Este documento describe el problema de determinar la distribución de temperaturas en una placa rectangular de ordenador utilizando el método de diferencias finitas. Primero se define la ecuación diferencial de Laplace y las condiciones de contorno. Luego, se discretiza el dominio en una malla y se aplica el método de Jacobi para resolver numéricamente la ecuación. Finalmente, se propone el método de Red-Black para acelerar la convergencia de manera paralela. El documento incluye el seudocódigo para implementar el método de Jacobi paral
El documento describe la matriz jacobiana, que consiste en las derivadas parciales de primer orden de una función. Se usa para aproximar linealmente una función multivariable en un punto y representa su derivada. El determinante jacobiano indica si una función es localmente invertible. Se proveen ejemplos de cálculo de matrices y determinantes jacobianos.
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenKike Prieto
El documento presenta los objetivos y contenidos del capítulo 2 sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. Se explica cómo encontrar soluciones generales y particulares de este tipo de ecuaciones, así como su análisis cualitativo y estabilidad dinámica. Se detalla el tratamiento de ecuaciones homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes, incluyendo métodos para hallar las raíces de la ecuación auxiliar y las soluciones complementarias y particulares. Finalmente, se proponen algunos ejercicios resuelt
Este documento trata sobre el cálculo del tiempo de descarga de tanques y recipientes. Explica las ecuaciones matemáticas que rigen este fenómeno y cómo calcular el tiempo de descarga para diferentes casos como tanques cilíndricos verticales con y sin cañería asociada. También analiza cómo afectan factores como el diámetro del tanque, la conexión de salida, y las pérdidas de carga a los tiempos de descarga. Finalmente, provee un ejemplo numérico que muestra cómo las pérdidas de carga en
Este documento presenta información sobre la conducción térmica. Explica que la conducción es la transferencia de energía entre partículas adyacentes debido a las interacciones. También define la conductividad térmica y discute cómo varía entre diferentes materiales como metales, cerámicas y vidrios. Finalmente, presenta ejemplos numéricos para calcular la tasa de transferencia de calor a través de diferentes materiales usando la ley de Fourier.
Este documento presenta los conceptos clave de la transferencia de calor a través de la conducción, convección y radiación. Explica la conductividad térmica y cómo se transfiere el calor a través de los materiales. También cubre la tasa de radiación y cómo se calcula la potencia radiada desde una superficie caliente. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los principios.
Este documento describe los métodos para calcular la transferencia de calor a través de aletas rectas, incluyendo las ecuaciones que rigen el perfil de temperatura a lo largo de la aleta y el calor disipado. Se analizan cuatro configuraciones de borde en el extremo de la aleta (disipación convectiva, extremo aislado, temperatura fija, aleta infinita) y cómo esto afecta al cálculo del calor disipado. También se discuten conceptos como la efectividad, resistencia térmica y eficiencia de las
Este documento presenta un resumen de problemas resueltos de ecuaciones diferenciales correspondientes al segundo parcial. Incluye la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares utilizando el método de Frobenius, la transformada de Laplace, la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales de segundo orden, series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales. También contiene anexos con problemas propuestos y tablas de transformadas.
Este documento presenta diferentes métodos para la derivación e integración numérica. Explica cómo calcular la primera y segunda derivada de una función utilizando aproximaciones de diferencias finitas con 2 y 3 puntos. También describe cómo aplicar la extrapolación de Richardson para mejorar la precisión de los cálculos de derivadas numéricas. Finalmente, introduce un método para calcular derivadas en puntos no equiespaciados usando interpolación polinómica.
El documento describe la matriz jacobiana, que consiste en las derivadas parciales de primer orden de una función. Se usa para aproximar linealmente una función multivariable en un punto y representa su derivada. El determinante jacobiano indica si una función es localmente invertible. Se proveen ejemplos de cálculo de matrices y determinantes jacobianos.
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenKike Prieto
El documento presenta los objetivos y contenidos del capítulo 2 sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. Se explica cómo encontrar soluciones generales y particulares de este tipo de ecuaciones, así como su análisis cualitativo y estabilidad dinámica. Se detalla el tratamiento de ecuaciones homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes, incluyendo métodos para hallar las raíces de la ecuación auxiliar y las soluciones complementarias y particulares. Finalmente, se proponen algunos ejercicios resuelt
Este documento trata sobre el cálculo del tiempo de descarga de tanques y recipientes. Explica las ecuaciones matemáticas que rigen este fenómeno y cómo calcular el tiempo de descarga para diferentes casos como tanques cilíndricos verticales con y sin cañería asociada. También analiza cómo afectan factores como el diámetro del tanque, la conexión de salida, y las pérdidas de carga a los tiempos de descarga. Finalmente, provee un ejemplo numérico que muestra cómo las pérdidas de carga en
Este documento presenta información sobre la conducción térmica. Explica que la conducción es la transferencia de energía entre partículas adyacentes debido a las interacciones. También define la conductividad térmica y discute cómo varía entre diferentes materiales como metales, cerámicas y vidrios. Finalmente, presenta ejemplos numéricos para calcular la tasa de transferencia de calor a través de diferentes materiales usando la ley de Fourier.
Este documento presenta los conceptos clave de la transferencia de calor a través de la conducción, convección y radiación. Explica la conductividad térmica y cómo se transfiere el calor a través de los materiales. También cubre la tasa de radiación y cómo se calcula la potencia radiada desde una superficie caliente. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los principios.
Este documento describe los métodos para calcular la transferencia de calor a través de aletas rectas, incluyendo las ecuaciones que rigen el perfil de temperatura a lo largo de la aleta y el calor disipado. Se analizan cuatro configuraciones de borde en el extremo de la aleta (disipación convectiva, extremo aislado, temperatura fija, aleta infinita) y cómo esto afecta al cálculo del calor disipado. También se discuten conceptos como la efectividad, resistencia térmica y eficiencia de las
Este documento presenta un resumen de problemas resueltos de ecuaciones diferenciales correspondientes al segundo parcial. Incluye la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares utilizando el método de Frobenius, la transformada de Laplace, la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales de segundo orden, series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales. También contiene anexos con problemas propuestos y tablas de transformadas.
Este documento presenta diferentes métodos para la derivación e integración numérica. Explica cómo calcular la primera y segunda derivada de una función utilizando aproximaciones de diferencias finitas con 2 y 3 puntos. También describe cómo aplicar la extrapolación de Richardson para mejorar la precisión de los cálculos de derivadas numéricas. Finalmente, introduce un método para calcular derivadas en puntos no equiespaciados usando interpolación polinómica.
Ecuación diferencial de Bernoully y Riccati Matemática IIJoe Arroyo Suárez
El documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales de Bernoulli y Riccati. Explica que las ecuaciones de Bernoulli se pueden transformar en ecuaciones lineales mediante un cambio de variable, y proporciona un ejemplo resuelto. También define la ecuación de Riccati y ofrece dos métodos para convertirla en una ecuación de Bernoulli o lineal y resolverla, ilustrando con un ejercicio. El documento contiene esta información para cuatro estudiantes de ingeniería civil en Perú.
1. Se resume un documento sobre el diagrama de fases hierro-carbono. Se determinan los porcentajes de los microconstituyentes en una aleación Fe-3.5% C y se describe la curva de solidificación de una aleación Fe-0.45% C.
2. Se analiza la estructura resultante de un acero al carbono de 0.45% C después de un normalizado y se calcula el porcentaje de ferrita en la perlita diluida.
3. Se comparan los efectos de velocidades de enfriamiento mayores a la de equilibrio
Este documento trata sobre conceptos fundamentales de la termodinámica como la energía interna, energía térmica, calor, calor latente, capacidad calorífica y la primera ley de la termodinámica. Explica que la energía interna de un sistema incluye energía nuclear, química, térmica y de deformación, y que la energía térmica cambia con la temperatura. También define unidades de calor como la caloría y Joule, y conceptos como el equivalente mecánico del calor, calor específico
1) El documento explica el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables y cómo se utilizan para determinar cómo cambia el valor de una función cuando cambia una de sus variables independientes. 2) Define formalmente las derivadas parciales de primer orden y presenta la notación comúnmente usada. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables.
El documento presenta varios problemas sobre convección de calor. El primer problema involucra el cálculo de la caída de presión y potencia de bombeo de aceite de motor que fluye a través de tubos calentados. El segundo problema determina el coeficiente de transmisión de calor para agua que circula en tubos refrigerando vapor. El tercer problema calcula el coeficiente de transmisión de calor para aire que fluye sobre una placa plana caliente.
Este documento describe las integrales impropias. Existen dos tipos de integrales impropias: 1) aquellas con límites de integración infinitos y 2) aquellas con discontinuidades infinitas dentro del intervalo de integración. Para determinar el valor de una integral impropia, se calcula el límite del integrando cuando el límite tiende a infinito o la discontinuidad. Si el límite es finito, la integral converge; de lo contrario, diverge.
000049 ejercicios resueltos de fisica transmision de calorHeitman Ardila
Este documento presenta una colección de problemas propuestos y resueltos sobre transferencia de calor por conducción, convección, radiación y mecanismos combinados. Incluye problemas propuestos de estos diferentes mecanismos de transferencia de calor, así como la solución detallada a algunos de los problemas. El documento está organizado en dos secciones principales: problemas propuestos y problemas resueltos.
La primera oración describe un problema de transferencia de calor a través de una placa de hierro con diferentes temperaturas en sus caras. La segunda oración calcula la conductividad térmica de un metal a partir de su espesor, diferencia de temperatura y flujo de calor. La tercera oración calcula la tasa de flujo de calor y la temperatura en el empalme entre dos placas de metal soldadas con diferentes propiedades térmicas.
El documento describe cómo calcular el área de superficies de revolución. Explica que una superficie de revolución se forma al girar una curva alrededor de una recta. Luego presenta fórmulas para calcular el área superficial cuando la curva se gira alrededor del eje x o y. Finalmente, resuelve dos ejemplos aplicando las fórmulas.
Este documento define la ecuación de Cauchy-Euler como una ecuación diferencial lineal donde el grado de los coeficientes monomiales coincide con el orden de derivación. Explica tres métodos para resolverla dependiendo si las raíces son reales distintas, reales iguales o complejas. Incluye ejemplos ilustrativos de cada caso.
La elipse es una curva plana definida como el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Se caracteriza por tener dos semiejes, uno mayor y uno menor, así como dos focos y una ecuación canónica de la forma x2/a2 + y2/b2 = 1.
Este documento presenta 9 problemas de geometría analítica relacionados con circunferencias. El primer problema pide hallar la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos dados. Los problemas subsiguientes piden hallar puntos de intersección, radios y ecuaciones de circunferencias dadas varias condiciones como puntos, diámetros y cuerdas. El último problema determina la longitud de una cuerda dada el centro.
Este documento presenta dos problemas sobre máquinas térmicas de Carnot. El primer problema proporciona valores para calcular la temperatura T2, la eficiencia térmica, los valores de calor Q1 y Q2. El segundo problema pide determinar la eficiencia, el calor de la zona de baja temperatura y la potencia de la máquina, dado que absorbe 1000 kJ de calor de la fuente alta de 100°C y la fuente baja es de 50°C.
El documento presenta ejercicios resueltos de cálculo en varias variables. En la primera sección, se analiza una función de dos variables y se determinan su dominio y curvas de nivel. En la segunda sección, se estudia la continuidad de otra función de dos variables en el origen. En la tercera sección, se calculan las derivadas parciales de una función.
1) Se agrega más aire a un tanque que contiene 20 lbm de aire, elevando la presión y temperatura. Se calcula la cantidad de aire añadida.
2) Se comprime agua de forma isotérmica y se calcula el cambio de densidad usando su coeficiente de compresibilidad.
3) Se determina el ascenso capilar de queroseno en un tubo de vidrio y sus propiedades superficiales.
Este documento explica las ecuaciones diferenciales exactas. Para que una ecuación diferencial sea exacta, las derivadas parciales de sus funciones con respecto a cada variable deben ser iguales. Esto permite usar una fórmula básica para resolverla mediante integración. El documento también presenta un ejemplo paso a paso de cómo determinar si una ecuación es exacta y resolverla usando la fórmula general.
Este documento define una función vectorial y explica cómo calcular su dominio. Primero introduce las funciones vectoriales y da un ejemplo. Luego define formalmente el dominio de una función vectorial como el conjunto común de los dominios de sus componentes. Finalmente, resuelve tres ejemplos para ilustrar cómo calcular el dominio de diferentes funciones vectoriales.
El documento presenta los conceptos básicos de las integrales dobles. Introduce la definición de integral doble y los teoremas de integrabilidad y Fubini que permiten evaluar integrales dobles como integrales iteradas. Explica cómo calcular integrales dobles sobre regiones generales y presenta ejemplos resueltos de cálculo de integrales dobles. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular integrales dobles y a evaluarlas mediante el cambio de orden de integración.
1) La distribución de las temperaturas en la Tierra depende principalmente de la latitud y de la configuración de las tierras y océanos.
2) La zona intertropical recibe mayor insolación directa del sol y, por lo tanto, tiene temperaturas más altas.
3) A medida que aumenta la latitud, la insolación es más oblicua, lo que genera amplitudes térmicas mayores y estaciones definidas.
El documento describe un problema de distribución de calor en una placa rectangular. Se dan las temperaturas en los bordes y se quiere aproximar las temperaturas en puntos internos (T1-T9) asumiendo que cada temperatura interior es el promedio de las 4 temperaturas adyacentes. Esto genera un sistema de ecuaciones que se resuelve numéricamente obteniendo las aproximaciones 67.86, 71.43, 67.86, 50, 50, 50, 32.14, 28.57, 32.14 para T1-T9 respectivamente.
Ecuación diferencial de Bernoully y Riccati Matemática IIJoe Arroyo Suárez
El documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales de Bernoulli y Riccati. Explica que las ecuaciones de Bernoulli se pueden transformar en ecuaciones lineales mediante un cambio de variable, y proporciona un ejemplo resuelto. También define la ecuación de Riccati y ofrece dos métodos para convertirla en una ecuación de Bernoulli o lineal y resolverla, ilustrando con un ejercicio. El documento contiene esta información para cuatro estudiantes de ingeniería civil en Perú.
1. Se resume un documento sobre el diagrama de fases hierro-carbono. Se determinan los porcentajes de los microconstituyentes en una aleación Fe-3.5% C y se describe la curva de solidificación de una aleación Fe-0.45% C.
2. Se analiza la estructura resultante de un acero al carbono de 0.45% C después de un normalizado y se calcula el porcentaje de ferrita en la perlita diluida.
3. Se comparan los efectos de velocidades de enfriamiento mayores a la de equilibrio
Este documento trata sobre conceptos fundamentales de la termodinámica como la energía interna, energía térmica, calor, calor latente, capacidad calorífica y la primera ley de la termodinámica. Explica que la energía interna de un sistema incluye energía nuclear, química, térmica y de deformación, y que la energía térmica cambia con la temperatura. También define unidades de calor como la caloría y Joule, y conceptos como el equivalente mecánico del calor, calor específico
1) El documento explica el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables y cómo se utilizan para determinar cómo cambia el valor de una función cuando cambia una de sus variables independientes. 2) Define formalmente las derivadas parciales de primer orden y presenta la notación comúnmente usada. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables.
El documento presenta varios problemas sobre convección de calor. El primer problema involucra el cálculo de la caída de presión y potencia de bombeo de aceite de motor que fluye a través de tubos calentados. El segundo problema determina el coeficiente de transmisión de calor para agua que circula en tubos refrigerando vapor. El tercer problema calcula el coeficiente de transmisión de calor para aire que fluye sobre una placa plana caliente.
Este documento describe las integrales impropias. Existen dos tipos de integrales impropias: 1) aquellas con límites de integración infinitos y 2) aquellas con discontinuidades infinitas dentro del intervalo de integración. Para determinar el valor de una integral impropia, se calcula el límite del integrando cuando el límite tiende a infinito o la discontinuidad. Si el límite es finito, la integral converge; de lo contrario, diverge.
000049 ejercicios resueltos de fisica transmision de calorHeitman Ardila
Este documento presenta una colección de problemas propuestos y resueltos sobre transferencia de calor por conducción, convección, radiación y mecanismos combinados. Incluye problemas propuestos de estos diferentes mecanismos de transferencia de calor, así como la solución detallada a algunos de los problemas. El documento está organizado en dos secciones principales: problemas propuestos y problemas resueltos.
La primera oración describe un problema de transferencia de calor a través de una placa de hierro con diferentes temperaturas en sus caras. La segunda oración calcula la conductividad térmica de un metal a partir de su espesor, diferencia de temperatura y flujo de calor. La tercera oración calcula la tasa de flujo de calor y la temperatura en el empalme entre dos placas de metal soldadas con diferentes propiedades térmicas.
El documento describe cómo calcular el área de superficies de revolución. Explica que una superficie de revolución se forma al girar una curva alrededor de una recta. Luego presenta fórmulas para calcular el área superficial cuando la curva se gira alrededor del eje x o y. Finalmente, resuelve dos ejemplos aplicando las fórmulas.
Este documento define la ecuación de Cauchy-Euler como una ecuación diferencial lineal donde el grado de los coeficientes monomiales coincide con el orden de derivación. Explica tres métodos para resolverla dependiendo si las raíces son reales distintas, reales iguales o complejas. Incluye ejemplos ilustrativos de cada caso.
La elipse es una curva plana definida como el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Se caracteriza por tener dos semiejes, uno mayor y uno menor, así como dos focos y una ecuación canónica de la forma x2/a2 + y2/b2 = 1.
Este documento presenta 9 problemas de geometría analítica relacionados con circunferencias. El primer problema pide hallar la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos dados. Los problemas subsiguientes piden hallar puntos de intersección, radios y ecuaciones de circunferencias dadas varias condiciones como puntos, diámetros y cuerdas. El último problema determina la longitud de una cuerda dada el centro.
Este documento presenta dos problemas sobre máquinas térmicas de Carnot. El primer problema proporciona valores para calcular la temperatura T2, la eficiencia térmica, los valores de calor Q1 y Q2. El segundo problema pide determinar la eficiencia, el calor de la zona de baja temperatura y la potencia de la máquina, dado que absorbe 1000 kJ de calor de la fuente alta de 100°C y la fuente baja es de 50°C.
El documento presenta ejercicios resueltos de cálculo en varias variables. En la primera sección, se analiza una función de dos variables y se determinan su dominio y curvas de nivel. En la segunda sección, se estudia la continuidad de otra función de dos variables en el origen. En la tercera sección, se calculan las derivadas parciales de una función.
1) Se agrega más aire a un tanque que contiene 20 lbm de aire, elevando la presión y temperatura. Se calcula la cantidad de aire añadida.
2) Se comprime agua de forma isotérmica y se calcula el cambio de densidad usando su coeficiente de compresibilidad.
3) Se determina el ascenso capilar de queroseno en un tubo de vidrio y sus propiedades superficiales.
Este documento explica las ecuaciones diferenciales exactas. Para que una ecuación diferencial sea exacta, las derivadas parciales de sus funciones con respecto a cada variable deben ser iguales. Esto permite usar una fórmula básica para resolverla mediante integración. El documento también presenta un ejemplo paso a paso de cómo determinar si una ecuación es exacta y resolverla usando la fórmula general.
Este documento define una función vectorial y explica cómo calcular su dominio. Primero introduce las funciones vectoriales y da un ejemplo. Luego define formalmente el dominio de una función vectorial como el conjunto común de los dominios de sus componentes. Finalmente, resuelve tres ejemplos para ilustrar cómo calcular el dominio de diferentes funciones vectoriales.
El documento presenta los conceptos básicos de las integrales dobles. Introduce la definición de integral doble y los teoremas de integrabilidad y Fubini que permiten evaluar integrales dobles como integrales iteradas. Explica cómo calcular integrales dobles sobre regiones generales y presenta ejemplos resueltos de cálculo de integrales dobles. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular integrales dobles y a evaluarlas mediante el cambio de orden de integración.
1) La distribución de las temperaturas en la Tierra depende principalmente de la latitud y de la configuración de las tierras y océanos.
2) La zona intertropical recibe mayor insolación directa del sol y, por lo tanto, tiene temperaturas más altas.
3) A medida que aumenta la latitud, la insolación es más oblicua, lo que genera amplitudes térmicas mayores y estaciones definidas.
El documento describe un problema de distribución de calor en una placa rectangular. Se dan las temperaturas en los bordes y se quiere aproximar las temperaturas en puntos internos (T1-T9) asumiendo que cada temperatura interior es el promedio de las 4 temperaturas adyacentes. Esto genera un sistema de ecuaciones que se resuelve numéricamente obteniendo las aproximaciones 67.86, 71.43, 67.86, 50, 50, 50, 32.14, 28.57, 32.14 para T1-T9 respectivamente.
Deducción de h a partir de numeros adimensionalesKaren M. Guillén
La convección de calor puede ser natural o forzada. El documento describe cómo se clasifica la convección y los números adimensionales como Nusselt, Reynolds y Prandtl que se usan para deducir el coeficiente de transferencia de calor h. También proporciona ejemplos típicos de valores de h para diferentes tipos de convección.
Calculo de h por Nusselt, Prandtl y Reynoldskevinomm
El documento discute la transferencia de energía por convección, un fenómeno complejo que involucra múltiples efectos. Explica que el análisis debe ser experimental y que las correlaciones entre números adimensionales pueden describir el fenómeno de manera empírica. Se mencionan ecuaciones que relacionan el número de Nusselt, Reynolds, Prandtl y la relación largo-diámetro, las cuales han sido obtenidas a través de observaciones experimentales.
El documento habla sobre el viento, la temperatura, la humedad y la lluvia. Explica que el viento se produce por diferencias de temperatura entre regiones y cómo se mide su velocidad y dirección. Describe también que la temperatura se mide con termómetros y las diferentes escalas para medirla. Además, define la humedad como el agua presente en un cuerpo o la atmósfera, y la lluvia como la precipitación de partículas líquidas de agua mayor a 0.5 mm.
Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones linealespoyofrito
El documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método consiste en transformar el sistema original en otro equivalente y triangular superior mediante operaciones que conservan la equivalencia. Luego enumera dichas operaciones permitidas.
Ejercicios resueltos y propuestos de combinacion linealMiguel Vasquez
Este documento presenta ejemplos resueltos y propuestos sobre determinar si un vector dado es combinación lineal de un conjunto de vectores dado. En los ejemplos resueltos, se escriben los vectores como una combinación lineal y se resuelve un sistema de ecuaciones lineales para determinar si existe solución. En los ejemplos propuestos, se pide determinar si existe o no combinación lineal sin resolverlos.
Este documento presenta los temas de un curso de física preuniversitario. Incluye información sobre sistemas de coordenadas en el plano, vectores en el plano, fuerzas y vectores en el espacio. También detalla la evaluación del curso y los temas a cubrir, incluidos ejemplos y ejercicios de sistemas de coordenadas y vectores.
Este documento presenta ejercicios resueltos de física sobre temas como conversiones de unidades, operaciones con números en notación científica, cambios de unidades, vectores, materia y energía, y calor, con el objetivo de que los estudiantes revisen los conceptos aprendidos. Incluye la solución detallada de varios problemas y preguntas sobre estos temas.
Microsoft word 7.sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas par...iverd
El documento trata sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Explica que estas ecuaciones relacionan una función y sus derivadas parciales respecto a varias variables. Luego, describe métodos numéricos como las diferencias finitas para aproximar las soluciones de estas ecuaciones, incluyendo ejemplos de cómo aproximar derivadas primeras y segundas. Finalmente, presenta un ejemplo de aplicación que modela la distribución de temperatura a través de un muro.
El documento presenta un resumen sobre la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales mediante el método de diferencias finitas. Se describe la ecuación de Poisson y cómo este método permite aproximar las derivadas mediante diferencias centrales, generando un sistema de ecuaciones que puede resolverse numéricamente. También se mencionan conceptos como condiciones de frontera de Dirichlet y el error de truncamiento del método.
Este documento presenta un examen final de cálculo III que consta de 6 preguntas sobre temas como continuidad de funciones, conjuntos de nivel, derivadas parciales, optimización con restricciones y cálculo de volúmenes mediante integrales triples. Incluye instrucciones para los estudiantes sobre el desarrollo del examen y una advertencia de que no está permitido el uso de calculadoras u otros elementos no autorizados.
