Este documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como derivadas, antiderivadas y familias de curvas. Explica que la derivada es la pendiente de la tangente en un punto de una función, y que la antiderivada es la función cuya derivada es la función dada. También describe las propiedades de las derivadas y ofrece ejemplos resueltos. Finalmente, define las familias de curvas como aquellas que difieren solo en una constante y provee ejemplos de familias de antiderivadas y curvas de colector.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Universidad Nacional Experimental de Guayana
vice – rectorado académico
catedra: matemáticas IV
Derivadas, anti derivadas y
familias de curvas
Yepez y
Prof: Álvaro Barrios Bachiller: Yepez Yeraldine

2. Derivadas
La derivada es la pendiente de la recta
tangente a una función f(x) en un punto
determinad
Yepez y
Donde:
• La derivada de la función es el
punto marcado a la pendiente
de la recta tangente.
• La grafica de la función es la
dibujada en rojo.
• La tangente de la curva es la
dibujada en verde.

3. Derivada como razón de cambio
Si y= f(x), entonces la razón de cambio promedio de y con respecto a x en el
intervalo x, x + Δx se define como:
Δy
Δx
=
𝑓 𝑥+∆x −𝑓(𝑥)
Δx
Ejemplo:
Si f(x) = x² – 3x
X1 = 2 y x2 = 10
¿Cuál es la razón de cambio promedio entre estos?
Solución
Δx = x2 - x1 f(2)=(2)² - 3(2) f(10)=(10)² - 3(10)
Δy
Δx
=
70−2
8
Δx =10 - 2 f(2)=4-6 f(2)=100-30
Δy
Δx
=
68
8
Δx = 8 f(2)= -2 f(2)=70
Δy
Δx
=
17
2
Yepez y

4. Propiedades de la derivadas
• (C)‘=0
• LINEALIDAD:[F,(X) ± F2(X) ± F3(X ) ± ….Fn(x)]`
• [KF]`=K.F
• [F.G]`=F`.G+F.G`
• [
𝐹
𝐺
]`=
𝐹`.𝐺−𝐹.𝐺`
𝐺²
• [
𝐾
𝐹
]`=
−𝐾.𝐹
𝐹²
REGLA DE LA CADENA
[( )ⁿ]`=n( )ⁿ-‘ . ( )‘
[𝑒( )
]‘ =𝑒( )
.( )‘
[√( )]‘=
( )′
2√( )
[ln( )]‘=
( )
( )
[Sen( )]‘=Cos( ).( )'
[Cos( )]‘= -Sen( ).( )'
[Tg( )]‘=sec²( ).( )'
[Ctg( )]‘=-csc².( )‘
[Csc( )]‘=-csc( ).ctg( ).( )'
[Sec( )]‘=Sec().Tg().()' Yepez y

5. Ejercicios resueltos
• [𝑒 𝑓𝑥
]‘=𝑒(𝑥+2)5
[𝑒( )
]‘ =𝑒( )
.( )‘
[𝑒(𝑥+2)5 ]'=𝑒(𝑥+2)5 .[(x+2) ]'
𝑒(𝑥+2)5 . 5(x+2) . (x+2)'
𝑒(𝑥+2)5 .5(x+2) . (x+2)
𝑒(𝑥+2)5 . 5(x+2)
Yepez y
5
4

6. Ejercicios resueltos
𝑡 + 2
𝑡
√
𝑡+2
𝑡
= (
𝑡+2
𝑡
2 𝑡+2
𝑡
)‘
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= (
𝑡+2
𝑡
)‘ =
(t+2)‘.t−(t+2).t′
𝑡²
𝑑𝑝
𝑑𝑡
=
𝑡′ + 2′ . 𝑡 − 𝑡 + 2 . 1
𝑡²
1 .𝑡−(𝑡+2)
𝑡²
=
𝑡−𝑡−2
𝑡²
=
−2
𝑡²
𝑑𝑝
𝑑𝑡
=
−2
𝑡²
2 𝑡+2
𝑡
1
=
−2
2.𝑡² 𝑡+2
𝑡
=
−1
𝑡² 𝑡+2
𝑡
Yepez y

7. Yepez y
anti derivadas

8. Anti derivadas
La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación,
es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la
función dada.
Notación
La notación que emplearemos para referirnos a una anti derivada es la
siguiente:
Ejemplo:
Para f ( x ) = 3 x ² , l a función: F ( x ) = x ³ e s una anti
derivada, pues f' (x)‘=3( x²) 3 ' =f(x)
F '(x) = F(x)
Yepez y

9. Interpretación geométrica
Si F es una anti derivada de f sobre un intervalo I, entonces la anti
derivada general de f sobre I es:
F(x) +C Donde: C es una constante
Significado geométrico:
Si F(x) es una anti derivada de f (x) en I , cualquier otra anti derivada de
f en I es una curva paralela al gráfico de y = F(x).
Yepez y

10. Anti derivadas
• Por ejemplo, si f(x) = 2x, entonces algunas anti derivadas son:
• F(x) = x2 + 2
• F(x) = x2 + 1
• F(x) = x2
• F(x) = x2 - 1
• F(x) = x2 - 2
Si las representamos gráficamente en un mismo plano, se tiene :
• A este conjunto de gráficas se le conoce como una familia de
antiderivadas, con una derivada en común, que es f(x) = 2x
Yepez y

11. Yepez y

12. Familia de curvas
son las curvas que se obtienen de una función y que difieren entre sí en una
constante.
• En la siguiente figura, se muestran una familia de curvas de colector para
diferentes valores constantes de la corriente base.
Yepez y

13. Familia de curvas
Yepez y
Ejemplos:
Estas curvas representan, la forma de funcionamiento del
transistor.

14. Familia de curvas
Yepez y
Esta curva, nos indica que para una temperatura ambiente de
25ºC, la potencia máxima es de 125mW. Sin embargo, para
55ºC, la potencia máxima disminuye a 50mW.

15. Gracias
Yepez y