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                                                                            Ciencia y Tecnología


     barcos              agua
 Los barcos flotan en el agua
 Un barco antes de conseguir su estado de
 equilibrio (flotamiento) se hunde parcialmente
 en el agua; de hecho el barco tiene peso, si
 éste fuese la única fuerza externa, el barco se
 hundiría, por consiguiente existe una fuerza
 contraria al peso que lo anula; ésta es el em-
 puje que el agua ejerce sobre el barco; dicha
 fuerza no solo depende de la densidad del
 agua, también del volumen del barco que se
 sumerge al agua (volumen de agua que desa-
 loja). Si en la posición que se muestra, se in-
 trodujera más peso al barco, éste se hundiría
 más, desalojando así mayor cantidad de agua
 y por ende aumentando el empuje hasta anu-
 lar el nuevo peso; esto se puede seguir realizando hasta que el barco se hunda según el “límite”
 establecido.



                                              Vasos comunicantes
                                                    comunicantes
                                              El tanque de agua que abastece la ciudad, se en-
                                              cuentra a una altura superior a dicho poblado, en
                                              este caso no hay necesidad de una bomba
                                              elevadora de agua a excepción de la que se utiliza
                                              para succionar el líquido elemento del subsuelo.
                                              (aplicación del principio de los vasos comunicantes).



                                        El submarino




  Todo submarino posee en su inte- Para descender: el tanque          Para ascender: el tanque
  rior un enorme tanque donde puede se llena de agua                  se llena de aire.
  almacenar agua o aire.
Estática de los Fluidos                                                                                                               237


                                                          RESUELTOS
                                                PROBLEMAS RESUELTOS


  A    problemas de aplicación

 1.-    El área de contacto entre el blo-                                          Donde:
        que de 150 N de peso y el plano
        horizontal es 3 m2; calcular la                                            γ = peso específico del agua
        presión que ejerce dicho peso                                              ρ = densidad del agua
        sobre la superficie.                                                       g = aceleración de la gravedad
                                                                                   h = profundidad
        Solución:                                                                  P = presión hidráulica

            P=
                 F Peso
                  =
                                                                                             b
                                                                                   100 000 = 1200 × 10 h g   ⇒       h = 8 , 33 m
                 A Area
                                                                                 NOTA
                 150 N                                                 No olvidar de homogenizar el sistema de unidades antes
            P=                         ⇒       P = 50 Pascal
                  3 m2                                                 de reemplazar los datos en la fórmula.

 2.-    Una gata hidráulica tiene dos pistones de diámetro 1
        y 5 cm ¿Cuál es la fuerza necesaria en el pistón peque-       4.-   Los recipientes que se muestran en el esquema con-
        ño para que el grande levante un objeto de 10 N?                    tienen agua hasta el mismo nivel y tienen igual área
                                                                            en la base. Se pide:
        Solución:
                                                                            A)     ¿En cual de los casos el agua pesa más?
        t En una prensa                                                     B)     ¿En cual de los casos la presión en el fondo es
          hidraúlica:                                                              mayor?


            F2 = F1
                    FA I
                       2
                    GH A JK
                        1



                      D2 5
       t Dado:          =
                      D1 1
                                                                             (2)                   (1)                       (3)
                   F πD      2   I
                   G
            10 = F G 4
                            2
                                 JJ        ⇒ 10 = F1
                                                        FD I2
                                                                  2         Solución:
                  1
                   GG πD     2
                                  JJ                    GH D JK
                                                            1               A) Caso general para determinar el peso de un
                            1
                    H 4            K                                           cuerpo.

                            2
                    F 5I
            10 = F G J                     ⇒     F1 = 0 , 4 N
                  1
                    H 1K                                                                     e      jb
                                                                                   Wlíquido = γ líquido volumen  g        γ liquido


 3.-    Calcular la profundidad a la que debe sumergirse un                        Como quiera que el líquido es el mismo en todos
        submarino para soportar una presión hidráulica igual                       los recipientes (agua): γ1 = γ2 = γ3 = γagua
        a la presión atmosférica.
        Densidad del agua de mar = 1 200 kg/m3                                     Luego se tendrá: W1 = γ agua V1b g
        Presión atmosférica = 100 000 N/m2 ; g = 10 m/s2
                                                                                                     W2 = γ agua   bV g
                                                                                                                      2
        Solución:                                                                                    W3 = γ agua   bV g
                                                                                                                      3

            P=γ h                                                                  Como se verá, el peso sera mayor donde el volu-
                                                                                   men de agua también lo sea; de los gráficos se
                                                                                   tiene: V1 > V3 > V2
                 b g
            P = ρg h

                                                                                   Por lo tanto:   W1 > W3 >W2
238                                                                                              Jorge Mendoza Dueñas


