Este documento define y explica las relaciones binarias. Una relación binaria es un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos X e Y. La relación vincula elementos de X (conjunto de partida) con elementos de Y (conjunto de llegada). Se definen el dominio y rango de una relación, y se explican diferentes formas de representar relaciones binarias como diagramas, matrices y composición de relaciones.

2. ¿Que son
relaciones
binarias?

3.  Sean X e Y dos conjuntos. Una relación de X en Y
es un subconjunto R del producto cartesiano X x Y.
El conjunto X es llamado conjunto de partida de la
relación R; e Y es el conjunto de llegada.
 En el caso de que Y = X, en lugar de decir que R es
una relación de X en X, diremos que R es una
relación en X.
 Los elementos de R son pares ordenados. Si (x, y)
es un elemento de R, en lugar de escribir (x, y) Î R,
escribiremos X R Y y leeremos: "X está relacionado
con Y", según la relación R".

4. Ejemplo:
 1. Si X = {a, b, c, d} e Y = {1, 2, 3, 4, 5}, una relación de
X en Y es R = {(a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)}
 2. La siguiente relación S de R en R S = { (X, Y) Î R x R
/ X £ Y } es la relación "menor o igual" en R. En este
caso X S Y Û X £ Y
 3. Sea U el conjunto referencial. La relación de
inclusión en P(U) es la relación
R = { (A, B) Î P(U) x P(U) / A Ì B }

5. Definición: Sea R una relación de X en Y
 El Dominio de R es el conjunto
 Dom(R) = { xÎ X / (x,y) Î R, para algún y Î Y}
 El Rango o imagen de R es el conjunto
 Rang(R) = { y Î Y / (x, y) Î R, para algún x Î X }
 En otros términos, el dominio y la imagen de una relación están
constituidos por los primeros y segundos componentes
respectivamente de los pares ordenados que constituyen la
relación.

6.  Ejemplo: La relación R= { (a, 2) , (b, 1) , (b, 4) ,
(c, 5) } tiene como dominio el conjunto Dom (R)
= { a, b, c} y rango a rang (R) = { 1, 2, 4, 5 }, ya
que a,b y c están en el primer componente de
los pares ordenados y 1,2,4,5 están en el segund
componente de cada par.

7. Para obtener una representación cartesiana de una
relación, se toman como abscisas los elementos del
conjunto de partida; y como ordenadas, el conjunto de
llegada. En el plano se marcan los pares ordenados
que conforma la relación. Esta representación alcanza
su mayor importancia cuando el conjunto de partida y
el de llegada son subconjuntos de R.
 Ejemplo:
 si X={ a, b, c, d} e Y={ 1, 2, 3, 4, 5} una relación de X
en Y
 R={ (a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5) }
 La representación cartesiana es el diagrama adjunto.

8.  La representación sagital es la más popular de las
representaciones. Ésta, igual que la matricial, se usa
cuando los conjuntos de partida y llegada son finitos.
La representación sagital se obtiene representando
mediante diagramas de Ven el conjunto de partida y el
de llegada; uniendo luego, con flechas, los elementos
relacionados. Así, la representación sagital de la
relación del ejemplo 1 es el siguiente diagrama:
 Si el conjunto de partida y el de llegada coinciden, se
usa un solo diagrama de Ven y las flechas se
representan interiormente. Así, el diagrama siguiente
representa a la siguiente relación en X={ a, b, c, d }
 S= { (a, b), (b, b), (a, d), (b, c), ( d, d) }

9.  La representación matricial se usa cuando los
conjuntos de partida y de llegada de la relación
son conjuntos finitos con pocos elementos. Para
obtener tal representación, se asigna a cada
elemento del conjunto de llegada una columna; y a
cada elemento del conjunto de partida, una fila.
 Si (x, y) está en la relación, en la intersección de la
fila que corresponde a x con la columna que
corresponde a Y, escribimos 1; y escribiremos 0 en
caso contrario. La configuración rectangular de
ceros y unos que se obtiene se llama matriz
binaria de la relación.
 Así, la matriz de la relación. R={(a, 2), (b, 1), (b, 4),
(c, 5)}

10.  Sea R una relación de X en Y. Se llama relación
inversa de R a la relación R-1 de Y en X dada por: R-1
= { (y, x) Î Y x X / (x, y) Î R}
 O sea, Y R-1 X Û X R Y
 Es evidente que se verifica que:
 dom(R-1)= rang(R) 2. Rang( R-1)= dom( R)
 Ejemplo:
 Si X= { a, b, c } Y= { 1, 2, 3, 4 } y R Ì X x Y es dado por
 R= { (a, 3) , (a, 1) , (b, 1) , (c, 4) } R-1= { (3, a) , ( 1, a) ,
(1, b) , (4, c) } Además domR-1= { 1, 3, 4 } = rang( R)
 Rang(R-1)= { a, b, c } = dom( R)

11.  Sea R una relación de X a Y y S una relación de Y en Z. Se llama
composición de R con S a la siguiente relación de X en Z:
X(S o R) Z Û $ YÎ Y, X R Y Ù Y S Z
 En la composición de R con S, es necesario que el conjunto de llegada de
R sea igual al conjunto de partida de S. Este requisito puede ser aligerado
exigiendo solamente que el conjunto de llegada de R esté contenido en el
conjunto de partida de S.
 Observar también que el orden en que se escriben R y S en la composición
S o R es inverso al orden en que se dan R y S.
 Ejemplo:
 Sean X={ 2, 3, 5 } , Y= { a, b, c, d } y Z= { 1, 4, 9 }
 Si R y S son las relaciones de X en Y y de Y en Z respectivamente, dadas
por R= { (2, a) , (2, d) , (3, c) , (5, a) } , S= { (a, 9) , (b, 1) , (d, 4) } Entonces:
SoR = { (2, 9) , (2, 4) , (5, 9) }