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Matemática

Los números tienen su historia
Sobrevolaremos fugazmente por la historia de los números, como para contarte algo de
lo mucho que hizo el hombre desde tiempos prehistóricos.
En la actualidad estamos tan acostumbrados a utilizar los números que la idea de dónde
y cómo surgieron nos resulta muy remotas en el tiempo.
El hombre está inmerso en un universo que se extiende desde lo "infinitamente grande"
hasta lo "infinitamente pequeño", desde la galaxia al átomo. El lenguaje producido por el
hombre para describir, explicar e incluso inventar su mundo es el lenguaje matemático.
El documento matemático más antiguo es un conjunto de 55 incisiones, en grupos de
cinco, hechas en un hueso de lobo de 30.000 años de antigüedad encontrado en
Moravia, en 1937.
Una teoría afirma que durante el cuarto milenio a.C., en el delta del Tigris y en el del
Éufrates, la tierra extraordinariamente fértil rendía más de lo que podían consumir. Pero
carecían de materiales de construcción, piedra, madera y metales; esto fomentó el
comercio con regiones lejanas dando lugar a la aparición de sectores dedicados al
comercio.
En los templos y centros ceremoniales se han encontrado antiquísimas tablillas de
arcilla cocida con inscripciones, algunas de las cuales representan números. Estos
símbolos, llamados numerales, son las cuentas que los sacerdotes rendían a sus
colegas y sucesores, de los tributos y los gastos. Es decir que, de común acuerdo,
inventaron un método de registro de lo recibido y de lo gastado, inventaron la
ESCRITURA, el inicio de la historia.
Sistemas de numeración
El paso de los problemas resueltos con recetas particulares a los métodos generales,
tiene como requisito el descubrimiento de un sistema adecuado de numeración. El
concepto de número sin representación adecuada, sin numeral eficaz, no es nada. El
numeral es ni más ni menos que el símbolo escrito del número. Podemos dividir a los
pueblos de la historia según su sistema de numeración:
* De agrupamiento simple

* Parcialmente posicional

* Completamente posicional

♦ La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C.
aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y las distintas
potencias de 10.

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Utiliza los ideogramas de la figura y usa la combinación de los números hasta el diez con la
decena, la centena, el millar y la decena de millar para, según el principio multiplicativo,
representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual
podría representar 57 que 75.
Veamos un ejemplo:

♦ Los egipcios, poseían un sistema de agrupamiento simple, para significar 2323 escribían

Significa “mil”

Significa “cien”

Significa “diez”

Significa “uno”

Desde el tercer milenio A.C. usaron un sistema numérico en base diez utilizando los jeroglíficos
de la figura para representar los distintos órdenes de unidades.

Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de
izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según
el caso.

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2
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Al ser indiferente el orden se escribían a veces
según criterios estéticos, y solían ir
acompañados
de
los
jeroglíficos
correspondientes al tipo de objeto (animales,
prisioneros, vasijas etc.) cuyo número
indicaban. En la figura aparece el 276 tal y
como figura en una estela en Karnak.
Estos signos fueron utilizados hasta la
incorporación de Egipto al imperio romano. Pero
su uso quedó reservado a las inscripciones
monumentales, en el uso diario fue sustituido
por la escritura hierática y demótica, formas más
simples que permitían mayor rapidez y
comodidad a los escribas

♦ El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de
base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades.
Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones
aditivas.

Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, el
10 y el 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil
(khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
♦ Los caldeos de Babilonia heredaron de los sumerios, aún más antiguos pobladores de la
Mesopotamia, un sistema sexagesimal y en escritura cuneiforme; no tenían el cero, lo que les
generó muchas dificultades. Hacia el 200 a.C. crearon un "cero de separación" que se
representaba con dos puntos.
Por ejemplo el 101 lo escribían como ▼:▼

Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se
ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.

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3
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De este se usaban los que fuera necesario, completando con las unidades hasta llegar a 60.

A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban
representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así
sucesivamente veamos unos ejemplos:

.

♦ Los mayas tenían un sistema admirable de numeración, de base veinte, excepto en una de
las posiciones. La base veinte significa, que combinando 20 caracteres distintos, formaban
toda la numeración. Este sistema era posicional con el cero separador y el cero operador. Te
mostramos un poquito:
●

●●

●●●

1

2

●●●●

3

4
●

10

15

16

●●

17

5

0

●●●

●●●●

18

19

La unidad más baja, el kin, se representaba con un punto ●
La unidad siguiente era el uinal (veinte), se representaba con un punto ● pero más arriba.
La unidad siguiente en lugar de cuatrocientos se tomaba trescientos sesenta, se llamaba tun
equivalente a dieciocho uinales.
Como ejemplo te mostramos el número 456:
456

●
●●●●

(1 tun)

360

(4 uinales)

4 x 20 = 80

(16 kines)

16 x 1 = 16
456

●

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4
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Matemática

Estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el
valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el
resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe de abajo a arriba, empezando por
el orden de magnitud mayor.