      B) Caso general:                                                 t Equilibrio vertical: Etotal = peso

                                                                           γ HgVsumergido = γ acero Vtotal

                e         jb g
           PA = γ líquido h                                                dρ giV
                                                                              Hg            = bρ
                                                                                    sumergido       gg V
                                                                                                     acero      total
           PA : presión hidrostatica
                en “A”
                                                                           b13 600gAx = b7 800gAb0,10g
           En nuestro caso las profundidades de los recipien-              Siendo: A = Area de la sección
           tes son iguales, luego:                                         x = 0 , 057 4 m       ⇒       x = 5, 74 cm

                                 P1 = P2 = P3

                                                                  B    problemas complementarios
5.-   Calcular el peso específico de la esfera, sabiendo que
      flota entre dos líquidos no miscibles; el volumen su-
      mergido en agua es el 60% de su volumen total.             1.-   Los émbolos A, B y C tienen un área de 5 cm2, 60 cm2
      γ      = 8 000 N/m3 ; γ       = 10 000 N/m3                      y 70 cm2 respectivamente; si F = 50 N, determine el
       aceite                      agua
                                                                       valor total de (R + Q).




      Solución:
        D.C.L. (esfera)               Analizando volúmenes             Solución:
                                                                                                          F   R   Q
                                                                       t PA = PB = PC             ⇒         =   =
                                                                                                         AA AB AC
                                                                            50 N          R
                                                                       t            =             ⇒     R = 600 N
                                                                            5 cm2       60 cm2

                                                                            50 N          Q
                                                                       t            =             ⇒      Q = 700 N
      t Equilibrio vertical:         Etotal = peso                          5 cm2       70 cm2

           Eaceite + Eagua = peso                                      t Finalmente:          R + Q = 1 300 N
           γ aceite V1 + γ aguaV2 = γ esferaV
                                                                 2.-   Sobre la palanca AB como se muestra en la figura, el
           γ aceite 0 , 4 V + γ agua 0 , 6 V = γ esferaV
                    c    h        c h                                  extremo “B” es conectado a un pistón que se mueve
           8 000b0 , 4 Vg + 10 000b0 , 6 Vg = γ                        en el interior de un cilindro de 5 cm de diámetro. Qué
                                                  esferaV
                                                                       fuerza “P” debe ejercerse sobre el pistón de mayor diá-
           γ esfera = 9 200 N / m3                                     metro para prevenir el movimiento en el interior del
                                                                       cilindro de 25 cm de diámetro.
6.-   Un cubo de acero de 10 cm de arista, flota en mercu-
      rio; calcular la altura de la arista del cubo que se su-
      merge (ρHg = 13 600 kg/m3, ρacero = 7 800 kg/m3).

      Solución:




                                                                       Solución:

                                                                       t Fuerza en el pistón chico (F): ΣMo = 0

                                                                           b500 Ngb15 cmg = Fb10 cmg         ⇒          F = 750 N
Estática de los Fluidos                                                                                                                             239


       t Por principio de Pascal:
                                                     F
                                                       =
                                                         P                                               b g                   b g
                                                                               PB = Patm + 500 g 0 , 06 + 300 g 0 ,10 + 200 g 0 ,12                b g
                                                     A1 A2
                                                                               PB = Patm + 84 g ............. (2)
                                      πD12            πD22
             Donde: A1 =                     ; A2 =                       t (2) − (1):
                                       4               4
       t Finalmente se tiene que:                                              PB − PA = 64 g = 64 10     b g
                                  2                                            PB − PA = 640 N / m2                ⇒          PB − PA = 640 Pa
             P = 750
                       FG 25 IJ         ⇒     P = 18 750 N
                        H 5K
 3.-   Los líquidos están en equilibrio dentro del tubo en U.       5.-   La presión en el interior de un neumático es 168 000 Pa.
       Hallar: ρ1/ρ2.                                                     Hallar el desnivel del mercurio cuando se conecta a
                                                                          este neumático un manómetro de tubo abierto en
                                                                          forma de U (ver figura), (Patmosférica = 100 000 Pa,
                                                                          g = 10 m/s2, ρHg = 136 000 N/m3).




