Grafos

GRAFOS
INTEGRANTE: RAMÓN PÉREZ
C.I: 23.826.062
DOCENTE: JOSÉ CASTILLO
República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación y el Deporte.
I.U. Politécnico “Santiago Mariño”.
Extensión San Cristóbal, estado Táchira.

INTRODUCCIÓN
Un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas). En este trabajo de
una manera sencilla doy a conocer:
Relaciones y grafos.
Producto cartesiano.
Relaciones binarias.
Diagrama de flechas, explicación del diagrama y cómo calculamos los tiempos.
Propiedades de las relaciones: reflexiva, irreflexiva, simétrica, asimétrica, antisimétrica, transitiva.
Relaciones de equivalencia
Clases de equivalencia
Propiedades en una relación de equivalencia: reflexividad y particiones.
Funciones: inyectiva, suprayectiva, biyectiva

RELACIONES Y GRAFOS
En matemáticas y ciencias de la computación, un grafo
(del griego grafos: dibujo, imagen) o gráfica es el principal objeto de estudio
de la teoría de grafos. Informalmente, un grafo es un conjunto de objetos
llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que
permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.
Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto
de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas).
Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las
interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras. Por ejemplo,
una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante un
grafo, en el cual los vértices representan terminales y las aristas representan
conexiones (las cuales, a su vez, pueden ser cables o conexiones
inalámbricas).

PRODUCTO CARTESIANO
En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos
es una operación, que resulta en otro conjunto,
cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden
formarse de forma que el primer elemento del par ordenado
pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca
al segundo conjunto.
El producto cartesiano recibe su nombre de René
Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen
a este concepto.

EJEMPLO
Dado los conjuntos A = {1,2,3,4} y B = {a,b}
Su producto cartesiano de A por B es :
Que se representa: A x B =
{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)}
Y el producto cartesiano de B por A es:
Que se representa: B x A =
{(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4)}
Ver que (1,a) ≠ (a,1) dado que son pares ordenados.
b (1,b) (2,b) (3,b) (4,b)
a (1,a) (2,b) (3,b) (4,b)
A X B 1 2 3 4
4 (a,4) (b,4)
3 (a,3) (b,3)
2 (a,2) (b,2)
1 (a,1) (b,1)
A X B a b

RELACIONES BINARIAS
Llamamos relación binaria a la relación R existente entre
dos elementos a y b, de dos conjuntos A y B respectivamente.
Indicando que el elemento a está relacionado con b. Esta relación
se puede denotar de diversas formas:
1- Como pares ordenados (a, b).
2- Indicando que aRb.
3- Como una mezcla entra los dos anteriores R(a,b).
Al conjunto de todos los elementos relacionados mediante
la relación R en un conjunto lo denotamos como R(M).

EJEMPLO
Sea el conjunto A={el conjunto de los números naturales}, una
relación binaria del conjunto de A sobre sí mismo puede ser, R=
ser múltiplo.
De tal forma que, por ejemplo 4 está relacionado con 2 (es decir,
4 es un múltiplo de 2), por tanto escribimos 4R2 o (4,2).
En el caso de no estar relacionados escribiremos a no está
relacionado con b tachando la R. Un ejemplo de dos elementos
que no están relacionados con esta relación son 3 y 5.
El conjunto R(AxB) de todos los elementos que están
relacionados es un subconjunto del producto cartesiano AxB.

DIAGRAMA DE FLECHAS
El diagrama de flechas es una representación gráfica en forma
de red que nos permite visualizar el orden en que las actividades de un
proyecto se realizan, permitiendo planificar y controlar su desarrollo.
El diagrama de flechas también se denomina como actividad
diagrama de red, diagrama de red, red de actividades, diagrama de
nodo o método de ruta crítica (CPM). El diagrama de flechas es una
simplificación de la herramienta de planificación de proyectos
diagrama de PERT.
El diagrama de flechas es considerado una de las 7 nuevas
herramientas de la calidad, también denominadas herramientas
administrativas de la calidad.

