Una relación es un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos X e Y. Una relación vincula elementos de X (conjunto de partida) con elementos de Y (conjunto de llegada). Las relaciones se pueden representar mediante pares ordenados, matrices, diagramas de Venn o gráficamente. Las propiedades clave de una relación incluyen su dominio, rango e inversa.

2. Sean X e Y dos conjuntos. Una relación
de X en Y es un subconjunto R del producto
cartesiano X x Y. El conjunto X es llamado
conjunto de partida de la relación R; e Yes
el conjunto de llegada.
En el caso de que Y = X, en lugar de
decir que R es una relación de X en X,
diremos que R es una relación en X.
Los elementos de R son pares
ordenados. Si (x, y) es un elemento de R, en
lugar de escribir (x, y) Î R, escribiremos X R Y y leeremos: "X está relacionado con
Y", según la relación R".
Nota: Usaremos las letras R, S, T, etc., para representar relaciones.
Ejemplos
1. Si X = {a, b, c, d} e Y = {1, 2, 3, 4, 5}, una relación de X en Y es R = {(a, 2),
(b, 1), (b, 4), (c, 5)}
2. La siguiente relación S de R en R S = { (X, Y) Î R x R / X £ Y } es la relación
"menor o igual" en R. En este caso X S Y Û X £ Y
3. Sea U el conjunto referencial. La relación de inclusión en P(U) es la relación
R = { (A, B) Î P(U) x P(U) / A Ì B }

4. Definición: Sea R una relación de X en Y
El Dominio de R es el conjunto
Dom(R) = { xÎ X / (x,y) Î R, para algún y Î
Y}
El Rango o imagen de R es el conjunto
Rang(R) = { y Î Y / (x, y) Î R, para algún x
Î X }
En otros términos, el dominio y la imagen
de una relación están constituidos por los primeros y segundos componentes
respectivamente de los pares ordenados que constituyen la relación.
Ejemplo: La relación R= { (a, 2) , (b, 1) , (b, 4) , (c, 5) } tiene como dominio el
conjunto Dom (R) = { a, b, c} y rango a rang (R) = { 1, 2, 4, 5 }, ya que a,b y c están
en el primer componente de los pares ordenados y 1,2,4,5 están en el segund
componente de cada par.

6. Existen varias formas de representar
gráficamente una relación. Las más usuales
son las siguientes: Representación
Cartesiana, Matricial y Sagitaria.
Representación Cartesiana
Para obtener una representación
cartesiana de una relación, se toman como
abscisas los elementos del conjunto de
partida; y como ordenadas, el conjunto de
llegada. En el plano se marcan los pares
ordenados que conforma la relación. Esta representación alcanza su mayor
importancia cuando el conjunto de partida y el de llegada son subconjuntos de R.
Ejemplo 1
1. si X={ a, b, c, d} e Y={ 1, 2, 3, 4, 5} una relación de X en Y
2. R={ (a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5) }
La representación cartesiana es el diagrama adjunto.
Representación Sagital
La representación sagital es la más popular de las representaciones. Ésta,
igual que la matricial, se usa cuando los conjuntos de partida y llegada son finitos.
La representación sagital se obtiene representando mediante diagramas de Venn
el conjunto de partida y el de llegada; uniendo luego, con flechas, los elementos
relacionados. Así, la representación sagital de la relación del ejemplo 1 es el
siguiente diagrama:
Si el conjunto de partida y el de llegada coinciden, se usa un solo diagrama de
Venn y las flechas se representan interiormente. Así, el diagrama siguiente
representa a la siguiente relación en X={ a, b, c, d }
S= { (a, b), (b, b), (a, d), (b, c), ( d, d) }

8. La representación matricial se usa
cuando los conjuntos de partida y de llegada
de la relación son conjuntos finitos con
pocos elementos. Para obtener tal
representación, se asigna a cada elemento
del conjunto de llegada una columna; y a
cada elemento del conjunto de partida, una
fila.
Si (x, y) está en la relación, en la
intersección de la fila que corresponde a x
con la columna que corresponde a Y,
escribimos 1; y escribiremos 0 en caso contrario. La configuración rectangular de
ceros y unos que se obtiene se llama matriz binaria de la relación.
Así, la matriz de la relación. R={(a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)}