Guia de estudio 5 (tema 5 ecuaciones diferenciales ordinarias)pedroperez683734
Este documento presenta tres métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias: el método de Euler, el método de Euler modificado y el método de Runge-Kutta. El método de Euler aproxima la solución usando la pendiente de la tangente en el punto inicial, mientras que el método de Euler modificado mejora esta aproximación tomando un promedio de pendientes. El método de Runge-Kutta es más preciso aún, calculando múltiples estimaciones de la pendiente y promediándolas para cada paso. Se proveen ejemplos numéricos para il
Ecuaciones diferenciales parciales Parte 2Kike Prieto
Este documento presenta un método para resolver ecuaciones diferenciales parciales elípticas mediante diferencias finitas. Se describe un ejemplo de ecuación de difusión en dos dimensiones y se discretiza el dominio para aplicar el método. Se obtiene un sistema de ecuaciones lineales cuya solución proporciona las temperaturas en cada punto de la malla.
Los métodos numéricos sirven para obtener una solución aproximada de un problema matemático mediante la implementación de un algoritmo.
Por tanto, la solución que obtenemos posee un margen de error que es conveniente controlar.
En este tema se estudian varios métodos de derivación e integración empleando métodos numéricos y, además, se estudia como controlar el error de cálculo (de redondeo y truncamiento) que éstos generan.
Estos apuntes fueron utilizados en la asignatura de Matemática Numeríca impartida por el Dr. José Valero Cuadra dentro del Máster Universitario de Investigación en Tecnologías Industriales y de Telecomunicación.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones simultáneas que incluyen ecuaciones de segundo grado. Describe los pasos para resolver ecuaciones donde una es de primer grado y otra de segundo grado, o ambas son de segundo grado. También explica cómo graficar las soluciones en un círculo u otra curva.
Este documento describe las cónicas, comenzando con las circunferencias y parábolas. Explica cómo encontrar la ecuación canónica de una circunferencia o parábola a partir de sus elementos geométricos como el centro, radio, foco, directriz y vértice. También proporciona ejemplos para graficar cónicas a partir de sus ecuaciones y resolver problemas relacionados con circunferencias y parábolas.
Este documento describe nueve métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica que los métodos numéricos son importantes para obtener soluciones aproximadas cuando las soluciones analíticas son complicadas o imposibles de obtener. Luego presenta el método de la serie de Taylor como ejemplo, resolviendo numéricamente una ecuación diferencial de primer orden usando los primeros tres términos de la serie de Taylor y comparando los resultados con la solución analítica. Finalmente, muestra cómo implementar este método en MATLAB para obtener una serie de
Este documento presenta las instrucciones para un examen final de cálculo III que consta de 6 preguntas. Se prohíbe el préstamo de materiales, hacer preguntas sobre las respuestas y el uso de calculadoras durante el examen. El examen vale un total de puntos y contiene preguntas.
Este documento resume los temas de diferenciación numérica, integración numérica y solución numérica de ecuaciones diferenciales en MATLAB. Explica cómo usar funciones como diff y quad para aproximar derivadas y calcular integrales numéricamente. También presenta ejemplos resueltos de cómo aproximar derivadas y calcular integrales usando reglas numéricas como la del trapecio. Por último, introduce funciones de MATLAB para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias numéricamente.
Este documento presenta un material didáctico sobre cálculo en varias variables destinado a estudiantes de ingeniería. Incluye problemas resueltos sobre continuidad, derivabilidad y derivadas parciales de funciones de varias variables, así como problemas que involucran integrales iteradas y el uso de coordenadas polares y cilíndricas. El objetivo es mostrar diversas técnicas para resolver problemas típicos del curso y mejorar el rendimiento de los estudiantes en estas asignaturas.
Este documento presenta un material didáctico sobre cálculo en varias variables destinado a estudiantes de ingeniería. Incluye problemas resueltos sobre continuidad, derivabilidad y derivadas parciales de funciones de varias variables, así como problemas que involucran integrales iteradas y el uso de coordenadas polares y cilíndricas. El objetivo es mostrar diversas técnicas para resolver problemas típicos del curso y mejorar el rendimiento de los estudiantes en estas asignaturas.
El documento trata sobre métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Introduce el método de Euler como el más simple, luego mejora este método con el método predictor-corrector de Euler-Gauss. Finalmente, presenta el método de Runge-Kutta de cuarto orden como el más preciso de la familia de métodos de Runge-Kutta.
Este documento describe métodos numéricos para la derivación e integración numérica. Explica cómo se pueden aproximar derivadas mediante diferencias finitas y cómo esto introduce errores de redondeo y truncamiento. También presenta el método de extrapolación de Richardson para obtener esquemas de mayor orden y precisión.
Este documento describe el método de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Explica cómo aproximar derivadas con diferencias finitas y obtener una ecuación de diferencias que puede resolverse algebraicamente. Además, presenta un ejemplo de aplicar el método a una ecuación de difusión unidimensional, resolviéndola de forma explícita paso a paso y analizando la estabilidad numérica del método.
El documento presenta la noción intuitiva de límite de una función. Explica que el límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor a es el valor al que se acerca f(x) cuando x está cada vez más cerca de a. Resuelve ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar esto. También describe los procedimientos para resolver las indeterminaciones 0/0 e ∞/∞ que pueden surgir al calcular límites.
2.4 ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas (mayo 0Raul Noguera Morillo
Este documento presenta ejemplos para ilustrar conceptos relacionados con ecuaciones y funciones cuadráticas. Introduce las ecuaciones cuadráticas y cómo resolverlas mediante factoreo o la fórmula cuadrática. Luego, define funciones cuadráticas y muestra su representación gráfica como parábolas, analizando propiedades como dominio, rango, ceros y extremos. Finalmente, analiza un ejemplo de una función cuadrática que modela la concentración de dióxido de carbono a lo largo del día.
Este documento presenta las soluciones a varios problemas de matemáticas. En la primera pregunta, se demuestra que si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto. La segunda pregunta encuentra los puntos críticos de una función escalar dada. La tercera pregunta reescribe las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares.
Este documento describe diferentes métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden, como el método de Euler y mejoras como el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Explica cómo estos métodos aproximan soluciones dividiendo intervalos y calculando sucesivos valores de y. El método de Euler es el más simple pero introduce error con cada paso, mientras que métodos de orden superior como Runge-Kutta son más precisos.
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Because of copyright transfer to Elsevier only the first page is provided. Available at: https://doi.org/10.1016/j.cej.2022.140678
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Este documento resume cuatro casos de aplicación de la tomografía de rayos X en diferentes industrias. Brevemente describe cómo la tomografía se ha utilizado para estudiar el comportamiento de materiales compuestos en la industria aeronáutica, la influencia del proceso de fabricación en aleaciones metálicas para la industria automotriz, y el desarrollo de materiales estructurales para aplicaciones biomédicas.
How to make a manual binary segmentation for an XCT reconstructed volume with...Javier García Molleja
Guide for segmentation of volumes after X-Ray Computed Tomography reconstruction. This is one of multiple ways to make a segmentation for a volume at IMDEA Materials Institute (Getafe, Spain, 2019). ImageJ software is used.
Este documento describe las fuerzas a distancia como la gravedad y el electromagnetismo. Explica que la gravedad sigue la ley de la gravitación universal de Newton y depende de las masas y la distancia entre los objetos. Las trayectorias de los objetos bajo fuerzas centrales son elípticas, como se evidencia en el sistema solar. Las leyes de Kepler describen los movimientos planetarios en torno al sol.
Theory imparted to Leveling course at Yachay Tech University (Urcuquí, Ecuador) during semester October 2014 - March 2015. Thanks to Dr. Leonardo Reyes.
How to manually equalize the histograms of two (or more) subvolumes, measured...Javier García Molleja
This document provides instructions for manually equalizing the histograms of two X-ray computed tomography (XCT) subvolumes measured under similar conditions using ImageJ software. The key steps are:
1. Open both subvolumes in ImageJ and identify overlapping slices between them.
2. Duplicate the overlapping slices and obtain histograms to adjust brightness/contrast values iteratively until the histograms are equalized.
3. Convert both subvolumes to 8-bit, apply the brightness/contrast values to equalize the histograms, and concatenate the subvolumes into a single volume.
Theory imparted to Leveling course at Yachay Tech University (Urcuquí, Ecuador) during semester October 2014 - March 2015. Thanks to Dr. Leonardo Reyes for the figures and the sketch of the document.