EJEMPLO
En una empresa de fabricación de elementos prefabricados de
hormigón, ha iniciado un nuevo proyecto, para la producción de una
sola viga armada.
Con la finalidad de realizar un ejemplo sencillo, he considerado
únicamente realizar la fabricación de un sólo producto, ya que si son
más, habría actividades superpuestas, y tendríamos que elaborar un
diagrama más complejo.
Primero de todo debemos identificar todas las actividades que
se realizan en el proceso de producción de estos productos, así como
los tiempos de ejecución de cada uno, y las actividades anteriores
inmediatas.

Una vez tenemos la tabla anterior elaborada, pasamos a realizar
el diagrama.

Explicación detallada del diagrama:
Colocamos los nodos y las flechas, de tal manera que coincida con las
relaciones que hemos establecido en la tabla. Muchas veces puede
pasar que tengamos que rehacer o reajustar la tabla, ya que a la hora
de representarla en el diagrama, se nota que nos hemos saltado alguna
actividad, o bien que no acaba de encajar con la realidad.
Por lo tanto, colocamos los nodos, con las flechas, identificamos la
letra de las flechas, y anotamos el tiempo que necesita cada flecha
(actividad) en realizarse, según lo que hemos indicado en la tabla.
Una vez tenemos el esqueleto, enumeramos los diferentes nodos, con
número correlativo, para mantener un orden.

Cómo calculamos los tiempos:
Para determinar los tiempos más próximos, situados en la parte inferior
izquierda de cada nodo.
Comenzamos con el tiempo 0.
Se debe sumar los tiempos de derecha a izquierda, el tiempo más próximo de
la ocurrencia del evento anterior, con el tiempo que transcurre la actividad. Es
decir, la primera actividad A, requiere de 16 horas, entonces 0+16 = 16, y es
el número que colocamos en el siguiente nodo. Para la actividad B, partimos
de 16 y le tenemos que sumar el tiempo que tardaremos en realizar la
actividad B, por lo tanto: 16+5 =21 horas, que tenemos que colocar en el
nodo siguiente, debemos seguir haciendo esta operación hasta el final.

Cuando dos o más flechas llegan a un mismo nodo, el número a escribir es el
mayor. Hay ejemplo que es cómo establecer el tiempo más próximo del nodo
número 12, ya que recibe del nodo 9 y 11. Por lo que, hacemos sumas
parciales:
Del nodo procedente del 9: 697,5+4=701,5.
Del nodo procedente del 11: 722,5+1=723,5.
En este caso, se toma el valor mayor. Que es 723,5.
Para determinar los tiempos más lejanos, situados en la parte inferior derecha
de cada nodo.
En el último nodo, debemos empezar por el mismo tiempo con el que acaba,
en el caso del núcleo 13, igualamos el tiempo del tiempo más próximo. En
este caso se corresponde a 731,5 horas.
En el siguiente paso, núcleo 12, deberemos restar el tiempo más lejano de
ocurrencia del último nodo, el tiempo transcurrido por la actividad. En este
caso, sería 731,5-8=723,5.

Cuando dos o más flechas salen a un mismo nodo, el número a escribir
es el menor. Se coloco un ejemplo de como establecer el tiempo más
próximo del nodo número 7, ya que existe la división del nodo 8 y 9.
Por lo que, hacemos sumas parciales:
Del nodo procedente del 8: 26,5-1=25,5.
Del nodo procedente del 9: 719,5-672=47,5.
En este caso, elegiremos el valor menor. En este caso es 25,5
En este diagrama, se puede ver que la ruta crítica, se han marcado las
flechas de color negro. Como se puede observar los tiempos de los
nodos coinciden. Es la mejor manera de saber cuál es la ruta crítica.