Los científicos mayas eran a la vez sacerdotes que se dedicaban, también, a la observación
astronómica y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades
de tercer orden irregulares para la base 20. Se sabe que el año solar lo calcularon en 365,2420
días, tan exacto como el de la astronomía moderna.

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5
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Matemática

♦ En cuanto a los aztecas, tenían un sistema numeral bastante curioso aunque no es
posicional y no tiene el cero. Te mostramos un poquito:

La unidad se representaba mediante un punto; con una raya se agrupan los puntos de cinco en
cinco.
En cada posición o bloque se encontraban hasta 20 y con la ayuda de una bandera, el cabello
o la bolsa colocados a la izquierda se agrupaban cantidades mayores. El triangulo con cabello
representa tantos como 20 x 20 = 400, la bolsa representa 20 x 20 x 20 = 8 000.
Para encontrar el número representado primero se multiplica el número de figuras de un mismo
tipo por el valor correspondiente a la posición que ocupan y, enseguida, se suman los
resultados.
Los aztecas empleaban los números de una manera muy intuitiva: si se querían indicar 100
hombres = 5 × 20 hombres, lo representaban con cinco banderas encima de un hombre.
♦ Los incas no desarrollaron una escritura, pero sí se les presentó la necesidad de contar
objetos y de registrar la información numérica que iban obteniendo. Para ello, los incas tuvieron
que desarrollar una forma de registrar la información numérica sin escribirla.

Crearon unos instrumentos que servían para registrar y almacenar números en ellos. Esos
instrumentos consistían en unos conjuntos de cuerdas con nudos que se denominaban quipus.
Los quipus tenían un papel primordial en la administración del imperio inca, pues era el único
instrumento de que disponían para almacenar cualquier tipo de información numérica.

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6
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Matemática

♦ Los símbolos actuales provienen de los indios (quienes usaron por primera vez el cero) y
los árabes quienes los introdujeron en occidente. Mucho tiempo coexistieron diferentes formas
de escribir la misma cifra, por lo que resultaba difícil la comunicación. Se puede decir que
recién a partir del siglo XIV el uso de las cifras actuales estuvo ampliamente difundido en
Europa.
Este sistema de numeración llegó a Oriente Medio hacia el año 670. Matemáticos musulmanes
del actual Irak, como Al-Jwarizmi ya estaban familiarizados con la numeración babilónica, que
utilizaba el cero entre dígitos distintos de cero (aunque no tras dígitos distintos de cero), así
que el nuevo sistema no tuvo una difícil acogida. En el siglo X los matemáticos árabes
incluyeron en su sistema de numeración las fracciones.
Fibonacci, un matemático italiano que había estudiado en la actual Argelia, contribuyó a la
difusión por Europa del sistema arábigo con su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Sin
embargo no fue hasta la invención de la imprenta, cuando este sistema de numeración
comenzó a utilizarse en forma generalizada.
El cálculo sobre la base de los diez dedos de las manos, ha dado origen al sistema de
numeración decimal, donde cada una de las cifras, tiene un valor relativo de acuerdo con la
posición que ocupa.
Te contamos que el sistema binario de numeración, utilizado en computación, está
constituido solamente por los dígitos 0 y 1. Es un sistema posicional, cuya base es 2, lo que
significa que son dos los caracteres que se combinan para formar toda la numeración.
Dado un número N, binario, para expresarlo en el sistema decimal, se debe escribir cada
número que lo compone, multiplicado por la base dos, elevado a la posición que ocupa.
Ejemplo... 110012 = 2510<=>1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20

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7
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Si queremos pasar de base decimal a base binaria, tenemos que dividir por 2 y los restos de
las sucesivas divisiones forman el número, te mostramos un ejemplo:
100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2
--> 10010 => 11001002
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1

En la red encontrarás muchísimos sitios en los cuales podrás ampliar tus
conocimientos sobre los distintos sistemas de numeración y como son
demasiados, te sugiero que en tu buscador simplemente escribas el
nombre del sistema que es de tu interés particular y luego te dejes
maravillar.