Theory imparted to Leveling course at Yachay Tech University (Urcuquí, Ecuador) during semester October 2014 - March 2015. Thanks to Dr. Graciela Salum for the figures and the sketch of the document.
Este documento presenta una introducción a la cinemática. Explica que la cinemática describe el movimiento sin determinar sus causas, y que puede describir fenómenos físicos de una manera sencilla. Describe los diferentes tipos de movimiento (rectilíneo uniforme, uniformemente acelerado y acelerado) y cómo representarlos gráficamente. También explica cómo calcular la velocidad, aceleración y posición para cada tipo de movimiento.
How to concatenate two (or more) subvolumes, measured with XCT, using ImageJJavier García Molleja
Guide for volume concatenation after X-Ray Computed Tomography reconstruction. This is one of multiple ways to make a concatenation for a volume at IMDEA Materials Institute (Getafe, Spain, 2018). ImageJ software is used.
Guide for volume masking after X-Ray Computed Tomography reconstruction. This is one of multiple ways to make a mask for a volume at IMDEA Materials Institute (Getafe, Spain, 2018). ImageJ software is used.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
2. 1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA Javier García Molleja
1. Denición del problema
En el problema vamos a considerar la distribución de temperaturas de una placa de un
ordenador en el que se encuentra situado el procesador[1]. Para trabajar adecuadamente
necesitamos conocer las dimensiones de la placa y del procesador, además de la posición
de este último. La placa es rectangular de dimensiones 2 cm de largo y 1 cm de ancho y el
procesador es cuadrado de 0,25 cm de lado. Éste se localiza a 0,25 cm hacia la izquierda
y arriba de la esquina inferior derecha.
Sabemos que los lados de la placa están a 25o C, excepto el lado superior que está a
10o C por estar al lado del ventilador del ordenador. También tenemos que el procesador
siempre está a 50o C, así que con todo esto vamos a plantear la ecuación diferencial y
las respectivas condiciones de contorno. Como estamos considerando un problema físico
bastante estudiado el correcto planteamiento matemático estará bien condicionado por lo
que un tratamiento numérico es posible.
1.1. Obtención de la ecuación diferencial
Nuestra práctica tiene como objetivo determinar la distribución de temperaturas en
una placa rectangular de ordenador, por lo que debemos estudiar la ecuación de Poisson
en dos dimensiones
∂ 2u ∂ 2u
∇2 u = ∆u = + = f (x, y)
∂x2 ∂y 2
La función f (x, y) representa las posibles fuentes o sumideros existentes en el dominio,
pero como carecemos de éstos (al considerar que el procesador no forma parte del contorno)
su valor es
f (x, y) = 0,
por consiguiente la ecuación diferencial es la de Laplace :
∂ 2u ∂ 2u
∇2 u = ∆u = + = 0.
∂x2 ∂y 2
La solución de esta ecuación, u, se denominará armónica.
1.2. Imposición de condiciones de contorno
Una vez determinada la ecuación diferencial debemos indiciar los valores que existen
en el contorno del dominio. Esto se traduce en un problema de Dirichlet.
Las condiciones de contorno son entonces:
1. El extremo superior del dominio está a 10o C
2 5.o Física
3. Javier García Molleja 2 MÉTODO DE RESOLUCIÓN
2. El resto de extremos del dominio están a 25o C
3. El procesador está a 50o C
Tras denir esto podemos ya considerar el problema en su conjunto, el cual estará
bien planteado (con solución que existe, es única y varía contínuamente con los datos del
problema) y además poseerá solución analítica (aunque en forma de serie innita):
∂ 2u ∂ 2u
+ = 0 en Ω
∂x2 ∂y 2
10, para los puntos (x, 1)
u(x, y) = g(x, y) = 25, para los puntos (x, 0), (0, y), (1, y) sobre ∂Ω
50, para los puntos 0,25 ≤ x ≤ 0,50 , 1,50 ≤ y ≤ 1,75
2. Método de resolución
Tras plantear la ecuación diferencial con las respectivas condiciones de contorno de-
beríamos resolver el problema numéricamente. Para ello es necesario realizar un mallado
de la placa, que por ser la placa rectangular escogeremos el tamaño de paso igual en ambas
dimensiones, por lo que el número de puntos en cada dimensión deberán ser dependientes.
hx =hy
2 1
=
Nx + 1 Ny + 1
2Ny + 2 =Nx + 1
Nx =2Ny + 1
Así, un punto cualquiera de la placa se determinará con la dupla (xi , yj ), tal que
xi =ih
yj =jh
donde
i =0, 1, 2, . . . , Nx + 1
j =0, 1, 2, . . . , Ny + 1
Lx Ly
hx = =hy = .
Nx + 1 Ny + 1
Indicamos que Lx es la longitud de la placa en la dirección del eje x (horizontal), que Ly es
la longitud de la placa en la dirección del eje y (vertical) y que Nx es el número de puntos
del mallado en la dimensión horizontal y Ny es lo mismo para la dimensión vertical.
Los puntos que contengan 0 ó N + 1 se denominarán nodos frontera y el resto se
llamarán nodos interiores.
3 5.o Física
4. 2 MÉTODO DE RESOLUCIÓN Javier García Molleja
2.1. Aplicación de diferencias nitas
Para llegar a esto es necesario aproximar la derivada segunda de f (x) mediante la
aplicación de un desarrollo en serie de Taylor en los puntos x ± h :
f (x + h) − 2f (x) + f (x − h)
f ′′ (x) ≈ .
h2
De esta manera las derivadas parciales de la ecuación de Laplace toman el siguiente
aspecto al aplicarles diferencias nitas:
∂ 2u u(x + h, y) + u(x − h, y) − 2u(x, y)
2
(x, y) ≈
∂x h2
2
∂ u u(x, y + h) + u(x, y − h) − 2u(x, y)
2
(x, y) ≈
∂y h2
Llegado a este punto sustituímos estos resultados en la ecuación diferencial para pos-
teriormente despejar el punto u(x, y) :
u(x + h, y) + u(x − h, y) + u(x, y + h) + u(x, y − h) − 4u(x, y)
0≈
h2
1
u(x, y) ≈ [u(x + h, y) + u(x − h, y) + u(x, y + h) + u(x, y − h)]
4
Ahora bien, al calcular numéricamente estos valores obtendremos un error, el cual se irá
propagando en cada cálculo. De este modo no estamos calculando realmente u(xi , yj ) sino
su aproximación Ui,j , entonces la última ecuación será:
1
Ui,j = [Ui+1,j + Ui−1,j + Ui,j+1 + Ui,j−1 ] ,
4
que es conocida como la fórmula de los cinco puntos.
A continuación debemos numerar los nodos (sin contar las esquinas pues no apare-
cerán en las operaciones) siguiendo el orden lexicográco, es decir, comenzamos por (1, 0),
siguiendo por (2, 0), (3, 0), . . . , (Nx + 1, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1) . . . El sistema de ecuaciones
resultante dará origen a una matriz simétrica, denida-positiva, de diagonal dominante y
banda.
Tras haber discretizado el dominio es necesario considerar que los vértices del proce-
sador deben coincidir con los nodos del mallado, ya que si esto no es así las dimensiones
de éste quedarán sobrestimadas o subestimadas (dependiendo del caso) y los resultados
que obtengamos serán poco realistas. Para una correcta elección del número de puntos de
cada dimensión debemos analizar los vértices del procesador en notación fraccionaria y
conseguir que todos posean el mismo denominador. Podemos ver fácilmente que es 4, por
lo que debe cumplirse que el número de puntos de cada dimensión sean múltiplos de este
valor.
4 5.o Física
5. Javier García Molleja 2 MÉTODO DE RESOLUCIÓN
2.2. Método de Jacobi
Si consideramos que Ui,j es la temperatura del punto interior del mallado (xi , yj ) en la
k
k-ésima iteración podemos conocer el valor en la siguiente iteración mediante la aplicación
de la fórmula de los cinco puntos
k+1 1[ k k k k
]
Ui,j = Ui+1,j + Ui−1,j + Ui,j+1 + Ui,j−1 ,
4
que es el llamado método de Jacobi en el que no hace falta construir la matriz del sistema.