       Solución:
                                                                          Solución:
       t PA = PB                                                          t    PA = PB

                         b g
             Patm + γ 2 0 , 01 = Patm + γ 1 0 , 02   b g                                      bg
                                                                               Pgas = γ Hg x + Patm
             γ1 1                       ρ1 g 1                                                            bg
                                                                               168 000 = 136 000 x + 100 000 ⇒                          x = 0, 50 m
               =            ⇒               =
             γ2 2                       ρ2 g 2
             ρ1 1                                                   6.-   Un bloque de madera flota en el agua con las dos ter-
               =                                                          ceras partes de su volumen sumergido. En aceite flota
             ρ2 2
                                                                          sumergido los 0,9 de su volumen. Encontrar la densi-
                                                                          dad de la madera y el aceite.
 4.-   Hallar la diferencia de presión entre los puntos B y A
       de la figura mostrada:                                             Solución:
                                                                              1er Caso:                                         2do Caso:

       ρ1   = 200 kg/m3
       ρ2   = 300 kg/m3
       ρ3   = 500 kg/m3
       g    = 10 m/s2


                                                                          t 1er Caso: Madera sumergida en agua
       Solución:                                                               Eagua = P

        t Calculando la presión en A:                                           γ agua
                                                                                         FG 2 VIJ = P    ⇒ 10 000
                                                                                                                          FG 2 VIJ = P ..... (1)
                                                                                          H3 K                             H3 K
                              b g
             PA = Patm + γ 1 0 ,10
                                                                          t 2do Caso: Madera sumergida en aceite
             PA = Patm    + ρ gb0 ,10g = P
                              1                              b g
                                                atm + 200g 0 , 10
                                                                               Eaceite = P
             PA = Patm + 20g ............. (1)
                                                                                          b      g
                                                                                γ aceite 0 , 9 V = P ..... (2)
       t Calculando la presión en B:
                                                                          t (1) = (2)
                             b g b g b g
             PB = Patm + γ 3 0 , 06 + γ 2 0 ,10 + γ 1 0 ,12
                                                                                          FG 2 VIJ = γ
             PB = Patm   + ρ gb0 , 06g + ρ gb0 , 10g + ρ gb0 ,12g
                                                                               10 000
                                                                                           H3 K          aceite   b0 , 9 Vg
                              3                  2            1
240                                                                                                     Jorge Mendoza Dueñas


           γ aceite = 7 407 , 4 N / m3 ⇒ ρaceite = 740 , 7 kg / m3         t Equilibrio: ΣFv = 0

                                                                                        T T
      t En (1) tenemos:                                                        E=P+      +
                                                                                        2 2

          10 000
                   FG 2 VIJ = γ   madera V
                                                                               γ aguaV = mg + T
                    H3 K
           γ madera = 6 666,6 N/m3
                                                                                       b g b gb g
                                                                               10 000 0 ,1 = 60 10 + T

                                                                               T = 400 N
           ρmadera = 666 , 6 kg/m3

7.-   Un bloque de 10 cm3, se suelta desde la parte supe-            9.-   Un pedazo de metal pesa 1 800 N en el aire y 1 400 N
      rior de un recipiente que contiene un líquido cuyo                   cuando se le sumerge en el agua. ¿Cuál es la densidad
      peso específico es de 10 000 N/m3. Calcular la acelera-              del metal? dar su respuesta en (kg/m3) g = 10 m/s2.
      ción del bloque de 5 N de peso (g = 10 m/s2).
                                                                           Solución:
      Solución:
                                                                           t Calculando la pérdida de peso (empuje)
      t Calculando γcuerpo:
                                                                               Wverdadero = 1 800 N ................... (1)
                                           3
           Vcuerpo = 10 cm ×3          b g
                                       (1 m 3
                                        1 m)
                                                                               Waparente en agua = 1 400 N ........ (2)
                                            3
                                   (100 cm 3
                                   b100 cm)    g
                                                                               (1) − (2) = Pérdida aparente de peso = 400 N
           Vcuerpo = 10 −5 m3

                        Pcuerpo          5N
                                                                             NOTA
           γ cuerpo =              =
                        Vcuerpo        10 −5 m3                       La pérdida aparente de peso es igual al empuje ejercido
                                                                      por el líquido.
           γ cuerpo = 5 × 105 N / m3
                                                                               Luego: E = 400 N
      t Aplicando la 2da ley de Newton:
                   W                                                       t Calculando el volumen del metal:
           P−E=      a
                   g
                                                                               ρagua = 1 000 kg / m3 ; g = 10 m / s2 ; E = 400 N
               FG E IJ g ⇒ a = FG1− γ V IJ g
           a = 1−                                    L
                                                                               γ agua Vmetal = 400
                H WK            H γ VK             cuerpo

                                                                               ρagua gVmetal = 400
                F 10 000 V I10 ⇒ a = 9, 8 m / s
           a = G 1−                                          2
                H 5 × 10 V JK
                            5
                                                                               b1 000gb10g V    metal   = 400

8.-   La esfera mostrada de 60 kg y 0,1 m3 está en reposo.                     Vmetal = 0 , 04 m3
      Hallar las tensiones en las cuerdas (γagua = 10 000 N/m3,
      g = 10 m/s2).
                                                                           t Nos piden la densidad del metal:

                                                                               Wmetal = 1 800 N          ;      g = 10 m / s2

                                                                               Vmetal = 0 , 04 m3        ;      ρmetal = ? (kg / m3 )

                                                                                           W
                                                                               γ metal =
                                                                                           V
      Solución:                                     D.C.L.                                  W
                                                                               ρmetal g =
                                                                                            V
                                                                                           W   1 800
                                                                               ρmetal =      =
                                                                                                  b gb g
                                                                                           gV 10 0 , 04

                                                                               ρmetal = 4 500 kg / m3
Estática de los Fluidos                                                                                                      241


                                  PROBLEMAS PROPUESTOS


  A    problemas de aplicación

 1.-    Calcular la fuerza que ejerce el agua sobre una loseta    7.-    Un recipiente en forma de cubo de 2 m de arista está
        de 10 cm de lado colocada en el fondo de una piscina             lleno de un líquido. El peso del recipiente lleno es de
        cuyo nivel de agua es de 2,8 m.                                  40 000 N y el peso del recipiente vacío es de 30 000 N.
                                                                         Hallar la densidad del líquido.
        Rpta.     280 N
                                                                         Rpta.     ρL = 125 kg/m3
 2.-    ¿Cuánto aumenta la presión en el fondo del recipien-
        te al colocar el pistón de masa m = 100 kg. Si el agua    8.-    Un cuerpo pesa en el aire 2 N mientras que cuando se
        ya estaba en el recipiente? A = 2 m2.                            introduce en el agua pesa aparentemente 0,8 N. De-
                                                                         terminar su densidad. (ρaire = 1,29 kg/m3).

                                                                         Rpta.     1 668 kg/m3
        Rpta.     500 Pa
                                                                  9.-    Dentro del agua, a 1 metro de profundidad, se coloca
                                                                         un cubo de 1 m de arista. Calcular la diferencia de las
                                                                         fuerzas hidrostáticas que actúan en la cara superior e
                                                                         inferior (g = 10 m/s2).
 3.-    Un bloque de corcho reposa con la tercera parte de
        su volumen sumergido en un líquido cuya densi-                   Rpta.     10 000 N
        dad es 1 200 kg/m3, hallar la densidad del corcho
                   2
        (g = 10 m/s ).                                            10.-   El tubo de vidrio mos-
                                                                         trado está cerrado en
        Rpta.     ρcorcho = 400 kg/m3                                    su extremo superior.
                                                                         ¿Qué presión existe
 4.-    En un tubo en U, se tiene tres líquidos no miscibles,            en este extremo?
        Calcular “h”
                   .
        DA = 3 000 kg/m3, DB = 2 000 kg/m3, DC = 4 000 kg/m3             Rpta.     32 000 Pa


        Rpta.     h = 1,5 m


                                                                   B     problemas complementarios


 5.-    El recipiente muestra un líquido de densidad igual a      1.-    La relación de áreas del émbolo menor respecto al
        800 kg/m3. Calcular la diferencia de presión entre los           mayor es como b/a. Determinar cuál debe ser la fuer-
        puntos “A” y “B”
                       .                                                 za que se debe aplicar sobre el émbolo menor para
                                                                         mantener en equilibrio a la prensa hidráulica (despre-
                                                                         ciar el peso de émbolos, poleas y barra). No hay roza-
        Rpta.     23,52 kPascal                                          miento y el líquido es agua D = 1 000 kg/m3.




 6.-    El cuerpo mostrado de 0,2 m3 descansa sobre el fon-
        do de un recipiente con aceite, calcular la fuerza nor-
        mal sobre el cuerpo
        γaceite = 800 N/m3
        m = 250 kg
        g = 10 m/s2

        Rpta.     900 N                                                  Rpta.     W
242                                                                                                 Jorge Mendoza Dueñas


2.-   Para el sistema mostrado se tienen las siguientes den-        6.-    Calcular la aceleración con que un submarino de
      sidades:                                                             100 m3 y 80 toneladas de peso emerge a la superfi-
                    ρb = 13 600 kg/m3                                      cie al expulsar toda el agua que lleva en sus tan-
                    ρc = 600 kg/m3                                         ques de inmersión.
                    ρd = 1 000 kg/m3
                    ρe = 1 300 kg/m3                                       Rpta.     2,5 m/s2

      Determinar la presión hidrostática en “M” y la presión        7.-    Calcular la distancia que separa los puntos A y B sa-
      total en “N”
                 .                                                         biendo que un bloque de 50 kg de masa y 500 kg/m3
                                                                           de densidad demora 5 s en ir de “A” hasta “B” Partien-
                                                                                                                       .
                                                                           do del reposo.