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HISTORIA DE LOS NÚMEROS

  • 1. MINISTERIO DE EDUCACIÓN Temas y Actividades Matemática Los números tienen su historia Sobrevolaremos fugazmente por la historia de los números, como para contarte algo de lo mucho que hizo el hombre desde tiempos prehistóricos. En la actualidad estamos tan acostumbrados a utilizar los números que la idea de dónde y cómo surgieron nos resulta muy remotas en el tiempo. El hombre está inmerso en un universo que se extiende desde lo "infinitamente grande" hasta lo "infinitamente pequeño", desde la galaxia al átomo. El lenguaje producido por el hombre para describir, explicar e incluso inventar su mundo es el lenguaje matemático. El documento matemático más antiguo es un conjunto de 55 incisiones, en grupos de cinco, hechas en un hueso de lobo de 30.000 años de antigüedad encontrado en Moravia, en 1937. Una teoría afirma que durante el cuarto milenio a.C., en el delta del Tigris y en el del Éufrates, la tierra extraordinariamente fértil rendía más de lo que podían consumir. Pero carecían de materiales de construcción, piedra, madera y metales; esto fomentó el comercio con regiones lejanas dando lugar a la aparición de sectores dedicados al comercio. En los templos y centros ceremoniales se han encontrado antiquísimas tablillas de arcilla cocida con inscripciones, algunas de las cuales representan números. Estos símbolos, llamados numerales, son las cuentas que los sacerdotes rendían a sus colegas y sucesores, de los tributos y los gastos. Es decir que, de común acuerdo, inventaron un método de registro de lo recibido y de lo gastado, inventaron la ESCRITURA, el inicio de la historia. Sistemas de numeración El paso de los problemas resueltos con recetas particulares a los métodos generales, tiene como requisito el descubrimiento de un sistema adecuado de numeración. El concepto de número sin representación adecuada, sin numeral eficaz, no es nada. El numeral es ni más ni menos que el símbolo escrito del número. Podemos dividir a los pueblos de la historia según su sistema de numeración: * De agrupamiento simple * Parcialmente posicional * Completamente posicional ♦ La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y las distintas potencias de 10. Servicio de Educación a Distancia 1
  • 2. MINISTERIO DE EDUCACIÓN Temas y Actividades Matemática Utiliza los ideogramas de la figura y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, la centena, el millar y la decena de millar para, según el principio multiplicativo, representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75. Veamos un ejemplo: ♦ Los egipcios, poseían un sistema de agrupamiento simple, para significar 2323 escribían Significa “mil” Significa “cien” Significa “diez” Significa “uno” Desde el tercer milenio A.C. usaron un sistema numérico en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos órdenes de unidades. Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso. Servicio de Educación a Distancia 2
  • 3. MINISTERIO DE EDUCACIÓN Temas y Actividades Matemática Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una estela en Karnak. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas ♦ El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas. Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, el 10 y el 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico. ♦ Los caldeos de Babilonia heredaron de los sumerios, aún más antiguos pobladores de la Mesopotamia, un sistema sexagesimal y en escritura cuneiforme; no tenían el cero, lo que les generó muchas dificultades. Hacia el 200 a.C. crearon un "cero de separación" que se representaba con dos puntos. Por ejemplo el 101 lo escribían como ▼:▼ Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo. Servicio de Educación a Distancia 3
  • 4. MINISTERIO DE EDUCACIÓN Temas y Actividades Matemática De este se usaban los que fuera necesario, completando con las unidades hasta llegar a 60. A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así sucesivamente veamos unos ejemplos: . ♦ Los mayas tenían un sistema admirable de numeración, de base veinte, excepto en una de las posiciones. La base veinte significa, que combinando 20 caracteres distintos, formaban toda la numeración. Este sistema era posicional con el cero separador y el cero operador. Te mostramos un poquito: ● ●● ●●● 1 2 ●●●● 3 4 ● 10 15 16 ●● 17 5 0 ●●● ●●●● 18 19 La unidad más baja, el kin, se representaba con un punto ● La unidad siguiente era el uinal (veinte), se representaba con un punto ● pero más arriba. La unidad siguiente en lugar de cuatrocientos se tomaba trescientos sesenta, se llamaba tun equivalente a dieciocho uinales. Como ejemplo te mostramos el número 456: 456 ● ●●●● (1 tun) 360 (4 uinales) 4 x 20 = 80 (16 kines) 16 x 1 = 16 456 ● Servicio de Educación a Distancia 4
