. F. Brater 1963 y copia de Robert Mott 1996
Región de turbulencia
o,

6.2.2 DILATACIÓN GRADUAL
Es la transición de un conducto menor a uno mayor menos abrupto. Esto normalmente se
hace colocando una sección cónica entre los dos conductos como se muestra en la figura.
Las paredes en pendiente del cono tienden a guiar el fluido durante la desaceleración y
expansión de la corriente del flujo.
La pérdida de energía pare una dilatación gradual se calcula a partir de:









g
v
K
hL
2
2
1
Donde: V1 es la velocidad del conducto menor que está delante de la dilatación. La
magnitud de K depende de la proporción de diámetro D2/D1 como del ángulo de cono, La
Tabla 2 muestra los diferentes valores de resistencia (K).
Tabla 2 COEFICIENTES DE RESISTENCIA – DILATACION GRADUAL
D2/D1
ANGULO DEL CONO θ
2º 6º 10º 15º 20º 25º 30º 35º 40º 45º 50º 60º
1.1 0.01 0.01 0.03 0.05 0.10 0.13 0.16 0.18 0.19 0.20 0.21 0.21
1.2 0.02 0.02 0.04 0.09 0.16 0.21 0.25 0.29 0.31 0.33 035 035
1.4 0.02 0.03 0.06 0.12 0.23 0.30 0.36 0.41 0.44 O.47 0.50 0.50
1.6 0.03 0.04 0.07 0.14 0.26 0.35 0.42 0,47 0.51 0.54 0.57 0.57
1.8 0.03 0.04 0.07 0.15 0.28 0.37 0.44 0.50 0.54 0.58 0.61 0.61
2.0 0.03 O.O4 0.07 0.15 0.29 0.38 0,46 0.52 0.56 0.60 0.63 0.63
2.5 0.03 0.04 0.08 0.16 0.30 0.39 0.43 0.54 0.53 0.62 0.65 0.65
3.0 0.03 0.04 0.08 0.16 0.31 O.40 0.48 0.55 0.59 0.63 0.66 0.66
- 0.03 0.05 0.08 0.16 0.31 0.40 0.49 0.56 0.60 O.64 0.67 0.72
6.2.3 CONTRACCION SÚBITA
La pérdida de energía debido a una contracción súbita bastante complejo, como la
esbozada en la figura adjunta se calcula a partir de:
Zona de separación para
ángulo de cono grand,;:
(} -Ángulo de cono- Di-










g
v
K
hL
2
2
2
DONDE: V1 es la velocidad del conducto menor a partir de la contracción. El coeficiente
de resistencia K depende de los tamaños de los dos conductos y de la velocidad de flujo.
La Tabla muestra diferentes valores de resistencia para contracción súbita.
D1/D2
Velocidad 1
0.6 m/s
2 pie/s
1.2 m/s
4 pie/s
1.8 m/s
6 pie/s
2.4 m/s
8 pie/s
3 m/s
10 pie/s
4.5 m/s
15 pie/s
6 m/s
20 pie/s
9 m/s
30 pie/s
12 m/s
40 pie/s
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
1.1 0.03 0.04 0.04 0.04 0.04 O.O4 0.05 0.05 0.06
1.2 0.07 0.07 0.07 0.07 0.08 0.08 0.09 0.10 0.11
1.4 0.17 0.17 0.17 0.17 0.18 0.18 0.18 0.19 0.20
1.6 0.26 0.26 0.26 0.26 0.26 0.25 0.25 0.25 0.24
1.8 0.34 0.34 0.34 0.33 0.33 0.32 0.31 0.29 0.27
2.0 0.38 0.37 0.37 0.36 0.36 0.34 C.33 C.31 0.29
2.2 O.40 O.40 0.39 0.39 0.38 0.37 0.35 0.33 0.30
2.5 0:42 0.42 0.41 0.40 0.40 OJ3 0.37 0.34 0.31
3.0 O.44 0.44 0.43 0.42 0.42 0.40 0.39 0.36 0.33
4.0 O.47 0.46 0.45 0.45 0.44 0.42 O.41 O.37 0.34
5.0 0.48 0.47 0.47 0.46 0.45 0.44 0.42 0.38 0.35
10.0 0.49 0.48 0.48 0.47 0.46 O.45 0.43 0.40 0.36
- 0.49 0.48 0.48 0.47 0.47 0.45 0.44 0.41 0.38
6.2.4 CONTRACCIÓN GRADUAL
La pérdida de energía en una contracción puede disminuir sustancialmente haciendo la
contracción más gradual. La figura muestra una contracción de este tipo, formada
mediante una sección cónica entre los diámetros con cambios abruptos en las junturas.

