Este documento cubre varios temas de cálculo incluyendo linealización, diferenciales y antiderivadas. Explica que la linealización de una función en un punto es una aproximación lineal de la función cerca de ese punto. También describe cómo calcular diferenciales y cómo usarlas para estimar cambios. Finalmente, introduce conceptos de antiderivadas incluyendo diferentes técnicas para calcularlas como sustitución, integración por partes e integrales trigonométricas.

1. CÁLCULO II

2. LINEALIZACIÓN Y DIFERENCIALES
 Si f es derivable en x=a, entonces la función de
aproximación
L(x) = f(a) + f’(a)(x-a)
es una linealización de f en a. La aproximación
f(x) ≈ L(x)
de f mediante L es la aproximación lineal estándar
de f en a.

3. Ejemplo
Determine la linealización de f(x) = 1 + 𝑥 en x = 0
Solución
f(0) = 1 + 0 = 1
f’(0) = ½(1 + 0)−1/2
= ½
Lo que da la linealización
L(x) = f(a) + f’(a)(x-a) = 1 + ½ (x-0)= 1 + x/2

4. Linealización para raíces y potencias
por la forma (1 + 𝑥) 𝑘
≈ 1 + kx
 Ejemplos
1 + 𝑥 ≈ 1+
1
2
𝑥 k = ½
1
1−𝑥
≈ 1+(-1)(-x) = 1+x k = -1
3
1 + 5𝑥4 = (1+5𝑥4)1/3 ≈ 1 +
1
3
(5𝑥4)=1+
5
3
𝑥4 k = 1/3

5. Diferenciales
Sea y=f(x) una función derivable. La
diferencial dx es una variable
independiente. La diferencial dy es
dy = f’(x) dx

6. Ejemplos
a) Determine dy si y = 𝑥5 + 37x
b) Determine el valor de dy cuando x = 1 y dx =0.2
Solución
a) dy = (5𝑥4 + 37) dx
b) dy = (5(1)⁴ + 37)(0.2) = 8.4

7. Estimación con diferenciales
 El radio r de un circulo aumenta de a=10m a 10.1m. Utilice
dA para estimar el incremento en el área A del círculo. Estime
el área del círculo agrandado y compare su estimación con el
área verdadera mediante el cálculo directo.
Solución
A = 𝜋𝑟2
dA = 2 𝜋r dr = 2 𝜋 (10)(0.1)= 2 𝜋 𝑚2 (aumento estimado)
Luego,
A (10.1) = 𝜋 (10.1)² =102.01 𝜋 𝑚2
A (10) = 𝜋 (10)²= 100 𝜋 𝑚2
Aumento real = 102.01 𝜋 𝑚2 - 100 𝜋 𝑚2 = 2.01 𝜋 𝑚2
ERROR diferencial= 2.01 𝜋 𝑚2 - 2 𝜋 𝑚2 = 0.01 𝜋 𝑚2

8. ANTIDERIVADAS
Una función F es una antiderivada de f en un
intervalo I si F’(x) = f(x)
para toda x en I. Si F es una antiderivada de f en
un intervalo I, entonces la antiderivada mas
general de f en I es
F(x) + C
Donde C, es una constante arbitraria.

9. Técnicas de integración
Sustitución o cambio de variable
Integración por partes
Integrales trigonométricas
Integral por sustitución trigonométrica

10. Integral por sustitución o cambio de
variable
 2𝑥 + 1 dx , u= 2x+1
=
1
2
𝑢 du , du= 2dx
=
1
2
(𝑢)1/2
du
=
1
2
(
2
3
(2𝑥 + 1)3/2
) + C
=
1
3
(2𝑥 + 1)3/2
+ C

11. Integración por partes
 𝑢 𝑑𝑣 = u v - 𝑣 𝑑𝑢
Ejemplo.
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
u = x , 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = xsenx - 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
du = dx , = xsenx + cosx + C
dV = cosxdx ,
V = senx ,

12. Integrales trigonométricas
 La idea general es utilizar identidades trigonométricas para transformar
las integrales en otras que sean más sencillas.
Ejemplo.
𝑡𝑎𝑛3
𝑥 dx
= 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 tanx dx
Utilizamos la identidad 𝑡𝑎𝑛2
𝑥= 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 – 1
= (𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1) tanx dx
= 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 tanx dx - 𝑡𝑎𝑛 𝑥 dx , u= tanx
= 𝑢 du - 𝑡𝑎𝑛 𝑥 dx , du = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 dx
=
𝑡𝑎𝑛2 𝑥
2
- ln secx + C

13. Integrales por sustitución
trigonométrica
EXPRESIÓN SUSTITUCIÓN IDENTIDAD
𝑎2 − 𝑥2 x = asenɵ, -
π
2
≤ ɵ ≤
π
2
1- 𝑠𝑒𝑛2
ɵ = 𝑐𝑜𝑠2
ɵ
𝑎2 + 𝑥2 x = atanɵ, -
π
2
< 0 <
π
2
1 + 𝑡𝑎𝑛2
ɵ = 𝑠𝑒𝑐2
ɵ
𝑥2 − 𝑎2 x= asecɵ 0 ≤ ɵ <
π
2
𝑠𝑒𝑐2
ɵ − 1 = 𝑡𝑎𝑛2
ɵ

14. Ejemplo

9−𝑥2
𝑥2 dx , x= asenɵ
, x= 3senɵ
3 x ,dx=3cosɵdɵ
9 − 𝑥2 = 3cosɵ
9 − 𝑥2
9−𝑥2
𝑥2 dx =
3𝑐𝑜𝑠ɵ
9𝑠𝑒𝑛2ɵ
3cosɵdɵ
=
𝑐𝑜𝑠2ɵ
𝑠𝑒𝑛2ɵ
dɵ = 𝑐𝑜𝑡2ɵ 𝑑ɵ = -cotɵ - ɵ + C
= -
9−𝑥2
𝑥
- 𝑠𝑒𝑛−1 𝑥
3
+ C
ɵ