      Rpta. PM = 1 300 Pa
            PN = 102 920 Pa                                                Rpta.     125 m




                                                                    8.-    Dos cilindros idénticos de 18 N de peso y 300 mm de
3.-   Hallar el peso específico del líquido 3 en la figura:                radio cada uno, son colocados en un canal rectangu-
      ρ1 = 800 kg/m3 ; ρ2 = 1 000 kg/m3 ; g = 10 m/s2                      lar liso de 900 mm de ancho, de tal forma que uno de
                                                                           los cilindros queda 50% sumergido. Calcular el valor
                                                                           de la fuerza que ejerce el cilindro inferior sobre la pa-
                                                                           red lateral del canal.


      Rpta.      γ3 = 3 000 N/m3



                                                                           Rpta.     18 2 − 3 N
                                                                                        d       i
4.-   Calcular a partir de la figura el desnivel “h” que existirá
      al colocar un bloque de 800 N de peso sobre el émbolo
      de 0,3 m2 de superficie, y al jalar simultáneamente ha-
                                      2                             9.-    Un tubo en “U” de sección transversal constante, que
      cia arriba el émbolo de 1,5 m con un fuerza de 400 N.
      El líquido es agua. (Despreciar el peso de los émbolos).             contiene un líquido, es acelerado hacia la derecha con
                                                                           una aceleración cons-
                                                                           tante “a” como indica
                                                                                    ,
                                                                           la figura. ¿Cuál es la
                                                                           diferencia de alturas
      Rpta.      29,33 cm                                                  “h” entre las columnas
                                                                           de líquidos de las ra-
                                                                           mas verticales?.
                                                                                            a
                                                                           Rpta.     h=L
                                                                                            g

5.-   Calcular la fuerza horizontal que ejerce el agua sobre una    10.-   Determinar a que altura máxima llegará la esfera al
      plancha de acero que se encuentra a una profundidad                  salir respecto a la superficie libre del líquido.
      de 20 m (dimensiones de la plancha: 10 cm×10 cm).                    ρ        = 300 kg/m3 ; ρ        = 1 200 kg/m3
                                                                            cuerpo                   agua




      Rpta.      3 005 N                                                   Rpta.     30,72 m

