El documento explica las propiedades y ecuaciones de las parábolas. Las parábolas describen el movimiento de objetos lanzados bajo la gravedad y se ven en chorros de agua y haces de luz. El documento también presenta las ecuaciones canónica y general de las parábolas, y cómo encontrar el vértice, foco, lado recto y ecuación de la recta directriz a partir de la ecuación.

1. http://static.latercera.com/20141129/2041029.jpg

3. ¿Para qué me sirve el estudio de
la Parábola ?
SECCIONES CÓNICAS
La parábola es una curva que tienen una gran importancia en Física y que se ajusta a la descripción o a la representación matemática de muchos fenómenos.
También tiene importancia en nuestra vida cotidiana y, aunque muchas veces no nos fijemos o no seamos conscientes de ello, tenemos muchas parábolas a nuestro alrededor.
Cualquier cuerpo lanzado al aire de forma oblicua u
horizontal describe un movimiento parabólico bajo la
acción de la gravedad.
Los chorros y las gotas de agua que salen de los caños
de la numerosas fuentes que podemos encontrar en las
ciudades
Cuando un haz luminoso de forma cónica se proyecta
sobre una pared.

5. Datos/Observaciones
SECCIONES
CÓNICAS
PARÁBOLA

6. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑪𝒙𝒚 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
(𝒉, 𝒌)
𝒍𝟏
𝒚
𝒙
𝑭
Graficar el trazo requiere de una
transformación de la ecuación y una
traslación de los ejes
En este curso solo graficaremos las
ecuaciones que ya han sido
transformadas

8. Datos/Observaciones

9. Observa la orientación y las ecuaciones de la parábola.
1 PARÁBOLA
LA PARÁBOLA
Ecuación Ordinaria
𝑥 − ℎ 2
= −4𝑝 𝑦 − 𝑘
Ecuación Canónica
𝑥2
= −4𝑝𝑦
Ecuación General
𝑥2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝑝 = Parámetro
𝑉 = Vértice ℎ, 𝑘
𝐿𝑅 = Lado recto
𝐹 = Foco

10. Observa la orientación y las ecuaciones de la parábola.
1 PARÁBOLA
LA PARÁBOLA
Ecuación Ordinaria
𝑦 − 𝑘 2
= 4𝑝 𝑥 − ℎ
Ecuación Canónica
𝑦2
= 4𝑝𝑥
Ecuación General
𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝑝 = Parámetro
𝑉 = Vértice ℎ, 𝑘
𝐿𝑅 = Lado recto
𝐹 = Foco

11. Observa la orientación y las ecuaciones de la parábola.
1 PARÁBOLA
LA PARÁBOLA
Ecuación Ordinaria
𝑦 − 𝑘 2
= 4𝑝 𝑥 − ℎ
Ecuación Canónica
𝑦2
= 4𝑝𝑥
Ecuación General
𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝑝 = Parámetro
𝑉 = Vértice ℎ, 𝑘
𝐿𝑅 = Lado recto
𝐹 = Foco

12. Datos/Observaciones
Bosqueje la gráfica de la ecuación 4𝑦2
+ 12𝑦 + 16𝑥 + 25 = 0 y
determine el vértice, foco, lado recto y la ecuación de la recta
directriz.
Ejemplo.
SOLUCIÓN:
𝑦 +
3
2
2
= −4𝑥 −
25
4
+
9
4
𝑦2
+ 3𝑦 + 4𝑥 +
25
4
= 0
𝑦 +
3
2
2
= −4𝑥 − 4
𝑦 +
3
2
2
= −4 𝑥 + 1
𝑉 −1, −
3
2
4𝑝 = −4
𝑝 = −1
𝐹 = −1 − 1, −
3
2
= −2, −
3
2
𝐿𝑅 = 4𝑝 = −4 = 4
𝐿𝐷: 𝑥 = −1 + 1
𝑥 = 0
𝒑 < 𝟎

13. Datos/Observaciones
Bosqueje la gráfica de la ecuación 𝑥2
− 14𝑥 − 12𝑦 + 29 = 0 y
determine el vértice, foco, lado recto y la ecuación de la recta
directriz.
Ejemplo.
SOLUCIÓN:
𝑥 − 7 2
= 12𝑦 − 29 + 49
𝑥 − 7 2
= 12𝑦 + 20
𝑥 − 7 2
= 12 𝑦 +
20
12
𝑉 7, −
5
3
4𝑝 = 12
𝑝 = 3
𝐹 = 7, −
5
3
+ 3 = 7,
4
3
𝐿𝑅 = 4𝑝 = 12 = 12
𝐿𝐷: 𝑦 = −
5
3
− 3
𝑦 = −
14
3
𝑥 − 7 2
= 12 𝑦 +
5
3
𝑝 > 0

14. EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Halle la ecuación general de la parábola con vértice en (3, 5) y foco en −3, 5 .
SOLUCIÓN:
𝑝 ⇒ 36 = 6
𝑝 ⇒ 𝑑 𝑉, 𝐹 = 3 − (−3) 2 + 5 − 5 2
𝑦2
+ 24𝑥 − 10𝑦 − 47 = 0
𝑦 − 5 2
= −24 𝑥 − 3
𝑦2
− 10𝑦 + 25 = −24𝑥 + 72
𝑝 < 0
LA PARÁBOLA

15. EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Dados los puntos −1, 2 ; 0, −1 ; 2, 1 . Determine la ecuación de la parábola que
pase por los tres puntos dados, tal que su eje focal sea paralelo al eje 𝑌.
SOLUCIÓN:
𝒫: 4𝑥2
− 5𝑥 − 3𝑦 − 3 = 0
RPTA:
LA PARÁBOLA
𝑥 − ℎ 2
= 4𝑝 𝑦 − 𝑘
𝑥2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
1 − 𝐷 + 2𝐸 + 𝐹 = 0
−𝐸 + 𝐹 = 0
4 + 2𝐷 + 𝐸 + 𝐹 = 0
𝐸 = 𝐹
1 − 𝐷 + 3𝐸 = 0
4 + 2𝐷 + 2𝐸 = 0
2 − 2𝐷 + 6𝐸 = 0
4 + 2𝐷 + 2𝐸 = 0
8𝐸 = −6
𝐸 = −
3
4
= 𝐹
4 + 2𝐷 + 2 −
3
4
= 0
𝐷 = −
5
4
𝑥2
−
5
4
𝑥 −
3
4
𝑦 −
3
4
= 0

16. SECCION CONICAS
Se quiere construir los faros para un auto clásico, el
nuevo diseño tiene un fondo de 25 cm. Y un ancho de
30 cm. Determinar la distancia desde el fondo donde
se encuentra ubicado el Foco y la ecuación de la
Parábola.
Solución: Ubicar el trazo como si fuera una
ecuación canónica.
25
15
(25,15)
𝒚𝟐 = 𝟒𝑷𝒙
(𝟏𝟓)𝟐
= 𝟒𝑷(𝟐𝟓)
𝟐𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎
= 𝑷 = 𝟐. 𝟐𝟓
𝑭
El foco se encuentra a
2.25 cm. Del fondo
PROBLEMA DE APLICACION

18. EJERCICIOS RETOS
1. Grafique la cónica y halle: el vértice, el foco y la ecuación de la recta directriz de la parábola:
𝑥2
− 4𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
2. Señale la ecuación de la parábola que tiene su vértice en 𝑉(−2,1) y cuyos extremos del lado
recto son (−4,0) y (0,0).
3. Una parábola tiene por vértice (2,1) y foco (2,4) Determinar la longitud de su lado recto.
4. Los puntos 𝐴(13, 𝑎) y 𝐵(4, 𝑏) pertenecen a una parábola de vértice 𝑉(ℎ, 1) Además el eje
focal es paralelo al eje de las abscisas ,su parámetro es 𝑝 y 𝐴, 𝐵 están contenidos en la recta
2𝑥 − 𝑦 − 13 = 0. Hallar 𝑎ℎ
+ 𝑏𝑝
.
5. El vértice y el foco de una parábola son (2, 1) y (5, 1) respectivamente. Señale la ecuación de
la parábola.

20. El arco parabólico de la
ciudad de Tacna tiene
una altura de 18 metros
y un ancho de 12
metros. Determine la
ecuación de la
parábola.

21. Datos/Observaciones
Conclusiones
1. Los elementos principales para la ecuación de
la parábola son el vértice y el parámetro.
2. El parámetro indica la orientación de la
parábola.
3. Se cumple que la distancia de cualquier punto
de la parábola al 𝐹 y a 𝐿𝐷 es la misma.

22. Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
Excelente tu
participación
Tu éxito es la suma de
pequeños esfuerzos
repetidos día tras día.
Ésta sesión quedará
grabada para tus
consultas.

PARA TI
1. Realiza los ejercicios
propuestos de ésta
sesión y práctica con la
tarea .
2. Consulta en el FORO tus
dudas.