En este método el valor en cada punto es la media de los valores adyacentes, así que son
necesarias tantas iteraciones como puntos hemos escogido para el mallado para obtener
una aproximación aceptable. Además, para hacer decrecer el error por un factor de 2,
hace falta realizar ( )2
N +1
k≈
π
iteraciones, con el inconveniente de cuanto más grande sea N, (considerando para éste
todos los puntos del dominio) más lenta sea la convergencia.
Si analizamos detenidamente el método podemos ver que se puede paralelizar, asig-
nando convenientemente los nodos a los procesadores disponibles para sus actualización.
Sin embargo, se requiere la comunicación entre procesadores de los valores frontera.
2.3. Método de RedBlack
Si partimos del método de GaussSeidel secuencial
k+1 1[ k k+1 k k+1
]
Ui,j = Ui+1,j + Ui−1,j + Ui,j+1 + Ui,j−1
4
podemos ver indicios de paralelización si nos damos cuenta que los nodos cuyos índices
suman par dependen sólo de nodos cuyos índices suman impar y viceversa, por lo que
llegamos al método RedBlack en el que actualizamos simultáneamente todos los nodos
negros (suma par) y después todos los rojos (suma impar)
NODOS NEGROS: i + j = par
k+1 1[ k k k k
]
Ui,j = Ui+1,j + Ui−1,j + Ui,j+1 + Ui,j−1
4
NODOS ROJOS: i + j = impar
k+1 1 [ k+1 k+1 k+1 k+1
]
Ui,j = Ui+1,j + Ui−1,j + Ui,j+1 + Ui,j−1
4
Aunque este método es dos veces más rápido que el de Jacobi, no acelera la conver-
gencia, por lo que debemos introducir un factor de amplicación que mejore la corrección
5 5.o Física
6. 3 SEUDOCÓDIGO Javier García Molleja
de nuestro método para acercarnos al punto que calculamos. Esto da lugar al método
SOR que también se puede paralelizar. Para nuestro caso lo implementamos en el de
RedBlack:
NODOS NEGROS: i + j = par
w[ k ]
k+1 k
Ui,j =Ui,j + Ui+1,j + Ui−1,j + Ui,j+1 + Ui,j−1 − 4Ui,j
k k k k
4
NODOS ROJOS: i + j = impar
w [ k+1 ]
k+1 k
Ui,j =Ui,j + Ui+1,j + Ui−1,j + Ui,j+1 + Ui,j−1 − 4Ui,j
k+1 k+1 k+1 k
4
Para que este método sea óptimo debemos buscar el valor w que minimice el factor de
decrecimiento de error y analíticamente se muestra que es
2
wopt = ( ) ∈ (1, 2).
1 + sen Nπ+1
Así pues, para hacer decrecer el error por un factor de 2, hace falta realizar k iteraciones
de tal manera que ( )
N +1
k≈
2π
que es, aproximadamente, la raíz cuadrada del número de pasos que Jacobi requería.
3. Seudocódigo
A continuación vamos a describir el seudocódigo del método de Jacobi. Resaltemos
que no indicaremos las partes referentes al reloj y a la grabación de datos, quedándonos
así con el método in situ.
PROGRAMA Jacobi_Paralelo
SIN CRITERIO IMPLÍCITO
REAL*8,ASIGNABLE::U(:,:), Uant(:,:),Error(:,:)
LÓGICO,ASIGNABLE::M(:,:)
REAL*8::tolerancia, h
ENTERO::Nx, k, control, procXini, procXfin, procYini, procYfin
ENTERO::Nx1, Ny1, Nxmenuno, Nymenuno
REAL*8,PARÁMETRO::uncu=1.0/4.0
ENTERO,PARÁMETRO::Ny=51
!HPF$ DISTRIBUIR(BLOQUE,BLOQUE)::U
!HPF$ ALINEAR CON U::Uant
!HPF$ ALINEAR CON U::Error
6 5.o Física
7. Javier García Molleja 3 SEUDOCÓDIGO
!HPF$ ALINEAR CON U::M
Nx = 2*Ny + 1
Nx1 = Nx + 1
Ny1 = Ny + 1
Nxmenuno = Nx - 1
Nymenuno = Ny - 1
h = 1.0/(Ny + 1)
ASIGNAR(U(0:Nx+1,0:Ny+1))
ASIGNAR(Uant(0:Nx+1,0:Ny+1))
ASIGNAR(M(0:Nx+1,0:Ny+1))
ASIGNAR(Error(0:Nx+1,0:Ny+1))
IMPRIMIR*,Introduzca la tolerancia deseada
LEER*,tolerancia
IMPRIMIR*,Indique el maximo de iteraciones para controlar el bucle
LEER*,control
procXini = 1.5/h
procXfin = 1.75/h
procYini = 0.25/h
procYfin = 0.5/h
U(:,0) = 25.0
U(:,Ny+1) = 10.0
U(0,:) = 25.0
U(Nx+1,:) = 25.0
U(1:Nx,1:Ny) = 50.0
Uant = 0.0
Error = 0.0
M = .VERDAD.
M(procXini:procXfin, procYini:procYfin) = .FALSO.
HACER k=1,control
Uant = U
DONDE (M(1:Nx,1:Ny))
U(1:Nx,1:Ny) = uncu*(U(2:Nx1,1:Ny) + U(0:Nxmenuno,1:Ny)
+ U(1:Nx,2:Ny1) + U(1:Nx,0:Nymenuno))
FIN DONDE
Error = ABS((U - Uant)/U)
7 5.o Física
8. 3 SEUDOCÓDIGO Javier García Molleja
SI(MAXVAL(Error)tolerancia)SALIR
FIN HACER
IMPRIMIR*,El bucle acabo en la iteracion,k
IMPRIMIR*,El error cometido por los calculos es,MAXVAL(Error)
FIN PROGRAMA Jacobi_Paralelo
Ahora escribiremos el seudocódigo básico para el método RedBlack con sobrerrela-
jación.
PROGRAMA Red_Black_SOR
SIN CRITERIO IMPLÍCITO
ENTERO::Nx, i, j, k, control, procXini, procXfin, procYini, procYfin
ENTERO::Nx1, Ny1, Nxmenuno, Nymenuno
ENTERO, PARÁMETRO::Ny=51
REAL,PARÁMETRO::w=1.9
REAL*8,ASIGNABLE::U(:,:), Uant(:,:), Error(:,:)
LÓGICO,ASIGNABLE::P(:,:), M(:,:)
REAL*8::tol,uncu, h
!HPF$ DISTRIBUIR(BLOQUE,BLOQUE)::U
!HPF$ ALINEAR CON U::Uant
!HPF$ ALINEAR CON U::Error
!HPF$ ALINEAR CON U::P
!HPF$ ALINEAR CON U::M
IMPRIMIR*,El parametro de relajacion optimo es,w
IMPRIMIR*,Introduzca la tolerancia
LEER*,tol
IMPRIMIR*,Indique el maximo de iteraciones
LEER*,control
uncu = 1.0/4.0
Nx = 2*Ny + 1
Nx1 = Nx + 1
Ny1 = Ny + 1
Nxmenuno = Nx - 1
Nymenuno = Ny - 1
h = 1.0/(Ny + 1)
ASIGNAR(U(0:Nx+1,0:Ny+1))
ASIGNAR(Uant(0:Nx+1,0:Ny+1))
8 5.o Física
9. Javier García Molleja 3 SEUDOCÓDIGO
ASIGNAR(P(0:Nx+1,0:Ny+1))
ASIGNAR(M(0:Nx+1,0:Ny+1))
ASIGNAR(Error(0:Nx+1,0:Ny+1))
procXini = 1.5/h
procXfin = 1.75/h
procYini = 0.25/h
procYfin = 0.5/h
U(:,0) = 25.0
U(:,Ny+1)= 10.0
U(0,:) = 25.0
U(Nx+1,:) = 25.0
U(1:Nx,1:Ny) = 50.0
Uant = 0.0
Error = 0.0
M = .VERDAD.
M(procXini:procXfin, procYini:procYfin) = .FALSO.
