Reforzo mates 3º eso

46 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
El año cero
Dionisio el Exiguo fue un monje que nació a finales del siglo V
y murió a mediados del siglo VI. De origen armenio, fue
abad en un convento de Roma y destacó intelectualmente
en su época, por lo que recibió el encargo, por parte del Papa,
de unificar en el calendario la fecha de celebración de la Pascua
en el mundo cristiano.
Al investigar y fijar las fechas de celebración de las fiestas
de Pascua, que es la festividad más importante de la religión
cristiana, no tomó como referencia la fecha de la fundación
de Roma, sino la del nacimiento de Jesucristo, que él mismo dató
en el año 754 a.u.c. (ab urbe condita) de la fundación de Roma.
Esta fecha y el nacimiento de la era cristiana recibirían
el apoyo definitivo por parte de Carlomagno, más de dos
siglos después, al fechar los documentos oficiales
contabilizando los años desde entonces.
En cuanto a la polémica surgida en torno al año cero,
hay autores que afirman que no existe el año cero
porque, en esa época, en Europa no se tenía conocimiento
del cero. Ciertamente no se conocía el cero a nivel operativo
(como elemento neutro para la suma), pero sí se tenía
constancia de su significado, y así se recoge en escritos
de la época con la palabra latina Nullae, que significa «nada».
Por tanto, lo que realmente no existía no es el cero, como acabamos
de ver, sino los números negativos; de hecho, no se hablará de años
antes de Cristo en el sentido de número negativo hasta el siglo XVII.
Así, en el siglo V, el año anterior al año 1 d.C. no era el año −1,
sino el año 753 a.u.c.
El criterio de la ordinalidad de las fechas es plausible
en el sentido de que explica, no solo la inexistencia
del año cero en la era cristiana, sino por qué los árabes
tampoco tienen año cero, aunque en el siglo VIII
ya operaban con el número cero, procedente
de la India, y no sería extraño que lo conocieran
a finales del siglo VII, cuando se instauró
el calendario hegiriano (la Hégira
tuvo lugar en el año 622 d.C.).
ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD...
Números enteros1COMPETENCIALECTORA
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 46

47࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
1
RECURSOSPARAELAULA
COMPETENCIALECTORA
La paridad, es decir, el hecho de que un número sea par
(divisible por 2) o impar, aparece en numerosos contextos
de la vida cotidiana.
Uno de ellos es la numeración de las casas en las calles. En una
acera están los números impares, y en la opuesta, los pares.
En la informática tiene también especial relevancia el concepto
de paridad. Los ordenadores trabajan con información
en el sistema binario, es decir, utilizan solo las cifras 1 y 0.
A la hora de guardar la información en la memoria, y para
asegurarse de que lo hacen correctamente, los ordenadores
añaden a cada byte (grupo de 8 bits) el llamado bit de paridad,
que permite comprobar si ese byte es correcto o no.
Si el ordenador usa un método de paridad par, añade un 1
al byte cuando este tiene un número impar de cifras 1.
En otro caso, añade un 0. En el método de paridad impar
funciona al revés: se añade un 1 al byte, si este tiene un número
par de cifras 1, y un 0 en caso contrario. Observa los ejemplos:
Método de paridad par: 11100010 Bit añadido: 0 (hay 4 cifras 1)
10001111 Bit añadido: 1 (hay 5 cifras 1)
Método de paridad impar: 11100010 Bit añadido: 1 (hay 4 cifras 1)
10001111 Bit añadido: 0 (hay 5 cifras 1)
Otro contexto en el que aparece la noción de paridad es en los juegos. Así, por ejemplo, en la ruleta
se puede apostar a que la bola caiga en Par o en Impar.
También existe un juego con monedas llamado «Par o impar». El número de jugadores en este juego suele
ser de dos, cuatro o seis. Cada jugador coge un número de monedas. Por turno cada uno elige «par» o «impar»,
indicando la paridad del número total de monedas que ambos jugadores van a sacar. A una señal,
los jugadores muestran las monedas que guardan en su mano y se anota un punto el jugador que
haya acertado.
Pares e impares
Tales de Mileto fue uno de los siete sabios de Grecia,
además del primer matemático griego que inició
el desarrollo de la Geometría.
Tuvo que soportar durante años las burlas de quienes
pensaban que sus horas de trabajo e investigación eran
inútiles. Pero un día decidió sacar rendimiento
a sus conocimientos. Sus observaciones meteorológicas,
por ejemplo, le sirvieron para saber que la siguiente
cosecha de aceitunas sería muy abundante. Así, compró
todas las prensas de aceitunas que había en Mileto.
La cosecha fue excelente, y los agricultores tuvieron
que pagarle por utilizar las prensas.
Tales de Mileto
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 47

CONTENIDOS PREVIOS
Recuerdes las aplicaciones
de los números enteros.
CONVIENE QUE…
Te ayudará a comprender
sus propiedades y la forma
de realizar las operaciones.
PORQUE…
Sepas representar números
naturales en la recta numérica.
CONVIENE QUE…
Te servirá como base para
representar los números enteros
en la recta numérica
y para establecer relaciones
de orden entre los números
fraccionarios.
PORQUE…
Conozcas la jerarquía
de las operaciones.
CONVIENE QUE…
Tendrás que aplicarla
en las operaciones combinadas
con números enteros.
PORQUE…
El MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO de dos números naturales es el menor de sus
múltiplos comunes. Se calcula multiplicando los factores primos comunes
y no comunes elevados al mayor exponente.
m.c.m. (24, 36) = m.c.m. (23
⋅ 3, 22
⋅ 32
) = 23
⋅ 32
= 72
El MÁXIMO COMÚN DIVISOR de dos números naturales es el mayor de sus
divisores comunes. Se calcula multiplicando los factores primos comunes
elevados al menor exponente.
m.c.d. (24, 36) = m.c.d. (23
⋅ 3, 22
⋅ 32
) = 22
⋅ 3 = 12
Sepas calcular el m.c.m.
y el m.c.d. de números naturales.
CONVIENE QUE…
Lo necesitarás para calcularlos
cuando los números son enteros.
PORQUE…
Números enteros1LEERYCOMPRENDERMATEMÁTICAS
Hay situaciones en las que es necesario utilizar números enteros:
– Cuando hablamos de temperaturas bajo cero.
Así, 4 grados bajo cero se expresa como −4 °C.
– Al considerar deudas económicas.
Si debemos 100 €, decimos que nuestro saldo es de −100 €.
– Al referirse a las plantas de un edificio.
El garaje está en la planta −3 y la terraza está en la planta 5.
Primero se resuelven las
multiplicaciones y las divisiones,
de izquierda a derecha.
Después, se realizan las sumas
y las restas en el mismo orden.
25 − 4 ⋅ 3 : 6 − 2 + 12 : 3 + 6 =
= 25 − 12 : 6 − 2 + 4 + 6 =
= 25 − 2 − 2 + 4 + 6 =
= 23 − 2 + 4 + 6 = 21 + 4 + 6 =
= 25 + 6 = 31
→
→
→
1 2 3 4 5
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 48

⏐a⏐ Asigna a cada número el mismo
número prescindiendo del signo.
Op (a) Asigna a cada número el mismo
número cambiándole de signo.
» Indica el conjunto de los números
enteros.
a Indica un número entero que puede
ser positivo o negativo.
+a Indica un número entero positivo.
NOTACIÓN MATEMÁTICA
1
¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?
Cuando queremos indicar el conjunto de todos
los números enteros lo designamos por ».
El signo de los números enteros se debe colocar
pegado al número, sin dejar espacios en blanco.
Indica la raíz cuadrada
de un número.
Indica la raíz cuadrada de una suma.a b+
a Bajo el símbolo de la raíz se puede poner
cualquier operación entre números.
El valor absoluto de un número es
el mismo número prescindiendo del signo.
⏐3⏐ = 3 ⏐−3⏐ = 3
El opuesto de un número es el mismo número
cambiado de signo.
Op (3) = −3 Op (−3) = 3
Regla de los signos. Proporciona el signo que
tendrá el resultado de multiplicar o dividir
dos números enteros.
Para multiplicar o dividir dos números enteros,
se multiplican o dividen prescindiendo del signo.
Después, se pone el signo que corresponde según
la regla de los signos.
(−3) ⋅ (+5) = −15 (+12) : (−3) = −4
(+3) ⋅ (+5) = +15 (−8) : (−2) = +4
an
= a ⋅ a ⋅ …n
⋅ a Indican la expresión
an
= a ⋅ a ⋅ … ⋅ a
de una potencia
n veces
en forma de producto.
Los puntos suspensivos entre los dos signos
de multiplicación significan que a se
multiplica n veces.
RECURSOSPARAELAULA
LEERYCOMPRENDERMATEMÁTICAS
Factores Resultado
+ +
+ −
− +
− −
+
−
−
+
14243
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 49

EN LA VIDA COTIDIANA... Rascacielos
En este proyecto pretendemos que aprendas a:
• Conocer algunos de los rascacielos más altos del mundo y trabajar las aproximaciones.
• Utilizar la divisibilidad y los números enteros en contextos reales.
Desde los primeros tiempos de la historia, el ser hu-
mano ha querido construir edificios tan altos que casi
llegasen a tocar el cielo. Los rascacielos, como las de-
más estructuras arquitectónicas, han tenido un largo
período de evolución. Avances tecnológicos como la
invención del primer elevador con freno de emergen-
cia por Elisha Otis, hacia 1850, y el uso del acero en
las estructuras de las construcciones, hicieron posible
que los edificios se elevasen cada vez más.
En 1910, el edificio Metropolitan Life llegó a tener
50 pisos de altura, algo insólito hasta entonces. Dos
décadas más tarde se levantaba el Empire State con
sus 102 pisos.
La evolución de las concepciones arquitectónicas y la
aplicación de soluciones tecnológicas han ido permi-
tiendo levantar edificios cada vez más altos.
La acción terrorista contra las Torres Gemelas, que en
el momento del atentado ocupaban (con 411 metros
de altura) el tercer puesto entre los edificios más altos
del mundo, así como otros problemas asociados a es-
tos edificios, han suscitado un movimiento de reflexión
sobre su conveniencia.
Algunos de los rascacielos más altos del mundo son:
RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.
a) Redondea a las centenas las alturas de todos los
rascacielos de la tabla. ¿Qué error cometes en ca-
da uno de los casos?
b) Redondea las alturas a las decenas. ¿Qué error co-
metes ahora con cada aproximación?
c) Trunca a las centenas y, después, a las decenas
las alturas de todos los rascacielos de la tabla.
¿Qué error cometes en cada uno de los casos?
d) Halla la suma de las alturas de los diez rascacielos.
Después, obtén el error cometido al estimar esa
suma redondeando a las centenas y a las decenas.
e) Calcula el error en la estimación de la suma si, en
vez de redondear, truncas a las centenas y a las
decenas.
f) Estima cuántos rascacielos haría falta colocar, uno
encima del otro, para conseguir 1 km de altura.
Redondea el divisor a las centenas.
Los diez rascacielos más altos del mundo1
Números enteros1COMPETENCIAMATEMÁTICA
Nombre País Altura (m)
Torres Petronas Malasia 452
Torre Sears EE UU 436
Jim Mao Building China 421
Plaza Rakyat Malasia 382
Empire State Building EE UU 369
Tuntex & Chein Taiwan 347
Amoco EE UU 346
Centro John Hancock EE UU 343
Shung Hing Square China 325
Plaza CITIC China 322
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 50

1
Existen en la actualidad proyectos para construir edifi-
cios aún más altos. Entre los que han tenido mayor pu-
blicidad y significación en los últimos años está el Pro-
yecto Torre Biónica, elaborado por Cervera & Pioz and
Partners.
Este proyecto, en el que figuran muchos especialistas
españoles, pretende dar un salto cualitativo en la cons-
trucción, impulsando el uso de técnicas totalmente
distintas a las actuales.
Las novedosas técnicas, basadas en la imitación de los
principios de flexibilidad y adaptabilidad de las estruc-
turas biológicas, permitirían ajustar la altura, capaci-
dad y uso de la torre a las diferentes condiciones eco-
nómicas, medioambientales y sociales de la ciudad
donde se construya.
La altura de la Torre Biónica será de 1.228 m (con
300 plantas), tendrá una capacidad máxima para
100.000 personas, y en ella habrá 368 ascensores de
desplazamiento vertical y horizontal.
REALIZA LAS ACTIVIDADES.
a) ¿Cuántos metros de altura tendría cada planta de
la Torre Biónica? Haz una estimación redondeando
el dividendo.
b) ¿Cuántas copias de las Torres Petronas necesitaría-
mos apilar, una sobre otra, para alcanzar la altura
de la Torre Biónica? Calcula el resultado exacto y el
resultado redondeando a las centenas, y halla el error
cometido.
Las Torres Petronas, que puedes ver en la fotografía in-
ferior, tienen 88 pisos sobre el suelo, 5 pisos bajo tierra
y cuentan con 76 ascensores, incluyendo 29 de ellos
de alta velocidad en cada torre. Cada uno de estos as-
censores puede transportar a 26 personas. La Torre
Sears, de Chicago, consta de 108 pisos sobre el suelo y
3 pisos bajo tierra, y tiene un total de 104 ascensores.
HAZ ESTAS ACTIVIDADES.
a) En una mañana, en las Torres Petronas, todos los
ascensores de alta velocidad han subido llenos
desde la planta baja. Halla cuántas personas los
utilizaron en total, si el número de personas fue
mayor de 45.000 y menor de 46.000.
b) Si colocásemos, apiladas una encima de otra, co-
pias de las Torres Petronas y de la Torre Sears,
hasta obtener dos edificios con la misma altura,
¿cuántas copias de cada una necesitaríamos?
c) Partiendo del piso más bajo de cada uno de los dos
edificios, subimos 20 pisos, bajamos 23, volvemos a
subir 70 y bajamos 48. ¿En qué piso estaremos en
cada uno de los casos?
d) Supongamos que la velocidad de los ascensores
sea de 2 pisos por segundo. ¿Cuánto tardaríamos
en subir desde el piso 0 al piso más alto de cada
edificio? ¿Y en subir desde el piso más bajo?
e) Hemos tardado 30 segundos en llegar al piso 12.
¿De qué planta hemos partido en cada uno de los
edificios?
Proyectos para el futuro2
RECURSOSPARAELAULA
COMPETENCIAMATEMÁTICA
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 51

Planteamiento y resolución
Comenzamos por hacer un listado del número de piedras de cada montón para intentar hallar
algún patrón o regla de formación:
Si observas la secuencia, te darás cuenta de que el número de piedras de cada montón es igual
a la suma de las piedras de los dos montones anteriores a él:
2 = 1 + 1 3 = 1 + 2 5 = 2 + 3 8 = 3 + 5
Por tanto, el siguiente montón tendrá: 5 + 8 = 13 piedras y el siguiente a este tendrá: 8 + 13 = 21 piedras.
Esta serie de números, donde cada uno es igual a la suma de los dos anteriores a él, se llama serie
de Fibonacci, en honor a un matemático italiano del Renacimiento.
Un caminante encuentra en el desierto la serie de montones
de piedras que se muestra en la figura. Tras observarlos
un rato, se da cuenta de cómo se ha formado la secuencia.
¿Sabrías deducir cuántas piedras tendría el siguiente montón?
¿Y el siguiente a este?
Estrategia La estrategia de buscar regularidades consiste en tratar de averiguar,
dados los primeros elementos de una secuencia, cuál es su regla de formación,
y así poder hallar los siguientes elementos de la secuencia.
En la figura aparecen los cuatro primeros
números triangulares (aquellos que pueden
colocarse formando un triángulo). ¿Sabrías
decir cuál es el quinto número triangular?
¿Y el sexto? ¿Y el décimo número triangular?
Los números del interior de los cuadrados
se forman a partir de los que les rodean
siguiendo la misma regla (solo se usan
las operaciones básicas). Completa el interior
del último cuadrado.
21
ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Buscar regularidades
PROBLEMA RESUELTO
PROBLEMAS PROPUESTOS
Números enteros1APLICACIÓNDEESTRATEGIAS
Montón
Piedras
1.º
1
2.º
1
3.º
2
4.º
3
5.º
5
6.º
8
1 3 6 10
3
−2 45
1
9 −91
−3
6 47
2
8 −4
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 52

NUEVASTECNOLOGÍAS
1
RECURSOSPARAELAULA
MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR
EJERCICIOS
Busca información sobre estos conceptos
básicos utilizando el auxiliar de Office,
y contesta a las siguientes cuestiones.
a) ¿Qué es un libro de trabajo?
b) ¿Y una etiqueta de hoja?
Busca información al respecto.
a) ¿Qué es una fórmula?
b) ¿Cómo se crea una fórmula?
Busca información al respecto.
a) ¿Qué es una barra de herramientas flotante?
b) ¿Cómo se oculta?
Barra de herramientas | Mostrar u ocultar
3
Fórmulas | Cálculos rápidos en una hoja de cálculo
2
Hoja de cálculo | Libros y hojas de trabajo
1
Pantalla inicial de EXCEL
Ayuda del programa
Parte de una hoja
PRÁCTICA EXCEL
Entrada al Programa:
Menú → →
Una vez que el programa se ejecuta, en el monitor verás la pantalla del
margen.
Es un libro de trabajo formado por 3 hojas: Hoja1, Hoja2 y Hoja3, aunque
puede haber hasta 256 hojas en un libro.
Libro → Carpeta que puede contener hojas, gráficos, macros, etc.
Hoja → Pizarra «ordenada» en celdas (cada celda está ordenada por su fila
y columna), que contienen datos numéricos, texto, etc.
Celda → Contiene dos informaciones:
• El formato de la celda: consiste en el tipo de dato que puede conte-
ner: numérico, de texto, lógico, fechas, etc.
• El contenido.
Observa en el margen una hoja que tiene escrita la palabra «Matemáticas»
en la celda B3 (columna B, fila 3); el contenido de la celda es la palabra
«Matemáticas» y el formato es el tipo Texto.
El Programa EXCEL trabaja con estas dos informaciones por separado; por
ejemplo, puedes borrar el contenido de una celda y mantener el formato,
o copiar el formato de una celda a otra, sin copiar el contenido.
Cuando se sale del programa, se indica el nombre del archivo. La extensión
la da el mismo programa y es .xls.
PRÁCTICA
Abre un libro nuevo. La información que da EXCEL como ayuda es muy
completa y permite obtener una visión genérica de qué es una hoja de
cálculo y cómo se puede utilizar. Pulsa en el botón (ayuda), de la barra
de menús, o pulsa directamente en la tecla . En la ventana que sale, pul-
sa sobre y escribe, por ejemplo, tipos de formato y observarás que
sale otra ventana de ayuda. A través de este tipo de desarrollo, el programa
te proporcionará formas de uso o sugerencias sobre un tema determinado.
F1
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 53

NUEVASTECNOLOGÍAS
EJERCICIOS
Introduce en la celda B1 tu nombre y apellidos
en letra arial, negrita y de tamaño 12.
Crea una carpeta personal con tu nombre en
el disco duro del ordenador o en un disquete.
Guarda el libro, para registrar los datos
introducidos en la hoja, en tu carpeta personal
con el siguiente nombre: Excel_Unidad0.
3
2
1
Comandos de Formato
Comandos de Edición
Barra de estado
Barras de herramientas
PRÁCTICA EXCEL
Abre el Programa EXCEL y observa, en la parte superior de la pantalla,
las barras de herramientas que existen para acceder a los diferentes menús:
• Contiene los comandos más importantes para realizar operaciones
con la hoja o con los datos de la hoja.
• Para acceder a las opciones que ofrece, pulsa sobre la opción con el
botón de la izquierda del ratón o pulsa simultáneamente en la tecla
y la tecla subrayada en la opción (A para Archivo, E para
Edición, etc.).
• Cada una de estas opciones da lugar, a su vez, a una serie de coman-
dos; por ejemplo, con + E se despliegan los comandos de Edición
(para las opciones de eliminar, buscar, etc.), y con + F, los de
Formato (que permite cambiar el formato de celdas, filas, etc.).
En el menú → encontramos herramientas, alguna
de las cuales se puede activar en la barra correspondiente (obsérvalo en el
margen).
Una barra que siempre está activada o visible es la barra Estándar.
Esta barra contiene comandos, entre otros, de la barra Archivo. Cada uno
de los iconos de la barra Estándar es un comando diferente. Para saber la
función de cada comando, acércate con el Apuntador, , y observa el ró-
tulo que aparece debajo del icono con su descripción. Hazlo con el octavo
icono, , y te indicará Vista preliminar, tal como puedes ver en el margen.
La barra Formato contiene formatos de control del tipo de letra, el estilo,
el tamaño, la alineación del texto, etc.
La barra de fórmulas permite introducir y ver fórmulas en las celdas.
La barra de estado, situada al final de la hoja, señala, como puedes ver
en el margen, la acción que se está ejecutando cuando se introduce una
fórmula.
CTRL
ALT
ALT
→
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 54

NUEVASTECNOLOGÍAS
EJERCICIOS
De manera análoga a la Práctica 1 haz
el ejercicio 62 para averiguar si las operaciones
de sumar y restar son o no conmutativas.
Sin crear una nueva hoja, y continuando
con las celdas de la hoja Unidad01_2a,
haz el ejercicio 84 de la página 36.
Guarda el libro para registrar los datos introducidos
en las hojas Unidad01_1a y Unidad01_2a,
mediante → NUMEROS_2
en tu carpeta personal.
3
2
1
Contenido
PRÁCTICA EXCEL
Abre un libro de trabajo EXCEL y, cuando acabes la Práctica, guárdalo en tu
carpeta personal con el nombre NUMEROS_2.
PRÁCTICA 1 (ejercicio 71, pág. 35)
Pulsa sobre la pestaña con el botón derecho del ratón y escribe el
nombre Unidad01_1a (obsérvalo al margen). Indica los rótulos: a, b, a ⋅ b
y b ⋅ a en las celdas A1 a D1.
1. Con el botón izquierdo del ratón, selecciona las columnas de la A a la D
y centra los datos con el botón correspondiente. Introduce los números
que hay en la hoja: −4, −6, +6, −8...
2. Escribe esta fórmula en la celda C2: . Observa que aparece el
producto en la celda.
3. Escribe ahora en D2 la fórmula: .
a) Sitúate en la celda C2 y activa →
(o pulsa en el botón o las teclas CTRL + C).
b) Selecciona con el ratón las celdas C3 a C5 y activa →
(o pulsa en el botón o las teclas CTRL-V).
Lo que se ha copiado ha sido la referencia de la celda C2, y no su con-
tenido: sitúate en la celda C3 y observa que la fórmula que aparece es
A3*B3 y en C4 sale A4*B4, etc.
4. Copia la fórmula de D2 en las celdas D3, D4 y D5.
5. Comprobarás que la operación de multiplicar es conmutativa, observando
el contenido de las celdas de las dos últimas columnas. Copia los resul-
tados en tu cuaderno.
Abre una nueva hoja con el nombre Unidad01_2a.
1. Escribe en las celdas A1, B1 y C1 las palabras BASE, EXPONENTE
y POTENCIA. Después, escribe en las celdas A2 y A3 los números 4 y 5.
2. En la celda C2 escribe la fórmula siguiente: .
Observa que aparece en la celda la potencia A2B2
.
3. Escribe el resto de bases y exponentes del ejercicio y copia la fórmula
de la celda C2 en el resto de celdas.
=POTENCIA(A2;B2)
=B2*A2
=A2*B2
1
RECURSOSPARAELAULA
Hoja Unidad 01_1a
Función Potencia
Hoja Unidad 01_2a
829485 _ 0046-0087.qxd 21/9/07 09:59 Página 55

Alejandro Magno
La vida de Alejandro Magno ha sido evocada por escritores
y poetas desde la antigüedad hasta nuestros días.
Su historia dio paso a la leyenda, y podemos encontrar
multitud de biografías, anécdotas, curiosidades…
que tienen como hilo conductor la vida de este personaje
histórico.
En esta ocasión nos ocuparemos de sus conquistas
militares mediante la falange macedonia.
La organización de la falange y su estrategia de combate
son logros de Filipo II, el padre de Alejandro.
Filipo, a partir de la falange tebana, organizó la falange
macedonia, modificando su estructura: agrupó
a los soldados en cuadros independientes de 16 filas
y 16 columnas, llamados syntagmas. Estos syntagmas,
en número de 64, se disponían en dos alas de 32 syntagmas
cada una, que podían llegar a operar de forma independiente.
La falange macedonia presentaba así un frente homogéneo,
y apoyada por la caballería, constituyó un cuerpo de ejército
casi invencible hasta la aparición de la legión romana.
Fracciones2COMPETENCIALECTORA
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 56

2
RECURSOSPARAELAULA
El papiro Rhind y las fracciones
Galileo Galilei nació en Pisa
en 1564, y aunque
estudió Medicina en
la universidad, decidió
inclinarse por las
Matemáticas. A los 25 años
fue nombrado profesor de
Matemáticas en la
Universidad de Pisa,
donde comenzó a investigar
sobre la mecánica y el
movimiento de los cuerpos.
Su contribución más interesante fue establecer
el vínculo entre la Física y las Matemáticas.
Murió en 1642, el mismo año del nacimiento
de Newton, a quien dejó el camino abierto para
la consolidación de la Mecánica.
Galileo
Desde la antigua
prensa movida
a mano, inventada
por Gutenberg
aproximadamente en
el año 1440, hasta
las veloces rotativas
de los periódicos,
las máquinas de imprimir han sufrido
innumerables modificaciones y se perfeccionan
constantemente.
Actualmente, los ordenadores nos permiten
escribir un texto de una forma fácil y rápida,
utilizando el tipo de letra y el tamaño
que nos interese en cada momento.
El tamaño de las letras se mide en puntos.
Un punto equivale a 3/8 de milímetro.
Evolución de la imprenta
El papiro Rhind es un documento muy antiguo
que nos informa de los conocimientos matemáticos
de los egipcios. El papiro fue encontrado en
las ruinas de un antiguo edificio de Tebas (Egipto)
y, posteriormente, lo compró en la ciudad de Luxor
el egiptólogo escocés Henry Rhind, cuando viajó
a Egipto. A la muerte de Rhind, el papiro fue a parar
al Museo Británico, donde se encuentra actualmente.
El papiro Rhind fue escrito por el escriba Ahmes;
por ello, se conoce también como papiro Ahmes.
Este papiro mide unos 6 metros de largo
y 33 centímetros de ancho. Está escrito en hierático y
proporciona información sobre cuestiones aritméticas
básicas: fracciones, cálculo de áreas, volúmenes,
progresiones, repartos proporcionales, regla de tres,
ecuaciones lineales y trigonometría básica.
El papiro Rhind muestra que en el antiguo Egipto,
en el año 4000 a.C., se trabajaba únicamente
con fracciones unitarias, es decir, aquellas con
el numerador 1, por ejemplo, .
Los egipcios tenían un método para descomponer
una fracción unitaria en suma de dos fracciones
unitarias de distinto denominador.
El procedimiento se expresa del modo siguiente.
De esta forma, la fracción unitaria , mediante este
método, se descompone así:
1
2
1
3
1
2 3
1
3
1
6
= +
⋅
= +
1
2
1 1
1
1
1n n n n
=
+
+
+( )
1
2
1
3
1
4
, y
COMPETENCIALECTORA
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 57

CONTENIDOS PREVIOS
Recuerdes lo que es una fracción
y cuáles son sus términos.
CONVIENE QUE…
Lo necesitarás como punto
de partida para ampliar tus
conocimientos.
PORQUE…
Sepas llevar a cabo
la representación
de fracciones con gráficos.
CONVIENE QUE…
Te ayudará a comprender algunas
propiedades de las fracciones.
PORQUE…
Los términos de una fracción son el NUMERADOR y el DENOMINADOR.
Se lee: tres octavos.
El denominador indica las partes iguales en las que se divide la unidad.
El numerador indica las partes que se toman de la unidad.
3
8
Para representar fracciones se suelen utilizar figuras geométricas.
Las dividimos en tantas partes iguales como indique el denominador,
y después, se marcan las partes que señale el numerador.
5
6
Sepas identificar cuándo una
fracción es menor, mayor o igual
que la unidad.
CONVIENE QUE…
Te servirá para clasificar
las fracciones.
PORQUE…
Sepas calcular potencias
de números enteros y operar
con ellas.
CONVIENE QUE…
Las potencias de fracciones tienen
las mismas propiedades.
PORQUE…
Si la base es un número entero positivo, la potencia es positiva.
55
= 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3.125
Si la base es un número entero negativo, la potencia es positiva
si el exponente es par, y negativa si el exponente es impar.
(−2)4
= (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = 16
(−3)5
= (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = −243
Fracciones2LEERYCOMPRENDERMATEMÁTICAS
< 1 = 1 > 1
Numerador < Denominador Numerador = Denominador Numerador > Denominador
10
8
8
8
3
8
⎯→
Numerador
Denominador
F
F
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 58

Indica la potencia de una fracción.
a
b
n
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2
o a/b expresan que de b partes tomamos a.
de c expresa la fracción de una cantidad;
su valor es el resultado de multiplicar a por c
y dividir entre b.
3
5
3 40
5
24de 40 =
⋅
=
a
b
a
b
La fracción es la
raíz cuadrada exacta
de la fracción .
Solo tienen raíz cuadrada exacta
las fracciones cuyo numerador
y denominador son cuadrados
perfectos.
a
b
c
d
c
d
a
b
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=↔
2
a
b
c
d
a
b
c
d
= La raíz cuadrada exacta de una fracción
es la fracción formada por la raíz exacta
de su numerador y de su denominador.
a
b
a
b
= = =→
25
16
25
16
5
4
3
7
3
7
3
7
3
7
3
7
3
7
4 4
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= ⋅ ⋅ ⋅ =
Indican una fracción de numerador a
a/b y denominador b.
de c Indica la fracción de una
cantidad c.
a
b
a
b
a
b
RECURSOSPARAELAULA
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 59

EN LA VIDA COTIDIANA... El agua de la Tierra
• Conocer la superficie y distribución de los océanos y la cantidad de agua disponible, y utilizar
estos datos para resolver problemas con fracciones. • Interpretar un texto y extraer de él los datos
necesarios para resolver problemas con fracciones.
La Tierra tiene forma esférica y está achatada por
los polos. Considerando la Tierra como una esfera, la
longitud de sus círculos máximos (meridiano cero y
ecuador) es aproximadamente de 40.000 kilómetros.
Asimismo, la superficie total de la Tierra es de unos
500 millones de kilómetros cuadrados.
Los océanos y mares ocupan los del total de la su-
perficie del planeta. Por su parte, los mares profundos
ocupan los de esa superficie total.
La fracción de la superficie total ocupada por los océa-
nos que corresponde a cada uno de ellos es aproxima-
damente la siguiente.
Océano Atlántico.....................................
Océano Pacífico ......................................
Océano Índico.........................................
Océano Ártico .........................................
Por otra parte, el agua de los océanos y mares es sala-
da y contiene alrededor de 35 gramos de sal disueltos
en cada litro de agua.
LEE LA INFORMACIÓN, CALCULA Y CONTESTA.
a) ¿Qué fracción de la superficie total de la Tierra ocu-
pan los océanos y mares profundos?
b) ¿Qué fracción de la superficie terrestre constituyen
los continentes?
c) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupan los
océanos y mares profundos?
d) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupan
los continentes?
e) ¿Qué fracción de la superficie total de la Tierra ocu-
pa cada uno de los océanos indicados en el texto?
f) ¿Qué superficie ocupa el océano Atlántico en kiló-
metros cuadrados?
g) ¿Y el océano Pacífico?
h) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupa el
océano Índico?
i) ¿Y el océano Ártico?
j) Se estima que, en el agua de los océanos, las
partes de los materiales sólidos disueltos son sal.
¿Cuántos gramos de materiales disueltos que no son
sal hay en cada litro de agua?
3
4
1
20
1
5
1
2
1
4
13
50
7
10
Los océanos y los mares en la Tierra1
Fracciones2COMPETENCIAMATEMÁTICA
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 60

2
El volumen de agua total en el planeta Tierra es de
unos 1.400 millones de kilómetros cúbicos.
Los de toda el agua del planeta Tierra es agua
salada y el resto es agua dulce.
La mayor parte del agua dulce, concretamente los ,
la constituyen el hielo y la nieve de los casquetes pola-
res y los glaciares. El resto está formado por el agua
subterránea, el agua de los lagos y ríos y de la atmós-
fera. Los glaciares y los casquetes polares, que son los
mayores almacenes de agua dulce en la Tierra, están
alejados de los grandes núcleos de población humana.
Por eso, son los ríos, los lagos y las aguas superficiales
los que ha utilizado tradicionalmente el ser humano
para proveerse de agua. Pero solo una parte de cada
veinte del agua dulce está en los ríos y lagos o son
aguas superficiales.
Aunque, en términos absolutos, el agua dulce disponi-
ble es suficiente para abastecer a los más de 6.000
millones de habitantes de la Tierra, existe el problema
de que este agua disponible no está equitativamente
distribuida en el planeta.
Hoy se calcula que la cantidad mínima de agua para
cubrir las necesidades básicas de una persona es de
50 litros diarios. Y se considera la cantidad de 100 li-
tros por persona y día como necesaria para un están-
dar de vida aceptable.
RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.
a) ¿Qué fracción del total de agua de la Tierra consti-
tuye el agua dulce?
b) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce hay en
la Tierra aproximadamente?
c) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce repre-
sentan la nieve y el hielo de los casquetes y los
glaciares?
d) ¿Qué fracción del total de agua del planeta repre-
senta el agua en forma de hielo y nieve que hay en
los casquetes y en los glaciares?
e) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce con-
tienen los ríos, lagos, aguas subterráneas y aguas
superficiales?
f) ¿Qué fracción del agua total de la Tierra represen-
tan los ríos, lagos, aguas subterráneas y aguas
superficiales?
g) ¿Cuántos metros cúbicos de agua gastaría la hu-
manidad diariamente, si cada persona usara la
cantidad mínima recomendada para sus necesida-
des básicas?
h) ¿Cuántos metros cúbicos de agua al día gastaría la
humanidad si cada persona usara la cantidad ne-
cesaria para un estándar de vida aceptable?
i) ¿Qué fracción del total de agua dulce disponible en
ríos, lagos, aguas subterráneas y aguas superficia-
les supondría cada uno de ambos casos?
5
7
97
100
La distribución del agua dulce en la Tierra2
RECURSOSPARAELAULA
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 61

Una locomotora arrastra tres vagones. La longitud del primer vagón es de la longitud
del segundo y la longitud del tercer vagón es igual a la longitud del primero y segundo juntos.
Si la longitud total de los tres vagones es 56 m, ¿cuánto mide cada vagón?
1
3
Estrategia Una estrategia para resolver los siguientes problemas es hacer un dibujo y mostrar
en él los datos del problema. El dibujo nos ayudará a resolver el problema.
Jorge ha ido en coche desde el pueblo A
hasta el pueblo C pasando por B. Ha recorrido
un total de 180 km. La distancia entre
los pueblos B y C es de la distancia
que hay entre los pueblos A y B. ¿Cuál es
la distancia entre los pueblos A y B?
¿Y entre los pueblos B y C?
Cristina recibe en su tienda un total de
90 camisetas de las tallas pequeña, mediana
y grande. El número de camisetas pequeñas
es del número de camisetas medianas,
y el número de camisetas grandes es
del número de las medianas.
a) ¿Cuántas camisetas de cada talla recibe
Cristina?
b) El precio de una camiseta pequeña más
una mediana y una grande es 36 €.
La pequeña cuesta 1/4 menos que
la mediana, y la grande, 1/4 más que
la mediana. ¿Cuánto cuesta cada camiseta?
Una persona paga en dos plazos un televisor
que cuesta 540 €. En el segundo plazo pagó
los 3/7 del dinero que abonó en el primero.
¿Cuánto dinero pagó en cada plazo?
3
4
3
2
3
2
5
4
1
Hacer un dibujo
PROBLEMA RESUELTO
Fracciones2APLICACIÓNDEESTRATEGIAS
Longitud del primer vagón: de 56 = 7 m.
Calcula la longitud de los otros dos vagones y comprueba la solución.
1
8
Longitud del
primer vagón
Longitud del
segundo vagón
Longitud del
tercer vagón
Longitud de los
tres vagones
56 m
Pueblo A Pueblo B Pueblo C
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 62

2
EJERCICIOS
De forma análoga a la Práctica 1, crea una nueva
hoja Unidad02_3a y resuelve los ejercicios 50
y 51 de la página 53.
Haz también el ejercicio 60 de la página 54
de forma análoga a la Práctica 2.
Guarda el libro para registrar los datos
introducidos en las hojas Unidad02_1a,
Unidad02_2a y Unidad02_3a, mediante
→ en tu carpeta personal.
3
2
1
Trabajo con fracciones
PRÁCTICA EXCEL
Abre el libro NUMEROS2 de tu carpeta personal. Inserta una nueva hoja
mediante → con nombre: Unidad02_1a.
Prepara un formato especial para operar con fracciones: selecciona toda la
hoja y activa la opción: → y, en la ficha , selec-
ciona la opción Fracción | Hasta 3 dígitos. Fíjate en que EXCEL presenta las
fracciones en formato mixto, es decir, que aunque escribamos 32/5 en una
celda, el programa lo transforma en la fracción 6 2/5).
1. Pon los rótulos de la figura en las celdas A1: I1.
2. Escribe los números del apartado a) en la fila 2.
3. Sitúate en la celda I2 y escribe la fórmula: y ob-
serva el resultado: −2 2/15 → −2 + 2/15 = −28/15.
4. Introduce en cada fila los términos de cada ejercicio: en la fila 3 estarán
los términos del apartado b), y en la columna y introducirás la operación.
La fórmula del apartado c) será .
5. Copia los resultados en tu cuaderno.
Inserta una nueva hoja Unidad02_2a:
1. Pon los mismos rótulos que en la Práctica 1.
2. Escribe los números del apartado a) en la fila 2.
3. Sitúate en la celda I2 y escribe la fórmula: y observa el
resultado: 4.
4. Introduce en cada fila los términos de los ejercicios: en la fila 3 estarán
los del apartado b), y en la celda I3 introducirás la operación. Presta
atención a cómo colocas los paréntesis.
5. Copia los resultados en tu cuaderno.
=A2/(B2−C2)
=A4−(B4−(C4+D4)−E4)−(F4+G4)−H4
=(A2+B2)−(C2+D2)
RECURSOSPARAELAULA
NUEVASTECNOLOGÍAS
829485 _ 0046-0087.qxd 21/9/07 09:59 Página 63

A lomos del viento
Simon Stevin nació en Brujas (Bélgica) en 1548. En su juventud
recorrió buena parte de Europa, lo que era una práctica habitual
entre los eruditos e intelectuales de la época.
Ingeniero y matemático, fue reconocido en su tiempo por los trabajos
de ingeniería militar y fortificación que realizó para su mecenas,
el príncipe de Orange, Maurice de Nassau, durante
las guerras de Flandes.
Ideó sistemas de diques y contradiques que permitían inundar
las tierras bajas y detener el avance de los ejércitos enemigos,
diseñó molinos y barcos… Uno de los inventos que más llamaron
la atención de sus contemporáneos fue un carro que, movido
por la fuerza del viento, podía transportar personas
y mercancías a gran velocidad.
Stevin escribió sus trabajos en lengua vernácula; algunos
historiadores afirman que lo hizo porque quería llegar al mayor
número de personas, y otros sostienen que utilizaba el holandés
porque esa lengua era más precisa para escribir
textos científicos.
Entre sus aportaciones destaca un manual de Matemática
comercial realizado por encargo del Príncipe de Orange,
pero su aportación matemática más relevante es
la definición y las reglas para operar con fracciones
decimales, las cuales derivarían en lo que hoy
conocemos como números decimales.
Simon Stevin murió en La Haya en 1620.
Números decimales3COMPETENCIALECTORACOMPETENCIALECTORA
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 64

3
Números decimales especiales
RECURSOSPARAELAULA
COMPETENCIALECTORACOMPETENCIALECTORA
Aparte de los números decimales exactos y periódicos, existen números
decimales con la particularidad de que tienen infinitas cifras decimales
no periódicas. Es decir, su parte decimal consta de infinitas cifras,
pero en ella no hay ningún grupo que se repita indefinidamente.
Observa los ejemplos:
0,01001000100001000001...
1,223334444222333344444222233333444444...
Algunos de estos números, especialmente importantes, son:
• El número de oro
Se representa por ⌽ y su expresión decimal es:
⌽ = 1,6180339887498948482045868343656...
Desde la antigüedad ha tenido gran importancia por su aplicación
al arte en la famosa proporción áurea. El número áureo está presente
en construcciones como el Partenón, las catedrales...
También aparece en objetos de la vida cotidiana, como el carné
de identidad y las tarjetas de crédito e, incluso, lo podemos encontrar
en seres vivos como el nautilus (en la fotografía) y algunas especies
vegetales.
• El número π
Es la razón de la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro.
Su expresión decimal es:
␲ = 3,1415926535897932384626433832795...
Este número está presente en todas las circunferencias y círculos de
la realidad. En las culturas china, egipcia, griega…, se trató de obtener
aproximaciones cada vez más precisas de ␲, por su aplicación
en numerosos campos. Nosotros manejamos como valor de ␲
su aproximación a las centésimas, 3,14.
Aryabhata vivió en el siglo V, aunque tenemos
pocos datos de su vida, salvo que residía en la actual
Patna, ciudad cercana al río Ganges y que fue
en el año 499 cuando escribió su obra en verso
dedicada a las Matemáticas y conocida
con el nombre Aryabhatiya.
Dicha obra consta de cuatro partes: armonías
celestes, elementos de cálculo, del tiempo
y su medición y las esferas. El contenido matemático
está constituido por reglas para hallar raíces
cuadradas y cúbicas, reglas de medición, fórmulas
para el cálculo de los elementos geométricos,
identidades algebraicas sencillas…
Aryabhata
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 65

CONTENIDOS PREVIOS
Repases el sistema de numeración
decimal y la descomposición
polinómica de un número natural.
CONVIENE QUE…
Estudiaremos los órdenes
menores que la unidad
y te ayudará a comprender
la descomposición polinómica
de un número decimal.
PORQUE…
Realices con soltura
la multiplicación y división
de un número natural
por la unidad seguida de ceros.
CONVIENE QUE…
Lo utilizarás para transformar
números decimales en fracciones
decimales.
PORQUE…
El sistema de numeración decimal es posicional. El valor de cada cifra
depende del lugar que ocupa. Diez unidades de un orden forman una
unidad del orden inmediato superior.
2 ⋅ 10.000 = 20.000 2 3 4 1 5 5 ⋅ 1 = 5
3 ⋅ 1.000 = 3.000 1 ⋅ 10 = 10
4 ⋅ 100 = 400
23.415 = 2 ⋅ 104
+ 3 ⋅ 103
+ 4 ⋅ 102
+ 1 ⋅ 10 + 5
Sepas hacer aproximaciones
de números naturales.
CONVIENE QUE…
Las aproximaciones de números
decimales siguen reglas similares.
PORQUE…
TRUNCAMIENTO. Se sustituyen por cero todas las cifras siguientes
a la del orden considerado.
REDONDEO. Truncamos el número teniendo en cuenta, además, que si la
cifra siguiente a la cifra del orden considerado es mayor o igual que 5,
aumentamos en una unidad esta última.
Truncamiento a las centenas:
3.400
Truncamiento a las decenas:
3.410
Redondeo a las centenas:
3.400
Redondeo a las decenas:
3.420
Números decimales3LEERYCOMPRENDERMATEMÁTICAS
16 ⋅ 100 = 1.600
160 ⋅ 1.000 = 160.000
1.600 : 100 = 16
160.000 : 1.000 = 160
⎯→⎯→
⎯→
⎯→
⎯→
3 4 1 5
⎯
⎯⎯
⎯
⎯
→
⎯⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯⎯→⎯
⎯
⎯
⎯⎯
→
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 66

a Indica cualquier tipo
de número, incluido
un número decimal.
3,452… Indica un número decimal
en cuya parte decimal, además
de las cifras que aparecen
(452), hay más cifras
decimales.
4,56777… Indica un número decimal
periódico en cuya parte
decimal la cifra 7 se repite
indefinidamente.
3
Los puntos suspensivos, en cualquier notación numérica,
indican que hay más elementos además de los escritos.
En el caso de los números decimales, significa que hay
un número ilimitado de cifras decimales.
Los puntos suspensivos se colocan inmediatamente
detrás de la última cifra, sin dejar espacio en blanco.
1,5
)
= Indica que la fracción
generatriz del número
decimal 1,5
)
es .
14
9
14
9
3,4
)
Indica un número decimal
periódico puro en el que
4 se repite indefinidamente.
2,4567
)
Indica un número decimal
periódico mixto en el que
67 se repite indefinidamente.
El signo =, entre un número decimal periódico
y su fracción generatriz, indica que ambos son dos
expresiones de un mismo número, una decimal
y la otra fraccionaria.
Los números decimales se suelen separar por ;
para distinguir dónde termina uno y dónde empieza
el siguiente. Los puntos suspensivos deben ir separados
del último punto y coma por un espacio en blanco.
0,3; 0,5; 0,7; … Indica una sucesión
de números decimales.
Para indicar que una o varias cifras de la parte decimal
se repiten indefinidamente, se pone un arco sobre ellas.
RECURSOSPARAELAULA
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 67

EN LA VIDA COTIDIANA... Marcas olímpicas
• Conocer algunas marcas olímpicas de atletismo obtenidas por atletas masculinos y femeninas.
• Resolver problemas con números decimales y realizar estimaciones usando el redondeo y el truncamiento.
Aunque los Juegos Olímpicos se iniciaron en la anti-
gua Grecia, en los tiempos modernos resurgen en el
año 1896, en el estadio ateniense de Panathinaikos,
con la participación de 13 países, 300 atletas y tan solo
12 periodistas.
Más de cien años después, en los Juegos de Sidney 2000,
participaron 199 países, 11.116 atletas y 19.596 perio-
distas para informar de los eventos deportivos.
A continuación, trabajaremos con los tiempos consegui-
dos en ciertas pruebas, dando algunas de las mejores
marcas en los Juegos Olímpicos y los nombres de los
atletas que las consiguieron.
HAZ ESTAS ACTIVIDADES.
a) ¿Qué crecimiento porcentual experimentó el núme-
ro de atletas que participaron en los Juegos Olímpi-
cos desde la Olimpiada de 1896 hasta la de Sidney
2000? ¿Qué crecimiento porcentual experimentó el
número de países? ¿Y el número de periodistas?
b) ¿Cuánto tiempo más tardó Carl Lewis que Donovan
Bailey en recorrer los 100 metros?
c) ¿Qué atleta fue más rápido en la prueba de los
200 metros? Suponiendo que Michael Johnson man-
tuviera la misma velocidad en una hora, ¿cuál sería
su velocidad en kilómetros por hora?
d) Haciendo un redondeo a las décimas de los tiem-
pos de los tres corredores de los 100 metros, haz
una estimación de la diferencia de tiempos entre
Donovan Bailey y Jim Hines.
e) Calcula el error cometido en la estimación del apar-
tado anterior.
f) ¿Cuál es la diferencia exacta entre las longitudes
alcanzadas por Bob Beamon y Ralph Boston?
g) ¿Cuál es la diferencia de las longitudes del aparta-
do anterior si se redondea a las décimas?
h) Expresa, en minutos y segundos, la diferencia de
los tiempos que tardaron Carlos Lopes y Waldemar
Cierpinski en recorrer la maratón. ¿Cuál es la dife-
rencia en segundos?
Números decimales3COMPETENCIAMATEMÁTICA
PRUEBA DE LOS 100 METROS
Atleta Año Tiempo
Donovan Bailey 1996 9,84 s
Carl Lewis 1988 9,92 s
Jim Hines 1968 9,95 s
Atleta Año Tiempo
Michael Johnson 1996 19,32 s
Michael Marsh 1992 19,73 s
Joe Deloach 1988 19,75 s
Marcas obtenidas por atletas masculinos1
SALTO DE LONGITUD
Atleta Año Longitud
Bob Beamon 1968 8 m 90 cm
Ralph Boston 1968 8 m 27 cm
Ralph Boston 1960 8 m 12 cm
MARATÓN
Atleta Año Tiempo
Carlos Lopes 1984 2 h 9 min 21 s
Waldemar Cierpinski 1976 2 h 9 min 55 s
Abebe Bikila 1964 2 h 12 min 11 s
829485 _ 0046-0087.qxd 21/9/07 09:59 Página 68

Aunque la mujer fue discriminada en los Juegos Olím-
picos de la antigua Grecia, en la actualidad su partici-
pación es cada vez mayor. En Sidney 2000, la participa-
ción femenina supuso un 40 % del número total de
participantes y superó en 800 atletas a las mujeres
que participaron en Atlanta 1996.
A continuación señalaremos algunas de las mejores
marcas femeninas de las Olimpiadas en distintas dis-
ciplinas atléticas, las atletas que las consiguieron y el
año en que tuvieron lugar.
RESUELVE LAS ACTIVIDADES.
a) ¿Cuántas atletas femeninas participaron en los Juegos
de Sidney 2000? ¿Y en Atlanta?
b) ¿En qué porcentaje aumentó la participación feme-
nina de Atlanta a la de Sidney?
c) Calcula la estimación de la diferencia de tiempos en
la prueba de los 100 metros entre Evelyn Ashford
y Florence Griffith, si redondeamos a las décimas.
d) Halla el error cometido en la estimación realizada
en la actividad anterior.
e) Calcula la estimación de la diferencia de tiempos en
la prueba de los 100 metros, entre las dos marcas
obtenidas por Florence Griffith, si redondeamos a
las unidades.
f) Halla el error cometido en la estimación realizada
en la actividad anterior.
g) Expresa en forma decimal, tomando como unidad
el metro, las longitudes de los saltos de longitud de
las tres atletas. ¿Cuántos metros más saltó la atleta
J. Joyner-Kersee, en su mejor marca, que Tatiana
Kolpakova?
h) Haz una estimación de las diferencias de los saltos
de J. Joyner-Kersee, y calcula el error cometido si
se redondea a las décimas.
i) Haz una estimación de la diferencia de las longitu-
des de los saltos de J. Joyner-Kersee y Tatiana Kol-
pakova, redondeando a las décimas, y calcula el
error cometido.
j) Expresa en forma decimal los tiempos que tarda-
ron las dos atletas en recorrer la maratón. Redon-
dea a las décimas y halla la diferencia de ambos
tiempos. ¿Qué error cometes?
3
Marcas obtenidas por atletas femeninas2
RECURSOSPARAELAULA
SALTO DE LONGITUD
Atleta Año Longitud
J. Joyner-Kersee 1988 7 m 40 cm
J. Joyner-Kersee 1988 7 m 27 cm
Tatiana Kolpakova 1980 7 m 6 cm
MARATÓN
Atleta Año Tiempo
Naoko Takahashi 2000 2 h 23 min 14 s
Joan Benoit 1984 2 h 24 min 52 s
Atleta Año Tiempo
Florence Griffith 1988 10,62 s
Evelyn Ashford 1984 10,97 s
Atleta Año Tiempo
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 69

Dibujamos un triángulo semejante al triángulo real del terreno.
Tomando como escala, por ejemplo 1 : 1.500, las dimensiones del triángulo del dibujo serían:
105 m : 1.500 = 0,07 m = 7 cm
120 m : 1.500 = 0,08 m = 8 cm
150 m : 1.500 = 0,1 m0 = 10 cm
Para calcular el área del terreno medimos con una regla
graduada una de las alturas en el triángulo del dibujo, por ejemplo,
la altura AH, y calculamos la medida real de esta altura.
La altura AH, en el triángulo del dibujo, es 8 cm.
Altura real: 8 ⋅ 1.500 = 12.000 cm = 120 m.
Área del terreno: .
Precio del terreno: 6.300 ⋅ 90,15 = 567.945 €.
Comprueba con un transportador que el valor aproximado de los ángulos es:
$A = 44° $B = 83° $C = 53°
105 120
2
6 300 2⋅
= . m
Un terreno tiene forma triangular. Midiendo sobre el terreno, los lados son 105 m, 120 m y 150 m.
¿Cuánto se puede obtener por su venta si el precio del metro cuadrado es 90,15 €?
Estrategia Hacer dibujos a escala es la manera de representar la realidad proporcionalmente.
Pero, además, un dibujo a escala nos permite resolver en forma aproximada
problemas cuya solución exacta exige conocimientos matemáticos de un nivel
superior. La resolución de los siguientes problemas exigiría usar conocimientos
que el alumno no posee. Utilizando la estrategia mencionada se pueden resolver
con una aproximación aceptable.
Para hacer un polideportivo se ha comprado
una parcela triangular cuyos lados miden 300 m,
375 m y 362 m. Si el precio de un metro cuadrado
es 66,11 €, ¿cuál ha sido el precio de la parcela?
Para resolver el problema sigue estos pasos.
1.º Dibuja la parcela a escala 1 : 2.500.
2.º Mide una altura en el triángulo del dibujo,
y averigua su medida real.
3.º Calcula el área real de la parcela y su precio.
Utiliza un transportador y averigua lo que mide cada
ángulo.
Hacer un dibujo a escala
PROBLEMA RESUELTO
PROBLEMA PROPUESTO
Números decimales3APLICACIÓNDEESTRATEGIAS
A
8cm
10 cm
H
C
7 cm
B
8 cm
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 70

3
EJERCICIOS
Completa la tabla del ejercicio 52 de la página 72.
Resuelve el resto de apartados del ejercicio 80
de la página 74.
Guarda el libro con los datos introducidos
mediante → .
3
2
1
PRÁCTICA EXCEL
mediante → con el nombre: Unidad03_1a.
PRÁCTICA 1 (ejercicio 54 a), pág. 72)
1. El Programa EXCEL puede funcionar como una calculadora múltiple,
y es lo que vamos a comprobar en este ejercicio. Pon los rótulos de la
figura en las celdas A1: A11 y A1 a I1.
2. Colócate en la celda B2 e introduce la fórmula: . Observa que
se obtiene el resultado de multiplicar la celda B1 por la celda A2.
3. Copia la fórmula en las celdas B3 a B11 (el signo $ de la fórmula signi-
fica que al copiar siempre se mantendrá la celda B1, o sea que en B3
será: B1 × A3, en B4 será B1 × A4…
4. Introduce en la celda C2 la fórmula: y cópiala en las celdas
C3 a C11.
5. De forma análoga, haz lo mismo en las demás celdas comenzando
siempre en la fila 2.
6. Copia el resultado en tu cuaderno.
1. Abre una hoja Unidad03_2a y pon los rótulos, tal como se ve en la figu-
ra del margen.
2. Indica la cifra que se quiere aproximar en la celda A1: 1,25667.
3. Introduce las fórmulas: celda B2: y celda B3:
. Copia las fórmulas en las celdas C2 a D3, cam-
biando el número de decimales a 2 y 3, en función de la aproximación
a las centésimas o milésimas.
4. Copia la tabla en tu cuaderno.
=REDONDEAR(A1;1)
=TRUNCAR(A1;1)
=C$1*A2
=B$1*A2
RECURSOSPARAELAULA
NUEVASTECNOLOGÍAS
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 71

El amo de la Luna
Johan Müller Regiomontanus nació en Königsberg en 1436
y murió en Roma en el año 1476.
Fue un niño prodigio y con tan solo 16 años acabó sus estudios
en la universidad, si bien no obtuvo su título hasta haber
cumplido los 21 años por motivos legales.
En la universidad tuvo como maestro a Peuerbach, por cuyo
consejo adoptó el uso de los números arábigos, que utilizó
en sus tablas trigonométricas. Tras viajar por Italia y estudiar
a los autores clásicos, regresó a Alemania e instaló
una imprenta de su propiedad con la que quería difundir
las teorías de Arquímedes, Apolonio, Herón, Ptolomeo…,
pero esta obra se vio truncada por su repentina muerte,
a los 40 años de edad.
Regiomontanus fue el matemático más influyente del siglo XV,
y una de sus aportaciones fue separar la Trigonometría
de la Astronomía, y estudiarla como ciencia independiente
en su obra De triangulis omnimodis.
Se cree que otra de sus obras, Ephemerides, que describía
los movimientos planetarios, fue utilizada por Cristóbal Colón
en la conquista de América, ya que con ella pudo predecir
un eclipse de luna el 29 de febrero de 1504, cuando se
encontraba varado en la isla de Jamaica, esperando ayuda
de La Española, y que gracias a esa predicción pudo evitar
un motín y hacer que los indígenas siguieran aprovisionándoles
de comida y agua a él y a su tripulación.
Sistema sexagesimal4COMPETENCIALECTORA
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 72

En 1928 se estableció como
referencia para los tiempos el GMT
(hora en el meridiano de
Greenwich), también llamada UTC
(hora universal coordinada)
y, en el contexto de la aviación,
hora zulú.
Ahora bien, esa hora no es
la misma en todos los países
del mundo. La Tierra se dividió
en una serie de 24 partes o husos
horarios, en los cuales la hora legal
es diferente a la GMT. Hacia
el oeste, la hora legal disminuye,
y hacia el este aumenta, como
se ve en los relojes del mapa.
En aviación, para llevar un seguimiento más coordinado de los vuelos se trabaja con la hora zulú; es decir,
los pilotos y las torres de control de todo el mundo utilizan la hora universal, GMT o UTC, para operar
con una medida de tiempo común y no depender de la hora de cada país.
Si en España son las 17 horas, ¿cuál será la hora zulú?
Para calcularla basta con mirar el mapa. Vemos que España está situada en la franja marcada
como −1. Para hallar la hora zulú sumamos a la hora local el número de la franja a la que pertenece
el país; es decir, la hora zulú será: 17 + (−1) = 16 horas.
La hora zulú
4
RECURSOSPARAELAULA
COMPETENCIALECTORA
Augusta Ada King nació en Londres
en 1815, y fue la hija del sexto
lord Byron, el famoso poeta,
y de Annabella Milbauke Byron.
Sus padres se separaron cuando ella
tenía dos meses de edad, y lord
Byron abandonó definitivamente Gran
Bretaña, por lo que su hija nunca llegó
a conocerlo. Educada de forma
privada, fue sobre todo autodidacta.
Esta matemática británica creó
un prototipo de ordenador digital
que había diseñado Charles Babbage.
Debido a esta circunstancia,
Ada ha sido considerada la primera
programadora de computadoras.
Augusta Ada King
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11-12-11
+12
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 73

CONTENIDOS PREVIOS
Recuerdes las características
del sistema sexagesimal.
CONVIENE QUE…
Te serán útiles para comprender
los contenidos de la unidad.
PORQUE…
Utilices con soltura las
equivalencias entre las unidades
del sistema sexagesimal.
CONVIENE QUE…
Las utilizarás para operar
con cantidades expresadas
en el sistema sexagesimal.
PORQUE…
Conozcas la jerarquía
en las operaciones.
CONVIENE QUE…
en las operaciones combinadas
de ángulos y tiempos.
PORQUE…
El SISTEMA SEXAGESIMAL es el conjunto de unidades y normas
que aplicamos a la hora de medir ángulos y tiempos.
Sus unidades son:
Recuerdes las expresiones
en forma compleja e incompleja.
CONVIENE QUE…
Te servirá para resolver distintos
problemas.
PORQUE…
Una cantidad está en FORMA COMPLEJA cuando en su expresión aparecen
distintas unidades de medida. Si solo aparece una unidad de medida,
se dice que está en FORMA INCOMPLEJA.
Forma compleja ⎯→ 3 h 15 min 20 s
Forma incompleja → 20 h
Sistema sexagesimal4LEERYCOMPRENDERMATEMÁTICAS
Tiempos
Hora (h)
Minuto (min)
Segundo (s)
Ángulos
Grado (°)
Minuto (')
Segundo (")
Primero se resuelven las
multiplicaciones y las divisiones,
de izquierda a derecha.
Después, se realizan las sumas
y las restas en el mismo orden.
= 8 + 7 ⋅ 4 : 2 − 7 + 15 : 5 − 4 =
= 8 + 28 : 2 − 7 + 3 − 4 =
= 8 + 14 − 7 + 3 − 4 =
= 22 − 7 + 3 − 4 = 15 + 3 − 4 =
= 18 − 4 = 14
hora minuto segundo
F
FF
grado minuto segundo
G
G
G
⎯→
⎯⎯→
⎯→
⋅ 3.600
⋅ 60⋅ 60
: 60 : 60
: 3.600
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 74

° Indica la amplitud de un ángulo expresada
en grados.
' Indica una amplitud en minutos.
" Indica una amplitud en segundos.
h Indica una cantidad de tiempo
expresada en horas.
min Indica una cantidad en minutos.
s Indica una cantidad en segundos.
Al medir tiempos podemos expresar las cantidades
en forma compleja, utilizando varias unidades,
o en forma incompleja, si usamos una sola unidad.
Las medidas de ángulos podemos expresarlas
en forma compleja, utilizando varias unidades,
o incompleja, si usamos una sola unidad.
Indica una suma.
Indica una resta.
Indica una multiplicación.
Indica una división.15° 45' 40
15° 45'
× 7'
45° 45' 45"
− 20° 50' 47"
15° 45' 39"
+ 20° 50' 47"
Las cantidades expresadas en forma sexagesimal
podemos sumarlas, restarlas, multiplicarlas
y dividirlas. Los signos que expresan esas
operaciones son los usuales de las operaciones
aritméticas.
Podemos sumar y restar cantidades sexagesimales,
pero la multiplicación y la división se hacen
por un número, no por otra cantidad sexagesimal.
4
RECURSOSPARAELAULA
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 75

