S04

Sesión 4
Estimación de Intervalos y
Pruebas de Hipótesis
Fundamentos Estadísticos
para Finanzas
FZ4013
Dr. Jorge Ramírez Medina

• Estimación de Intervalos
• Muestreo
• Estadístico t
• Pruebas de Hipótesis
• Planteamiento de las pruebas de Hipótesis
• Uso de Mathematica con pruebas de Hipótesis
Agenda del día de hoy
EGADE Business School

Margen de error
Tomadop de; The Cartoon guide to Statistics. Larry Gonick and Woollcott Smith
N1=RandomInteger[100,2500];
N2=RandomSample[N1,25];
N[Mean[N1]];
N[Mean[N2]];

Margen de error
Estimador puntual +/- Margen de Error
+/- Margen de Error
Por el TLC,
en donde el Margen de Error es zα/2 σ /n, por lo que la
estimación del intervalo de la media de una población
(con σ conocida es):
x+ zα/2 σ /√n

Margen de error e intervalo de
confianza
Recordar que para los diferentes niveles de confianza
podemos obtener los valores de z
σ raramente se conoce con exactitud, se pueden obtener
estimados de datos históricos.
El margen de error puede ser calculado con:
– La desviación estándar de la población σ , o
– La desviación estándar de la muestra s

Ejemplo de estimación de intervalo
Un estudio mostró que de una muestra de 250 niños de
10 años de un país en desarrollo, tenían una altura de
138 cm. con una desviación estándar de 20.3 cms.
Encuentre el intervalo de confianza del 95% para la media
verdadera de estos niños.
OpenerView[{Cálculo Intervalo de Confianza,res}]

Ejemplo de Estimación de Intervalo
usando funciones de Mathematica
<<HypothesisTesting`;
data03= RandomVariate[NormalDistribution[138,20.3],250];
Mean[data03];
StandardDeviation[data03];
MeanCI[data03];
NormalCI[138,20.3, ConfidenceLevel->.95];
Da clic en esta liga para ver el simulador de Intervalos de Confianza
de Franklin.edu

Ejemplo de Estimación de Intervalo
usando funciones de Mathematica
Inciso b)
¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra si se desea estimar la
media con 2 cm de margen de error y 95% de confianza?
error = zα/2 σ /√n
= zα/2 σ /error
n = (zα/2
2 σ 2/error2)
n=((InverseCDF[NormalDistribution[0,1],.975])^2)*(20.3^2)/(2^2);

Selección del tamaño de la muestra

Prueba t

Tabla t
¿Cómo se contruye esta tabla?
InverseCDF[NormalDistribution[0,1],.95];
InverseCDF[StudentTDistribution[100],.95];
xj=Table[InverseCDF[StudentTDistribution[i],j],{i,{1,1
0,25,50,100, 100000}},{j,{.8,.9,.95,.975,.99,.995}} ];
xJ=TableForm[xj, Frame->All, TableHeadings-
>{{"1","10","25","50","100","100000"},{".2",".1",".05",".
025",".01",".005"}}];

x
Intervalo de confianza
Tamaño de la muestra
x
Error
90 IC

Conocemos solamente y establecemos el intervalo de
confianza, ¿cuál es la probabilidad de que la μ, no caiga
en este intervalo?. Hay un 1 - α de probabilidad de que el
valor de una media muestral provea un margen de error
de α/2 o menos.

Lo que hacemos es aventurar hipótesis acerca del parámetro poblacional μ, con un valor μ0.
La prueba de hipótesis se puede utilizar para determinar si una declaración sobre el valor
de un parámetro de la población debe o no debe ser rechazada.
La hipótesis nula, denotado por H0, es una suposición tentativa acerca de un parámetro
poblacional.
La hipótesis nula, H0, representa una teoría que se ha propuesto, - ya sea porque se cree
que es verdadera o porque se utiliza de base en una investigación -, pero no se ha
demostrado
La hipótesis nula es una hipótesis acerca de un parámetro de la población.
La hipótesis alternativa, denotado por Ha, es lo contrario de lo que se afirma en la
hipótesis nula.
La hipótesis alternativa es lo que la prueba intentar establecer.