PARA TODOS(i=0:Nx+1,j=0:Ny+1)
P(i,j) = (MOD(i+j,2)==0)
FIN PARA TODOS
HACER k=1,control
Uant = U
DONDE(M(1:Nx,1:Ny))
DONDE (P(1:Nx,1:Ny))
U(1:Nx,1:Ny) = U(1:Nx,1:Ny) + w*uncu*(U(0:Nxmenuno,1:Ny)
+ U(2:Nx1,1:Ny) + U(1:Nx,0:Nymenuno) + U(1:Nx,2:Ny1)
- 4.0*U(1:Nx,1:Ny))
SI NO DONDE
U(1:Nx,1:Ny) = U(1:Nx,1:Ny) + w*uncu*(U(0:Nxmenuno,1:Ny)
+ U(2:Nx1,1:Ny) + U(1:Nx,0:Nymenuno) + U(1:Nx,2:Ny1)
-4.0*U(1:Nx,1:Ny))
FIN DONDE
FIN DONDE
Error = ABS((U - Uant)/U)
SI(MAXVAL(Error)tol)SALIR
FIN HACER
IMPRIMIR*,La ultima iteracion es,k
9 5.o Física
10. 5 JUEGO DE DATOS Javier García Molleja
IMPRIMIR*,Con un error relativo,MAXVAL(Error)
FIN PROGRAMA Red_Black_SOR
4. Programación
Los programas creados a partir del lenguaje FORTRAN 90 se presentarán en soporte
magnético adjuntados a la presente memoria [2].
5. Juego de datos
Antes de mostrar los datos de entrada es necesario considerar que el programa se
ejecutará en paralelo. Por este motivo debemos recurrir al uso de directivas !HPF$.
Gracias a estas directivas[3] podremos distribuir sobre los procesadores disponibles la
matriz principal, así como alinear sobre ella (es decir, distribuir el resto de matrices en
función de la primera) las otras matrices de las que disponemos para realizar nuestros
cálculos. Es conveniente realizar la distribución por bloques, ya que los métodos a pro-
gramar necesitan para actualizar los valores los datos de los nodos más próximos y con
esta elección la comunicación entre procesadores será mínima. Además, para asegurar una
buena paralelización y aprovechamiento de memoria recurriremos frecuentemente al uso
de secciones matriciales, así como el uso de construcciones FORALL y WHERE siempre
y cuando sea posible.
También debemos centrarnos en una precisión numérica aceptable, por lo que uti-
lizaremos reales con doble precisión, de esta manera evitaremos en multitud de ocasiones
la salida del bucle de control cuando aún la precisión requerida no ha sido alcanzada.
Los datos de entrada que incluiremos en ambos programas son los siguientes
TOLERANCIA: 0,0000001
CONTROL: 20000
En el caso del método de RedBlack SOR debemos buscar el valor óptimo de w, por lo
que una vez que el programa secuencial haya compilado correctamente debemos ejecutarlo
con varios valores, comparando en cuál ha necesitado menos iteraciones para alcanzar la
tolerancia referida:
10 5.o Física
11. Javier García Molleja 6 RESULTADOS
w k
1.99 1665
1.95 330
1.9 195
1.75 692
1.7 849
1.6 1181
1.4 1946
1.01 4148
Este valor sólo depende del método en sí, por lo que w también será válida para el
caso de la ejecución en paralelo, por lo que elegimos entonces w = 1,9.
Una vez obtenidos los resultados tanto secuencial como paralelamente (usando uno,
dos y cuatro procesadores) debemos obtener su tiempo de ejecución, T, y el número de
procesadores utilizados, p, para calcular la ganancia en velocidad
Ts
Sp =
Tp
y a partir de este valor determinar la eciencia
Sp
η=
p
eligiendo de este modo qué método es mejor al ejecutar el programa paralelizado con p
procesadores.
6. Resultados
En primer lugar debemos ejecutar el método de Jacobi y el método RedBlack SOR
en secuencial y ver los datos que devuelven, para poder tener así los primeros datos con
los que calcular posteriormente la ganancia en velocidad y la eciencia.
Método Iteraciones Error Ts
JACOBI 7912 9.999883672849208E-8 2.285500
RED-BLACK SOR 195 9.853435983766532E-8 6.4900003E-2
Como podemos observar a primera vista en la ejecución secuencial el método de Red
Black SOR es mejor que el de Jacobi, tanto en iteraciones, como en error relativo y tiempo
de ejecución.
La distribución de temperaturas en la placa de 52 nodos verticales y 104 nodos hori-
zontales tras utilizar el método de Jacobi se presenta en la siguiente gura donde el color
11 5.o Física
12. 6 RESULTADOS Javier García Molleja
rojo indica alta temperatura y el color azul baja. Además, se han incluido ciertos valores
numéricos en las líneas isotermas cercanos a los bordes para comprobar que las condiciones
de contorno no han sido alteradas.
Isotermas (50)
50
11.5686
45
6
17
.1
40 24
35
23.333
61
30 .19
3
20 42.1569
25
20
15
10
02
5
24.9
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x
Figura 1: Solución mediante el método de Jacobi
Podemos ver que la solución es bastante buena, ya que la distribución de temperaturas
se adapta a las ideas previas que teníamos: la zona cercana al procesador debe estar
a una temperatura elevada, cercana a los 50o C. Si nos alejamos, la caída será brusca,
regularizándose en las zonas intermedias entre aquél y los contornos. Una vez que nos
acerquemos lo suciente a éstos vemos que la temperatura tiende a la impuesta.
Además, debemos tener en cuenta que la aproximación es bastante buena debido a
la tolerancia que se requería para salir del bucle, 10−7 , por lo que parece que ha sido
correcto el uso de doble precisión a la hora de declarar las variables. Debemos indicar por
último que estos resultados los esperaremos en las distintas ejecuciones en paralelo, ya
que el problema y el método son los mismos, la única diferencia estará en que no todas
las operaciones las realizará el mismo procesador.
De igual manera vamos a mostrar la distribución nal de temperaturas de la placa
obtenida por el método de RedBlack con sobrerrelajación. Es de esperar que la gura
obtenida sea bastante parecida a la anterior, ya que el problema es el mismo, sólo va
variando el método de resolución. Al igual que hemos hecho antes, aparecerá un código de
colores y varios valores numéricos que nos conrmarán los buenos resultados obtenidos.
12 5.o Física
13. Javier García Molleja 6 RESULTADOS
Isotermas (50)
50
11.5686
45
76
.11
40 24
5
627
18.
35
30
23.3
333
25
20
15
10 42.9412
5
02
.9
24
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x
Figura 2: Solución mediante el método de RedBlack SOR
Podemos conrmar que los resultados son análogos con la anterior solución, aunque
este método ha necesitado menos operaciones para llegar a la distribución nal. Debemos
también agradecer el uso de la doble precisión por haber llegado a este punto. En este
punto es necesario indicar que las ejecuciones en paralelo mostrarán el mismo resultado.
A continuación vamos a escribir los resultados obtenidos mediante la ejecución en
paralelo con un procesador:
Método Iteraciones Error Tp
JACOBI 7912 9.9998836545329137E-8 1.544000
RED-BLACK SOR 195 9.8534360389497298E-8 7.0000000E-2
Ahora debemos indicar los resultados tras haber ejecutado el programa en paralelo
con dos procesadores:
Método Iteraciones Error Tp
JACOBI 7912 9.9998836545329137E-8 6.656000
RED-BLACK SOR 195 9.8534360389497298E-8 0.3510000
Finalmente, escribimos los resultados obtenidos con cuatro procesadores trabajando
en paralelo:
13 5.o Física
14. 7 DISCUSIÓN DE RESULTADOS Javier García Molleja
Método Iteraciones Error Tp
JACOBI 7912 9.9998836545329137E-8 13.88400
RED-BLACK SOR 195 9.8534360389497298E-8 0.6710000
Tras todos estos datos podemos calcular inmediatamente la ganancia en velocidad y
la eciencia para cada una de las ejecuciones en paralelo:
Para un procesador:
JACOBI: Sp = 1,480246114, así que η = 1,480246114
RED-BLACK: Sp = 0,9271429, así que η = 0,9271429
El mejor es el de JACOBI.
Para dos procesadores:
JACOBI: Sp = 0,343374399, así que η = 0,171687199
RED-BLACK: Sp = 0,184900293, así que η = 0,092450146
El mejor es el de JACOBI.
Para cuatro procesadores:
JACOBI: Sp = 0,041153486, así que η = 0,010288371
RED-BLACK: Sp = 0,096721315, así que η = 0,024180328
El mejor es el de RED-BLACK.