10. Sea R una relación de X en Y. Se llama relación inversa de R a la relación R-1 de
Y en X dada por:
R-1 = { (y, x) Î Y x X / (x, y) Î R}
O sea, Y R-1 X Û X R Y
Es evidente que se verifica que:
dom(R-1)= rang(R) 2. Rang( R-1)= dom( R)
Ejemplo
Si X= { a, b, c } Y= { 1, 2, 3, 4 } y R Ì X x Y es dado por
R= { (a, 3) , (a, 1) , (b, 1) , (c, 4) }
R-1= { (3, a) , ( 1, a) , (1, b) , (4, c) }
Además domR-1= { 1, 3, 4 } = rang( R)
Rang(R-1)= { a, b, c } = dom( R)
El siguiente teorema nos dice que la inversa de la inversa de una relación es la
misma relación.
Teorema: Sea R una relación de X en Y. Entonces (R-1)-1 = R
Demostración
X(R-1)-1 Y Û Y R-1 X definición de relación inversa
Û X R Y
Luego, (R-1)-1 = R

12. Sea R una relación de X a Y y S una
relación de Y en Z. Se llama composición
de R con S a la siguiente relación de X en Z:
X(S o R) Z Û $ YÎ Y, X R Y Ù Y S Z
Observación
En la composición de R con S, es
necesario que el conjunto de llegada de R
sea igual al conjunto de partida de S. Este
requisito puede ser aligerado exigiendo
solamente que el conjunto de llegada de R esté contenido en el conjunto de
partida de S.
Observar también que el orden en que se escriben R y S en la composición S o
R es inverso al orden en que se dan R y S.
Ejemplo
1. Sean X={ 2, 3, 5 } , Y= { a, b, c, d } y Z= { 1, 4, 9 }
Si R y S son las relaciones de X en Y y de Y en Z respectivamente, dadas por
R= { (2, a) , (2, d) , (3, c) , (5, a) } ,
S= { (a, 9) , (b, 1) , (d, 4) }
Entonces:
SoR = { (2, 9) , (2, 4) , (5, 9) }
Teorema: Si R es una relación de X en Y, S es una relación de Y en Z y T es
una relación de Z en W, entonces:
T o ( S o R ) = ( T o S ) o R
Demostración

13. X( T o ( S o R ) W Û $ z Î Z , x(S o R)z Ù z T w Û $ z Î Z, ( $ y Î Y, x R y Ù y S z)
Ù z T w
Û $ y Î Y, x R y Ù ($ z Î Z, y S z Ù z T w )$ y Î Y, x R y Ù y(T o S) w
Û x ( ( T o S ) o R )w
Luego, T o ( S o R ) = ( T o S ) o R
Teorema: Si R es una relación de X en Y y S en una relación de Y en Z,
entonces (S o R)-1 = R-1 o S-1
Demostración
z ( S o R )-1 x Û x ( S o R )z
Û $ y Î Y , x R y Ù y S z
Û $ y Î Y , y R-1 x Ù z S-1 y
Û $ y Î Y, z S-1 y Ù y R-1 x
Û z( R-1 o S-1)x
Luego, ( S o R )-1 = R-1 o S-1
Problemas Propuestos
1. Sea X={2, 3, 4} e Y= {4, 5, 6, 7} y R la relación de X en Y dada por: X R Y Û
X divide a Y
a. Hallar los elementos de R.
b. Representar a R matricialmente y sagitalmente.
c. Hallar la relación inversa R-1 .
2. Sean X= {1, 2, 3, 4, 5} , Y= {1, 4, 6, 9, 16, 25} y Z= {2, 3, 8, 25/2} Si R es la
relación de X en Y dada por Hallar
a. S o R b. R-1 o S-1