EN LA VIDA COTIDIANA... Relojes y ángulos
• Calcular la hora cuando las agujas forman un determinado ángulo.
• Dada una hora, hallar el ángulo que forman las agujas.
• Determinar la hora en la que las agujas están superpuestas o en prolongación.
Aquí tienes la posición de las agujas de un reloj mar-
cando horas exactas. ¿Qué ángulo forman las agujas
en cada caso?
Tomando un transportador puedes ver que, en el pri-
mer caso, forman un ángulo de 60°; en el segundo,
de 90°... Pero esto también se puede obtener de otra
manera.
La aguja minutero da una vuelta completa cada hora
(60 minutos), recorriendo 360°; por tanto, cada minu-
to recorre un ángulo de amplitud 360° : 60 = 6°.
La aguja horaria recorre un ángulo de 30° (360°/12)
cada hora, luego cada minuto recorre: 30° : 60 = 0,5°.
En el primer reloj, a las 2 h la aguja minutero está en
las 12 y la horaria está en las 2; luego, el ángulo es:
2 ⋅ 30° = 60°.
A las 3 h, en el segundo reloj, la aguja minutero está
en las 12 y la horaria está en las 3, siendo el ángulo:
3 ⋅ 30° = 90°.
¿Qué ángulo forman las agujas en este reloj?
Las agujas marcan las 12 h 20 min. Desde las 12 h, la
aguja minutero ha recorrido: 6° ⋅ 20 = 120°, y la aguja
horaria ha recorrido: 0,5° ⋅ 20 = 10°.
La diferencia, 120° − 10° = 110°, es el ángulo que
forman las dos agujas.
¿Qué ángulo forman las agujas a las 2 h 28 min?
Hacemos los cálculos desde la posición de las 12 h.
La aguja minutero recorre un ángulo de: 6° ⋅ 28 = 168°,
mientras que la horaria, desde las 12 h hasta las 2 h,
recorre: 2 ⋅ 30° = 60°, y de las 2 a las 2 h 28 min,
recorre otro ángulo de: 0,5° ⋅ 28 = 14°.
El ángulo que forman es: 168° − (60° + 14°) = 94°.
¿Qué ángulo forman las agujas a las 7 h 22 min?
La aguja horaria recorre, desde la posición de las 12 h,
un ángulo de 7 ⋅ 30° = 210°, al que sumamos el reco-
rrido de las 7 h a las 7 h 22 min: 0,5° ⋅ 22 = 11°. En
total, son 221°.
La aguja minutero, desde las 7 h hasta las 7 h 28 min,
recorre: 6° ⋅ 22 = 132°.
La diferencia, 221° − 132° = 89°, es el ángulo que
forman las agujas del reloj.
RESUELVE LAS ACTIVIDADES.
a) ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 21 h?
¿Y a las 23 h? Toma como ángulo el mayor de los
dos ángulos que se forman.
b) ¿Qué ángulo forman a las 5 h 17 min? ¿Y a las 5 h
30 min? ¿Y a las 5 h 50 min?
c) ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 20 h
10 min? ¿Y a las 20 h 40 min?
Ángulos a partir de la hora1
Sistema sexagesimal4COMPETENCIAMATEMÁTICA
829485 _ 0046-0087.qxd 21/9/07 09:59 Página 76

¿A qué hora exacta, entre las 2 h y las 3 h, las agujas
del reloj están superpuestas?
La hora pedida será las 2 h x min. Por tanto, se trata de
hallar los minutos. De la posición de las 12 h a la posi-
ción x de la aguja minutero, el ángulo será 6x. Desde la
posición de las 12 h a las 2 h hay 60°, y de las 2 h a las
2 h x min hay 0,5x; la aguja horaria recorre en total:
60 + 0,5x.
El ángulo recorrido por ambas agujas es el mismo:
6x = 60 + 0,5x; x = 10,91 min
Si lo expresamos en horas, minutos y segundos:
0,91 ⋅ 60 = 54,6 s
2 h 10,91 min = 2 h 10 min 54,6 s
¿Qué hora es, entre las 2 h y las 3 h, cuando las agujas
del reloj están en prolongación?
La hora será las 2 h x min. Razonamos igual que en el
ejemplo anterior. La aguja minutero habrá recorrido un
ángulo de 6x, y la aguja horaria, 60 + 0,5x.
En este caso, el ángulo de la aguja minutero es 180°
mayor que el de la horaria, es decir:
6x − (60 + 0,5x) = 180; x = 43,64 min
Las agujas están en prolongación a las 2 h 43,64 min;
es decir, a las 2 h 43 min 38 s.
¿A qué hora próxima a las 2 h las agujas del reloj, entre
las 2 h y las 3 h, forman un ángulo de 90°?
En la aguja minutero, el ángulo recorrido es 6x.
Y en la aguja horaria: 60 + 0,5x.
Se diferencian en 90°:
6x − (60 + 0,5x) = 90; x = 27,27 min
La hora es: 2 h 27,27 min = 2 h 27 min 16 s.
La clase de Matemáticas empieza entre las 13 h y las
14 h, cuando las agujas están superpuestas, y termina
antes de las 14 h, cuando forman un ángulo de 270°.
¿Cuánto tiempo dura la clase de Matemáticas?
La clase empieza a las 13 h x min. Las agujas están
superpuestas al empezar, luego:
30 + 0,5x = 6x; x = 5,45 min
La clase empieza a las 13 h 5 min 27 s.
Al terminar la clase forman un ángulo de 270°:
6x − (30 + 0,5x) = 270°; x = 54,55 min
La clase termina a las 13 h 54 min 33 s.
Por tanto, la clase dura:
13 h 54 min 33 s − 13 h 5 min 27 s = 49 min 6 s
REALIZA ESTAS ACTIVIDADES.
a) Una reunión de vecinos empieza entre las 17 h y
las 18 h, cuando las agujas están superpuestas,
y acaba pasadas las 19 h, cuando forman un án-
gulo de 111°. ¿Y a qué hora comienza la reunión?
¿Y a qué hora termina? ¿Cuánto tiempo dura?
b) Rafael ficha al entrar en la oficina entre las 8 h y
las 9 h, cuando las agujas están en prolongación,
y ficha la salida entre las 15 h y las 16 h, cuando las
agujas están superpuestas. ¿Cuánto tiempo está
en la oficina?
Horas a partir de los ángulos2
4
RECURSOSPARAELAULA
60 + 0,5x
60 + 0,5x
60 + 0,5x
6x
6x
6x
829485 _ 0046-0087.qxd 21/9/07 09:59 Página 77

Dibuja un ángulo AOB de 100°.
1.º Señala un punto C
en el lado OA y un
punto D en OB.
Traza la recta r
perpendicular al
lado OA por el
punto C, y la recta s
perpendicular al
lado OB por el punto D.
2.º Las rectas r y s se cortan en el punto P.
Averigua el valor del ángulo CPD.
Dibuja un ángulo AOB de 45°.
1.º Traza mediante plegado la bisectriz OD
del ángulo AOB. Señala un punto C en
la bisectriz y traza por este punto la recta r
perpendicular a la bisectriz. La recta r corta
al lado OB en un punto S y al lado OA
en el punto R.
2.º Traza por el punto R la recta perpendicular
al lado OB. Esta recta corta al lado OB
en el punto P.
Haz el dibujo y averigua cuál es el valor
del ángulo PRS.
21
Hacemos el dibujo siguiendo las indicaciones del enunciado.
El ángulo BOC mide: 180° − 45° = 135°, y el ángulo MON que forman las bisectrices
mide:
Prueba que las bisectrices de dos ángulos adyacentes cualesquiera, ␣ y 180° − ␣, son siempre
perpendiculares.
Para probar que las bisectrices de los ángulos ␣ y 180° − ␣ son perpendiculares, haz
un dibujo análogo al anterior y procede como se ha hecho con los ángulos de 45° y 135°.
45
2
135
2
180
90
° ° °
2
°.+ = =
Dibuja un ángulo AOB de 45°. Después, traza el ángulo BOC adyacente al ángulo AOB . Traza mediante
plegado las bisectrices de los ángulos anteriores. ¿Qué ángulo forman las bisectrices?
Estrategia La estrategia consistente en hacer un dibujo para reflejar las condiciones
del enunciado ayuda a resolver algunos problemas. Esta estrategia es especialmente
útil en los problemas geométricos, ya que las relaciones y el razonamiento
geométrico se entienden mejor cuando se trabaja sobre figuras construidas
de acuerdo con el enunciado del problema.
Dibujar ángulos
PROBLEMA RESUELTO
Sistema sexagesimal4APLICACIÓNDEESTRATEGIAS
135°
45°
B
C O A
B
C O A
N
M
P
A
B
C
DO
100°
s
r
135°
2
45°
2F
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 78

4
EJERCICIOS
hoja Unidad04_3a y haz el ejercicio 42, teniendo
en cuenta las transformaciones necesarias
para obtener la diferencia de ángulos.
Abre una nueva hoja Unidad04_4a y realiza el
ejercicio 51 de la página 89.
Guarda el libro con → .3
21
PRÁCTICA EXCEL
1. Escribe los rótulos de las celdas A1 a I2:
2. Introduce los valores de los ángulos en las celdas A3 a F3.
3. Colócate en la celda I3 y escribe la fórmula: .
Esta fórmula suma los segundos y escribe el resto de dividir entre 60.
4. Introduce en la celda H3 la fórmula:
. Suma los minutos del
primer y segundo sumandos, y si la suma de los segundos, sobrepasa 60,
suma también los minutos correspondientes. Después, calcula el resto
y escríbelo.
5. Pon en la celda G3:
. De forma aná-
loga sumará los grados de los dos sumandos más los grados resultantes
de la suma de los minutos. Resultado: 45° 50' 55".
6. En filas sucesivas, introduce los valores del resto de apartados.
1. En otra hoja, Unidad04_2a, introduce los rótulos de las celdas A1 a G2.
2. Introduce los valores del ángulo y del factor en las celdas A3 a D3.
3. Colócate en la celda G3 y escribe la fórmula: .
Esta fórmula multiplica los segundos por el factor y escribe el resto de
dividir entre 60.
4. En la celda F3 escribe: .
Esta fórmula multiplica los minutos por el factor, suma los minutos re-
sultantes de la operación de los segundos anteriores y escribe el resto
de dividir entre 60.
5. Y en E3: . Esta
fórmula multiplica los grados por el factor y suma los grados anteriores.
6. En filas sucesivas, introduce los valores del resto de apartados.
=A3*D3+COCIENTE(B3*D3+COCIENTE(C3*D3;60);60)
=RESIDUO(B3*D3+COCIENTE(C3*D3;60);60)
=RESIDUO(C3*D3;60)
=A3+D3+COCIENTE(B3+E3+COCIENTE(C3+F3;60);60)
=RESIDUO(B3+E3+COCIENTE(C3+F3;60);60)
=RESIDUO(C3+F3;60)
RECURSOSPARAELAULA
NUEVASTECNOLOGÍAS
829485 _ 0046-0087.qxd 21/9/07 09:59 Página 79

El templo de Apis
La acción nos traslada al antiguo Egipto, que es la cuna, junto
con Mesopotamia, del nacimiento de la cultura occidental.
Los legados matemáticos de las dos civilizaciones que han
llegado a nuestros días han sido más bien escasos, en especial
en el caso de los egipcios que escribían sobre papiro,
ya que este se degrada con el paso del tiempo más que las
tablillas de arcilla que utilizaban en Mesopotamia para escribir.
El papiro egipcio más importante del que tenemos noticia
dedicado a las Matemáticas es, sin duda, el papiro de Rhind,
llamado así porque fue comprado por el escocés Henry Rhind
en el año 1858 y actualmente se encuentra en el Museo Británico.
También se le conoce como el papiro de Ahmés por ser este
el escriba que lo copió.
El papiro fue escrito hacia el año 1650 a.C. y su propio autor
reconoce que lo copió, de un escrito unos 200 años anterior,
es decir, el escrito original habría sido redactado hace 4.000 años.
Contiene 87 problemas matemáticos concretos,
sin generalizaciones de ningún tipo, sobre cuestiones aritméticas,
fracciones, áreas, volúmenes, progresiones, repartos
proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales
y trigonometría básica.
El juego de símbolos que proponemos se basa en el sistema
de numeración egipcio, es un sistema aditivo (no posicional)
en el que cada símbolo recibe un valor, por ejemplo:
Expresiones algebraicas5COMPETENCIALECTORA
1 unidad
10 unidadesF
F
829485 _ 0046-0087.qxd 21/9/07 09:59 Página 80

François Viète (1540-1603) era un abogado y jurista francés, miembro
del Parlamento y hombre de confianza del rey Enrique IV de Francia,
cuya verdadera vocación era las Matemáticas.
Su notable aportación a esta ciencia es debida a que llevó el Álgebra
a su fase simbólica tal y como hoy se utiliza. Viète introdujo la primera
anotación algebraica sistemática en su libro Introducción al arte analítico,
publicado en 1571.
En él demostró el valor y la utilidad de los símbolos, abandonó el uso
de palabras en el Álgebra y utilizó, en sus cálculos, las letras minúsculas
latinas: las vocales representaban magnitudes desconocidas,
y las consonantes, magnitudes conocidas. Fue también el primero
en reducir expresiones matemáticas a «fórmulas» en el verdadero sentido
del término. La palabra «coeficiente» deriva de su vocabulario y aparece
en uno de sus problemas geométricos.
Viète mejoró la teoría de ecuaciones y presentó métodos para resolver
ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. Sin embargo, no las resolvía
tal como se hace en la actualidad, sino que las asociaba a problemas
geométricos, aplicando lo que él llamaba el principio de homogeneidad.
Así, la ecuación x2
+ x = 6, según ese principio, no se podía resolver
tal cual porque los sumandos x2
y x no eran homogéneos, es decir,
tenían distinta dimensión, ya que él asociaba el término x2
con áreas
y x con líneas. Viète intentaba siempre resolver ecuaciones
en las que las dimensiones de cada sumando o término
(es decir, su grado) fueran iguales.
El primer simbolista
5
RECURSOSPARAELAULA
COMPETENCIALECTORA
EL BURRO EN LA ESCUELA
Una y una, dos.
Dos y una, seis.
El pobre burrito
contaba al revés.
¡No se lo sabe!
–¡Sí me lo sé!
–¡Usted nunca estudia!
Dígame, ¿por qué?
–Cuando voy a casa
no puedo estudiar,
mi amo es muy pobre,
hay que trabajar.
Trabajo en la noria
todo el santo día.
¡No me llame burro,
profesora mía!
GLORIA FUERTES
Poesía matemática
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 81