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  • 1. 236 Jorge Mendoza Dueñas Ciencia y Tecnología barcos agua Los barcos flotan en el agua Un barco antes de conseguir su estado de equilibrio (flotamiento) se hunde parcialmente en el agua; de hecho el barco tiene peso, si éste fuese la única fuerza externa, el barco se hundiría, por consiguiente existe una fuerza contraria al peso que lo anula; ésta es el em- puje que el agua ejerce sobre el barco; dicha fuerza no solo depende de la densidad del agua, también del volumen del barco que se sumerge al agua (volumen de agua que desa- loja). Si en la posición que se muestra, se in- trodujera más peso al barco, éste se hundiría más, desalojando así mayor cantidad de agua y por ende aumentando el empuje hasta anu- lar el nuevo peso; esto se puede seguir realizando hasta que el barco se hunda según el “límite” establecido. Vasos comunicantes comunicantes El tanque de agua que abastece la ciudad, se en- cuentra a una altura superior a dicho poblado, en este caso no hay necesidad de una bomba elevadora de agua a excepción de la que se utiliza para succionar el líquido elemento del subsuelo. (aplicación del principio de los vasos comunicantes). El submarino Todo submarino posee en su inte- Para descender: el tanque Para ascender: el tanque rior un enorme tanque donde puede se llena de agua se llena de aire. almacenar agua o aire.
  • 2. Estática de los Fluidos 237 RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS A problemas de aplicación 1.- El área de contacto entre el blo- Donde: que de 150 N de peso y el plano horizontal es 3 m2; calcular la γ = peso específico del agua presión que ejerce dicho peso ρ = densidad del agua sobre la superficie. g = aceleración de la gravedad h = profundidad Solución: P = presión hidráulica P= F Peso = b 100 000 = 1200 × 10 h g ⇒ h = 8 , 33 m A Area NOTA 150 N No olvidar de homogenizar el sistema de unidades antes P= ⇒ P = 50 Pascal 3 m2 de reemplazar los datos en la fórmula. 2.- Una gata hidráulica tiene dos pistones de diámetro 1 y 5 cm ¿Cuál es la fuerza necesaria en el pistón peque- 4.- Los recipientes que se muestran en el esquema con- ño para que el grande levante un objeto de 10 N? tienen agua hasta el mismo nivel y tienen igual área en la base. Se pide: Solución: A) ¿En cual de los casos el agua pesa más? t En una prensa B) ¿En cual de los casos la presión en el fondo es hidraúlica: mayor? F2 = F1 FA I 2 GH A JK 1 D2 5 t Dado: = D1 1 (2) (1) (3) F πD 2 I G 10 = F G 4 2 JJ ⇒ 10 = F1 FD I2 2 Solución: 1 GG πD 2 JJ GH D JK 1 A) Caso general para determinar el peso de un 1 H 4 K cuerpo. 2 F 5I 10 = F G J ⇒ F1 = 0 , 4 N 1 H 1K e jb Wlíquido = γ líquido volumen g γ liquido 3.- Calcular la profundidad a la que debe sumergirse un Como quiera que el líquido es el mismo en todos submarino para soportar una presión hidráulica igual los recipientes (agua): γ1 = γ2 = γ3 = γagua a la presión atmosférica. Densidad del agua de mar = 1 200 kg/m3 Luego se tendrá: W1 = γ agua V1b g Presión atmosférica = 100 000 N/m2 ; g = 10 m/s2 W2 = γ agua bV g 2 Solución: W3 = γ agua bV g 3 P=γ h Como se verá, el peso sera mayor donde el volu- men de agua también lo sea; de los gráficos se tiene: V1 > V3 > V2 b g P = ρg h Por lo tanto: W1 > W3 >W2
  • 3. 238 Jorge Mendoza Dueñas B) Caso general: t Equilibrio vertical: Etotal = peso γ HgVsumergido = γ acero Vtotal e jb g PA = γ líquido h dρ giV Hg = bρ sumergido gg V acero total PA : presión hidrostatica en “A” b13 600gAx = b7 800gAb0,10g En nuestro caso las profundidades de los recipien- Siendo: A = Area de la sección tes son iguales, luego: x = 0 , 057 4 m ⇒ x = 5, 74 cm P1 = P2 = P3 B problemas complementarios 5.- Calcular el peso específico de la esfera, sabiendo que flota entre dos líquidos no miscibles; el volumen su- mergido en agua es el 60% de su volumen total. 1.- Los émbolos A, B y C tienen un área de 5 cm2, 60 cm2 γ = 8 000 N/m3 ; γ = 10 000 N/m3 y 70 cm2 respectivamente; si F = 50 N, determine el aceite agua valor total de (R + Q). Solución: D.C.L. (esfera) Analizando volúmenes Solución: F R Q t PA = PB = PC ⇒ = = AA AB AC 50 N R t = ⇒ R = 600 N 5 cm2 60 cm2 50 N Q t = ⇒ Q = 700 N t Equilibrio vertical: Etotal = peso 5 cm2 70 cm2 Eaceite + Eagua = peso t Finalmente: R + Q = 1 300 N γ aceite V1 + γ aguaV2 = γ esferaV 2.