Este documento trata sobre relaciones y digrafos. Explica las propiedades de una relación de orden parcial, incluyendo reflexividad, antisimetría y transitividad. También describe cómo representar relaciones de orden parcial mediante grafos dirigidos y matrices. Además, introduce conceptos como conjuntos parcialmente ordenados, órdenes parciales duales e inversos, y elementos comparables.

1. 1 MATEMATICA DISCRETA UNIDAD Nº 3 3º parte Relaciones yDigrafosTEORIA Bibliografía: Estructuras de Matemáticas Discretas para Computación. Kolman y Busby. Cap VII

2. RELACIONES DE ORDEN Sea R definida en A. Se dice que R es una relación de orden parcialsi y solo si se cumplen las siguientes propiedades 1) R es reflexiva : R es antisimétrica 3) R es transitiva: 2

3. Sobre la propiedad antisimétrica Se dice que R es antisimétrica si y solo si (1) Por la Ley de la Contrarecíproca podemos escribir una definición equivalente. R es antisimétrica si y solo si (2) “Si dos elementos de A se relacionan entre sí mediante R, entonces estos elementos son iguales”. (2) “Si dos elementos son distintos, entonces no deben estar relacionados entre si” . Observe que la antisimetría permite la presencia de pares del tipo (x,x) Observe también que la antisimetría no es la negación de la simetría 3

4. a b c En el grafo significará que entre elementos distintos hay flechas únicas o ninguna flecha y que algunos o todos los elementos pueden tener lazos. En la matriz se encontrara que 4

5. En lugar de usar R para representar a la relación de orden, usaremos el símbolo  por analogía con el orden usual. Entonces se escribirá Se lee o Al par ( A , ) se le llama CPO (Conjunto Parcialmente Ordenado) Podemos expresar la definición del siguiente modo: El par ( A ,  ) es un CPO si y solo si se cumple que: 1) 2) 3) 5

6. b a c d Ejercicios para el aula Probar que las siguientes relaciones son de orden a) ( A ,  ) donde A = { a , b , c , d } y su grafo esta dado por 6 b) ( B ,  ) donde B = { x,y,z} y la matriz correspondiente es

7. Demostrar que ( N ,  ) es un conjunto parcialmente ordenado, donde  se define como sigue: a  b  a|b (relación de divisibilidad). 7 d) Demostrar que (P(S), ) es un CPO , donde S es un conjunto cualesquiera y P(S) es el conjunto potencia de S

8. Demostrar que los siguientes digrafosno representan a relaciones de orden y x z u t 8 Ejercicios para el aula r m n q p

9. Si  es una relación de orden parcial, se denotará con  al orden parcial inverso. Se define  del siguiente modo: a  b  b  a Teorema Si (A, ) es un CPO , se cumple que ( A, ) es también un CPO. ( A, ) se llama orden parcial dual de (A, ) 9 Orden parcial inverso

10. Elementos comparables 10

11. b a c d Son ordenes lineales los ejemplos ya vistos: 1 a y 1b Observe que todo par de elementos son comparables 11

12. 32 1 16 6 2 8 5 3 4 4 2 1 La relación de divisibilidad puede generar un orden parcial o un orden lineal, todo depende del conjunto donde este definida. En A = {1,2,3,4,5,6} es un orden parcial pues no 2|3 ni 3|2 En A = {x / x es divisor de 32} es un orden lineal pues cualquier par de elementos que se tomen de A están relacionados 12

13. Ejercicio para el aula Confeccionar el grafo dirigido de la relación de inclusión (  ) definida en el conjunto potencia de S Si S = { a,b} Si S = {a,b,c} Determine si la relación es de orden parcial o total 13

14. Respuesta de b) El grafo correspondiente es S {a,b} {b,c} {a,c} {b} {a} {c} 14 

15. ciclos 15 a a a b b c

16. a1 an a2 ….. a3 a4 16

17. 17

18. Diagrama de Hasse 18

19. Ejercicio para el Aula 19 2 1 6 3

20. 20 2 1 6 3

21. 21 2 1 6 6 3 3 2 6 1 3 2 1

22. Ejercicios para el Aula 22 S {a,b} {b,c} {a,c} {b} {a} {c} 

23. 23 2 1 respuestas S {a,b} {b,c} {a,c} {b} {a} {c} 

24. A atreverse a realizar directamente el diagrama de Hasse!!! 24

25. Elementos extremos en un cpo 25

26. Ejercicio para el aula 26

27. respuestas 27

28. teorema 28

29. Cotas de un subconjunto de un cpo 29

30. Ejercicio para el aula 30 b a c d e g f

31. 31 MínimaCota Superior y Máxima Cota Inferior

32. 32 b a c d e g f

33. 33 d c e g b f a Ejercicio para el aula

34. Orden parcial producto: teorema 34

35. 35

36. Ejemplo 1 36 b a 1 (A , 1) (B , 2) 0 0 (1,b) (1,a) (1,0) (0,b) (AxB , ) (0,a) (0,0)

37. Ejemplo 2 37