El documento presenta varios teoremas sobre derivadas como el teorema de Fermat, el teorema de Rolle, el teorema de Lagrange y el teorema de Cauchy. Explica que estos teoremas relacionan los puntos críticos y extremos de una función con el valor de su derivada. También introduce la regla de L'Hôpital para calcular límites indeterminados y la fórmula de Taylor para aproximar funciones mediante polinomios.

1. Tema 3. Derivadas Teoremas sobre la derivación Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

2. Teorema de Fermat Si f ( x ) tiene un extremo relativo en un punto x 0 , en el cual f ‘( x ) está definida, entonces f ‘( x 0 ) = 0. Punto crítico de una función Si f está definida en x 0 , se dirá que x 0 es un punto crítico de f si f ‘( x 0 ) = 0 o si f ’ no está definida en x 0 . Interpretación gráfica Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

3. Teorema de Rolle Si f ( x ) es una función continua en [ a , b ], derivable en ( a , b ) y tal que f ( a ) = f ( b ), entonces existe al menos un punto c  ( a , b ) tal que f ‘( c ) = 0. Interpretación gráfica Ejemplo Estudiar si se cumplen las condiciones del teorema de Rolle para f ( x ) = | x – 4 | en el intervalo [-3,3] Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

4. Teorema de Lagrange o del valor medio Interpretación gráfica Ejemplo Estudiar si se cumplen las condiciones del teorema de Lagrange para f ( x ) = x 2 – 2 x en el intervalo [0,1] Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito Si f ( x ) es una función continua en [ a , b ] y derivable en ( a , b ), entonces existe al menos un punto c  ( a , b ) tal que

5. Teorema de Cauchy Ejemplo Estudiar si f ( x ) = x 2 + 1 y g ( x ) = x 3 – x verifican el teorema de Cauchy en el intervalo [1,2] Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito Si f ( x ) y g ( x ) son funciones continuas en [ a , b ], derivables en ( a , b ) y se verifica que g ( a ) ≠ g ( b ) y g ‘( x ) ≠ 0 para x  ( a , b ), entonces existe al menos un punto c  ( a , b ) tal que

6. Regla de L’Hôpital Sean f ( x ) y g ( x ) dos funciones derivables en ( a , b ) y tal que g ‘( x ) ≠ 0 en ( a , b ). Si f ( x ) y g ( x ) tienden a 0 o ambas tienden a ±∞, entonces En esta expresión el límite puede ser cuando x tiende a un valor finito o infinito. Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

7. Fórmula de Taylor Ejemplo Hallar el polinomio de Taylor de grado 6 para la función f ( x ) = ln ( x +1) en un entorno de 0. (Aproximación de funciones mediante un polinomio de grado n) Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito Polinomio de Taylor de la función f en x = x 0 : Residuo: