El documento trata sobre relaciones en matemáticas discretas, enfocándose en relaciones de equivalencia y sus propiedades: reflexividad, simetría y transitividad. Además, incluye ejemplos, ejercicios y definiciones relacionadas con clases de equivalencia y particiones. Se destacan ejercicios prácticos para aplicar estos conceptos a grafos y diagramas de Venn.

1. MATEMATICA DISCRETAUNIDAD Nº 32º parteRelaciones yDigrafosTEORIA1Bibliografía: Estructuras de Matemáticas Discretas para Computación.Kolman y Busby. Cap IV

2. RELACIONES DE EQUIVALENCIA 2

3. 3

4. Descripción de digrafos y matrices de relaciones reflexivas, simétricas y transitivasRelaciones reflexivas: * R es reflexiva si y solo si todos los elementos tienen lazos.* R es reflexiva si y solo la matriz MR es tal que mii=1 iRelaciones simétricas: * R es simétrica si y solo si se cumple que, si la arista (x,y) pertenece al grafo entonces también aparece la arista (y,x) en el grafo* R es simétrica si y solo si la matriz MR es tal que mij=mjii,jRelaciones transitivas: * R es transitiva si y solo si se cumple que , si las aristas (x,y) e (y,z) pertenecen al grafo entonces también aparece la arista (x,z) en el grafo* Sean m2ij y mij los elementos genéricos de MR2 y MR . R es transitiva si y solo si se cumple que m2ij =1 mij =1 , i,j4

5. Ejercicios para el aula5jpmrsa

6. g) Sea R7 definida en Zpor medio de a R7 b a+ b es parDemostrar que es una relación de equivalencia. 6

7. Particiones y Relaciones de EquivalenciaEjemploA a b c d h j w k e p t s f m7

8. Ejercicios para el aula8

9. Clases de equivalencia9Definición:Sea aA y sea R definida en A una relación de equivalenciaSe define a la “clase de equivalencia del elemento a” como el conjunto relativo al elemento a Simbólicamente [a] = R(a) = { x A / aRx }Observación: Si P es una partición de A y R es la relación de equivalencia determinada por P en A, entonces los elementos de P (subconjuntos de A), pueden ser descriptos en términos de las clases de equivalencia Si A1 P y a  A1 entonces A1=[a]

10. 10EjemplosA1=[e] =[c]=[d] ={e,c,d } AA2=[a] = [b] ={a,b} A1=[a] AA2=[d] a b c d h j w k e p t s f mA4=[h] A3=[s]

11. 11Definicióndistintas

12. Ejercicios para el aula Sabiendo que los siguientes grafos corresponden a relaciones de equivalencia, encontrar el conjunto cociente determinado por ellasmnnttssppaxuurrqqcgf fbdy12

13. Ejercicios para el aula Encontrar A/R en los siguientes casos:Sea A = N y sea R definida por: aRba+b es parSea A = Z y sea R definida por aRb 3|(a-b)En ambos casos representar la partición en un diagrama de Venn13