Este documento trata sobre la proporcionalidad en geometría. Explica conceptos como razón geométrica, proporción geométrica y cuaterna armónica. También presenta teoremas de proporcionalidad como el teorema de Thales, el teorema de la bisectriz interior y el teorema de la bisectriz exterior. Finalmente, incluye ejemplos resueltos de problemas que aplican estos conceptos y teoremas.

1. 35
GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
unidad 3
PROPORCIONALIDAD
Razón geométrica
Una razón geométrica viene a ser el resultado de la comparación de las longitudes de dos segmentos rectilíneos,
mediante la división de la longitud de uno sobre la longitud del otro o viceversa.
A
B
30
M
N
15
La razón geométrica entre AB y MN
será:
MN
AB
15
30
= = 2
` AB es igual a 2 veces MN.
Proporción geométrica
Una proporción geométrica es el conjunto de dos o más pares de segmentos rectilíneos que poseen una misma
razón geométrica.
M
N
A
B
16 cm
10 cm
Razón entre AB y MN:
MN
AB
cm
cm
16
10
8
5
= =
C D
O
P
20 u
32 u
Razón entre CD y OP:
OP
CD
u
u
32
20
8
5
= =
E
F
R
Q
15 m
24 m
Razón entre EF y QR:
QR
EF
m
m
24
15
8
5
= =
Vemos que
MN
AB
OP
CD
QR
EF
5
8
= = = & las razones
MN
AB
OP
CD
QR
EF
= = son proporcionales.
Cuaterna armónica
Cuando un segmento de recta AB es dividido interiormente por el punto C y en su prolongación por el punto
D, determinando así cuatro segmentos, que forman la proporción geométrica:
CB
AC
BD
AD
= ; entonces dichos
segmentos constituyen una cuaterna armónica.
C D
A B
4
´
1
´ 2
´ 3
´
Si:
2
1
3
4
,
,
,
,
=
& AC, CB, BD y AD forman una
cuaterna armónica.
` Se dice que los puntos C y D dividen “armónicamente” al segmento AB.
Relaciones asociadas a la cuaterna armónica
Relación de Descartes
Si dos puntos C y D dividen armónicamente a un
segmento AB, se cumple que el doble de la inversa
de AB es igual a la suma de los inversos de AC y AD.
C D
A B
Si:
BC
AC
BD
AD
AB AC AD
2 1 1
&
= = +
Relación de Newton
Si dos puntos C y D dividen armónicamente a un
segmento AB, cuyo punto medio es O; se cumple que
el producto de OC y OD es igual al cuadrado de OA.
O C D
A B
Si:
BC
AC
BD
AD
= / AO , OB & (OA)2
= (OC)(OD)
Ejemplo:
Si los puntos M y N dividen al segmento PQ armónicamente, hallar PM si: PN = 5QN y MQ = 3.
Resolución:
Graficamos:
P
x 3
M Q N
&
MQ
PM
QN
PN
= ; Reemplazando: x
QN
QN
3
5
= & x = 15
Atención
Los valores de los segmentos
de recta que se dividen para
hallar una razón geométrica
deben tener las mismas unida-
des de longitud.
A B
35 mm
3.5 cm
M N
25.4 mm
1 pulg
Para hallar la razón geométrica
entre AB y MN tendremos:
, mm
mm
MN
AB
25 4
35
= mismas unidades( )
CORRECTO
, cm
MN
AB
1
3 5
pulg
= diferentes unidades(x)
INCORRECTO
Observación
Una proporción geométrica
tal como
b
a
d
c
= tiene las si-
guientes propiedades:
I.
b d
a c
b
a
b d
a c
b
a
/
+
+ =
-
- =
II.
b
a b
d
c d
b
a b
d
c d
/
- = - + = +
A una cuaterna armónica
también se le llama
Proporción armónica.
Nota
Atención
Si dos puntos C y D dividen
armónicamente a un segmen-
to AB, entonces dichos puntos
se denominaron conjugados
armónicos de A y B.
A B
C D
Si:
CB
AC
BD
AD
=
& C y D son los conjugados
armónicos de A y B.