En general una prueba de hipótesis de la media de una población μ, se presenta como una de
las siguientes tres alternativas ; Dos colas, Cola Superior y Cola inferior.

One-tailed
(lower-tail)
One-tailed
(upper-tail)
Two-tailed
Summary of Forms for Null and Alternative
Hypotheses about a Population Mean
0 0:H  
0:aH  
0 0:H  
0:aH  
0 0:H  
0:aH  

Para cargar el paquete de Prueba de Hipótesis en Mathematica utilizamos
<<HypothesisTesting`;
Los valores de p-value pueden ser calculados con la instrucción
NormalPValue[1.64485];
NormalPValue[1.64485,TwoSided->True];
Que la habíamos obtenido en sesiones anteriores como

• Testing Research Hypotheses
Planteamiento de
Hipótesis
• The research hypothesis should be expressed as
the alternative hypothesis.
• The conclusion that the research hypothesis is true
comes from sample data that contradict the null
hypothesis.

Errores

Type I and Type II Errors
Correct
Decision
Type II Error
Correct
Decision
Type I Error
Reject H0
(Conclude  > 12)
Accept H0
(Conclude  < 12)
H0 True
( < 12)
H0 False
( > 12)Conclusion
Population Condition
Errores

Error Tipo I
 Because hypothesis tests are based on sample data,
we must allow for the possibility of errors.
 A Type I error is rejecting H0 when it is true
 The probability of making a Type I error when the
null hypothesis is true as an equality is called the
level of significance.
 Applications of hypothesis testing that only control
the Type I error are often called significance tests.

 A Type II error is accepting H0 when it is false.
 It is difficult to control for the probability of making
a Type II error.
 Statisticians avoid the risk of making a Type II
error by using “do not reject H0” and not “accept H0”.
Error Tipo II

 The rejection rule:
Reject H0 if the p-value < .
 Compute the p-value using the following three steps:
3. Double the tail area obtained in step 2 to obtain
the p –value.
2. If z is in the upper tail (z > 0), find the area under
the standard normal curve to the right of z.
If z is in the lower tail (z < 0), find the area under
the standard normal curve to the left of z.
1. Compute the value of the test statistic z.
p-Value para la prueba de Hipótesis de
dos colas

 The critical values will occur in both the lower and
upper tails of the standard normal curve.
 The rejection rule is:
Reject H0 if z < -z/2 or z > z/2.
 Use the standard normal probability distribution
table to find z/2 (the z-value with an area of /2 in
the upper tail of the distribution).
p-Value para la prueba de Hipótesis de
dos colas

Step 1. Develop the null and alternative hypotheses.
Step 2. Specify the level of significance .
Step 3. Collect the sample data and compute the test
statistic.
p-Value Approach
Step 4. Use the value of the test statistic to compute the
p-value.
Step 5. Reject H0 if p-value < .
Pasos de la prueba de Hipótesis

Critical Value Approach
Step 4. Use the level of significance to determine
the critical value and the rejection rule.
Step 5. Use the value of the test statistic and the
rejection
rule to determine whether to reject H0.
Pasos de la prueba de Hipótesis

Ejemplos de pruebas de hipótesis
usando Mathematica
Ejemplo dos colas
Se sabe que las pymes en México tuvieron un gasto promedio de $6,500 USD en equipo, durante el
2010. Cinco años después, para determinar si ha habido cambios en los patrones de inversión en equipo,
se entrevistaron a 100 empresas y se encontró que gastaron un promedio de $6,273.73 USD. Con una
desviación estándar de $1,821.35 USD como lo muestra el archivo EjemplosS04.xlsx
Realice una prueba de hipótesis,con un nivel de 0.03 de significancia, para determinar si existe un
cambio en el patrón de gastos de las pymes.

usando Mathematica
Respuesta,
El primer paso es importar a Mathematica la información guardándola en la variable GastoE2
utilizando las fórmulas vistas en las sesiones pasadas.
GastoE=Sort[Rest[Import[FileNameJoin[{NotebookDirectory[],"EjemplosS04.xlsx"}],{"Data",1}]]];
GastoE2=GastoE[[All,2]];
Through[{Mean, StandardDeviation}[GastoE2]];
La hipótesis en este problema es
H0: μ = 6,500
Ha: μ ≠ 6,500
Para resolver problemas de prueba de hipótesis,
cargamos el paquete <<HypothesisTesting`. El paquete
utiliza la instrucción LocationTest para realizar pruebas de
hipótesis.
<<HypothesisTesting`
LocationTest[GastoE2,6500];

usando Mathematica
Por default, el paquete realiza una prueba de Dos Colas, con una significancia de 0.05. Sin
embargo es posible pedir la prueba de Cola Superior “Greater”, Cola Inferior “Less”, Dos Colas
“Unequal”.
Table[LocationTest[GastoE2,6500,AlternativeHypothesis->alt],{alt,{"Greater","Less","Unequal"}}];

usando Mathematica
O un nivel de significancia diferente (como lo pide el problema). Es importante notar que LocationTest
puede seleccionar de manera automática la prueba a ser utilizada en base a los datos proporcionados.
En la siguiente instrucción se solicita que se aplique la selección de prueba automática con
“AutomaticTest” y despliegue el valor del p-value.
LocationTest[GastoE2,6500,{"AutomaticTest","PValue"},SignificanceLevel->.03];
En la siguiente instrucción se solicita que se apliquen las pruebas “T” , “Z” y se despliegue el valor del p-
value.
LocationTest[GastoE2,6500,{"T","Z","PValue"},SignificanceLevel->.03];
O bien es posible llamar la prueba t directamente con la siguiente instrucción
TTest[GastoE2,6500];
En donde aplican las mismas opciones vistas antes..
Table[TTest[GastoE2,6500,AlternativeHypothesis->alt],{alt,{"Greater","Less","Unequal"}}];

usando Mathematica
Mathematica maneja objetos que son útiles para generar reportes. En la siguiente instrucción se
mandar llamar “HypothesisTestData” lo cual genera el objeto, el cual asignamos a la variable h y de
ahí podemos extraer diferente información como la conclusión de la prueba de hipótesis o bien solicitar
el valor del estadístico y el p-value.
h=LocationTest[GastoE2,6500,"HypothesisTestData", SignificanceLevel->.03];
h["TestConclusion"];
h[{"TestDataTable",All}];

usando Mathematica
Como el valor del p-value 0.217044 no es menor que 0.03 decimos que no hay suficiente evidencia
estadística para rechazar la hipótesis nula.

usando Mathematica
En general podemos obtener los resultados de la prueba de hipótesis con la siguiente instrucción.
h[{"TestStatistic","PValue","ShortTestConclusion"}];
GastoE=Sort[Rest[Import[FileNameJoin[{NotebookDirectory[],"EjemplosS04.xlsx"}],{"Data",2}]]];
GastoE2=GastoE[[All,2]];
h=LocationTest[GastoE2,6500,"HypothesisTestData", SignificanceLevel->.03];
h[{"TestStatistic","PValue","ShortTestConclusion"}];

usando Mathematica
Ejemplo una cola
Ejemplo Las Fotomultas
Una cámara toma muestras periódicamente de la velocidad de los vehículos en
la una avenida de la ciudad de México.
La Policia tiene la hipótesis de que los automovilistas exceden el límite de
velocidad de 65 km/hr.
Para comprobarlo toman una muestra de 64 vehículos y obtienen una velocidad
media de 66.183 km/hr. Los Federales consideran que es certera su hipótesis ya
que el valor es mayor de los 65 km/hr., sin embargo la desviación estándar es
de 3.937 km/hr. ¿Es correcto pensar que los automovilistas exceden el límite de
velocidad?.