SIMPLIFICAR una fracción consiste en hallar otra fracción equivalente
que no tenga factores comunes en el numerador y el denominador.
a b c
a cd
a a a b b c
a a c d
a b
d
3 2
2
2
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅
120
180
2 3 5
2 3 5
2 2 2 3 5
2 2 3 3 5
2
3
3
2 2
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
CONTENIDOS PREVIOS
Recuerdes la propiedad
distributiva del producto.
CONVIENE QUE…
en la resolución de ecuaciones.
PORQUE…
Repases las características
del lenguaje algebraico.
CONVIENE QUE…
Lo utilizarás para trabajar
con ecuaciones.
PORQUE…
Sepas llevar a cabo
la simplificación de fracciones.
CONVIENE QUE…
La usarás para realizar divisiones
de monomios y para simplificar
la solución de una ecuación.
PORQUE…
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA
Y DE LA DIFERENCIA
a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
a ⋅ (b − c) = a ⋅ b − a ⋅ c
7 ⋅ (5 + 2) = 7 ⋅ 5 + 7 ⋅ 2 = 35 + 14 = 49
8 ⋅ (4 − 3) = 8 ⋅ 4 − 8 ⋅ 3 = 32 − 24 = 8
El LENGUAJE ALGEBRAICO utiliza números y letras unidos mediante
operaciones aritméticas. Las expresiones de ese tipo se denominan
EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
2x + 3y − 5z
4x + 9z2
Sepas obtener el valor numérico
de una expresión algebraica.
CONVIENE QUE…
Te será útil para verificar
las soluciones de una ecuación.
PORQUE…
El VALOR NUMÉRICO de una expresión algebraica, para unos valores dados
de las letras, se obtiene sustituyendo estos en la expresión y operando.
Valor numérico de 7x − 11y, para x = 1 e y = −1:
7 ⋅ 1 − 11 ⋅ (−1) = 7 + 11 = 18
Expresiones algebraicas5LEERYCOMPRENDERMATEMÁTICAS
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 82

−5 ⋅ a ⋅ b3
Indican el mismo monomio.
−5ab3
7 ⋅ (3x − 2)
Indican la misma operación.
7(3x − 2)
x + y − z Indica una expresión algebraica
con tres incógnitas.
Las incógnitas de una expresión algebraica
se representan con letras minúsculas.
Las más usuales son x, y, z, t, u, v…
El signo de multiplicación entre un número y una
incógnita, o entre dos incógnitas, se puede omitir.
El signo de multiplicación anterior a un paréntesis
también se puede omitir.
axn
Es la expresión general de un monomio.
En la expresión general de un monomio se distinguen
diferentes partes.
Un polinomio cualquiera con una variable se denota
por P(x), Q(x), R(x)…
P(x) = x4
+ 3x3
− 2x − 7
P(3) = 34
+ 3 ⋅ 33
− 2 ⋅ 3 − 7 = 149
P(x, y) = 2x2
y + 3xy2
− x2
− 4
P(2, 1) = 2 ⋅ 22
⋅ 1 + 3 ⋅ 2 ⋅ 12
− 22
− 4 = 6
5
RECURSOSPARAELAULA
axn
Coeficiente
Parte literal
P(x)
Q(x)
R(x)
Indican polinomios que solo tienen
una variable, x.
P(x, y) Indica un polinomio con dos
variables, x e y.
P(3) Indica el valor del polinomio P(x)
para x = 3.
P(2, 1) Indica el valor del polinomio P(x, y)
para x = 2, y = 1.
F
F
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 83

EN LA VIDA COTIDIANA... Álgebra y calculadora
• Usar de forma eficiente la calculadora científica para validar y realizar cálculos algebraicos.
• Resolver ecuaciones de primer grado por métodos numéricos mediante la calculadora.
Para realizar cálculos numéricos largos, normalmen-
te se van escribiendo los resultados parciales en el
cuaderno, hasta llegar al resultado final. Por ejemplo,
para averiguar el valor numérico de la expresión alge-
braica 3x3
− 2x2
+ 5x − 1, para x = −2, hacemos:
3 ⋅ (−2)3
− 2 ⋅ (−2)2
+ 5 ⋅ (−2) − 1 =
= 3 ⋅ (−8) − 2 ⋅ (4) − 10 − 1 =
= −24 − 8 − 10 − 1 = −43
Las calculadoras científicas permiten realizar los cálcu-
los de una forma más eficaz sin necesidad de efectuar
cálculos parciales, ni de ir anotándolos.
Las teclas usadas en este caso serían:
Observa que solamente se han utilizado las funciones
(o teclas) siguientes.
tecla de multiplicar
teclas de paréntesis
tecla de elevar a una potencia
tecla de cambio de signo
DETERMINA CON LA CALCULADORA EL VALOR
NUMÉRICO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES,
PARA LOS VALORES INDICADOS.
a) 3x2
− 5x + 8 para x = −1
b) 6(x + 8)3
− 5x2
+ 4x − 3 para x = 4
c) (x − 5)3
− + 4x para x = 4
d) 4x3
+ 3x2
− 2x + 5 para x =
1
2
4 3
3
2
( )x −
±
xy
---)][(---
×
=1−±2×5
+---)]2xy
±2[(---×2
−---)]3xy
±2[(---×3
Valor numérico de una expresión algebraica1
La calculadora científica no efectúa cálculos simbólicos,
pero permite comprobarlos. Así, para ver si está bien he-
cho el cálculo algebraico:
(3x − 5) ⋅ (4x2
+ 5x − 2) = 12x3
− 5x2
− 30x + 10
damos a x un valor cualquiera y hallamos con la calcu-
ladora cuánto vale cada miembro.
Tomamos el valor x = 10, y en el miembro izquierdo
obtenemos:
(3 ⋅ 10 − 5) ⋅ (4 ⋅ 102
+ 5 ⋅ 10 − 2) = 25 ⋅ 448 = 11.200
Y en el derecho:
12 ⋅ 103
− 5 ⋅ 102
− 30 ⋅ 10 + 10 = 11.210
La multiplicación algebraica no está bien realizada.
Ten en cuenta que obtener el mismo resultado no sig-
nifica que la operación esté bien realizada. El método
nos sirve únicamente para saber si está mal hecha.
HAZ ESTAS OPERACIONES
CON LA CALCULADORA.
a) Comprueba si el siguiente producto está mal reali-
zado, dando a x el valor 1:
(2x2
+ 3x − 5) ⋅ (3x2
− 5) =
= 6x4
+ 9x3
− 25x2
− 15x + 25
b) Realiza el siguiente producto y comprueba el resul-
tado con la calculadora, dando a x el valor 2:
(2x2
+ 3x − 1) ⋅ (3x + 7)
Validación de resultados en cálculos algebraicos2
Expresiones algebraicas5COMPETENCIAMATEMÁTICA
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 84

La calculadora permite también resolver ecuaciones.
Vamos a verlo con un ejemplo.
Dos amigos, Pedro y Ana, juegan con sus calculado-
ras. Pedro tiene en la pantalla de su calculadora el nú-
mero 8 y Ana el número 118.
Pedro suma a su número 3 unidades y Ana le resta al
suyo 5 unidades de forma simultánea. Obtienen como
resultados 11 y 113, respectivamente.
Se plantean el siguiente problema: si realizan este pro-
ceso repetidas veces, ¿llegarán a tener el mismo resul-
tado en la pantalla? ¿Cuántas veces serán necesarias?
Y si no es así, ¿cuándo estarán más cerca de lograrlo?
Una suma repetida con la calculadora, con sumando
constante 3, se puede hacer así:
y obtenemos en la pantalla:
A partir de entonces, bastará con pulsar repeti-
damente y obtendremos: 14, 17, 20…
Lo mismo podrá hacer Ana. En este caso, es una resta
repetida con sustraendo constante 5. Pulsando:
se obtiene 113. Luego, pulsando repetidamente la te-
cla , se obtendrá: 108, 103, 98…
La traducción algebraica del problema de Pedro y Ana
es la ecuación:
8 + 3x = 118 − 5x
Ambos pueden anotar los resultados sucesivos en una
tabla, en la que x es el número de veces que cada uno
tendrá que apretar la tecla .
Como ves, con la calculadora podemos resolver ecua-
ciones usando métodos de resolución numéricos en
vez de algebraicos.
REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.
a) ¿Crees que llegarán a ser iguales los números de
Pedro y Ana?
b) ¿Para qué valor de x opinas que los números serán
más parecidos?
c) Resuelve el problema con la calculadora y com-
prueba tus anteriores hipótesis.
d) Resuelve algebraicamente la ecuación y contesta
de nuevo a las preguntas de los apartados a) y b).
e) Si partimos de los números 10 y 200, y aumenta-
mos el primero de 6 en 6 y disminuimos el segun-
do de 3 en 3, ¿se obtendrá el mismo número?
¿Después de cuántas veces? Plantea la ecuación y
resuélvela algebraicamente.
f) Ahora partimos de los números −5 y 255. El pri-
mero aumenta de 8 en 8 y el segundo disminuye
de 5 en 5. ¿Se obtendrá el mismo número? ¿Des-
pués de cuántas veces? ¿Qué secuencias de teclas
usarías? Plantea la ecuación y resuélvela algebrai-
camente.
g) De la misma manera que con la suma y la resta,
se actúa con el producto. Así, si tecleamos la se-
cuencia:
resulta 12 y, cada vez que volvamos a pulsar ,
obtendremos el producto por 3: 36, 108…
¿Cuántas veces hemos de pulsar para obtener el
número 2.916? ¿Sabrías plantear la ecuación?
=
=4××3
=
=
811−−5
=
11.
=8=+3
Resolver ecuaciones de primer grado por métodos numéricos
mediante la calculadora
3
5
RECURSOSPARAELAULA
x 0 1 2 3 4 …
Pedro 8 11 14 17 20 …
Ana 118 113 108 103 98 …
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 85

Distinguiremos dos posibles casos:
• Que vayan en sentido opuesto
Los dos móviles se encuentran en un punto C, situado entre A y B. Si x es la distancia
entre A y C, 50 − x será la distancia entre B y C. El tiempo que tardan en encontrarse es el mismo, t.
Así, resultan las siguientes ecuaciones.
Móvil 1: x = v1t = 120t
Móvil 2: d − x = v2t = 180t
Sumando ambas ecuaciones: d = (v1 + v2)t = 200t → .
Conocido el valor de t, se obtiene: x = v1t = .
Se encuentran al cabo de 15 minutos, a 30 km del punto A.
• Que vayan en el mismo sentido
Los dos móviles se encontrarán en el punto C, habiendo recorrido el primero una distancia 50 + x,
y el segundo, x.
Móvil 1: d + x = v1t → 50 + x = 120t
Móvil 2: x = v2t → x = 180t
Restando: d = (v1 − v2)t → .
Conocido el valor de t, se obtiene: x = v2 ⋅ = 80 ⋅ = 100 km.
Se encuentran al cabo de 1 hora y cuarto, a 100 km del punto B.
5
4
d
v v1 2−
t
d
v v
=
−
=
−
=
1 2
50
120 80
5
4
hora
120
1
4
30⋅ = km
t
d
= = =
200
50
200
1
4
hora
Dos móviles están a una distancia d = 50 km en un instante dado.
Si ambos circulan por el mismo camino y sus velocidades
son v1 = 120 km/h y v2 =80 km/h, ¿al cabo de cuánto tiempo
y en qué punto se encontrarán?
Estrategia En problemas de tipo algebraico, un esquema nos puede ayudar a traducir
e interpretar el enunciado de un problema. A continuación, vamos a comprobarlo
en problemas de móviles, en los que: espacio = velocidad ⋅ tiempo.
Hacer un esquema
PROBLEMA RESUELTO
Expresiones algebraicas5APLICACIÓNDEESTRATEGIAS
v1 = 120 km/h v2 = 80 km/h
A BC
6 5 6 5x 50 − x
CB
v1 = 120 km/h v2 = 80 km/h
6 5 6 5xd = 50 km
A
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 86