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES (REFLEXIVA,
IRREFLEXIVA, SIMÉTRICA, ASIMÉTRICA,
ANTISIMÉTRICA, TRANSITIVA).
Reflexivas e Irreflexivas: Una relación R en un conjunto A es reflexiva si (a, a) £ R para todas las a £ A,
esto es, si a R e para todas las a e A. Una relación R en un conjunto A es irreflexiva si a R a para toda a £
A. Por consiguiente, R es reflexiva si cada elemento a e A está relacionado consigo mismo y es
irreflexiva si ningún elemento está relacionado consigo mismo.
Ejemplo: (a) Sea Δ = [(a, a) a £ A], de modo que A es la relación de igualdad en el conjunto A. Entonces
A es reflexiva, ya que (a, a) £ Δ para todas las a e A.
(b) Sea R = {(a, b) e A x A | a + b}, R es la relación de desigualdad en el conjunto A. Entonces R es
irreflexible, ya que (a, a) £ R para todas las x € A.
(c) Sean A = {1, 2, 3}. y Jí = {(1, 1), (1, 2)}. Entonces A es reflexiva ya.
(2,2) R y (.3,3) € R. Por otra parte, R no es irreflexiva, ya que (1, l) € R.
(d) Sea A un conjunto no vacío. Sea R = Ǿ A x A, la relación vacía. Enlaces R no es reflexiva, ya que (a, a)
€ R para todas las a € A (el conjunto vacío tiene elementos). Sin embargo, R es irreflexiva.

Simétricas y Asimétrica: Una relación R en un conjunto A es simétrica si cuando a R b,
entonces b R a. De esto se sigue que R no es simétrica se tiene a y b € A con a R b,
pero b R a. Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b
Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R
a. Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b y b R a, entonces a =
b. Otra forma de expresar esta definición es diciendo que R es anti simétrica si cuando
a ≠ b, se tiene a R b o b R a. De esto se sigue que R no es anti simétrica si se tiene a y
b en A. a ≠ b, y ambas a R b y b R a.
Ejemplo: Sea A «= [a, b, c, d, e} y sea R la relación simétrica dada por
R = {(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b), (b, e), (e, b), (e, a), (a, e), (c,a), (a,c)}
El grafo dirigido de R se muestra en la figura 2(a), mientras que en la figura.

Relaciones Antisimétricas:
Una relación binaria R sobre un conjunto A es antisimétrica cuando se da que si dos
elementos de A se relacionan entre sí mediante R, entonces estos elementos son
iguales. Es decir: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴: 𝑎𝑅𝑏 ∧ 𝑏𝑅𝑎 ⇒ 𝑎 = 𝑏.
Para todo a, b de A, si se cumple que a está relacionado con b y b está relacionado
con a, entonces a es igual a b.
En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de antisimetría.

Transitivas: Se dice que una relación R en un conjunto A es transitiva si cuando a R b y b R
e, entonces a R c. Se sigue que R no es transitiva si y sólo si se puede encontrar elemento a,
b y c en A tal que a R b y b R c, pero a R c.
Ejemplo: Sea A = Z el conjunto de los enteros y sea R la relación considerada en el ejemplo
2 Para ver si R es transitiva, se supone que a R b y b R c. Por consiguiente, a < b; b <
c. Entonces se sigue que a < c, por lo cual a R c. De aquí que R sea transitiva.
Una relación R en un conjunto A es transitiva si y sólo si satisface las siguientes
propiedades: Si existe una trayectoria de longitud mayor que 1 del vértice a al vértice b, hay
una trayectoria de extensión 1 de a a b (esto es, a está relacionada con b). Establecido
algebraicamente, R es transitiva si y sólo si Rn £ R para todas las n ≥ 1. Es posible
caracterizar la relación transitiva por su matriz MR = [mij] así:si mij =1 y mjk = 1, entonces
mik = 1.
Para ver qué significa transitividad en términos del grafo dirigido de una relación, se
traducirá esta definición a términos geométricos. Si se examinan los vértices particulares a y
c, las condiciones a R b y b R c ocurrirán si y sólo si existe una trayectoria de longitud 2 de
a a c, esto es, si y sólo si a R2 c. Es posible replantear la definición de transitividad como
sigue: Si a R2 c, entonces a R c, esto es, R2 £ R (como un subconjunto de A x A).