usando Mathematica
Respuesta,
Importar a Mathematica la información de la hoja 3, guardándola en la variable Velocidad2.
Velocidad=Rest[Import[FileNameJoin[{NotebookDirectory[],"EjemplosS04.xlsx"}],{"Data",3}]];
Velocidad2=Velocidad[[All,1]];
H0: μ ⩽ 65
Ha: μ > 65
Asignar a variable h2 el objeto y solicitar los resultados de la prueba. (Ojo; en las opciones se solicita prueba
de Cola Superior como lo especifica el problema AlternativeHypothesis ”Greater”. Nota que las opciones
vistas antes pueden aplicar)

usando Mathematica
h2=LocationTest[Velocidad2,65,"HypothesisTestData", AlternativeHypothesis->"Greater"];
h2[{"TestStatistic","PValue","ShortTestConclusion"}];
Con un p-value menor que 0.05 rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alternativa.
con los datos de la hoja 4
Velocidad=Rest[Import[FileNameJoin[{NotebookDirectory[],"EjemplosS04.xlsx"}],{"Data",4}]];
Velocidad2=Velocidad[[All,1]];
h2=LocationTest[Velocidad2,65,"HypothesisTestData", AlternativeHypothesis->"Greater"];

Los programas sociales
De acuerdo al INEI (2014) en México la cantidad de personas de 60 años y más es de 11.7 millones, lo que
representa 9.7% de la población total y según la “Encuesta Ahorro y Futuro ¿cómo viven el retiro los
mexicanos?” elaborados por la Asociación Mexicana de Afores (Amafore) el 63% de estos adultos mayores
no cuentan con ahorro para el retiro. El gobierno considera que de aquellas personas de la tercera edad
que ahorran, tienen una media de ahorros menor a los $5,500. En una investigación realizada, Amafore
encuentra que en una muestra aleatoria de 200 adultos mayores, su media es de $5,059.23 con una
desviación estándar de $2,251.28.
Utilizando un 0.01 de significancia, pruebe que lo establecido por el gobierno es correcto.
INEGI. XI Censo General de Población y Vivienda, 1990.
CONAPO. Proyecciones de la Población de México, 2010-2050
Sin ahorro 63% de los adultos mayores. CNN expansión disponible en línea en http://goo.gl/NQSB0F

Datos
SeedRandom[1234]
data05= RandomVariate[NormalDistribution[5000,2500],200];
Through[{Mean,StandardDeviation}[data05]];
Solución
H0: μ ≥ 5500
Ha: μ < 5500
h5=LocationTest[data05,5500,"HypothesisTestData",
AlternativeHypothesis->"Less"];

Siempre es posible el evaluar la Hipótesis nula en μ = μ0,
estrictamente hablando no es posible calcular el
estadístico cuando tenemos una hipótesis compuesta por
lo que es preferible realizar una prueba de dos colas.
Using Statistics in Economics. 2005 Thomas, R. L. McGraw-Hill.

Aplicación a datos financieros
FinancialData["MX:MEXCHEM","Name"];
GrafMexchem=InteractiveTradingChart[{"M
X:MEXCHEM",{{2012,1,1},{2016,1,31}}}]

Aplicación a datos financieros
A menudo, el análisis de la rentabilidad acumulada nos da más información que la historia de los
precios. La tasa de retorno se suele presentar como un porcentaje de cambio en el tiempo dado.
Se desea investigar si esta rentabilidad es positiva en este período de tiempo. Ha: μ > 0
AccMexchem=FinancialData["MX:MEXCHEM","CumulativeReturn",{{2012,1,1},{2016,1,31}}];
DatosMexchem=AccMexchem[[All,2]];
Through[{Mean,StandardDeviation}[DatosMexchem]];
h5=LocationTest[DatosMexchem,0,"HypothesisTestData", AlternativeHypothesis->"Greater"];

Ejercicio en clase
Atiende las instrucciones del profesor para esta
actividad

Asignación para
la siguiente sesión

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