Los cálculos se realizan empleando la misma relación de la dilatación gradual y el mismo
principio.









g
v
K
hL
2
2
2
El coeficiente K depende de la proporción de diámetros D1/D2 y el ángulo del cono, la
figura. Muestra diferentes valores K a ser interpolados.
Figura. COEFICIENTE DE RESISTENCIA – CONTRACCION GRADUAL
Fuente: Robert Mott 1996
""
"
"
-~
0.12
0.10 '
i! 0.08
"
-0
la!
-M
~ 0.06
0.04
/r
1.0
D ,
~H----- -1-- - -
- ---l---1
" 2
1
1 --~L----
!
-----
L-----_} 1
1
I - L---
J 1
/~
. 1
v 1
/
l 1
1------" V
I'---
..____
/
1
/
L----'
1/
e_-
1----;-.___
"1'------
..___
!---
1
2.0
Proporción de diámetro Di'D2
1 1
1
1
1
----
L---
1
=t-7
1
1
1 1 1
3.0
!()'•
15--10,,

Guía Página 74
6.2.5 PERDIDAS DE SALIDA
Durante la salida del flujo de un fluido de un conducto hacia un gran depósito o tanque,
como se muestra en la figura su velocidad disminuye hasta casi cero. En el proceso la
energía cinética que el fluido poseía en el conducto, indicada por la cabeza de velocidad
v2
/2g, se disipa. Por lo tanto, la pérdida de energía para esta condición es:









g
v
K
hL
2
2
1
Ésta se denomina la pérdida de salida. El coeficiente de resistencia es igual a uno (K =
1,0) Y dicho valor se usa sin importar la forma de la salida donde el conducto se conecta
con la pared del tanque.
6.2.6 PERDIDAS DE ENTRADA
Un caso especial de una can tracción ocurre cuando el fluido fluye desde un depósito o
tanque relativamente grande hacia un conducto. El fluido debe acelerar desde una
velocidad relativamente despreciable a la velocidad de flujo del conducto. La facilidad con
que se realiza la aceleración determina la cantidad de pérdida de energía y por lo tanto, el
valor del coeficiente de resistencia de entrada depende de la geometría de la entrada. La
figura siguiente muestra cuatro configuraciones diferentes y el valor sugerido de K para
cada uno.

Guía Página 75
Los valores del coeficiente K para la entrada redondeada son las siguientes:
r/D2 K
0.00
0.02
0.04
0.06
0.10
>0.15
0.50
0.28
0.24
0.15
0.09
0.01 (Bien redondeada)
Después seleccionar un valor para el coeficiente de resistencia da la figura, podemos
calcular la pérdida de energía en una entrada a partir de:









g
v
K
hL
2
2
2
Donde V2 es la velocidad de flujo en el conducto.
6.2.7 COEFICIENTE DE RESISTENCIA PARA VALVULAS Y JUNTURAS
Se dispone muchos tipos diferentes de válvulas y junturas de varios fabricantes para
especificación e instalación en sistemas de flujos y pueden ser válvulas de verificación y
muchas más. Las junturas dirigen la trayectoria de flujo y ocasionan un cambio en el
tamaño de la trayectoria de flujo. Se incluyen los codos de varios diseñes, te, reductores,
boquillas y orificios.
La pérdida de energía incurrida con flujos de fluido a través de una válvula o juntura se
Tanque
grande
Conducto de proyección hacia adentro
Use K= 1.0
Use K= 0.5
Use K=0.25
"---.____ '-.::/,~trada redond~e,..,a,..,d~ª--~
~ t . : ,
.,,-----::: 1/t -=,..___y