RELACIONES DE EQUIVALENCIA (CERRADURAS,
CLASES DE EQUIVALENCIA, PARTICIONES)
Las relaciones de equivalencia son relaciones entre los elementos de un elemento
cualquiera. Se caracterizan por abstraer el concepto de igualdad. Su definición formal
es la siguiente: Sea “K” un conjunto dado no vacío y “R” una relación binaria definida
sobre “K”. Se dice que “R” es una relación de equivalencia si cumple las
siguientes propiedades: Reflexividad: Todo elemento de “K” está relacionado consigo
mismo. Es decir, ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∶ 𝑥𝑅𝑥.
Simetría: Si un elemento de “K” está relacionado con otro, entonces ese otro elemento
también se relaciona con el primero. Es decir ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐾 ∶ 𝑥𝑅𝑦 ⇒ 𝑦𝑅𝑥
Transitividad: Si un elemento de “K” está relacionado con otro, y ese otro a su vez se
relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este
último. Es decir, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐾 ∶ 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧 ⇒ 𝑥𝑅𝑧.

CLASES DE EQUIVALENCIA: La importancia de las relaciones consiste en que dividen a
los elementos del conjunto en diferentes clases, llamadas clases de equivalencia, de tal
suerte que cada elemento pertenece a una y sólo una clase. Tomemos un conjunto
cualquiera X y sean a y b dos elementos en X (lo cual denotamos por a,b Ç X).
Si a está relacionado con b escribiremos a-b. Una relación de equivalencia en X es
una relación que satisface las propiedades antes mencionadas. Sea x un conjunto con
una relación de equivalencia -. Tomemos un elemento a de nuestro conjunto X, es
decir aÇX. La clase de equivalencia de a, la cual denotaremos por {a}, es el
subconjunto de X formado por todos los elementos b de X que están relacionados
con a, es decir b-a. En símbolos, esto se escribe así: 𝑎 = 𝑏 ∈ 𝑋 𝑏 ~ 𝑎}. De todo
elemento en {a}. (por ejemplo a) decimos que es un representante de la clase Las
relaciones de equivalencia son relaciones entre los elementos de un elemento
cualquiera. Se caracterizan por abstraer el concepto de igualdad. Su definición formal
es la siguiente: Sea “K” un conjunto dado no vacío y “R” una relación binaria definida
sobre “K”.

Se dice que “R” es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:
Reflexividad: Todo elemento de “K” está relacionado consigo mismo. Es decir, {a}.
PARTICIONES: La partición de un conjunto es tan simple como dividir el mismo en conjuntos más
pequeños formados por elementos de él mismo, es decir, en subconjuntos. Aquí no se toma en cuenta el
conjunto vacío.

FUNCIONES (INYECTIVA, SUPRAYECTIVA,
BIYECTIVA
Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la
misma imagen. Formalmente: ∀a,b∈Domf , si f(a)= f(b)⇒a=b.
Es decir, para cualesquiera dos elementos a y b, pertenecientes al dominio de la
función Domf, si sus imágenes f(a) y f(b) son iguales, los elementos son
necesariamente iguales.

Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva, cuando el
codominio y el recorrido coinciden. Formalmente: ∀y∈Codf ∃x∈Domf / f(x)=y.
Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe otro elemento x del dominio
tal que y es la imagen de x por f. Las funciones reales son sobreyectivas
cuando Recf=ℝ, ya que, por definición, en ellas Codf=ℝ.

Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.
Formalmente:
∀y∈Codf ∃!x∈Domf / f(x)=y.
Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe un único elemento x del
dominio tal que y es la imagen de x por f.

CONCLUSIÓN
Un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas), y
permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras.
El producto cartesiano es una operación, que resulta en otro conjunto, donde el primer elemento del par ordenado
pertenece al primer conjunto y el segundo elemento pertenece al segundo conjunto.
La relación binaria es la relación R existente entre dos elementos a y b, de dos conjuntos A y B respectivamente.
El diagrama de flechas es una representación gráfica en forma de red que nos permite visualizar el orden en que las
actividades de un proyecto se realizan, permitiendo planificar y controlar su desarrollo, es considerado una de las 7
nuevas herramientas administrativas de la calidad.
Las propiedades de las relaciones de los conjuntos son: REFLEXIVA, IRREFLEXIVA, SIMÉTRICA, ASIMÉTRICA,
ANTISIMÉTRICA, TRANSITIVA.
Una relación R en un conjunto A es reflexiva si cada elemento a e A está relacionado consigo mismo y es irreflexiva si
ningún elemento está relacionado consigo mismo.
Una relación R en un conjunto A es simétrica si cuando a R b, entonces b R a. De esto se sigue que R no es simétrica se
tiene a y b € A con a R b, pero b R a.