2. 36 Intelectum 1.°
Teoremas de proporcionalidad
Teorema de Thales
El teorema de Thales dice que tres o más rectas paralelas determinan sobre dos rectas secantes, segmentos
respectivamente proporcionales.
C
A
B
R
Q
P
L1
L2
L3
Si: L1 // L2 // L3
&
BC
AB
QR
PQ
=
L1
L2
L3
O
A
B
Q
P
Si: L1 // L2 // L3
&
OB
AO
OQ
PO
=
L1
L2
L3
M
A
B Q
P
Si: L1 // L2 // L3
&
AB
MA
PQ
MP
=
Teorema de la bisectriz interior
En todo triángulo la bisectriz interior de cualquiera
de sus ángulos divide al lado opuesto en segmentos
proporcionales a los lados adyacentes a dicha
bisectriz.
θ θ
C
A
B
M
b
n
m
a
Se cumple:
BC
AB
MC
AM
= o
b
a
n
m
=
Teorema de las bisectrices
En un triángulo la bisectriz de un ángulo interno y
la bisectriz del ángulo externo adyacente a este
dividen “armónicamente”, es decir, en una cuaterna
armónica al lado opuesto a dicho ángulo.
φ
φ
θ
θ
C
A
B
M P
b c
a
d
Si BM y BP son una bisectriz interior y una bisectriz
exterior respectivamente y además:
m+BAC ! m+BCA (AB ! BC).
Se cumple:
MC
AM
CP
AP
= o
b
a
c
d
=
Teorema de la bisectriz exterior
La bisectriz exterior de un triángulo divide externa-
mente a la prolongación del lado opuesto en seg-
mentos proporcionales a los lados adyacentes a
dicha bisectriz. Existen tres casos:
a) Caso 1: Si a < b
β
θ
θ
C
A
B
P
m
n
b
a
α
Se cumple:
BC
AB
CP
AP
= o
b
a
n
m
=
b) Caso 2: Si a > b
β
θ
θ
C
A
B
P
b
a
m
n
α
Se cumple:
BC
AB
PC
PA
= o b
a
n
m
=
c) Caso 3: Si a = b = q
β
θ
θ
C
A
B P
a a
α
Se cumple: BP // AC ` b proporción.
Observación
El teorema de Thales tam-
bién puede ser interpretado de
las siguientes maneras:
C
A
B
R
Q
P
b
a m
n
Si: AP//BQ//CR; entonces:
I.
b
a
n
m
= o II.
m
a
n
b
=
El teorema de la bisectriz
interior también puede ser
interpretado de la siguiente
manera:
θ θ
C
A
B
M
b
a
n
m
Si: BM es bisectriz interior:
I.
b
a
n
m
= o II.
m
a
n
b
=
Nota
Un haz armónico es el con-
junto de cuatro rayos que
tienen el mismo origen y que
determinan sobre cualquier
recta transversal a ellos, una
cuaterna armónica.
C D
A B
Q
O
N
M
P
Si: {OA, OB, OC, OD} es un
haz armónico.
&
NP
MN
PQ
MQ
= y
BC
AB
CD
AD
=
Nota

3. 37
GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
Problemas resueltos G
1 Calcula x, si BD // AE.
3x + 2
5x
B
A
C
D
E
12
8
Resolución:
Por el teorema de Thales:
x
x
3 2
5
8
12 &
+
= 40x = 36x + 24
4x = 24
` x = 6
2 Calcula x, si L1 // L2 // L3.
x 4
L1
L2
L3
9 x
Resolución:
Si L1 // L2 // L3, entonces, por el teorema de Thales:
x
x
9
4
= & x2
= 36 ` x = 6
3 Halla x, si 5RL = 4LT.
R
θ
θ
L
T
M 3x + 5
Q 4x
Resolución:
Del dato:
5RL = 4LT
&
LT
RL
5
4
=
Del gráfico:
4
x
x
LT
RL
3 5 5
4
+
= =
& 20x = 12x + 20
8x = 20
x = 2,5
4 En la figura, L1 // L2 // L3, calcula x.
3b
6a
a
b
2
L1
L2
L3
x
Resolución:
Por teorema de Thales:
b
a
a
b
6
3
=
b
a
b
a
2
1
2
2
2
&
= =
a k ... (I)
x
b
a x
b
a
2 3
6
4
&
= = ... (II)
Igualamos (I) y (II):
x
4 2
2
=
x = 2 2
5 En la figura mostrada los puntos U, N, I, L forman una cuaterna
armónica. Halla x.
U N I L
3 2 x
Resolución:
Por ser cuaterna armónica:
x
x
2
3 3 2
= + + & 3x = 2x + 10
x = 10
6 Si m // n // l // r , halla x.
x
6
3x + 2 2y + 1
y
r
l
n
m
2
Resolución:
Por el teorema de Thales:
x
y
6
2
= & xy = 12
x
x
y
3 2 2 1
2
+
=
+
& 6x + 4 = 2xy + x
5x + 4 = 2(12)
` x = 4
7 Si:
BC
AB
6
5
= y RS = 12. Calcula AR.
A
B
β
β
C
R
S
Resolución:
5k 6k
x
12
A
B
β
β
C
R
S
Por el teorema de Thales:
x
k
k
12 6
5
=
x = 10