7. Discusión de resultados
Los resultados anteriormente obtenidos llegan a ser lógicos, es decir, mientras más
procesadores trabajando en paralelo más tiempo de ejecución. Esto es debido a que el
número de puntos usados (52x104) es demasiado bajo como para que la ejecución en
paralelo dé buenos resultados. Por este motivo vamos a realizar de nuevo los cálculos para
14 5.o Física
15. Javier García Molleja 7 DISCUSIÓN DE RESULTADOS
el caso, por ejemplo, de 520x1040 puntos. Las condiciones que vamos a introducir como
valores de entrada serán:
TOLERANCIA: 0,001
ITERACIONES: 100000
También es necesario mencionar que en el caso del método de RedBlack SOR vamos a
mantener el valor de w = 1,9, aunque al cambiar el número de puntos del mallado éste ya
no será el valor óptimo. En cualquier caso tras la compilación y ejecución en secuencial
de ambos métodos los resultados serán:
Método Iteraciones Error Ts
JACOBI 350 9.977419886639343E-4 11.51430
RED-BLACK SOR 351 9.999194854023665E-4 18.41900
En tiempo de ejecución y en el número de iteraciones el método de Jacobi es el más
adecuado. Esto puede ser debido a que el parámetro w no es el óptimo. Si paralelizamos
ambos programas, compilamos y ejecutamos con un único procesador los resultados son:
Método Iteraciones Error Tp
JACOBI 350 9.9774198866405396E-4 11.89200
RED-BLACK SOR 351 9.9991948540142364E-4 36.34906
Ahora debemos realizar la ejecución de ambos programas paralelos utilizando dos proce-
sadores cuyos datos de salida son los que presentamos a continuación:
Método Iteraciones Error Tp
JACOBI 350 9.9774198866405396E-4 6.282000
RED-BLACK SOR 351 9.9991948540142364E-4 18.95100
Por último es necesario realizar la ejecución utilizando cuatro procesadores en paralelo.
Entonces:
Método Iteraciones Error Tp
JACOBI 350 9.9774198866405396E-4 3.645000
RED-BLACK SOR 351 9.9991948540142364E-4 10.74700
Una vez conseguido todo este conjunto de datos calcularemos la ganancia en velocidad
y la eciencia para ver en cada caso cuál es el mejor método:
Para un procesador:
JACOBI: Sp = 0,968239152, así que η = 0,968239152
RED-BLACK: Sp = 0,506725621, así que η = 0,506725621
El mejor es el de JACOBI.
15 5.o Física
16. 7 DISCUSIÓN DE RESULTADOS Javier García Molleja
Para dos procesadores:
JACOBI: Sp = 1,832903534, así que η = 0,916451767
RED-BLACK: Sp = 0,971927602, así que η = 0,485963801
El mejor es el de JACOBI.
Para cuatro procesadores:
JACOBI: Sp = 3,158930041, así que η = 0,78973251
RED-BLACK: Sp = 1,713873639, así que η = 0,428468409
El mejor es el de JACOBI.
Como último paso vamos a volver a realizar todos estos cálculos para el caso de que
tengamos 1040x2080 puntos. Por simplicidad mantendremos la misma tolerancia y número
máximo de iteraciones que en el caso anterior, ya que con un nivel de tolerancia bajo los
cálculos serán menos y con un número elevado de iteraciones nos aseguraremos que la
tolerancia ha sido alcanzada. Volveremos a elegir w = 1,9 aunque no sea el valor óptimo.
Los resultados con la compilación y ejecución en secuancial darán
Método Iteraciones Error Ts
JACOBI 350 9.977419886639343E-4 46.34490
RED-BLACK SOR 351 9.999194822266609E-4 74.60610
Otra vez observamos que el mejor método en secuencial es el de Jacobi, pero es necesario
tener en cuenta que el parámetro de sobrerrelajación no es el óptimo. Ahora, compilemos
y ejecutemos en paralelo con un solo procesador:
Método Iteraciones Error Tp
JACOBI 350 9.9774198866405396E-4 46.46800
RED-BLACK SOR 351 9.9991948222642475E-4 143.7870
Presentemos en una tabla los resultados obtenidos al ejecutar con dos procesadores en
paralelo:
Método Iteraciones Error Tp
JACOBI 350 9.9774198866405396E-4 24.05600
RED-BLACK SOR 351 9.9991948222642475E-4 73.82700
16 5.o Física
17. Javier García Molleja 7 DISCUSIÓN DE RESULTADOS
Veamos nalmente los datos que obtenemos al ejecutar con cuatro procesadores en parale-
lo:
Método Iteraciones Error Tp
JACOBI 350 9.9774198866405396E-4 12.8800
RED-BLACK SOR 351 9.9991948222642475E-4 37.83700
Tras esto determinemos la ganancia en velocidad y la eciencia:
Para un procesador:
JACOBI: Sp = 0,997350865, así que η = 0,997350865
RED-BLACK: Sp = 0,518865405, así que η = 0,518865405
El mejor es el de JACOBI.
Para dos procesadores:
JACOBI: Sp = 1,926542235, así que η = 0,963271117
RED-BLACK: Sp = 1,01055305, así que η = 0,505276524
El mejor es el de JACOBI.
Para cuatro procesadores:
JACOBI: Sp = 3,598206522, así que η = 0,89955163
RED-BLACK: Sp = 1,971776304, así que η = 0,492944075
El mejor es el de JACOBI.
Los resultados son lógicos, puesto que el método de RedBlack SOR no contaba con
el valor óptimo de w. Además cuando ejecutamos en paralelo con un único procesador
los tiempos se elevan drásticamente, ya que en esta situación debe ejecutar el código en
secuencial, pero siguiendo el protocolo de la ejecución en paralelo.
También debemos resaltar que en el mallado de 520x1040 puntos utilizando dos proce-
sadores los resultados no son los esperados. Esto puede ser debido a que el procesador
número 2 ha podido tener algunos problemas técnicos que han desvirtuado el resultado.
17 5.o Física
18. REFERENCIAS Javier García Molleja
Es necesario dar a conocer el número tan bajo de iteraciones con las que hemos
obtenido los resultados en dominios tan grandes. El origen puede estar en algún fallo
a la hora de escribir el código o que la tolerancia impuesta es baja, aunque suciente para
tener una solución aceptable. Además el aprovechamiento de memoria caché[4] realizado
por utilizar secciones matriciales, FORALL y WHERE ha podido inuir en el número
total de iteraciones y su tiempo de ejecución.
La sesión realizada presenta gran validez actual. En el mundo de la creación de orde-
nadores es de vital importancia conocer la distribución de temperaturas en la placa, ya
que sus componentes, hechos con silicio, se recalientan demasiado y es necesario que el
ventilador evite posibles daños irreversibles. También se puede encontrar otra aplicación
en el estudio climático, pudiendo de esta manera conocer las posibles distribuciones y las
importantes bajadas o subidas de temperatura tras algún proceso natural o humano. Con
este procedimiento se puede estudiar el clima futuro del planeta y prevenir de las posibles
causas que empeoren el medio ambiente.
Gracias al planteamiento, elaboración, ejecución y resolución llevada a cabo en esta
sesión el conocimiento sobre programación en paralelo se convierte en algo habitual en la
vida profesional del programador, dándole oportunidad de revisar sus antiguos códigos y
con el uso de directivas resolverlo en paralelo. También se recurre al uso asiduo de cons-
trucciones, tales como FORALL y WHERE, que se favorecen en paralelo y la mejora nal
del código para hacerlo más eciente evitando incluir operaciones simples y repetitivas
dentro de los bucles y que además no tienen relevancia directa con los cálculos que estamos
realizando. Es cierto que nos ayuda además a la hora de ver si ciertas construcciones son
susceptibles de ser paralelizadas o no. Por lo que nalmente podemos indicar que la
realización de esta sesión es provechosa en cuanto a la ampliación de conocimientos.
Referencias
[1] M. Marín Beltrán: Ampliación de Métodos Numéricos ; 2005, Universidad de Córdoba
[2] J.L. Cruz Soto: Programación Cientíca ; 2003, Universidad de Córdoba
[3] J.L. Cruz Soto, M. Marín Beltrán: Programación Cientíca Avanzada ; 2006, Univer-
sidad de Córdoba
[4] J.I. Benavides Benítez: Estructura de Computadores ; 2006, Universidad de Córdoba
18 5.o Física