5
EJERCICIOS
hoja Unidad05_2a, y cambia las fórmulas del
apartado a) para realizar el resto de operaciones
del ejercicio. Por ejemplo, para calcular
el apartado c) tendrás que poner
en la celda B7.
De forma análoga a la Práctica 2, realiza el resto
de apartados del ejercicio 62.
Guarda el libro con → .3
2
=B3−B4
1
PRÁCTICA EXCEL
1. Escribe los rótulos de las celdas con el fondo en amarillo:
2. Introduce los valores de los coeficientes de los diferentes polinomios:
A(x), B(x) y C(x) en las celdas de las columnas B, D y H. Por ejemplo,
en la celda B3 coloca un 2, en la celda D3 coloca un −3, y así sucesiva-
mente. Observa cómo queda el polinomio A(x):
3. Introduce en la celda B7: y, después, copia la fórmula
en las celdas D7, y verás que aparece , y lo mismo en
F7 y H7.
4. Observa cómo queda el resultado:
Es decir, que A(x) + B(x) + C(x) = 3x3
+ 2x2
− 2x − 12.
1. Abre una nueva hoja Unidad05_2a y realiza las operaciones señaladas
en el ejercicio; pon los rótulos de la tabla, tal como se ve en la figura del
margen.
2. Introduce la fórmula siguiente en B5: y cópiala en D5 y
en F5.
3. Observa el resultado: P(x) = 6x + 8.
=B3*$B$4
=D3+D4+D5
=B3+B4+B5
RECURSOSPARAELAULA
NUEVASTECNOLOGÍAS
829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 87

François Viète nació en Fontenay-le-Comte en 1540 y murió
en París en 1603. Estudió Derecho en Poitiers y ejerció
como abogado en el Parlamento de París, siendo posteriormente
consejero en el Parlamento de Rennes, y años más tarde pasó
al servicio exclusivo del rey en el Parlamento de París.
Dedicado a la política, las Matemáticas constituyeron
un pasatiempo para él.
Como consejero privado del rey Enrique III y, después,
de su primo Enrique IV, se encargó de descifrar los códigos
secretos enemigos. De hecho, se cuenta que Felipe II, rey
de España, pidió que fuera acusado de brujería, pues creía
que solo de esa manera podría haber descifrado sus claves
secretas. Esta teoría fue refutada por sus propios inquisidores,
concluyendo que de lo único que podía acusarse a Viète
era de poseer una capacidad de trabajo y una inteligencia
fuera de lo común. Al final de su vida, en 1603, redactó
un trabajo sobre criptografía que dejó anticuados los sistemas
de cifrado que existían en la época.
Viète pasó a la posteridad por sus contribuciones matemáticas,
siendo el matemático más importante de su tiempo, y entre
sus aportaciones destaca, en el plano numérico, la utilización
y defensa de las fracciones decimales, es decir, de los números
decimales, en lugar de las fracciones sexagesimales. Además,
es considerado el padre del Álgebra, y fue el primero en escribir
una ecuación en forma general, utilizando las vocales para
las incógnitas y las consonantes para los parámetros conocidos.
Así, la ecuación general de segundo grado la escribió como
B in A quadratus + C in A + D ae 0 (ae como abreviatura
de aequalis), que la escribiríamos como ba2
+ ca + d = 0.
París bien vale una misa
Ecuaciones de 1.er
y 2.o
grado6COMPETENCIALECTORA
829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 88

6
Los árabes destacaron en el estudio del Álgebra, pero su forma de plantear
y resolver problemas era, sin embargo, muy distinta de la nuestra.
El siguiente ejemplo proviene del Álgebra de Abenbéder (siglo XIII).
Observa su manera peculiar de razonar y la dificultad que supone
no usar símbolos, como la letra x, a la hora de resolver estos problemas.
Problema
Dos hombres se encuentran, teniendo cada uno de ellos en su mano
cierto dinero. Le dice uno de los dos al compañero: «Si me das de lo que
tú tienes tres unidades, las añado a lo que tengo y tendré lo mismo que
lo que te queda». El segundo le responde: «Si tú me das de lo que tienes
seis unidades, las añado a lo que tengo y tendré dos veces lo que te
queda». ¿Cuánto tiene cada uno?
Solución
1.º Hay que suponer que lo que tiene el primero es una incógnita
menos tres unidades, y que lo que tiene el segundo es una incógnita
más tres unidades. Cuando toma el primero tres unidades del
segundo, teniendo el primero en su mano una incógnita menos tres,
el primero tendrá en su mano una incógnita y quedará en la mano
del segundo una incógnita.
2.º Le dijo el segundo al primero: «Si me das de lo que tienes seis
unidades, tendré dos veces lo que te quede»; por lo que el segundo
tendrá una incógnita más nueve y queda en la mano del primero
una incógnita menos nueve. Además, la cantidad del segundo:
una incógnita más nueve, es el doble de la del primero: una
incógnita menos nueve, o sea, dos incógnitas menos dieciocho.
3.º Aplicamos el al-jabr (transposición) y el mucábala (reducción)
y tenemos que una incógnita más veintisiete es igual a dos
incógnitas. Por tanto, una incógnita es 27.
4.º Como el primero tenía una incógnita menos tres, y el segundo,
una incógnita más tres, el primero tendrá 24 monedas y el segundo
tendrá 30 monedas.
Álgebra no simbólica
RECURSOSPARAELAULA
COMPETENCIALECTORA
Los datos biográficos de este matemático son escasos,
pero sus contribuciones científicas, que están contenidas
en media docena de libros, resultan notables.
La palabra «álgebra», con la que hoy conocemos a una
de las ramas de las Matemáticas, aparece en el título de su
obra más importante.
En dicha obra Al-Khwarizmi resuelve seis tipos de ecuaciones
de segundo grado con una incógnita. A lo largo de los seis
capítulos aparecen catorce ecuaciones, junto con
las estrategias que se deben aplicar en cada caso para
resolverlas y obtener sus respectivas soluciones.
Mohamed ibn Musa Al-Khwarizmi
829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 89

CONTENIDOS PREVIOS
Recuerdes la propiedad
distributiva del producto.
CONVIENE QUE…
en el producto de polinomios.
PORQUE…
Conozcas cómo realizar
el producto y cociente
de potencias de la misma base.
CONVIENE QUE…
Lo necesitarás para operar
con polinomios.
PORQUE…
Para MULTIPLICAR POTENCIAS DE LA MISMA BASE se mantiene la base
y se suman los exponentes.
Para DIVIDIR POTENCIAS DE LA MISMA BASE se mantiene la base y se restan
los exponentes. El exponente del dividendo tiene que ser mayor
que el del divisor.
an
⋅ am
= an+m
an
: am
= an−m
73
⋅ 75
= 73+5
= 78
46
: 42
= 46−2
= 44
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO
RESPECTO DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA
a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
a ⋅ (b − c) = a ⋅ b − a ⋅ c
(−3) ⋅ (8 − 4) = (−3) ⋅ 8 − (−3) ⋅ 4 = −24 − (−12) = −12
5 ⋅ (x + 3) = 5 ⋅ x + 5 ⋅ 3 = 5x + 15
El GRADO de un monomio es la suma de los exponentes de su parte literal;
por ejemplo, el grado de 9x 2
y3
z es: 2 + 3 + 1 = 6.
El GRADO de un polinomio coincide con el de su monomio de mayor grado.
Grado (x3
+ 2x2
− x + 1) = Grado (x3
) = 3
Grado (xy2
+ 3x3
y − 1) = Grado (3x3
y) = 4
Repases lo que es el grado
de un polinomio.
CONVIENE QUE…
Te servirá para distinguir
las ecuaciones de primer
y segundo grado.
PORQUE…
P(x) = x2
− 3x + 2 para P(2) = 22
− 3 ⋅ 2 + 2 = 0
x = 2
Q(x, y) = 2xy2
+ 3x2
y para Q(2, 1) = 2 ⋅ 2 ⋅ 12
+ 3 ⋅ 22
⋅ 1 = 16
x = 2, y = 1
Sepas calcular el valor numérico
de un polinomio.
CONVIENE QUE…
Lo utilizarás para verificar
las soluciones de una ecuación.
PORQUE…
Ecuaciones de 1.er
y 2.o
grado6LEERYCOMPRENDERMATEMÁTICAS
829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 90

ax + b = 0 Indica la expresión general
de una ecuación de primer
grado con una incógnita.
Cuando se escribe una ecuación de primer grado
con una incógnita, se suele tomar la letra x para
designarla, aunque también se pueden usar otras
letras, como y, z, t…
Después de resolver una ecuación, hay
que comprobar que la solución obtenida es correcta
y que tiene sentido en el contexto del problema.
Indica las dos posibles
soluciones de una
ecuación de segundo
grado.
x1, x2 Indican las dos raíces
de una ecuación de
segundo grado.
− ± −b b ac
a
2
4
2
En una ecuación de segundo grado,
a es el coeficiente de x2
, b es el coeficiente de x
y c es el término independiente.
Cuando en la fórmula de la solución aparece
el símbolo ±, significa que la ecuación tiene
dos soluciones, una sumando y otra restando.
La fórmula x = equivale a dos
soluciones, que son:
x
b b ac
a
x
b b ac
a
1
2
2
2
4
2
4
2
=
− + −
=
− − −
− ± −b b ac
a
2
4
2
El símbolo expresa que el primer miembro
de la igualdad no es igual al segundo.
ax2
+ bx + c = 0 Indica la expresión
general de una ecuación
de segundo grado
con una incógnita.
Al escribir una ecuación de segundo grado con una
incógnita, se suele utilizar la letra x para designarla,
aunque también se pueden usar otras letras.
Para resolverla es conveniente expresarla primero
en forma general, pasando todos los términos
al miembro de la izquierda y reduciendo los términos
semejantes.
x2
+ 2x = 3x2
− x − 4
x2
− 3x2
+ 2x + x + 4 = 0
−2x2
+ 3x + 4 = 0
6
3 + 4 ≠ 9 Indica que los dos miembros
de la igualdad son distintos.
RECURSOSPARAELAULA
829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 91

EN LA VIDA COTIDIANA... Resolución de ecuaciones
de forma geométrica
• Practicar la resolución geométrica de ecuaciones de primer y segundo grado. • Comparar los métodos
algebraico y geométrico de Al-Khwarizmi. • Obtener de manera geométrica una fórmula general
de resolución.
Al-Khwarizmi, un famoso matemático árabe, distin-
guió seis tipos de ecuaciones en función de los ele-
mentos que aparecían en cada una. A la incógnita la
llamaba raíz; a las constantes, números, y a los cua-
drados, mal.
Los seis tipos son los siguientes (a, b y c son números
enteros positivos).
1.º Raíces igual a números: bx = c.
2.º Mal igual a raíces: ax2
= bx.
3.º Mal igual a números: ax2
= c.
4.º Mal y raíces igual a números: ax2
+ bx = c.
5.º Mal y números igual a raíces: ax2
+ c = bx.
6.º Mal igual a raíces y números: ax 2
= bx + c.
Al-Khwarizmi dio reglas para resolver cada uno de
estos tipos de ecuaciones. Vamos a ver cómo resolvía
los cuatro primeros casos.
Completa los resultados donde aparezcan los puntos
suspensivos (…).
PROBLEMAS
a) Resolver 4 raíces igual a 12.
En la notación actual, esto equivaldría a resolver
4x = 12, es decir, el área de un rectángulo de
base 4 es 12; por tanto, la altura es el número
que multiplicado por 4 da 12: AD = x = …
b) Resolver mal igual a 8 raíces.
En la notación actual equivaldría resolver x2
= 8x,
es decir, el área de un rectángulo de base x y altu-
ra 8 es igual al área de un cuadrado de lado x, por
lo que x = … (la solución x = 0 no se consideraba).
c) Resolver mal igual a 25.
En la notación actual, sería resolver x2
= 25, es de-
cir, el área del cuadrado ABCD es 25, por lo que el
lado será la raíz cuadrada de ese valor: AD = x = …
d) Resolver mal y 6 raíces igual a 16.
En la notación actual sería x2
+ 6x = 16. La reso-
lución geométrica es:
1.º ABEH es un cuadrado de lado x.
2.º AB y AH se amplían hasta C y G, de manera
que BC y HG miden 3 cada uno.
3.º Completamos la figura anterior con el cuadra-
do DEFK, de área 3 ⋅ 3 = 9, y el cuadrado
ACKG queda completo.
4.º En el dibujo se ve que su área es x2
+ 6x + 9,
o, lo que es lo mismo, (x + 3)2
.
5.º Sabemos que x2
+ 6x = 16, y sumando 9:
(x + 3)2
= 16 + 9 = 25.
Sacando la raíz cuadrada de ambos términos ha-
llamos el lado del cuadrado ACKG y, a partir de
él, el lado del cuadrado ABEH. El valor de x es…
La técnica de resolución de Al-Khwarizmi es sencilla
y utiliza la Geometría en su razonamiento.
Resolución geométrica de ecuaciones de primer y segundo grado1
6COMPETENCIAMATEMÁTICA
D C
A B
x
x
x x
4
8 =
D C
A
x
x
x
B
G K
H D
A
F
E
B
C
3x 9
3xx2
3
Ecuaciones de 1.er
y 2.o
grado
829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 92

Reforzo mates 3º eso

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (12)

Similar a Reforzo mates 3º eso

Similar a Reforzo mates 3º eso (20)

Más de victorxavina

Más de victorxavina (12)

Reforzo mates 3º eso