Guía Página 76
calcula utilizando la ecuación para pérdidas menores ya analizadas. Sin embargo, el
método para determinar el coeficiente de resistencia K es diferente. El valer de K se
reporta en la forma:
T
f
D
Le
K 






El valor de Le/ D, llamado la proporción de longitud equivalente, se reporta en la tabla
que se muestra posteriormente y se considera que es una constante para un tipo dado de
válvula o juntura. El valor de Le, también se denomina la longitud equivalente y es la
longitud del conducto recto del mismo diámetro nominal como la válvula que tendría la
misma resistencia que esta. El termino D es el diámetro interno real del conducto.
El termino fT es el factor de fricción en el conducto al cual está conectada la válvula o
juntura, tomando en la zona de turbulencia completa, como se observa en el diagrama de
Moddy donde el factor de fricción es independiente del numero de Reynolds.
RESISTENCIA EN VALVULAS Y EN JUNTURAS EXPRESADA COMO LONGITUD
EQUIVALENTE EN DIAMETROS DE CONDUCTOS, Le/D
TIPO
LONGITUD EQUIVALENTE EN
DIAMETROS DE CONDUCTO Le/D
Válvula de globo-completamente abierta 340
Válvula de ángulo-completamente abierta
Válvula de Compuerta-completamente abierta
a) ¾ abierta
b) ½ abierta
c) ¼ abierta
150
8
35
160
900
Válvula de verificación-tipo giratorio 100
Válvula de verificación-tipo bola 150
Válvula de mariposa-completamente abierta 45
Codo estándar 90º 30
Codo de radio largo de 90º 20
Codo de calle de 90º 50
Codo estándar de 45º 16
Codo de calle de 45º 26
Codo de devolución cerrada 50
Te estándar-con flujo a través de un tramo 20
Te estándar-con flujo a través de una rama 60
Fuente: Válvulas de sifón, IL, Robert Mott 1996
Los valores de fT varían con el tamaño de conducto y de la válvula, ocasionando que el
valor del coeficiente de resistencia K también varié. La tabla siguiente enumera los
valores de fT para tamaño estándar de conductos de acero comercial nuevo limpio.

Guía Página 77
FACTOR DE FRICCION EN ZONA DE TURBULENCIA COMPLETA PARA CONDUCTO DE
ACERO COMERCIAL NUEVO Y LIMPIO
TAMAÑO DE
CONDUCTO
NOMINAL (plg)
FACTOR DE
FRICCION
fT
TAMAÑO DE
CONDUCTO
NOMINAL (plg)
FACTOR DE
FRICCION
fT
½ 0.027 4 0.017
¾ 0.025 5 0.016
1 0.023 6 0.015
1 ¼ 0.022 8-10 0.014
1 ½ 0.021 12-16 0.013
2 0.019 18-24 0.012
2 ½, 3 0.018
6.2.8 CODOS DE TUBERIA
A menudo es más conveniente curvar, un conducto o tubo que instalar un codo comercial-
mente hecho. La resistencia al flujo de un codo depende de la proporción del radio r del
codo con el conducto dentro del diámetro D. La figura siguiente muestra que la resistencia
mínima ocurre cuando la proporción r/D es aproximadamente tres. La resistencia se da en
términos de la proporción de Longitud equivalente Le/D, y por lo tanto, la ecuación
K=(Le/D)*fT debe usarse para calcular el coeficiente de resistencia. La resistencia mostrada
en la figura incluye tanto la resistencia del codo como la resistencia debido a la longitud
del conducto en el codo.
Cuando calculamos la proporción r/D, r se define como el radio a la línea del centro del
conducto o tubo, denominado el radio medio. Donde r se procede a calcular bajo las
siguientes relaciones:
2
Do
Ri
r 

2
Do
Ro
r 

 
2
Ri
Ro
r


D = Diámetro interno

Guía Página 78
Figura. COEFICIENTE DE RESISTENCIA CODO DE RADIO LARGO
48
44
40
~
~ 36
32
20
16
12
8
4
o
-·
_
/
I
/
/
./
/
/
,._
V
/
V
/
V
/
V
I
I
--·--·
O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Radio relativo r/D

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