Este documento explica los métodos para factorizar polinomios, incluyendo factor común, aspa simple, completando cuadrados y productos notables. También describe cómo usar la factorización para resolver ecuaciones polinómicas.

1. Factorización de polinomios

2. ¿Por qué necesitamos saber factorizar?

3. ¿Cuáles de los siguientes polinomios están factorizados? (x 2 -1)(x+2) (x-2)(2x+3) + 1 3x+5 12(x 2 +9)(x-4) (x 3 -5)

4. Polinomio primo o irreductible Es el que no se puede escribir como producto de dos o más polinomios de grado mayor o igual a uno. De primer grado: 2x+3 ; x-2 ; 3x+8 ; 4x+12 De segundo grado: x 2 +1 ; x 2 +x+1 ; x 2 -2x+5

5. Conclusión En general, son polinomios primos: Cualquier polinomio de primer grado, es decir de la forma ax + b . Cualquier polinomio de segundo grado, de la forma ax 2 + bx + c , de discriminante (  = b 2 – 4ac) negativo . Es decir, si ax 2 + bx + c = 0 no tiene solución real.

6. Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es el proceso mediante el cual el polinomio se transforma en un producto de polinomios primos, ( factores primos ) . x 2 + x - 6 = (x + 3) (x - 2) FACTORIZACIÓN MULTIPLICACIÓN

7. Métodos de factorización

8. Factor común 3a 2 b 2 – 6a 2 b = 3a 2 b (b – 2) (3x-y)(x–y-1)+(x+y)(x–y-1)–(2z-3y)(x–y-1) = (3x-y) (x–y-1) +(x+y) (x–y-1) –(2z-3y) (x–y-1) = (x–y-1) (4x+3y-2z) 1. 2.

9. Factor común polinomio 2x (x – 1) + y (1 - x) + 2 (x - 1) = 2x (x – 1) + y (1 - x) + 2 (x - 1) = 2x (x – 1) - y (x - 1) + 2 (x - 1) = (x – 1) (2x - y + 2) 1.

10. Factor común por agrupación de términos x 3 + x 2 + x + 1 = x 3 + x 2 + x + 1 = x 3 + x 2 + x + 1 = x 3 + x 2 + x + 1 = Forma 3 Forma 2 Forma 1

11. Aspa simple: P(x) = ax 2m +bx m y n +cy 2n 2x 2 + 13xy – 15y 2 2x x +15y -1y = ( 2x + 15y )( x - y ) -2xy 15xy

12. Reconstruir el proceso: (x 2 – 1)(x+2) (x 2 – 1)(x+2) (x – 1)(x+1)(x+2) (x – 1)(x+1)(x+2) x(x 2 – 1) + 2(x 2 -1) x(x 2 – 1) + 2(x 2 -1) x 3 – x +2x 2 - 2 x 3 – x +2x 2 - 2 1 2 4 3 4 3 2 1

13. Forma Factorización Productos notables x 2 - y 2 = x 2 + 2xy + y 2 = x 3 + y 3 = x 3 – y 3 = x 3 + 3x 2 y+3xy 2 + y 3 = (x + y)(x - y) (x + y) 2 (x + y)(x 2 - xy+y 2 ) (x - y)(x 2 + xy + y 2 ) (x + y) 3

14. Completando cuadrados Recordemos el desarrollo del producto notable se denomina trinomio cuadrado perfecto: Cualquier trinomio de la forma Se puede escribir como un trinomio cuadrado perfecto, sumanando y restando un mismo número Remplazando el trinomio por el binomio al cuadrado, queda: Finalmente se factoriza como una diferencia de cuadrados Ejemplo 1:

15. Ejemplo 2. P(x) = x 2 + 5x + 1 Este coeficiente se descompone en el doble producto de x por 5/2 Se sume y se reste el cuadrado de este número Factorice el trinomio cuadrado perfecto Factorice esta diferencia de cuadrados

16. Ejemplo 3 P(x) = 2x 2 - 43x + 221 = (x – 13)(2x -17) Primero factorice 2 y luego dentro de los paréntesis, siga como en los casos anteriores. Sume y reste el cuadrado de (43/4), factorice el trinomio cuadrado perfecto, simplifique y factorice una diferencia de cuadrados si es posible. Nota: Si despues de factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar no qued una diferencia sono una suma, esto quiere decir que no es posible factorizar el trinomio.

17. Aplicaciones de factorización de polinomios : Resolución de ecuaciones polinómicas x 3 + 2x 2 – x – 2 = 0 (x–1)(x+1)(x+2)=0 x–1=0 ó x+1=0 ó x+2=0 x = 1 ó x = -1 ó x = -2 C.S. =  1; -1; -2  Determinar los valores de x y escribir el conjunto solución. Igualar cada uno de los factores a cero Factorizar el polinomio Ecuación Ejemplo Procedimiento

18. Reconstruir el proceso: 6 1 7 2 5 3 4 Se muestran siete pasos en un proceso para factorizar una expresión. Identifique el orden secuencial del proceso de factorización Haciendo a = 5x + 4y 7 (5x+4y) 3 + (10x +8y) 2 + 15x + 12y 6 a (a 2 +4a +3) 5 (5x+4y).(5x+4y+3).(5x+4y+1) 4 a (a+3) (a+1) 3 a 3 + 4a 2 + 3a 2 (5x+4y) 3 + [ 2(5x+4y)] 2 + 3(5x+4y) 1

19. Métodos de factorización Factor común (por agrupación de términos) Factorizar trinomios : Aspa simple. PN: (x+y) 2 ; (x-y) 2 Completando cuadrados Factorizar binomios : PN: x 2 - y 2 ; x 3 – y 3 ; x 3 + y 3