El documento describe el método numérico de Runge-Kutta de cuarto orden para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica que este método proporciona soluciones aproximadas en una tabla con valores de y correspondientes a valores específicos de x. Luego detalla las ecuaciones que definen este método y provee un ejemplo numérico para ilustrar cómo se implementa paso a paso. Finalmente, analiza brevemente otros métodos de Runge-Kutta y cómo el orden del método determina la precisión de la solución aproximada.

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRICA
Analisis Numerico:
MÉTODO NÚMERICO DE RUNGE KUTTA.
Participante:
Juana Pinto
Septiembre de 2019
ANALISIS NUMERICO- 2019/02 -Prof Domingo Méndez - SAIA A

2. MÉTODO NÚMERICO DE RUNGE KUTTA.
La Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) general de primer orden es:
El método Runge-Kutta de orden 4 es la forma de los métodos de Runge-Kutta de
uso más común y así mismo más exactos para obtener soluciones aproximadas
de ecuaciones diferenciales. La solución que ofrece este método, es una tabla de
la función solución, con valores de “y” correspondientes a valores específicos de
“x”.
Es por esto que uno de los requisitos para este método es especificar el intervalo
de x.
También se requiere de:
- Una ecuación diferencial de primer orden.
y’= f(x,y)
La condición inicial ,es decir, el valor de y en un punto conocido x0.
y(x0) = y0
El método de Runge-Kutta de 4º orden consiste en determinar constantes
apropiadas de modo que una fórmula como:
coincida con un desarrollo de Taylor hasta el término h4, es decir, hasta el quinto
término.

3. Las ecuaciones del método de Runge-Kutta de 4º orden son las siguientes:
dónde:
Ahora los métodos más utilizados para resolver numéricamente problemas de
ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método
de Runge-Kutta de cuarto orden, el cual proporciona un pequeño margen de error
con respecto a la solución real del problema y es fácilmente programable en un
software para realizar las iteraciones necesarias.
El método de Runge-Kutta se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de la
forma explícita:
O en su forma Explícita:

4. Y es sumamente útil para casos en los que la solución no puede hallarse por los
métodos convencionales (como separación de variables). Hay variaciones en el
método de Runge-Kutta de cuarto orden pero el más utilizado es el método en el
cual se elige un tamaño de paso h y un número máximo de iteraciones n.
El método Runge- Kutta para este problema está dado por la siguiente ecuación:
Para i=0,…, n-1. La solución se da a lo largo del intervalo (xo,xo+hn) , Donde
Así, siguiente valor (yi+1) es determinado por el presente valor (yi) más el
producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente un
promedio ponderado de pendientes:
 k1 es la pendiente al principio del intervalo.
 k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor
de y en el punto xi + h/2.
 k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el
valor de y
 k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3
Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en
el punto medio:

5. Ejemplo
Usar el método de Runge Kutta para aproximar dada la siguiente ecuación
diferencial:
Primero, identificamos las condiciones iniciales, el intervalo y la función:
Para poder calcular el valor de y1 , debemos calcular primeros los valores de k1
,k2 ,k3 y k4 . Tenemos entonces que para la primera iteración:

6. El proceso debe repetirse hasta y5 . Por lo que en la siguiente tabla se presentan
los datos obtenidos del proceso realizado hasta este número
De esta manera, concluimos que el valor obtenido de Runge-Kutta es:
y(0.5)= 1.28403
De esta manera, por integración directa
Finalmente evaluando en y(0.5 ), obtenemos:
Teoría en extensión
Los métodos de Runge-Kutta methods son un caso particular (o una
especialización) de los métodos numéricos a un paso. Lo que caracteriza a un
método de Runge-Kutta es que el error tiene la forma

7. Donde C es una constante real positiva, el número k es llamado orden del método
El número de etapas del método Runge-Kutta es el número de veces que se
evalúa la función en cada paso i, este concepto es importante porque la
evaluación de la función requiere un costo computacional (a veces mayor) por eso,
son preferidos métodos con un número tan mínimo de etapas como sea posible.
El método de Euler (Runge-Kutta de orden 1)
El error es en forma de e≤=Che≤=Ch, por eso este método tiene orden 1
Nota: La función se evalúa una vez en cada paso, por eso el número de etapas es 1.
Regla del punto medio (Runge-Kutta de orden 2)
El error es ahora en forma e≤=Ch2e≤=Ch2 por eso este método tiene orden 2
Nota: La función se evalúa dos veces en cada paso, por eso el número de etapas
es 2.
Runge kutta estándar de orden 4(Runge-Kutta de orden 4)

8. El error es ahora en forma e≤=Ch4e≤=Ch4 por eso este método tiene orden 4
Número de etapas: 4.
Gráfica del error/h
Gráfico del Error/tamaño de paso en escala logarítmica de los tres métodos vistos aquí:
- Euler
- en verde la regla del punto medio de orden 2
- En negro Runge-Kutta clásico
Notar como la pendiente se incrementa con el orden del método.
Convergencia de los métodos de Runge-Kutta
Sea F una función Lipschitz en x Entonces

9. Donde L es la constante de Lipschitz de F y K es el error de truncación local.
En método es más eficiente que otro si tiene un número reducido más de etapas,
manteniendo el orden. Por ejemplo, entre un método de 3 etapas con orden 3 y otro con
4 etapas y orden 3, es mucho más interesante el primero de ellos con la misma longitud
de paso ya que número de cálculos será menor para él.