  • 5. MINISTERIO DE EDUCACIÓN Temas y Actividades Matemática Estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe de abajo a arriba, empezando por el orden de magnitud mayor. Los científicos mayas eran a la vez sacerdotes que se dedicaban, también, a la observación astronómica y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Se sabe que el año solar lo calcularon en 365,2420 días, tan exacto como el de la astronomía moderna. Servicio de Educación a Distancia 5
  • 6. MINISTERIO DE EDUCACIÓN Temas y Actividades Matemática ♦ En cuanto a los aztecas, tenían un sistema numeral bastante curioso aunque no es posicional y no tiene el cero. Te mostramos un poquito: La unidad se representaba mediante un punto; con una raya se agrupan los puntos de cinco en cinco. En cada posición o bloque se encontraban hasta 20 y con la ayuda de una bandera, el cabello o la bolsa colocados a la izquierda se agrupaban cantidades mayores. El triangulo con cabello representa tantos como 20 x 20 = 400, la bolsa representa 20 x 20 x 20 = 8 000. Para encontrar el número representado primero se multiplica el número de figuras de un mismo tipo por el valor correspondiente a la posición que ocupan y, enseguida, se suman los resultados. Los aztecas empleaban los números de una manera muy intuitiva: si se querían indicar 100 hombres = 5 × 20 hombres, lo representaban con cinco banderas encima de un hombre. ♦ Los incas no desarrollaron una escritura, pero sí se les presentó la necesidad de contar objetos y de registrar la información numérica que iban obteniendo. Para ello, los incas tuvieron que desarrollar una forma de registrar la información numérica sin escribirla. Crearon unos instrumentos que servían para registrar y almacenar números en ellos. Esos instrumentos consistían en unos conjuntos de cuerdas con nudos que se denominaban quipus. Los quipus tenían un papel primordial en la administración del imperio inca, pues era el único instrumento de que disponían para almacenar cualquier tipo de información numérica. Servicio de Educación a Distancia 6
  • 7. MINISTERIO DE EDUCACIÓN Temas y Actividades Matemática ♦ Los símbolos actuales provienen de los indios (quienes usaron por primera vez el cero) y los árabes quienes los introdujeron en occidente. Mucho tiempo coexistieron diferentes formas de escribir la misma cifra, por lo que resultaba difícil la comunicación. Se puede decir que recién a partir del siglo XIV el uso de las cifras actuales estuvo ampliamente difundido en Europa. Este sistema de numeración llegó a Oriente Medio hacia el año 670. Matemáticos musulmanes del actual Irak, como Al-Jwarizmi ya estaban familiarizados con la numeración babilónica, que utilizaba el cero entre dígitos distintos de cero (aunque no tras dígitos distintos de cero), así que el nuevo sistema no tuvo una difícil acogida. En el siglo X los matemáticos árabes incluyeron en su sistema de numeración las fracciones. Fibonacci, un matemático italiano que había estudiado en la actual Argelia, contribuyó a la difusión por Europa del sistema arábigo con su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Sin embargo no fue hasta la invención de la imprenta, cuando este sistema de numeración comenzó a utilizarse en forma generalizada. El cálculo sobre la base de los diez dedos de las manos, ha dado origen al sistema de numeración decimal, donde cada una de las cifras, tiene un valor relativo de acuerdo con la posición que ocupa. Te contamos que el sistema binario de numeración, utilizado en computación, está constituido solamente por los dígitos 0 y 1. Es un sistema posicional, cuya base es 2, lo que significa que son dos los caracteres que se combinan para formar toda la numeración. Dado un número N, binario, para expresarlo en el sistema decimal, se debe escribir cada número que lo compone, multiplicado por la base dos, elevado a la posición que ocupa. Ejemplo... 110012 = 2510<=>1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 Servicio de Educación a Distancia 7
  • 8. MINISTERIO DE EDUCACIÓN Temas y Actividades Matemática Si queremos pasar de base decimal a base binaria, tenemos que dividir por 2 y los restos de las sucesivas divisiones forman el número, te mostramos un ejemplo: 100 |_2 0 50 |_2 0 25 |_2 --> 10010 => 11001002 1 12 |_2 0 6 |_2 0 3 |_2 1 1 En la red encontrarás muchísimos sitios en los cuales podrás ampliar tus conocimientos sobre los distintos sistemas de numeración y como son demasiados, te sugiero que en tu buscador simplemente escribas el nombre del sistema que es de tu interés particular y luego te dejes maravillar. Servicio de Educación a Distancia 8