Una relación binaria R sobre un conjunto A es antisimétrica cuando se da que si dos elementos de A se relacionan entre
sí mediante R, entonces estos elementos son iguales. Es decir: ∀a,b ∈A:aRb ∧bRa⇒a=b . Para todo a, b de A, si se
cumple que a está relacionado con b y b está relacionado con a, entonces a es igual a b.
Una relación R en un conjunto A es transitiva si cuando a R b y b R e, entonces a R c. Se sigue que R no es transitiva si y
sólo si se puede encontrar elemento a, b y c en A tal que a R b y b R c, pero a R c.
Las relaciones de equivalencia son relaciones entre los elementos de un elemento cualquiera. Su definición formal es la
siguiente: Sea “K” un conjunto dado no vacío y “R” una relación binaria definida sobre “K”. Se dice que “R” es una
relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades: reflexividad, simetría y transitividad.
La importancia de las relaciones consiste en que dividen a los elementos del conjunto en diferentes clases, llamadas
clases de equivalencia, de tal suerte que cada elemento pertenece a una y sólo una clase.
Se dice que “R” es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:
Reflexividad: Todo elemento de “K” está relacionado consigo mismo. Es decir, {a}.
PARTICIONES: consiste en dividir el mismo en conjuntos más pequeños formados por elementos de él mismo, es decir,
en subconjuntos.
Las funciones pueden ser: inyectiva, sobreyectiva o suprayectiva y biyectiva.
Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen. Formalmente:
∀a,b∈Domf , si f(a)= f(b)⇒a=b
Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva, cuando el codominio y el recorrido coinciden.
Formalmente: ∀y∈Codf ∃x∈Domf / f(x)=y
Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. Formalmente: ∀y∈Codf ∃!x∈Domf
/f(x)=y

BIBLIOGRAFÍA
• “Teoría de grafos” Disponible en:
https://sites.google.com/site/teoriadegrafosingenieriaen/home/unidad-1-teoria-
de-gr Consultado el 28/06/2020.
• “Producto Cartesiano” Para: Wikipedia. Disponible en:
https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesiano Consultado el 28/06/2020.
• “Relaciones Binarias” Para: La Guía. Disponible en:
https://matematica.laguia2000.com/general/relaciones-
binarias#:~:text=Llamamos%20relaci%C3%B3n%20binaria%20a%20la,ordenados%20(a
%2C%20b). Consultado el 28/06/2020
• “Diagrama de flechas” Para: Asesor de calidad en:
http://asesordecalidad.blogspot.com/2018/07/diagrama-de-flechas-herramienta-
de.html#.XvkLsChKiUk Consultado el 28/06/2020

• “Matemática discreta” Disponible en:
http://matematicasunidad5.blogspot.com/2015/12/52-
propiedades-de-las-
relaciones_9.html#:~:text=diciembre%20de%202015-
,5.2%20PROPIEDADES%20DE%20LAS%20RELACIONES%20(REFLEXIVA%2
C%20IRREFLEXIVA%2C%20SIMETRICA,%2C%20ASIMETRICA%2C%20ANT
ISIMETRICA%2C%20TRANSITIVA)&text=Una%20relaci%C3%B3n%20R%2
0en%20un,para%20todas%20las%20a%20e%20A.&text=(b)%20Sea%20
R%20%3D%20%7B(,desigualdad%20en%20el%20conjunto%20A.
Consultado el 28/06/2020.
• “Relaciones y grafos” Disponible en
http://relacionesgrafos.blogspot.com/2014/11/53-relaciones-de-
equivalencia.html Consultado el 28/06/2020.
• “FISICALAB” Disponible en: https://www.fisicalab.com/apartado/f-
inyectiva-sobreyectiva-biyectiva#inyectivas Consultado el
28/06/2020.

Grafos

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Grafos

Similar a Grafos (20)

Último

Último (20)

Grafos