- Sobre la palanca AB como se muestra en la figura, el γ aceite 0 , 4 V + γ agua 0 , 6 V = γ esferaV c h c h extremo “B” es conectado a un pistón que se mueve 8 000b0 , 4 Vg + 10 000b0 , 6 Vg = γ en el interior de un cilindro de 5 cm de diámetro. Qué esferaV fuerza “P” debe ejercerse sobre el pistón de mayor diá- γ esfera = 9 200 N / m3 metro para prevenir el movimiento en el interior del cilindro de 25 cm de diámetro. 6.- Un cubo de acero de 10 cm de arista, flota en mercu- rio; calcular la altura de la arista del cubo que se su- merge (ρHg = 13 600 kg/m3, ρacero = 7 800 kg/m3). Solución: Solución: t Fuerza en el pistón chico (F): ΣMo = 0 b500 Ngb15 cmg = Fb10 cmg ⇒ F = 750 N
  • 4. Estática de los Fluidos 239 t Por principio de Pascal: F = P b g b g PB = Patm + 500 g 0 , 06 + 300 g 0 ,10 + 200 g 0 ,12 b g A1 A2 PB = Patm + 84 g ............. (2) πD12 πD22 Donde: A1 = ; A2 = t (2) − (1): 4 4 t Finalmente se tiene que: PB − PA = 64 g = 64 10 b g 2 PB − PA = 640 N / m2 ⇒ PB − PA = 640 Pa P = 750 FG 25 IJ ⇒ P = 18 750 N H 5K 3.- Los líquidos están en equilibrio dentro del tubo en U. 5.- La presión en el interior de un neumático es 168 000 Pa. Hallar: ρ1/ρ2. Hallar el desnivel del mercurio cuando se conecta a este neumático un manómetro de tubo abierto en forma de U (ver figura), (Patmosférica = 100 000 Pa, g = 10 m/s2, ρHg = 136 000 N/m3). Solución: Solución: t PA = PB t PA = PB b g Patm + γ 2 0 , 01 = Patm + γ 1 0 , 02 b g bg Pgas = γ Hg x + Patm γ1 1 ρ1 g 1 bg 168 000 = 136 000 x + 100 000 ⇒ x = 0, 50 m = ⇒ = γ2 2 ρ2 g 2 ρ1 1 6.- Un bloque de madera flota en el agua con las dos ter- = ceras partes de su volumen sumergido. En aceite flota ρ2 2 sumergido los 0,9 de su volumen. Encontrar la densi- dad de la madera y el aceite. 4.- Hallar la diferencia de presión entre los puntos B y A de la figura mostrada: Solución: 1er Caso: 2do Caso: ρ1 = 200 kg/m3 ρ2 = 300 kg/m3 ρ3 = 500 kg/m3 g = 10 m/s2 t 1er Caso: Madera sumergida en agua Solución: Eagua = P t Calculando la presión en A: γ agua FG 2 VIJ = P ⇒ 10 000 FG 2 VIJ = P ..... (1) H3 K H3 K b g PA = Patm + γ 1 0 ,10 t 2do Caso: Madera sumergida en aceite PA = Patm + ρ gb0 ,10g = P 1 b g atm + 200g 0 , 10 Eaceite = P PA = Patm + 20g ............. (1) b g γ aceite 0 , 9 V = P ..... (2) t Calculando la presión en B: t (1) = (2) b g b g b g PB = Patm + γ 3 0 , 06 + γ 2 0 ,10 + γ 1 0 ,12 FG 2 VIJ = γ PB = Patm + ρ gb0 , 06g + ρ gb0 , 10g + ρ gb0 ,12g 10 000 H3 K aceite b0 , 9 Vg 3 2 1
  • 5. 240 Jorge Mendoza Dueñas γ aceite = 7 407 , 4 N / m3 ⇒ ρaceite = 740 , 7 kg / m3 t Equilibrio: ΣFv = 0 T T t En (1) tenemos: E=P+ + 2 2 10 000 FG 2 VIJ = γ madera V γ aguaV = mg + T H3 K γ madera = 6 666,6 N/m3 b g b gb g 10 000 0 ,1 = 60 10 + T T = 400 N ρmadera = 666 , 6 kg/m3 7.- Un bloque de 10 cm3, se suelta desde la parte supe- 9.- Un pedazo de metal pesa 1 800 N en el aire y 1 400 N rior de un recipiente que contiene un líquido cuyo cuando se le sumerge en el agua. ¿Cuál es la densidad peso específico es de 10 000 N/m3. Calcular la acelera- del metal? dar su respuesta en (kg/m3) g = 10 m/s2. ción del bloque de 5 N de peso (g = 10 m/s2). Solución: Solución: t Calculando la pérdida de peso (empuje) t Calculando γcuerpo: Wverdadero = 1 800 N ................... (1) 3 Vcuerpo = 10 cm ×3 b g (1 m 3 1 m) Waparente en agua = 1 400 N ........ (2) 3 (100 cm 3 b100 cm) g (1) − (2) = Pérdida aparente de peso = 400 N Vcuerpo = 10 −5 m3 Pcuerpo 5N NOTA γ cuerpo = = Vcuerpo 10 −5 m3 La pérdida aparente de peso es igual al empuje ejercido por el líquido. γ cuerpo = 5 × 105 N / m3 Luego: E = 400 N t Aplicando la 2da ley de Newton: W t Calculando el volumen del metal: P−E= a g ρagua = 1 000 kg / m3 ; g = 10 m / s2 ; E = 400 N FG E IJ g ⇒ a = FG1− γ V IJ g a = 1− L γ agua Vmetal = 400 H WK H γ VK cuerpo ρagua gVmetal = 400 F 10 000 V I10 ⇒ a = 9, 8 m / s a = G 1− 2 H 5 × 10 V JK 5 b1 000gb10g V metal = 400 8.- La esfera mostrada de 60 kg y 0,1 m3 está en reposo. Vmetal = 0 , 04 m3 Hallar las tensiones en las cuerdas (γagua = 10 000 N/m3, g = 10 m/s2). t Nos piden la densidad del metal: Wmetal = 1 800 N ; g = 10 m / s2 Vmetal = 0 , 04 m3 ; ρmetal = ? (kg / m3 ) W γ metal = V Solución: D.C.L. W ρmetal g = V W 1 800 ρmetal = = b gb g gV 10 0 , 04 ρmetal = 4 500 kg / m3
  • 6. Estática de los Fluidos 241 PROBLEMAS PROPUESTOS A problemas de aplicación 1.- Calcular la fuerza que ejerce el agua sobre una loseta 7.- Un recipiente en forma de cubo de 2 m de arista está de 10 cm de lado colocada en el fondo de una piscina lleno de un líquido. El peso del recipiente lleno es de cuyo nivel de agua es de 2,8 m. 40 000 N y el peso del recipiente vacío es de 30 000 N. Hallar la densidad del líquido. Rpta. 280 N Rpta. ρL = 125 kg/m3 2.- ¿Cuánto aumenta la presión en el fondo del recipien- te al colocar el pistón de masa m = 100 kg. Si el agua 8.- Un cuerpo pesa en el aire 2 N mientras que cuando se ya estaba en el recipiente? A = 2 m2. introduce en el agua pesa aparentemente 0,8 N. De- terminar su densidad. (ρaire = 1,29 kg/m3). Rpta. 1 668 kg/m3 Rpta. 500 Pa 9.- Dentro del agua, a 1 metro de profundidad, se coloca un cubo de 1 m de arista. Calcular la diferencia de las fuerzas hidrostáticas que actúan en la cara superior e inferior (g = 10 m/s2). 3.- Un bloque de corcho reposa con la tercera parte de su volumen sumergido en un líquido cuya densi- Rpta. 10 000 N dad es 1 200 kg/m3, hallar la densidad del corcho 2 (g = 10 m/s ). 10.- El tubo de vidrio mos- trado está cerrado en Rpta. ρcorcho = 400 kg/m3 su extremo superior. ¿Qué presión existe 4.- En un tubo en U, se tiene tres líquidos no miscibles, en este extremo? Calcular “h” . DA = 3 000 kg/m3, DB = 2 000 kg/m3, DC = 4 000 kg/m3 Rpta. 32 000 Pa Rpta. h = 1,5 m B problemas complementarios 5.- El recipiente muestra un líquido de densidad igual a 1.- La relación de áreas del émbolo menor respecto al 800 kg/m3. Calcular la diferencia de presión entre los mayor es como b/a. Determinar cuál debe ser la fuer- puntos “A” y “B” . za que se debe aplicar sobre el émbolo menor para mantener en equilibrio a la prensa hidráulica (despre- ciar el peso de émbolos, poleas y barra). No hay roza- Rpta. 23,52 kPascal miento y el líquido es agua D = 1 000 kg/m3. 6.- El cuerpo mostrado de 0,2 m3 descansa sobre el fon- do de un recipiente con aceite, calcular la fuerza nor- mal sobre el cuerpo γaceite = 800 N/m3 m = 250 kg g = 10 m/s2 Rpta. 900 N Rpta. W
  • 7. 242 Jorge Mendoza Dueñas 2.- Para el sistema mostrado se tienen las siguientes den- 6.- Calcular la aceleración con que un submarino de sidades: 100 m3 y 80 toneladas de peso emerge a la superfi- ρb = 13 600 kg/m3 cie al expulsar toda el agua que lleva en sus tan- ρc = 600 kg/m3 ques de inmersión. ρd = 1 000 kg/m3 ρe = 1 300 kg/m3 Rpta. 2,5 m/s2 Determinar la presión hidrostática en “M” y la presión 7.- Calcular la distancia que separa los puntos A y B sa- total en “N” . biendo que un bloque de 50 kg de masa y 500 kg/m3 de densidad demora 5 s en ir de “A” hasta “B” Partien- . do del reposo. Rpta. PM = 1 300 Pa PN = 102 920 Pa Rpta. 125 m 8.- Dos cilindros idénticos de 18 N de peso y 300 mm de 3.- Hallar el peso específico del líquido 3 en la figura: radio cada uno, son colocados en un canal rectangu- ρ1 = 800 kg/m3 ; ρ2 = 1 000 kg/m3 ; g = 10 m/s2 lar liso de 900 mm de ancho, de tal forma que uno de los cilindros queda 50% sumergido. Calcular el valor de la fuerza que ejerce el cilindro inferior sobre la pa- red lateral del canal. Rpta. γ3 = 3 000 N/m3 Rpta. 18 2 − 3 N d i 4.- Calcular a partir de la figura el desnivel “h” que existirá al colocar un bloque de 800 N de peso sobre el émbolo de 0,3 m2 de superficie, y al jalar simultáneamente ha- 2 9.- Un tubo en “U” de sección transversal constante, que cia arriba el émbolo de 1,5 m con un fuerza de 400 N. El líquido es agua. (Despreciar el peso de los émbolos). contiene un líquido, es acelerado hacia la derecha con una aceleración cons- tante “a” como indica , la figura. ¿Cuál es la diferencia de alturas Rpta. 29,33 cm “h” entre las columnas de líquidos de las ra- mas verticales?. a Rpta. h=L g 5.- Calcular la fuerza horizontal que ejerce el agua sobre una 10.- Determinar a que altura máxima llegará la esfera al plancha de acero que se encuentra a una profundidad salir respecto a la superficie libre del líquido. de 20 m (dimensiones de la plancha: 10 cm×10 cm). ρ = 300 kg/m3 ; ρ = 1 200 kg/m3 cuerpo agua Rpta. 3 005 N Rpta. 30,72 m